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2019-2020年高三数学第二学期3月月考试卷理(含解析)
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分.1.设集合A={x丨丨x﹣1丨<2},B={y丨y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( ) A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4) 2.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.﹣5B.5C.﹣4+iD.﹣4﹣i 3.已知命题p若x>y,则﹣x<﹣y;命题q若x>y,则x2>y2,在命题
①p∧q;
②p∨q;
③p∧(¬q);
④(¬p)∨q中,真命题是( ) A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④ 4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A.y=B.y=e﹣xC.y=﹣x2+1D.y=lg|x| 5.已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=( ) A.2B.C.0D.﹣ 6.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( ) A.α与β相交,且交线平行于lB.α与β相交,且交线垂直于l C.α∥β,且l∥αD.α⊥β,且l⊥β 7.设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( ) A.B.C.D.3 8.已知在平面直角坐标系中有一个点列P1(0,1),P2(x2,y2),…Pn(xn,yn)(n∈N*).若点Pn(xn,yn)到点Pn+1(xn+1,yn+1)的变化关系为(n∈N*),则|PxxPxx|等于( ) A.21004B.21005C.21006D.21007
二、填空题本大题共7小题,每小题5分,满分35分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.9.不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|>0的解集为 . 10.若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 . 11.若
2、a、b、c、9成等差数列,则c﹣a= . 12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 13.已知圆C(x﹣a)2+(y﹣b)2=1,设平面区域Ω,若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为 . 14.(极坐标与参数方程)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 . 15.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB= .
三、解答题16.已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f()=0,其中a∈R,θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若f()=﹣,α∈(,π),求sin(α+)的值. 17.某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究,在饲料充足的前提下,兴趣小组对饲养时间x(单位月)与这种鱼类的平均体重y(单位千克)得到一组观测值,如下表xi(月)12345yi(千克)
0.
50.
91.
72.
12.8
(1)在给出的坐标系中,画出关于x,y两个相关变量的散点图.
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程.
(3)预测饲养满12个月时,这种鱼的平均体重(单位千克)(参考公式=,=﹣) 18.已知平行四边形ABCD(如图1),AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置,使得A1C=4,F是线段A1C的中点(如图2).
(1)求证BF∥面A1DE;
(2)求证面A1DE⊥面DEBC;
(3)求二面角A1﹣DC﹣E的正切值. 19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n•an+1,n∈N*,其中a1=1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证Tn<. 20.已知抛物线C1x2=y,圆C2x2+(y﹣4)2=1.
(1)在抛物线C1上取点M,C2的圆周取一点N,求|MN|的最小值;
(2)设P(x0,y0)(2≤x0≤4)为抛物线C1上的动点,过P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点.求AB的中点D的横坐标的取值范围. 21.已知函数f(x)=alnx+x2﹣(1+a)x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明m、n∈N+时,m(m+n)[+++…+]>n. xx学年广东省阳江市阳东县广雅学校高三(下)3月月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分.1.设集合A={x丨丨x﹣1丨<2},B={y丨y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( ) A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)考点交集及其运算.专题集合.分析求出集合A,B的元素,利用集合的基本运算即可得到结论.解答解A={x丨丨x﹣1丨<2}={x丨﹣1<x<3},B={y丨y=2x,x∈[0,2]}={y丨1≤y≤4},则A∩B={x丨1≤y<3},故选C点评本题主要考查集合的基本运算,利用条件求出集合A,B是解决本题的关键. 2.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( ) A.﹣5B.5C.﹣4+iD.﹣4﹣i考点复数代数形式的乘除运算.专题数系的扩充和复数.分析根据复数的几何意义求出z2,即可得到结论.解答解z1=2+i对应的点的坐标为(2,1),∵复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,∴(2,1)关于虚轴对称的点的坐标为(﹣2,1),则对应的复数,z2=﹣2+i,则z1z2=(2+i)(﹣2+i)=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5,故选A点评本题主要考查复数的基本运算,利用复数的几何意义是解决本题的关键,比较基础. 3.已知命题p若x>y,则﹣x<﹣y;命题q若x>y,则x2>y2,在命题
