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试卷类型B2019-2020年高三毕业班综合测试
(二)数学理试题含答案xx.4本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项1.答卷前,考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答漏涂、错涂、多涂的,答案无效5.考生必须保持答题卡的整洁考试结束后,将试卷和答题卡一并交回参考公式锥体的体积公式,其中是锥体的底面积,是锥体的高.
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.对于任意向量、、,下列命题中正确的是A.B.C.D.2.直线与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.取决于的值文3(理1).若(是虚数单位)是关于的方程()的一个解,则A.B.C.D.4.已知函数的图象如图1所示,则其导函数的图象可能是5.若函数的一个对称中心是,则的最小值为A.1B.2C.4D.86.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为A.B.C.D.7.某辆汽车购买时的费用是15万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为
1.5万元.年维修保养费用第一年3000元,以后逐年递增3000元,则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是A.8年B.10年C.12年D.15年8.记实数,,…,中的最大数为,最小数为,则A.B.1C.3D.
二、填空题本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9~13题)9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4.现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本,其中甲型钢笔有12支,则此样本容量.10.已知为锐角,且,则.11.用0,1,2,3,4,5这六个数字,可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数值表示).12.已知函数,点集,,则所构成平面区域的面积为.13.数列的项是由1或2构成,且首项为1,在第个1和第个1之间有个2,即数列为1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列的前项和为,则;.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲选做题)在△中,是边的中点,点在线段上,且满足,延长交于点,则的值为.15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点,点是曲线上任意一点,设点到直线的距离为,则的最小值为.
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)某单位有、、三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为,,.假定、、、四点在同一平面内.
(1)求的大小;
(2)求点到直线的距离.17.(本小题满分12分)已知正方形的边长为2,分别是边的中点.
(1)在正方形内部随机取一点,求满足的概率;
(2)从这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离为,求随机变量的分布列与数学期望.18.(本小题满分14分)等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图3).将△沿折起到△的位置,使二面角成直二面角,连结、(如图4).
(1)求证平面;
(2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.19.(本小题满分14分)已知,设命题函数在区间上与轴有两个不同的交点;命题在区间上有最小值.若是真命题,求实数的取值范围.20.(本小题满分14分)经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为.点、在轨迹上,且关于轴对称,过线段(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹在点处的切线平行,设直线与轨迹交于点、.
(1)求轨迹的方程;
(2)证明;
(3)若点到直线的距离等于,且△的面积为20,求直线的方程.21.(本小题满分14分)设是函数的零点.
(1)证明;
(2)证明.xx年广州市普通高中毕业班综合测试
(二)数学(理科)试题参考答案及评分标准说明1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分.题号12345678答案DACABCBD
二、填空题本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题第一个空2分,第二个空3分.9.5410.11.12.13.;14.15.
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分12分)解
(1)在△中,因为,,,由余弦定理得………………………………………………………2分.……………………………………………………3分因为为△的内角,所以.……………………………………………………4分
(2)方法1因为发射点到、、三个工作点的距离相等,所以点为△外接圆的圆心.……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为,在△中,由正弦定理得,……………………………………………………………7分因为,由
(1)知,所以.所以,即.…………………8分过点作边的垂线,垂足为,…………………………9分在△中,,,所以………………………………………………………11分.所以点到直线的距离为.……………………………………………………………12分方法2因为发射点到、、三个工作点的距离相等,所以点为△外接圆的圆心.……………………5分连结,,过点作边的垂线,垂足为,…………………6分由
(1)知,所以.所以.………………………………………9分在△中,,所以.……………………………………………11分所以点到直线的距离为.………………………………………………12分17.(本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运算求解能力与数据处理能力等,本小题满分12分)解
(1)这是一个几何概型.所有点构成的平面区域是正方形的内部,其面积是.………………………………………………1分满足的点构成的平面区域是以为圆心,为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分,它可以看作是由一个以为圆心、为半径、圆心角为的扇形的内部(即四分之一个圆)与两个直角边为1的等腰直角三角形(△和△)内部构成.……………………………………………………………2分其面积是.………………3分所以满足的概率为.………………………………………………………4分
(2)从这八个点中,任意选取两个点,共可构成条不同的线段.………………………………………………………5分其中长度为1的线段有8条,长度为的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为的线段有8条,长度为的线段有2条.所以所有可能的取值为.……………………………………………………7分且,,,,.………………………………………9分所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望为.…………………………12分18.(本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分)证明
