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2019-2020年高三数学第三次联考(12月)试卷理
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1、已知集合A.B.C.D.
2.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知函数的值域为,则a的值是()
4.在等比数列中,,,则)A.-9B.-6C.6D.
95、已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球体积为()A.
6、在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=2,则·的值是 A.2B.C.0D.
17.若函数不是单调函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.8.若,则的大小关系A.B.C.D.
9、已知>0,函数上单调递减.则的取值范围是( )
10.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{an}的前xx项和=
11.定义行列式运算.若将函数的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则的最小值是()A.B.C.D.
12.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且则△ABC的面积最大值为()
二、填空题本大题4小题,每小题5分,共20分把答案填在答题卡相应位置.K*S5#U.C^OM
13.已知等差数列中,,则 14直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的正弦值为
15.已知变量满足则的最大值为
16.在数列{an}中,a1=1,an+2+-1nan=
1.记Sn是数列{an}的前n项和,则S200=
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、(本题满分12分)已知正项数列的前项和为,且,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,设数列的前项和,证明
18、(本题满分12分)如图,多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,已知,,,,直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于
(1)求证平面BCE⊥平面BDE;
(2)求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值.
19.(本题满分12分)已知函数fx=Asinωx+φx∈R,A0,ω0,0的部分图象如图所示,P是图象的最高点,Q为图象与x轴的交点,O为坐标原点.若OQ=4,OP=,PQ=.1求函数y=fx的对称轴方程;2将函数y=fx的图象向右平移2个单位后得到函数y=gx的图象,当x∈[0,3]时,求函数hx=fx·gx的值域.
20.(本题满分12分)已知函数.
(1)求函数处的切线方程
(2)若曲线与有三个不同的交点,求实数m的取值范围.21.(本题满分12分)设函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)如果对于任意的,都有成立,试求a的取值范围.请考生从
22、23两题任选1个小题作答,满分10分.如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.选修4—4坐标系与参数方程
22.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线Cρsin2θ=2cosθ,过点P-2,-4的直线l t为参数与曲线C相交于M,N两点.1求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;2证明|PM|,|MN|,|PN|成等比数列.选修4—5不等式选讲
23、设函数的最小值为.
(1)求;
(2)已知两个正数满足求的最小值.“四地六校”联考xx学年上学期第三次月考高三理科数学参考答案
一、选择题1-12ACCDBACDCABB
二、填空题
13.
14.
15.
16.
510017.解
(1)由题意,,成等差数列,,当时……………………1分当时……………………2分两式相减得由为正项数列,……………………4分因此数列{an}是以为首项,以2为公比的等比数列.即……………6分
(2)证明由
(1)知……………………7分……………………8分则,……………………11分即……………………12分18
(1)证明∵平面平面ABCD,平面平面,,,∴平面ABCD,……………………1分又平面ABCD,.平面ABCD,为BE与平面ABCD所成的角,设,则,在中,,,……………………3分在直角梯形ABCD中,,在中,,,,……………………4分又,平面BDE,又,∴平面平面.……………………6分2解由题知,DA,DC,DE两两垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,……………………7分则,取平面CDE的一个法向量,……………………8分设平面BDF的一个法向量,则即令,则,所以.………………10分、设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为,则,……………………11分所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是.……………………12分
19.解1由条件,cos∠POQ==,……………………1分所以P1,2.所以A=2,周期T=4×4-1=12,又=12,则ω=.将点P1,2代入fx=2sin,得sin=1,……………………3分因为0φ,所以φ=,所以fx=2sin.……………………4分函数y=fx的对称轴方程为即对称轴方程是()……………………6分2由题意,可得gx=2sinx.…………………7分所以hx=fx·gx=4sin·sinx=2sin2x+2sinx·cosx=1-cosx+sinx=1+2sin.……………………9分当x∈[0,3]时,x-∈,所以sin∈.……………………11分所以函数hx的值域为[0,3].……………………12分20解(Ⅰ)∵函数,∴f(x)=x2﹣3x+2,……………………1分f
(3)=2,……………………3分在处的切线方程是…………………4分即…………………5分(Ⅱ)令f(x)=2x+m,即,∴,设g(x)=,……………………7分∵曲线y=f(x)与y=2x+m有三个不同的交点,∴函数y=g(x)与y=m有三个不同的交点,令g(x)=0,解得x=0或x=3,当x<0或x>3时,g(x)>0,当0<x<3时,g(x)<0,∴g(x)在(﹣∞,0),(3,+∞)单调递增,在(0,3)单调递减,………9分∵,即……………………11分画出函数g(x)的大值图象如右图,∴实数m的取值范围为.……………………12分
21.(Ⅰ)函数的定义域为,,………………1分当时,,函数在区间上单调递增;…………2分当a0时,若,则,函数单调递增;……………3分若,则,函数单调递减;………………4分所以,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.………………5分(Ⅱ),,可见,当时,,在区间单调递增,……6分当时,,在区间单调递减,……7分而,所以,在区间上的最大值是1,依题意,只需当时,恒成立,即恒成立,亦即;……8分令,则,显然,当时,,,,即在区间上单调递增;……10分当时,,,,上单调递减;所以,当x=1时,函数取得最大值,……11分故,即实数a的取值范围是……12分
22.解1把代入ρsin2θ=2cosθ,得y2=2x……2分由t为参数,消去t得x-y-2=0,……4分∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2x,x-y-2=
0.…5分2证明将t为参数代入y2=2x,整理得t2-10t+40=
0.……7分设t1,t2是该方程的两根,则t1+t2=10,t1·t2=40,∵|MN|2=t1-t22=t1+t22-4t1·t2=40……8分|PM|·|PN|=t1·t2=40,∴|MN|2==PM|·|PN|……9分∴|PM|,|MN|,|PN|成等比数列……10分23解(I)函数,……3分当x∈(﹣∞,1]时,f(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递增,……4分所以当x=1时,f(x)的最小值a=.……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知m2+n2=,由m2+n2≥2mn,得mn≤,∴≥……7分故有+≥2≥,当且仅当m=n=时取等号.……9分所以+的最小值为.……10分。