①p∧q;
②p∨q;
③p∧(¬q);
④(¬p)∨q中,真命题是( ) A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④考点复合命题的真假.专题简易逻辑.分析根据不等式的性质分别判定命题p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.解答解根据不等式的性质可知,若若x>y,则﹣x<﹣y成立,即p为真命题,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2>y2不成立,即命题q为假命题,则
①p∧q为假命题;
②p∨q为真命题;
③p∧(¬q)为真命题;
④(¬p)∨q为假命题,故选C.点评本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题p,q的真假是解决本题的关键,比较基础. 4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A.y=B.y=e﹣xC.y=﹣x2+1D.y=lg|x|考点函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.专题计算题;函数的性质及应用.分析根据偶函数的定义,可得C,D是偶函数,其中C在区间(0,+∞)上单调递减,D在区间(0,+∞)上单调递增,可得结论.解答解根据偶函数的定义,可得C,D是偶函数,其中C在区间(0,+∞)上单调递减,D在区间(0,+∞)上单调递增,故选C.点评本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 5.已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=( ) A.2B.C.0D.﹣考点数量积表示两个向量的夹角.专题平面向量及应用.分析由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得m的值.解答解由题意可得cos===,解得m=,故选B.点评本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用,属于基础题. 6.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( ) A.α与β相交,且交线平行于lB.α与β相交,且交线垂直于l C.α∥β,且l∥αD.α⊥β,且l⊥β考点空间中直线与平面之间的位置关系.专题综合题;空间位置关系与距离.分析由题目给出的已知条件,结合线面平行,线面垂直的判定与性质,可以直接得到正确的结论.解答解由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l⊄α,所以l∥α,又n⊥平面β,l⊥n,l⊄β,所以l∥β.由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m∥n,与m,n异面矛盾.故α与β相交,且交线平行于l.故选A.点评本题考查了平面与平面之间的位置关系,考查了平面的基本性质及推论,考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了学生的空间想象和思维能力,是中档题. 7.设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( ) A.B.C.D.3考点双曲线的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,结合条件可得a=b,从而c==b,即可求出双曲线的离心率.解答解不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,∵|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,∴2ex=3b,(ex)2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab,即9b2﹣4a2﹣9ab=0,∴(3b﹣4a)(3b+a)=0∴a=b,∴c==b,∴e==.故选B.点评本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于中档题. 8.已知在平面直角坐标系中有一个点列P1(0,1),P2(x2,y2),…Pn(xn,yn)(n∈N*).若点Pn(xn,yn)到点Pn+1(xn+1,yn+1)的变化关系为(n∈N*),则|PxxPxx|等于( ) A.21004B.21005C.21006D.21007考点数列递推式.专题推理和证明.分析由题设知P1(0,1),P2(1,1),P3(0,2),P4(2,2),P5(0,4),…,寻找其规律,即可求出|PxxPxx|.解答解由题设知P1(0,1),P2(1,1),P3(0,2),P4(2,2),P5(0,4),…∴|P1P2|=1,|P2P3|=,|P3P4|=2,|P4P5|=,…,∴|PxxPxx|=21006.故答案为21006.点评本题考查合情推理,考查学生对新定义的理解,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
