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2019-2020年高三模拟试题
(一)数学理含答案参考公式·如果事件、互斥,那么.·表示底面积,表示底面的高,柱体体积,锥体体积.
一、选择题共8小题每小题5分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知全集U=R,集合则A∩∁UB= A.01B.C.12D.
022.设、,若,则下列不等式中正确的是A.B.C.D.
3.设是等差数列若则数列前8项和为()A.128B.80C.64D.
564.已知函数则函数的零点为A.和1B.和0C.D.
5.给出下列三个结论
(1)若命题为假命题,命题为假命题,则命题“”为假命题;
(2)命题“若,则或”的否命题为“若,则或”;
(3)命题“”的否定是“”.则以上结论正确的个数为A.B.C.D.
6.函数的最小正周期是,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的图象A.关于点对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于直线对称
7.已知向量与的夹角为且若且则实数的值为)A.B.C.D.
8.设,,为整数(m0),若和被除得的余数相同,则称和对模同余,记为.若,,则的值可以是A.2011B.2012C.xxD.xx
二、填空题本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,二题全答的,只计算前一题得分.
9.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图如图.根据频率分布直方图推测,这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________.(第9题)(第10题)
10.某几何体的三视图如图,则它的体积是________.
11.的展开式中x3的项的系数是____(用数字作答)
12.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|ax2+bx+c≤0},若A∩B={x|3<x≤4},A∪B=R,则的最小值为____
13.请阅读下列材料若两个正实数a1,a2满足,那么.证明构造函数,因为对一切实数x,恒有,所以,从而得,所以.根据上述证明方法,若n个正实数满足时,你能得到的结论为.(不必证明)
14.坐标系与参数方程选做题已知直线(为参数且)与曲线是参数且,则直线与曲线的交点坐标为.
15.(几何证明选讲选做)如图4,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,则BC的长为.
三、解答题本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知,.⑴求的最小正周期;⑵设、,,,求的值.
17、(本小题满分12分)某校高一年级60名学生参加数学竞赛,成绩全部在40分至100分之间,现将成绩分成以下6段,据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求成绩在区间的频率;
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生,其中成绩在[90,100]内的学生人数为ξ,求ξ的分布列与均值.
18.(本小题满分14分)如图所示的多面体中,是菱形,是矩形,平面,,.1求证平面平面;2若二面角为直二面角,求直线与平面所成的角的正弦值.19.(本小题满分14分)如图7所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且,|BC|=2|AC|.1求椭圆E的方程;2在椭圆E上是否存点Q,使得?若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由.
(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明为定值.20.(本小题满分14分)已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)求的极值;
(3)若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.21.(本小题满分14分)已知数列中,,且.为数列的前项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项的和;
(3)证明对一切,有.东莞市xx届高三理科数学模拟试题一参考答案1.选择题每小题5分,共40分.序号12345678答案ABCDDBDA二.填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
60010.8-
11.
8012.;
13.14.(1,3);
15..三.解答题
16.解⑴……2分,……4分,的最小正周期……5分⑵因为,,……6分,所以,……7分,,,……8分,因为,所以,……9分,所以……10分,……11分,……12分
17.解
(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间的频率为,…………………3分
(2)由已知和
18.(本小题满分14分)
(1)矩形中,--------1分平面,平面平面,-2分同理平面-------3分又平面∥平面------4分
(2)取的中点.由于面∥又是菱形,是矩形,所以,是全等三角形,所以,就是二面角的平面角-------8分解法1(几何方法)延长到,使由已知可得,是平行四边形,又矩形,所以是平行四边形,共面,由上证可知, ,相交于,平面,为所求.由得等腰直角三角形中,可得直角三角形中解法2几何方法)由,,得平面,欲求直线与平面所成的角,先求与所成的角.------12分连结,设则在中,,,用余弦定理知---14分解法3(向量方法)以为原点,为轴、为轴建立如图的直角坐标系,由则,,平面的法向量,-------12分.---14分19.解1依题意知椭圆的长半轴长,则A2,0,设椭圆E的方程为-----------------------2分 由椭圆的对称性知|OC|=|OB|又∵,|BC|=2|AC|∴AC⊥BC,|OC|=|AC|∴△AOC为等腰直角三角形,∴点C的坐标为1,1,点B的坐标为-1,-1,---------------------4分将C的坐标1,1代入椭圆方程得∴所求的椭圆E的方程为----------------------------------------------5分
(2)解法一设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则即点Q在直线上,-----------------------------------------------------------7分∴点Q即直线与椭圆E的交点,∵直线过点,而点椭圆在椭圆E的内部,∴满足条件的点Q存在,且有两个.------------------------------------------------------9分【解法二设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则即,--------
①-------------------------------------------------7分又∵点Q在椭圆E上,∴,-----------------
②由
①式得代入
②式并整理得,-----
③∵方程
③的根判别式,∴方程
③有两个不相等的实数根,即满足条件的点Q存在,且有两个.---------------9分】
(3)解法一设点,由M、N是的切点知,∴O、M、P、N四点在同一圆上,------------------------------------------10分且圆的直径为OP则圆心为,其方程为,------------------------------11分即-----
④即点M、N满足方程
④,又点M、N都在上,∴M、N坐标也满足方程---------------
⑤⑤-
④得直线MN的方程为,------------------------------12分令得,令得,----------------------------------13分∴,又点P在椭圆E上,∴,即=定值.-----------------------------------14分【解法二设点则----------10分直线PM的方程为化简得--------------
④同理可得直线PN的方程为---------------
⑤-------------------11分把P点的坐标代入
④、
⑤得∴直线MN的方程为,------------------------------------------------------12分令得,令得,--------------------------------------------13分∴,又点P在椭圆E上,∴,即=定值.---------------------------------------------14分】20.解
(1),且.又,.在点处的切线方程为,即. ………………………4分
(2)的定义域为,,令得.当时,,是增函数;当时,,是减函数;在处取得极大值,即. ………8分
(3)(i)当,即时,由(Ⅱ)知在上是增函数,在上是减函数,当时,取得最大值,即.又当时,,当时,,当时,,所以,的图像与的图像在上有公共点,等价于,解得,又因为,所以.(ii)当,即时,在上是增函数,在上的最大值为,原问题等价于,解得,又无解综上,的取值范围是. ………………14分21.解
(1)由已知得,,,由题意,即,当n为奇数时,;当n为偶数时,.所以. …………4分
(2)解法一由已知,对有,两边同除以,得,即,于是,==,即,,所以=,,,又时也成立,故,.所以,………8分解法二也可以归纳、猜想得出,然后用数学归纳法证明.
(3)当,有,所以时,有=.当时,.故对一切,有. ………14分50706080100400分数频率/组距
0.
0150.
0050.
0450.02090。