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2019-2020年高三毕业班第二次模拟考试数学(理)试题含答案本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区)、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用2B铅笔将准考证号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上或草稿纸上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式锥体的体积公式,其中S为锥体的底面积,为锥体的高.列联表随机变量.与k对应值表
0.
100.
050.
0250.
0100.
0050.001k
2.
7063.
8415.
0246.
6357.
87910.828
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数是纯虚数(是虚数单位),则实数A.B.3C.1D.1或2.已知集合,若,则实数A.2B.C.D.3.图1分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线,则下列说法不正确的是A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等;B.三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙;C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙;D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好4.若如图2所示的程序框图输出的S是,则在判断框中M表示的“条件”应该是A.B.C.D.5.已知向量,则“且”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知某几何体的三视图(单位cm)如图3所示,则该几何体的体积是A.B.30C.40D.427.已知实数,函数,若,则的值为A.B.C.D.8.设有一组圆.下列四个命题
①存在一条定直线与所有的圆均相切;
②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.其中真命题的个数为A.1B.2C.3D.4
二、填空题本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)9.已知等比数列满足,则▲.10.不等式的解集为▲.11.若双曲线的渐近线方程是,则双曲线的离心率等于▲.12.在的展开式中,的系数为▲.13.直角坐标系xOy中,已知两定点A(1,0),B(1,1).动点满足,则点构成的区域的面积等于▲.()▲14.(坐标系与参数方程选做题)已知C的参数方程为为参数,C在点(0,3)处的切线为l,若以直角坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为▲.
15.(几何证明选讲选做题)如图4,在中,AB=BC,圆O是的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,BD=4,,则AC的长等于▲.
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知锐角△ABC的面积等于,且AB=3,AC=
4.
(1)求的值;
(2)求的值.
17.(本小题满分12分)为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生,得到如下列联表喜欢数学课不喜欢数学课合计男306090女2090110合计50150200
(1)根据独立性检验的基本思想,约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”?
(2)若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人,则男生和女生抽取的人数分别是多少?
(3)从
(2)随机抽取的5人中再随机抽取3人,该3人中女生的人数记为,求的数学期望.
18.(本小题满分14分)如图5,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,且DAB=
60.侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
(1)求证BG平面PAD;
(2)求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值;
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.
19.(本小题满分14分)如图6,圆,P是圆C上的任意一动点,A点坐标为(2,0),线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q.
(1)求点Q的轨迹G的方程;
(2)已知B,D是轨迹G上不同的两个任意点,M为BD的中点.
①若M的坐标为M(2,1),求直线BD所在的直线方程;
②若BD不经过原点,且不垂直于x轴,点O为轨迹G的中心.求证直线BD和直线OM的斜率之积是常数(定值).
20.(本小题满分14分)已知正项数列满足().
(1)证明;
(2)证明;
(3)证明.21.(本小题满分14分)已知函数,.
(1)若a=1,判断函数是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由;
(2)求函数的单调区间;
(3)设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数a的取值范围.数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题题号12345678答案ADBCADCB8题解析圆的圆心(k-1,3k)在直线y=3(x+1)上运动,因此存在定直线y=3(x+1)与所有的圆均相交;因圆的半径在变化,故
①③错,
②正确.对于
④假设存在某个圆经过原点,则(*),下面转化为这个关于k的方程是否有正整数解,可以从k的奇偶性分析
①若k为奇数,则k-1为偶数,3k为奇数,于是为偶数,为奇数,从而方程(*)的左边为奇数,但方程(*)的右边为偶数,矛盾!
②若k为偶数,则k-1为奇数,3k为偶数,于是为奇数,为偶数,从而方程(*)的左边为奇数,但方程(*)的右边为偶数,矛盾!综上知,假设不成立,故
④正确.
二、填空题9.10.[-3,1]11.12.13.414.15.13题解析由,得设M(s,t),则,解得,由,得.