二、填空题本大题共7小题,每小题5分,满分35分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.9.不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|>0的解集为 {x|x>} .考点绝对值不等式的解法.专题计算题;压轴题.分析由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|>0⇔不等式|2x+1|>2|x﹣1|⇔(2x+1)2>4(x﹣1)2即可求得答案.解答解∵|2x+1|﹣2|x﹣1|>0,∴|2x+1|>2|x﹣1|≥0,∴(2x+1)2>4(x﹣1)2,∴x>.∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|>0的解集为{x|x>}.故答案为{x|x>}.点评本题考查绝对值不等式的解法,将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|>0转化为(2x+1)2>4(x﹣1)2是关键,着重考查转化思想与运算能力,属于中档题. 10.若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 (﹣ln2,2) .考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;导数的概念及应用.分析先设P(x,y),对函数求导,由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行,求出x,最后求出y.解答解设P(x,y),则y=e﹣x,∵y′=﹣e﹣x,在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行,∴﹣e﹣x=﹣2,解得x=﹣ln2,∴y=e﹣x=2,故P(﹣ln2,2).故答案为(﹣ln2,2).点评本题考查了导数的几何意义,即点P处的切线的斜率是该点出的导数值,以及切点在曲线上和切线上的应用. 11.若
2、a、b、c、9成等差数列,则c﹣a= .考点等差数列的性质.专题等差数列与等比数列.分析由等差数列的性质可得2b=2+9,解之可得b值,再由等差中项可得a,c的值,作差即可得答案.解答解由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=,又可得2a=2+b=2+=,解之可得a=,同理可得2c=9+=,解得c=,故c﹣a=﹣==故答案为点评本题考查等差数列的性质和通项公式,属基础题. 12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 96 .考点排列、组合及简单计数问题.专题排列组合.分析求出5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号的组数,然后分给4人排列即可.解答解5张参观券全部分给4人,分给同一人的2张参观券连号,方法数为1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号,其它号码各为一组,分给4人,共有4×=96种.故答案为96.点评本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用,正确分组是解题的关键,考查分析问题解决问题的能力. 13.已知圆C(x﹣a)2+(y﹣b)2=1,设平面区域Ω,若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为 37 .考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析根据圆与x轴相切,得到b=1,作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合进行判断即可.解答解作出不等式组对应的平面区域如图∵圆与x轴相切,∴由图象知b=1,即圆心在直线y=1上,若a2+b2最大,则只需要|a|最大即可,由图象知当C位于直线y=1与x+y﹣7=0的交点时,|a|最大,此时两直线的交点坐标为(6,1),此时a=6,故a2+b2的最大值为62+12=37,故答案为37点评本题主要考查线性规划的应用,利用圆和x轴相切,求出b,以及数形结合是解决本题的关键. 14.(极坐标与参数方程)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 (1,1) .考点简单曲线的极坐标方程.专题坐标系和参数方程.分析首先运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,将极坐标方程化为普通方程,然后组成方程组,解之求交点坐标.解答解曲线C1ρsin2θ=cosθ,即为ρ2sin2θ=ρcosθ,化为普通方程为y2=x,曲线ρsinθ=1,化为普通方程为y=1,联立,即交点的直角坐标为(1,1).故答案为(1,1).点评本题考查极坐标方程和普通方程的互化,考查解方程的运算能力,属于基础题 15.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF•DB= 5 .考点与圆有关的比例线段.专题计算题.分析利用相交弦定理得出DE=,再利用△DFE∽△DEB,得出DF•DB=DE2=5.解答解∵AB=6,AE=1,∴EB=5,OE=2.连接AD,则△AED∽△DEB,∴=,∴DE=.又△DFE∽△DEB,∴=,即DF•DB=DE2=5.故答案为5点评此题考查了垂径定理、直角三角形的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理.
三、解答题16.已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f()=0,其中a∈R,θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若f()=﹣,α∈(,π),求sin(α+)的值.考点三角函数中的恒等变换应用;函数奇偶性的性质.专题三角函数的求值.分析
(1)把x=代入函数解析式可求得a的值,进而根据函数为奇函数推断出f
(0)=0,进而求得cosθ,则θ的值可得.
(2)利用f()=﹣和函数的解析式可求得sin,进而求得cos,进而利用二倍角公式分别求得sinα,cosα,最后利用两角和与差的正弦公式求得答案.解答解
(1)f()=﹣(a+1)sinθ=0,∵θ∈(0,π).∴sinθ≠0,∴a+1=0,即a=﹣1∵f(x)为奇函数,∴f
(0)=(a+2)cosθ=0,∴cosθ=0,θ=.
