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2019-2020年高三期末模拟试卷数学
一、填空题1.已知集合,,若,则实数的取值范围是 .2.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,,,12,
13.7,
18.3,20,且总体的中位数为.若要使该总体的方差最小,则的取值分别是3.已知流程图如图所示,为使输出的值为16,则判断框内
①处应填 .4.函数的图象如图所示,则的值为 .5.复数满足是虚数单位,则最大值为 .6.已知向量,,若,则实数= .7.函数在区间上的最大值为 .8.设为两个不重合的平面,是两条不重合的直线,给出下列四个命题
①若,,,,则;
②若相交且不垂直,则不垂直;
③若,则n⊥;
④若,则.其中所有真命题的序号是 .9.设为实数,若,则的范围是______________.10.投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,第一次出现向上的点数为a,第二次出现向上的点数为b,直线的方程为ax-by-3=0,直线的方程为x-2y-2=0,则直线与直线有交点的概率为 .11.设为常数(),若对一切恒成立,则12.用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组,其排列的规律如下图所示已知m个钢珠恰好可以排成每边n个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个;且知若用这m个钢珠去排成每边n个钢珠的正五边形数组时,就会多出9个钢珠,则m= .13.已知⊙A,⊙B:,P是平面内一动点,过P作⊙A、⊙B的切线,切点分别为D、E,若,则P到坐标原点距离的最小值为 .14.定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数总有不等式成立,则称函数为该区间上的上凸函数.类比上述定义,对于数列,如果对任意正整数,总有不等式成立,则称数列为上凸数列.现有数列满足如下两个条件
(1)数列为上凸数列,且;
(2)对正整数,都有,其中.则数列中的第五项的取值范围为.
二、解答题:15.在中,已知.
(1)求角B的度数;
(2)求的取值范围.
16.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,为的中点.
(1)求证平面;
(2)求三棱锥的体积.
17.如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直.直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点且椭圆的离心率.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是椭圆上异于、的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得,连结延长交直线于点,为的中点.试判断直线与以为直径的圆的位置关系.
18.某水库堤坝因年久失修发生了渗水现象当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2每人每天所消耗的维修材料费75元劳务费50元给每人发放50元的服装补贴每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人抢修完成共用n天.(Ⅰ)写出n关于x的函数关系式;(Ⅱ)要使总损失最小应派去多少名工人去抢修总损失=渗水损失+政府支出.19.对于定义在区间D上的函数fx,若存在闭区间[a,b]D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有fx1=c,且对任意x2∈D,当x2[a,b]时,fx2>c恒成立,则称函数fx为区间D上的“平底型”函数.
(1)判断函数f1x=|x-1|+|x-2|和f2x=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;
(2)若函数gx=mx+是区间[-2,+∞上的“平底型”函数,求m和n的值.
20.已知数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证数列中不存在任意三项按原来顺序成等差数列;
(3)若从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列,使它的所有项和满足,这样的等比数列有多少个?通州高级中学2011届高三期末模拟试卷数学试题
一、填空题1.已知集合,,若,则实数的取值范围是 .2.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,,,12,
13.7,
18.3,20,且总体的中位数为.若要使该总体的方差最小,则的取值分别是3.已知流程图如图所示,为使输出的值为16,则判断框内
①处应填 3 .4.函数的图象如图所示,则的值为.5.复数满足是虚数单位,则最大值为 6.6.已知向量,,若,则实数= 2 .7.函数在区间上的最大值为 .8.设为两个不重合的平面,是两条不重合的直线,给出下列四个命题
①若,,,,则;
②若相交且不垂直,则不垂直;
③若,则n⊥;
④若,则.其中所有真命题的序号是 4 .9.设为实数,若,则的范围是______________.10.投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次,第一次出现向上的点数为a,第二次出现向上的点数为b,直线的方程为ax-by-3=0,直线的方程为x-2y-2=0,则直线与直线有交点的概率为 .11.设为常数(),若对一切恒成立,则212.用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组,其排列的规律如下图所示已知m个钢珠恰好可以排成每边n个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个;且知若用这m个钢珠去排成每边n个钢珠的正五边形数组时,就会多出9个钢珠,则m=126 .13.已知⊙A,⊙B:,P是平面内一动点,过P作⊙A、⊙B的切线,切点分别为D、E,若,则P到坐标原点距离的最小值为 .14.定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数总有不等式成立,则称函数为该区间上的上凸函数.类比上述定义,对于数列,如果对任意正整数,总有不等式成立,则称数列为上凸数列.现有数列满足如下两个条件
(1)数列为上凸数列,且;
(2)对正整数,都有,其中.则数列中的第五项的取值范围为.
