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2019-2020年高三数学第四次模拟考试试题(含解析)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)
1.函数的最小正周期为.【知识点】三角函数的周期性及其求法.【答案解析】解析解函数的最小正周期为.【思路点拨】根据的周期等于,求得结果.
2.已知复数满足(为虚数单位),则的模为.【知识点】复数相等的充要条件.【答案解析】解析解∵复数满足(为虚数单位),∴,∴,故答案为.【思路点拨】先解出复数的式子,再利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位的幂运算性质,进行运算.【典型总结】本题考查复数的模的定义,两个复数代数形式的乘除法,虚数单位的幂运算性质,两个复数相除,分子和分母同时除以分母的共轭复数.
3.抛物线的准线方程是 .【知识点】抛物线的简单性质.【答案解析】解析解由题得,所以所以,故准线方程为.故答案为.【思路点拨】先把其转化为标准形式,求出即可得到其准线方程.4.集合 .【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】解析解因为所以,,则.所以故答案为.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素,所以由可确定,然后就可以确定的值.
5.根据如图所示的伪代码当输入的值为3时最后输出的S的值为▲.【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析解分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累加,当不满足条件i≤3时推出循环.此时S=3+6+12=21,故输出的S值为21.故答案为21.【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累加,当不满足条件i≤3时推出循环,得到S的值即可.
6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度,统计了该运动员在6场比赛中的得分,用茎叶图表示如图所示,则该组数据的方差为.【知识点】数据的方差;茎叶图.【答案解析】5解析解∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是,∴这组数据的方差是,故答案为【思路点拨】根据茎叶图所给的数据,做出这组数据的平均数,把所给的数据和平均数代入求方差的个数,求出六个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差.7.某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人,如果这4名应聘者被录用的机会均等,则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是.【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】解析解某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人,∵这4名应聘者被录用的机会均等,∴A,B两人都不被录用的概率为,∴A,B两人中至少有1人被录用的概率.故答案为.【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率,再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率.8.已知点Px,y满足条件y的最大值为8,则.【知识点】简单线性规划.【答案解析】-6解析解画出可行域将变形为,画出直线平移至点时,纵截距最大,最大,联立方程得,代入−+3×−=8,∴.故答案为.【思路点拨】画出可行域,将目标函数变形,画出相应的直线,将其平移,数学结合当直线移至点时,纵截距最大,最大.
9.在平行四边形ABCD中AD=1E为CD的中点.若则AB的长为.【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法.【答案解析】解析解∵∴,∴,>0,解得=.故答案为.【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出.
10.已知正四面体的棱长为,则它的外接球的表面积的值为 .【知识点】球内接多面体.【答案解析】解析解正四面体扩展为正方体,它们的外接球是同一个球,正方体的对角线长就是球的直径,正方体的棱长为1;对角线长为,∴棱长为的正四面体的外接球半径为.所以外接球的表面积为,故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体,它们的外接球是同一个球,正方体的对角线长就是球的直径,求出直径即可求出外接球半径可求外接球的表面积.11.已知函数是定义在上的奇函数,当时,则不等式的解集是__________.【知识点】函数奇偶性的性质.【答案解析】解析解当x>0时,与题意不符,当时,又∵是定义在上的奇函数,∴∴∴,∴不等式的解集是.故答案为.【思路点拨】是指定义在R上的函数,而题目中只给出了的表达式,故先求出当时,的解析式,后再可解此不等式.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为椭圆E的左顶点,B、C在椭圆E上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆E的离心率等于.