(2)由
(1)知f(x)=(﹣1+2cos2x)cos(2x+)=cos2x•(﹣sin2x)=﹣,∴f()=﹣sinα=﹣,∴sinα=,∵α∈(,π),∴cosα==﹣,∴sin(α+)=sinαcos+cosαsin=.点评本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题.综合运用了所学知识解决问题的能力. 17.某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究,在饲料充足的前提下,兴趣小组对饲养时间x(单位月)与这种鱼类的平均体重y(单位千克)得到一组观测值,如下表xi(月)12345yi(千克)
0.
50.
91.
72.
12.8
(1)在给出的坐标系中,画出关于x,y两个相关变量的散点图.
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程.
(3)预测饲养满12个月时,这种鱼的平均体重(单位千克)(参考公式=,=﹣)考点线性回归方程.专题计算题;概率与统计.分析
(1)利用所给数据,可得散点图;
(2)利用公式,计算回归系数,即可得到回归方程;
(3)x=12代入回归方程,即可得到结论.解答解
(1)散点图如图所示…(3分)
(2)由题设=3,=
1.6,…(4分)∴===
0.58,a=﹣=﹣
0.14…(9分)故回归直线方程为y=
0.58x﹣
0.14…(10分)
(3)当x=12时,y=
0.58×12﹣
0.14=
6.82…(11分)饲养满12个月时,这种鱼的平均体重约为
6.82千克.…(12分)点评本题考查回归分析的初步运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 18.已知平行四边形ABCD(如图1),AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置,使得A1C=4,F是线段A1C的中点(如图2).
(1)求证BF∥面A1DE;
(2)求证面A1DE⊥面DEBC;
(3)求二面角A1﹣DC﹣E的正切值.考点二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.专题空间位置关系与距离;空间角.分析
(1)取A1D中点G,并连接FG,EG,能够说明四边形BFGE为平行四边形,从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A1DE;
(2)先根据已知的边、角值说明△A1DE为等边三角形,然后取DE中点H,连接CH,从而得到A1H⊥DE,根据已知的边角值求出A1H,CH,得出,从而得到A1H⊥CH,从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A1DE⊥面DEBC;
(3)过H作HO⊥DC,垂足为O,并连接A1O,容易说明DC⊥面A1HO,从而得出∠A1OH为二面角A1﹣DC﹣E的平面角,能够求出HO,从而求出tan∠A1OH,即求出了二面角A1﹣DC﹣E的正切值.解答解
(1)证明如图,取DA1的中点G,连FG,GE;F为A1C中点;∴GF∥DC,且;∴四边形BFGE是平行四边形;∴BF∥EG,EG⊂平面A1DE,BF⊄平面A1DE;∴BF∥平面A1DE;
(2)证明如图,取DE的中点H,连接A1H,CH;AB=4,AD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点;∴△DAE为等边三角形,即折叠后△DA1E也为等边三角形;∴A1H⊥DE,且;在△DHC中,DH=1,DC=4,∠HDC=60°;根据余弦定理,可得HC2=1+16﹣4=13,在△A1HC中,,,A1C=4;∴,即A1H⊥HC,DE∩HC=H;∴A1H⊥面DEBC;又A1H⊂面A1DE;∴面A1DE⊥面DEBC;
(3)如上图,过H作HO⊥DC于O,连接A1O;A1H⊥面DEBC;∴A1H⊥DC,A1H∩HO=H;∴DC⊥面A1HO;∴DC⊥A1O,DC⊥HO;∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角;在Rt△A1HO中,,;故tan;所以二面角A1﹣DC﹣E的正切值为2.点评考查中位线的性质,平行四边形的概念,线面平行的判定定理,能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值,直角三角形边的关系,线面垂直、面面垂直的判定定理,二面角的平面角的定义及求法. 19.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n•an+1,n∈N*,其中a1=1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证Tn<.考点数列的求和;数列递推式;数列与不等式的综合.专题等差数列与等比数列.分析
(1)令n=1,得,由a1=1,得a2=2.当n≥2时,推导出,由此利用累乘法能求出an=n.