三、解答题
16.(本小题满分12分)解
(1)∵,(2分)∴.(3分)又△ABC是锐角三角形,∴,(4分)∴.(5分)
(2)由余弦定理(7分)∴(8分)由正弦定理得,(9分)又B为锐角,得.(10分)∴(11分)(12分)
17.(本小题满分12分)解
(1)∵,(2分)∴约有
97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.(4分)
(2)男生抽取的人数有(人)(5分)女生抽取的人数各有(人)(6分)
(3)由
(2)可知,男生抽取的人数为2人,女生抽取的人数为3人,所以的取值为1,2,
3.(7分),,,所以的分布列为123(10分)所以的数学期望为(12分)
18.(本小题满分14分)
(1)证明连结BD.因为ABCD为棱形,且∠DAB=60°,所以ABD为正三角形.(1分)又G为AD的中点,所以BG⊥AD.(2分)又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,(3分)∴BG⊥平面PAD.(4分)解
(2)∵△PAD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.∵PG平面PAD,由
(1)可得PG⊥GB.又由
(1)知BG⊥AD.∴PG、BG、AD两两垂直.(5分)故以G为原点,建立如图所示空间直角坐标系,,,(6分)所以,,,,(7分)设平面PCD的法向量为,即令,则(8分)又平面PBG的法向量可为,(9分)设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为,则∴即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为.(10分)
(3)当F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.(11分)取PC的中点F,连结DE,EF,DF,CG,且DE与CG相交于H.因为E、G分别为BC、AD的中点,所以四边形CDGE为平行四边形,故H为CG的中点.又F为CP的中点,所以FH//PG.(12分)由
(2),得PG平面ABCD,所以FH平面ABCD.(13分)又FH平面DEF,所以平面DEF⊥平面ABCD.(14分)
19.(本小题满分14分)解
(1)圆C的圆心为C(-2,0),半径r=6,.(1分)连结,由已知得,(2分)所以.(3分)根据椭圆的定义,点Q的轨迹G是中心在原点,以C、A为焦点,长轴长等于的椭圆,即a=3,c=2,,(4分)所以,点Q的轨迹G的方程为.(5分)
(2)
①设B、D的坐标分别为、,则(6分)两式相减,得,(7分)当BD的中点M的坐标为(2,1)时,有,(8分)所以,即.(9分)故BD所在的直线方程为,即.(10分)
②证明设,且,由
①可知(11分)又(12分)所以(定值).(14分)
20.(本小题满分14分)证明
(1)方法一因为,所以,(1分)故,当且仅当时,等号成立.(2分)方法二因为,所以,(1分)故,当且仅当时,等号成立.(2分)
(2)由
(1)知,又,所以,所以.(4分)
(3)先证当n=1时,不等式显然成立;(5分)假设当n=k()时不等式成立,即.(6分)当n=k+1时,由得,(7分)即当n=k+1时,不等式成立;(8分)综上,对一切都有成立.(9分)再证由及(),得(),所以当n=1时,不等式显然成立;(10分)当时,假设存在k,使得,(11分)则有,即,所以,,┅,,,(12分)与题设矛盾.(13分)所以对一切都有成立.(14分)所以对一切都有成立.
21.(本小题满分14分)解
(1)当时,,其定义域为(0,+).因为,(1分)所以在(0,+)上单调递增,(2分)所以函数不存在极值.(3分)
(2)函数的定义域为.当时,因为在(0,+)上恒成立,所以在(0,+)上单调递减.(4分)当时,当时,方程与方程有相同的实根.(5分)
①当时,0,可得,,且因为时,,所以在上单调递增;(6分)因为时,,所以在上单调递减;(7分)因为时,,所以在上单调递增;(8分)
②当时,,所以在(0,+)上恒成立,故在(0,+)上单调递增.(9分)综上,当时,的单调减区间为(0,+);当时,的单调增区间为与;单调减区间为;当时,的单调增区间为(0,+).(10分)
(3)由存在一个,使得成立,得,即.(11分)令,等价于“当时,”.(12分)因为,且当时,,所以在上单调递增,(13分)故,因此.(14分)。