【知识点】椭圆的对称性以及简单性质.【答案解析】解析解∵AO是与X轴重合的,且四边形OABC为平行四边形∴BC∥OA,B、C两点的纵坐标相等,B、C的横坐标互为相反数∴B、C两点是关于Y轴对称的.由题知OA=a四边形OABC为平行四边形,所以BC=OA=a可设BC代入椭圆方程解得设D为椭圆的右顶点,因为∠OAB=30°,四边形OABC为平行四边形所以∠COD=30°对C点tan30°=解得a=3b根据a2=c2+b2得a2=c2+e2=e=.故答案为.【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形,可以得出B、C两点是关于Y轴对称,进而得到BC=OA=a;设BC,从而求出|y|,然后由∠OAB=∠COD=30°,利用tan30°=,求得a=3b,最后根据a2=c2+b2得出离心率.13.已知实数满足,则的最大值为.【知识点】基本不等式的应用.【答案解析】4解析解∵,∴则解得∴的最大值为4故答案为4【思路点拨】先对等式进行变形化简,然后利用进行求出的范围,即可求出所求.14.数列满足其中为常数.若实数使得数列为等差数列或等比数列,数列的前项和为,则满足.【知识点】数列的判定;等比数列的前n项和.【答案解析】10解析解
①若数列为等差数列,则得由△=12-4=-3<0知方程无实根,故不存在实数,(3分)
②若数列为等比数列得,解得=1则由累加法得解得显然,当n=1时也适合,故.故存在实数=1,使得数列为等比数列,其通项公式为故,解得,则满足10,故答案为
10.【思路点拨】进行分类考虑
①若数列为等差数列,则得由△=12-4=-3<0知方程无实根,故不存在实数,(3分)
②若数列为等比数列得,解得=1则其通项公式为再由故,解得,可得结论.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.本题满分14分如图所示已知的终边所在直线上的一点的坐标为的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.⑴求的值;⑵若求.【知识点】任意角的三角函数的定义;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数.【答案解析】⑴⑵解析解⑴由三角函数的定义知∴.又由三角函数线知为第一象限角,,.2,∵,∴.∵.又∵,∴=.【思路点拨】(Ⅰ)直接根据三角函数的定义,求出,然后再求;(Ⅱ)由,求出的正弦值,根据,求出.
16.(本题满分14分)如图,ABCD为矩形,CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=4a,BC=CF=2a,P为AB的中点.
(1)求证平面PCF⊥平面PDE;
(2)求四面体PCEF的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】
(1)见解析
(2)a3解析解
(1)因为ABCD为矩形,AB=2BCP为AB的中点,所以三角形PBC为等腰直角三角形,∠BPC=45°.…………………………2分同理可证∠APD=45°.所以∠DPC=90°,即PC⊥PD.…………………………3分又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD内,所以PC⊥DE.………………………4分因为DE∩PD=D,所以PC⊥PDE.…………………………5分又因为PC在平面PCF内,所以平面PCF⊥平面PDE.…………………………7分
(2)因为CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以DE∥CF.又DC⊥CF,所以S△CEF=DC•CF=×4a×2a=4a2.在平面ABCD内,过P作PQ⊥CD于Q,则PQ∥BC,PQ=BC=2a.因为BC⊥CD,BC⊥CF,所以BC⊥平面CEF,即PQ⊥平面CEF,亦即P到平面CEF的距离为PQ=2aVPCEF=VP−CEF=PQ•S△CEF=•4a2•2a=a3.(注本题亦可利用VP−CEF=VB−CEF=VE−BCF=VD−BCF=DC•BC•CF=a3求得)【思路点拨】
(1)证明平面PCF内的直线PC,垂直平面PDE内的两条相交直线DE,PD,就证明了平面PCF⊥平面PDE;
(2)说明P到平面PCEF的距离为PQ=2a,求出S△CEF=DC•CF的面积,然后求四面体PCEF的体积.17.本题满分14分已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点且椭圆上的点到点的最大距离为
8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知圆直线.试证明当点在椭圆上运动时直线与圆恒相交;并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;恒过定点的直线;椭圆的标准方程.【答案解析】
(1)
(2)解析解解:
(1)由得则由解得F
(30)……………2分设椭圆的方程为则解得所以椭圆的方程为.……………6分
(2)因为点在椭圆上运动所以……………8分从而圆心到直线的距离.所以直线与圆恒相交……………10分又直线被圆截得的弦长为12分由于所以则即直线被圆截得的弦长的取值范围是……………14分【思路点拨】
(1)可将直线改写为由于k∈R故即F(3,0)然后再根据题中条件即可求出椭圆C的标准方程.