(2)由bn====<,利用放缩法和不等式的性质能证明Tn<.解答
(1)解∵Sn=n•an+1,n∈N*,∴令n=1,得,由已知a1=1,得a2=2.…(1分)当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=,即,即得,n≥2,…(4分)∴,n≥3,即,n≥3,…(6分)又∵a2=2,∴an=n,又∵a1=1,∴an=n,n∈N*.…(7分)
(2)证明∵an=n,∴bn====<,…(11分)∴Tn=b1+b2+…+bn<=()==,∴Tn<.…(14分)点评本题考查数列的通项公式和不等式的证明,解题时要认真审题,注意累乘法和放缩法的合理运用. 20.已知抛物线C1x2=y,圆C2x2+(y﹣4)2=1.
(1)在抛物线C1上取点M,C2的圆周取一点N,求|MN|的最小值;
(2)设P(x0,y0)(2≤x0≤4)为抛物线C1上的动点,过P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点.求AB的中点D的横坐标的取值范围.考点圆与圆锥曲线的综合.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析
(1)设出M的坐标,由圆C2x2+(y﹣4)2=1可知圆心C2(0,4),写出|MC2|,利用配方法求其最小值,则|MN|的最小值为|MC2|的最小值减去圆的半径;
(2)设出P,A,B的坐标,再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k(x﹣x0),由点到直线的距离公式得到方程,则其两根为PA,PB的斜率,利用根与系数关系得到其两根和,再把y﹣x02=k(x﹣x0)代入y=x2得,,结合x0是此方程的根得到x1=k1﹣x0,x2=k2﹣x0,然后把AB的中点D的横坐标x用含有x0的代数式表示,再利用单调性结合x0的范围求得AB的中点D的横坐标的取值范围.解答解
(1)设M(x,y),由圆C2x2+(y﹣4)2=1可知圆心C2(0,4),则|MC2|===.当且仅当M()时取“=”,∴|MN|的最小值为;
(2)设P(x0,),,再设过点P的圆C2的切线方程为y﹣x02=k(x﹣x0),
①则,即,设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2是上述方程的两根,∴,,将
①代入y=x2得,,由于x0是此方程的根,故x1=k1﹣x0,x2=k2﹣x0,∴AB的中点D的横坐标x===.∵y=是[2,4]上的减函数,且2≤x0≤4,∴y∈,则x.点评本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题,其中涉及到直线与圆相切的问题,考查了学生的逻辑思维能力和运算能力,是压轴题. 21.已知函数f(x)=alnx+x2﹣(1+a)x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明m、n∈N+时,m(m+n)[+++…+]>n.考点利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.专题导数的综合应用.分析
(1)由题意先求函数的定义域,再求导f′(x)=+x﹣(1+a)=,从而讨论导数的正负以确定函数的单调性;
(2)由
(2)知,当a=﹣时,f(x)=﹣lnx+x2﹣x≥0;当且仅当x=1时,等号成立;从而可化出当>1时,>﹣;从而证明.解答解
(1)f(x)=alnx+x2﹣(1+a)x的定义域为{x|x>0},f′(x)=+x﹣(1+a)=;
①当a=1时,f′(x)≥0,f(x)在定义域上是增函数;
②当a>1时,1<x<a时,f′(x)<0,0<x<1或x>a时,f′(x)>0;故f(x)的单调减区间为(1,a);单调增区间为(0,1),(a,+∞);
③当0<a<1时,a<x<1,f′(x)<0,0<x<a或x>1时,f′(x)>0;故f(x)的单调减区间为(a,1);单调增区间为(0,a),(1,+∞);
④当a<0时,0<x<1,f′(x)<0,x>1时,f′(x)>0;故f(x)的单调减区间为(0,1);单调增区间为(1,+∞);
(2)证明由
(1)知,当a=﹣时,f(x)=﹣lnx+x2﹣x≥0;当且仅当x=1时,等号成立;即lnx≤x2﹣x,当>1时,>﹣;故+++…+>﹣+﹣+…+﹣=﹣=;故m(m+n)[+++…+]>n.点评本题考查了导数的综合应用及构造函数证明不等式的方法应用,属于中档题. 。