二、解答题:15.在中,已知.
(1)求角B的度数;
(2)求的取值范围.解
(1)由得由余弦定理得所以角--------------------------------------------------------6分
(2)由
(1)知--------------------------------------------10分由得所以的取值范围为[0,2].-----------
16.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,为的中点.
(1)求证平面;
(2)求三棱锥的体积.解
(1)连接与交于点,连接因为为的中点,为的中点.所以又平面,平面所以平面--------------------------------------------------------8分
(2)由于点到平面的距离为1故三棱锥的体积--------
17.如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直.直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点且椭圆的离心率.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设是椭圆上异于、的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得,连结延长交直线于点,为的中点.试判断直线与以为直径的圆的位置关系.解
(1)将整理得解方程组得直线所经过的定点(0,1),所以.由离心率得.所以椭圆的标准方程为.------------------------------------------6分
(2)设,则.∵,∴.∴∴点在以为圆心,2为半径的的圆上.即点在以为直径的圆上.又,∴直线的方程为.令,得.又,为的中点,∴.∴,.∴.∴.∴直线与圆相切.
18.某水库堤坝因年久失修发生了渗水现象当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2每人每天所消耗的维修材料费75元劳务费50元给每人发放50元的服装补贴每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人抢修完成共用n天.(Ⅰ)写出n关于x的函数关系式;(Ⅱ)要使总损失最小应派去多少名工人去抢修总损失=渗水损失+政府支出.解(Ⅰ)由题意得所以.……………4分(Ⅱ)设总损失为………8分当且仅当时即时等号成立.所以应派52名工人去抢修总损失最小.19.对于定义在区间D上的函数fx,若存在闭区间[a,b]D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有fx1=c,且对任意x2∈D,当x2[a,b]时,fx2>c恒成立,则称函数fx为区间D上的“平底型”函数.
(1)判断函数f1x=|x-1|+|x-2|和f2x=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;
(2)若函数gx=mx+是区间[-2,+∞上的“平底型”函数,求m和n的值.解
(1)对于函数f1x=|x-1|+|x-2|,当x∈[1,2]时,f1x=1.当x<1或x>2时,f1x>|x-1-x-2|=1恒成立,故f1x是“平底型”函数.对于函数f2x=x+|x-2|,当x∈-∞,2]时,f2x=2;当x∈2,+∞时,f2x=2x-2>2.所以不存在闭区间[a,b],使当x[a,b]时,fx>2恒成立.故f2x不是“平底型”函数.
(2)因为函数gx=mx+是区间[-2,+∞上的“平底型”函数,则存在区间[a,b][-2,+∞和常数c,使得mx+=c恒成立.所以x2+2x+n=mx-c2恒成立,即解得或.当时,gx=x+|x+1|.http://www.zxsx.com当x∈[-2,-1]时,gx=-1,当x∈-1,+∞时,gx=2x+1-1恒成立.此时gx是区间[-2,+∞上的“平底型”函数.当时,gx=-x+|x+1|.http://www.zxsx.com当x∈[-2,-1]时,gx=-2x-1≥1,当x∈-1,+∞时,gx=1.此时,gx不是区间[-2,+∞上的“平底型”函数.所以m=1,n=1.
20.已知数列的前项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证数列中不存在任意三项按原来顺序成等差数列;
(3)若从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列,使它的所有项和满足,这样的等比数列有多少个?解
(1)当时,,则.又,,两式相减得,是首项为1,公比为的等比数列,--------------------------------------------------------4分
(2)反证法假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为则,(*)又*式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立假设不成立原命题得证.------------------------------------------------8分
(3)设抽取的等比数列首项为,公比为,项数为,且满足,则又整理得
①将代入
①式整理得经验证得不满足题意,满足题意.综上可得满足题意的等比数列有两个.xyo2-2第4题图第3题图ADBCA1B1C1D1(第16题)EFBxyo2-2第4题图第3题图ADBCA1B1C1D1(第16题)EFB。