(1)因为等边△的边长为3,且,所以,.在△中,,由余弦定理得.因为,所以.折叠后有.……………………………………………………………………………………2分因为二面角是直二面角,所以平面平面.…………………………3分又平面平面,平面,,所以平面.………………………………………………………………………………4分
(2)解法1假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为.如图,作于点,连结、.………………5分由
(1)有平面,而平面,所以.…………………………………………………6分又,所以平面.…………………………………………………………………………………7分所以是直线与平面所成的角.……………………………………………………8分设,则,.…………………………………………………9分在△中,,所以.………………………………………………10分在△中,,.………………………………………………………11分由,得.…………………………………………………………………………12分解得,满足,符合题意.……………………………………………………………13分所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.………14分解法2由
(1)的证明,可知,平面.以为坐标原点,以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图.…………………………………………………………5分设,则,,.……………………6分所以,,.…………7分所以.……………………………………………………………………………8分因为平面,所以平面的一个法向量为.……………………………………………………9分因为直线与平面所成的角为,所以………………………………………………………………………………10分,……………………………………………………………11分解得.……………………………………………………………………………………………12分即,满足,符合题意.……………………………………………………13分所以在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,此时.………14分19.(本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分)解要使函数在上与轴有两个不同的交点,必须……………………………………………………………………………………………2分即………………………………………………………………………………4分解得.所以当时,函数在上与轴有两个不同的交点.…5分下面求在上有最小值时的取值范围方法1因为…………………………………………………………6分
①当时,在和上单调递减,在上无最小值;……………7分
②当时,在上有最小值;………………………8分
③当时,在上单调递减,在上单调递增,在上有最小值.…………………………………………………………9分所以当时,函数在上有最小值.……………………………………………10分方法2因为…………………………………………………………6分因为,所以.所以函数是单调递减的.………………………………………………7分要使在上有最小值,必须使在上单调递增或为常数.……8分即,即.……………………………………………………………………………………9分所以当时,函数在上有最小值.……………………………………………10分若是真命题,则是真命题且是真命题,即是假命题且是真命题.……………11分所以…………………………………………………………………………12分解得或.………………………………………………………………………13分故实数的取值范围为.…………………………………………………………14分20.(本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)解
(1)方法1设动圆圆心为,依题意得,.…………………………1分整理,得.所以轨迹的方程为.…………………………………………………2分方法2设动圆圆心为,依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等,根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线.……………………………………………………1分且其中定点为焦点,定直线为准线.所以动圆圆心的轨迹的方程为.………………………………………………………2分
(2)由
(1)得,即,则.设点,由导数的几何意义知,直线的斜率为.…………………………3分由题意知点.设点,,则,即.……4分因为,.……………………………5分由于,即.………………………6分所以.…………………………………………………………………………………7分
(3)方法1由点到的距离等于,可知.………………………………8分不妨设点在上方(如图),即,直线的方程为.由解得点的坐标为.……………………………………………………………10分所以.由
(2)知,同理可得.………………………………11分所以△的面积,解得.……………………………………………………………………………………………12分当时,点的坐标为,,直线的方程为,即.…………………………………………13分当时,点的坐标为,,直线的方程为,即.……………………………………14分方法2由点到的距离等于,可知.…………………………………8分由
(2)知,所以,即.由
(2)知,.所以.即.
①由
(2)知.
②不妨设点在上方(如图),即,由
①、
②解得…………………………10分因为,同理.………………………………………………………………………………11分以下同方法1.21.(本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分)证明
(1)因为,,且在上的图像是一条连续曲线,所以函数在内有零点.………………………………………………………………………1分因为,所以函数在上单调递增.………………………………………………………………………2分所以函数在上只有一个零点,且零点在区间内.而是函数的零点,所以.……………………………………………………………………………………………3分
(2)先证明左边的不等式因为,由
(1)知,所以.……………………………………………………………………………………………4分即.所以.…………………………………………………………………………………………5分所以.…………………………………………………6分以下证明.
①方法1(放缩法)因为,…………………………………………7分所以.………………………………………………………………9分方法2(数学归纳法)1)当时,,不等式
①成立.2)假设当()时不等式
①成立,即.那么.以下证明.
②即证.即证.由于上式显然成立,所以不等式
②成立.即当时不等式
①也成立.根据1)和2),可知不等式
①对任何都成立.所以.…………………………………………………………………………9分再证明右边的不等式当时,.由于,,所以.…………………………………………………………………………………………10分由
(1)知,且,所以.……………………………11分因为当时,,…………………………………………………………12分所以当时,.所以当时,都有.综上所述,.…………………………………………………14分xyO图1yxOA.xOB.xOC.xOD.yyy46图2BCED图4图3ABCDEABCODABCODABCDEFGH……10分ABCDEBCEDHPBCEDHxyzPABCDOxylE。