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2019-2020年高三数学第五次月考试卷理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1页至第2页,第Ⅱ卷第3页至第4页考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回满分150分,考试用时120分钟第Ⅰ卷(选择题60分)注意事项
1、答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚
2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号在试题卷上作答无效
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、设集合,集合,则()
2、已知为虚数单位,复数,则复数的虚部是()、、、、由资料可知y和x呈线性相关关系由表中数据算出线性回归方程中的据此估计使用年限为10年时的维修费用是()万元.、、
4、若某棱锥的三视图单位cm如图所示,则该棱锥的体积等于()A、10cm3B、20cm3C、30cm3D、40cm
35、已知为异面直线,平面,平面直线满足,则以下命题正确的个数是()
(1)∥且∥
(2)且
(3)与相交,且交线垂直于
(4)与相交,且交线平行于、个、个、个、个
6、若,则下列结论中不正确的是
7、已知满足时,的最大值为1,则的最小值为()、、、、
8、如图所示,用模拟方法估计圆周率的程序框图,表示估计结果,则图中空白框内应填入()A、B、C、D、
9、在中,分别是角的对边,若,则的值为、、、、
10、平行四边形中,·=0,沿折成直二面角,且,则三棱锥的外接球的表面积为()、、、、
11、已知椭圆:和圆:过椭圆上一点引圆的两条切线切点分别为.若椭圆上存在点使得则椭圆离心率的取值范围是( )、、、、
12、已知上的函数,其周期为,且时,函数,则函数在区间上的零点的个数为()、、、、第Ⅱ卷(非选择题,共90分)注意事项本卷包括必考题和选考题两部分第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答第22—24题为选考题,考生根据要求作答把答案填写在答题卡上相应位置,在试题卷上作答无效
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13、若展开式的各项系数绝对值之和为1024,则展开式中项的系数为______.
14、设,若曲线与直线,所围成封闭图形的面积为,则=________.
15、从人中选人分别到四个教室打扫卫生,要求每个教室只有一人打扫,每人只打扫一个教室,且这人中甲、乙两人不去教室打扫,则不同的选择方案共有
16、已知数列圆,圆,若圆平分圆的周长,则的所有项的和为
三、解答题(共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分12分)已知数列的前项和且的最大值为.(Ⅰ)确定常数求;(Ⅱ)求数列的前项和
18、(本小题12分)某校社会实践活动中,学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶
(1)指出这组数据的众数和中位数;
(2)若幸福度不低于
9.5分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率;
(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区人数很多任选3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数学期望.
19、(本题满分12分)如图,平面四边形的四个顶点都在球的表面上,为球的直径,为球面上一点,且平面,,点为的中点
(1)证明平面平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20、已知椭圆的左右焦点分别为和由个点、、和组成了一个高为面积为的等腰梯形.1求椭圆的方程;2过点的直线和椭圆交于两点求面积的最大值.
21、已知函数.Ⅰ若求函数在区间上的最值;Ⅱ若恒成立求的取值范围.请考生在第
22、
23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22、(本小题10分)【选修4-1几何证明选讲】如图,是的直径,弦、的延长线相交于点,垂直的延长线与点求证
(1)
(2)
23、(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标,曲线的极坐标方程为(其中为常数).
(1)若曲线与曲线只有一个公共点,求的取值范围;
(2)当时,求曲线上的点与曲线上的点的最小距离
24、(本小题10分)【选修4-5不等式选讲】设关于的不等式1当时解这个不等式;2若不等式解集为求的取值范围;
3、由题意知,即回归直线过点代入回归直线得即回归直线方程为所以当时万元,选
4、该棱锥为四棱锥,底面是边长为5的正方形,高为,所以体积为20,选
5、由于为异面直线,平面平面,则平面与平面必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线,又直线满足,则交线平行于,所以选
6、由,得,,因此正确,所以即不正确,选
7、由限制条件可知,当时,取到最大值,即,,令,则,选
8、由已知可得,在之间,的概率为,则,即选
9、由题可知,,所以,原式,选
10、将三棱锥放在长方体中,体对角线就是三棱锥的外接球的直径,即,所以,即选
11、,,又为圆的切线,所以,所以,四边形为正方形,即,即所以,,选
15、分三类
(1)甲乙都不参加,则
(2)甲、乙有一个参加,则
(3)甲乙都参加,则,所以共有种
16、圆与圆的公共弦为,由圆平分圆的周长可知,其公共弦过圆的圆心,则,的所有项的和为
三、解答题17(Ⅰ)且,当时分
①当时,;分
②当时,;对时也成立分(Ⅱ)由(Ⅰ)分分两式相减分分
18、解
(1)众数
8.6;中位数
8.75;……………………………2分
(2)设表示所取3人中有个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件,则;…………………6分另解的可能取值为0,1,2,
3.则,.所以=.
19、1证明连接为圆直径,且,所以,………2分在中,分别是的中点,所以…………3分,…………4分平面,平面…………5分所以,平面平面…………6分另解向量法等其余解法,酌情给分2以为原点,方向为轴,以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴,建立如图所示坐标系.则,,,,,…………8分由,,可求得平面PBC的法向量为由,,可求得平面PAD的法向量为则,因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………12分
20、解:1由条件得…………1分且所以…………2分又解得.…………4分所以椭圆的方程…………5分
(2)显然直线的斜率不能为0设直线方程为直线与椭圆交于.联立方程消去x得因为直线过椭圆内的点无论m为何值直线和椭圆总相交.=令设易知时函数单调递减函数单调递增,所以当t==1即m=0时取最大值3…………12分
21、解:Ⅰ若则.当时所以函数在上单调递增;当时.所以函数在区间上单调递减所以在区间上有最小值又因为而所以在区间上有最大值…(6分)Ⅱ函数的定义域为.由得.*ⅰ当时不等式*恒成立所以;ⅱ当时
①当时由得即现令则
22、证明
(1)连接因为为圆的直径,所以,又,则四点共圆,所以,-------------分
(2)由
(1)知又,所以,即所以-------------分
23、
(1)曲线可化为曲线可化为若曲线,只有一个公共点,则当直线过时,满足要求,此时并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点,当直线过点时,此时所以满足要求;再接着从过点开始向左下方平行运动直线相切之前总有两个公共点,相切时仍然只有一个公共点,联立,得,解得综上可得的取值范围是或(5分)
(2)当时,直线设上的点为,则曲线上的点到直线的距离为当时取等号,满足,所以所求的最小距离为(10分)
24、
(1)当当不成立当所以,不等式的解集为(5分)
(2)即所以,若原不等式解集为,则(10分)正视图侧视图俯视图5343。