(2)要证明当点在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交只需证明圆心到直线的距离.而要求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式再结合参数的取值范围即可得解.18.(本题满分16分)如图,直角三角形ABC中,∠B=,AB=1,BC=.点MN分别在边AB和AC上M点和B点不重合,将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△MN,使顶点落在边BC上点和B点不重合.设∠AMN=.1用表示线段的长度,并写出的取值范围;2求线段长度的最小值.【知识点】解三角形的实际应用.【答案解析】12解析解解
(1)设,则.…………2分在Rt△MB中,,…………4分∴.…………5分∵点M在线段AB上,M点和B点不重合,点和B点不重合,∴…7分2在△AMN中,由∠AMN=θ,可得∠ANM=∴根据正弦定理得,∴令,当且仅当时,有最大值则θ=60°时,AN有最小值为,即线段长度的最小值为.【思路点拨】
(1)设,则,在Rt△MBA中,利用三角函数可求;
(2)求线段AN长度的最小值,即求线段AN长度的最小值,再利用三角恒等变换化简,从而求最值.19.设函数(),.1若函数图象上的点到直线距离的最小值为,求的值;2关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;3对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”.设,,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;根的存在性及根的个数判断.【答案解析】
(1)
(2)
(3)解析解
(1)因为,所以,令得,此时,…………2分则点到直线的距离为,即,解之得.…………4分2解法一不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,等价于(1-a2)x2-2x+1>0恰有三个整数解,故1-a2<0,令h(x)=(1-a2)x2-2x+1,由h
(0)=1>0且h
(1)=-a2<0(a>0),所以函数h(x)=(1-a2)x2-2x+1的一个零点在区间(0,1),则另一个零点一定在区间(-3,-2),这是因为此时不等式解集中有-2,-2,0恰好三个整数解,故h(-2)>0,h(-3)≤0,解之得.解法二不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,等价于(1-a2)x2-2x+1>0恰有三个整数解,故1-a2<0,即a>1,∴(1-a2)x2-2x+1=[((1-a)x-1][(1+a)x-1]>0,所以 ,又因为 0<<1,所以 −3≤<−2,解之得.
(3)设,则.所以当时,;当时,.因此时,取得最小值,则与的图象在处有公共点. …………12分设与存在“分界线”,方程为,由,对x∈R恒成立,则在x∈R恒成立.所以成立,因此k=.…(10分)下面证明恒成立.设,则.所以当 时,G′(x)>0;当 x> 时,G′(x)<0.因此x= 时,G(x)取得最大值0,则成立.故所求“分界线”方程为. 【思路点拨】
(1)利用点到直线的距离公式解决即可
(2)关于由不等式解集整数的个数,然后求未知量取值范围的题目,可利用恒等变换,把它转化为求函数零点的问题,即可求解;
(3)设Fx=fx−gx=x2−elnx,利用导数知识判断单调性,求出时,F(x)取得最小值0.设f(x)与g(x)存在“分界线”,方程为,由,对x∈R恒成立,求得k=.再利用导数证明成立,从而得到所求“分界线”方程.20.(本小题满分16分)设等比数列的首项为,公比为(为正整数),且满足是与的等差中项;数列满足().
(1)求数列的通项公式;
(2)试确定的值,使得数列为等差数列;
(3)当为等差数列时,对每个正整数,在与之间插入个2,得到一个新数列.设是数列的前项和,试求满足的所有正整数.【知识点】等比数列的通项公式;数列的应用.【答案解析】
(1)
(2)3满足题意的正整数仅有.解析解
(1)………………………………………………………4分
(2)得,所以则由,得……………………………………………………7分当时,,由,所以数列为等差数列………9分
(3)因为,可得不合题意,合题意…………11分当时,若后添入的数,则一定不符合题意,从而必是数列中的一项,则(2+2+…………+2)+…………=即………………………………………………………………13分记则,1+2+2+…………+2=,所以当时,=1+2+2+…………+2+11+2又则由…………15分综上可知,满足题意的正整数仅有.…………………………………………16分【思路点拨】
(1)由是与的等差中项得到6a3=8a1+a5,根据首项2和公比q,利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值,利用首项和公比即可得到通项公式;
(2)由解出bn,列举出b1,b2和b3,要使数列{bn}为等差数列,根据等差数列的性质可知b1+b3=2b2,把b1,b2和b3的值代入即可求出t的值;
(3)显然,可得不合题意,合题意,然后说明即可.ReadaS0I1WhileI≤3SS+aaa×2II+1EndWhilePrintS第5题CyxOAB(第12题)图15APBCFEDAACNMB。