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昌平区xx-xx学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)2019-2020年高三第一学期期末质量抽测数学文试题含解析考生须知1.本试卷共6页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分1.答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写1.答题卡上第I卷选择题必须用2B铅笔作答,第II卷非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时可以使用2B铅笔请按照题号顺序在各题目的答题区内作答,未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分1.修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液保持答题卡整洁,不要折叠、折皱、破损不得在答题卡上做任何标记1.考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)若集合,,则A.B.C.D.或【考点】集合的运算【试题解析】或,,所以【答案】B
(2)下列函数中,为偶函数的是()A.B.C.D.【考点】函数的奇偶性【试题解析】因为偶函数的图像关于y轴对称,所以结合函数图像知是偶函数【答案】D
(3)已知向量,,若,则的值为A.B.C.D.【考点】平面向量坐标运算【试题解析】若,则【答案】C
(4)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是A.36B.18C.12D.6【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】由题知【答案】D
(5)设,则的大小关系为A.B.C.D.【考点】对数与对数函数指数与指数函数【试题解析】因为所以【答案】C
(6)在等比数列中,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】在等比数列中,,则成立,反过来若,则,故不成立,所以“”是“”的充分不必要条件【答案】A
(7)若满足且的最大值为6,则的值为A.B.1C.D.【考点】线性规划【试题解析】作可行域 A-2,1,Bk,k+3,Ck,-k-1.由图知当目标函数线过B点时,目标函数值最大,为【答案】B
(8)xx年12月7日,北京首次启动空气重污染红色预警.其应急措施包括全市范围内将实施机动车单双号限行(即单日只有单号车可以上路行驶,双日只有双号车可以上路行驶),其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上,再停驶车量总数的30%.现某单位的公务车,职工的私家车数量如下表公务车私家车单号(辆)10135双号(辆)20120根据应急措施,12月8日,这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有A.154辆B.149辆C.145辆D.140辆【考点】函数综合【试题解析】因为12月8日是双号,所以停驶的私家车有135辆,停驶的公务车有10+辆所以12月8日,这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有135+19=154辆【答案】A第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)已知复数,则____________.【考点】复数乘除和乘方【试题解析】所以【答案】
(10)若直线与圆相切,则的值是_______.【考点】直线与圆的位置关系【试题解析】由题知圆心为(2,-3),半径为因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离为,解得的值是-12或-2【答案】-12或-2
(11)执行如图所示的程序框图,输出的值为______【考点】算法和程序框图【试题解析】由图知s=1,i=1,是;i=2,s=是;i=3,s=是;i=4,s=否,故输出的S值为4.【答案】4
(12)若双曲线的左支上一点到右焦点的距离是6,则点到左焦点的距离为.【考点】双曲线【试题解析】由双曲线的定义知【答案】2
(13)在中,,,,则;.【考点】倍角公式余弦定理【试题解析】由余弦定理得所以A=B,所以【答案】3;
(14)某大学进行自主招生时,要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示从这次测试看,甲、乙两位同学,总成绩排名更靠前的是___________;甲、丙两位同学,逻辑思维成绩排名更靠前的是____________.【考点】函数图象【试题解析】显然,由图1知甲、乙两位同学中总成绩排名更靠前的是乙;由图
1、2知甲、丙两位同学中逻辑思维成绩排名更靠前的是甲【答案】乙;甲
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15(本小题满分13分)已知函数(I)求的最小正周期;(II)求的单调递增区间.【考点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】1所以最小正周期2由得所以函数的单调递增区间是【答案】见解析
(16)(本小题满分13分)在等差数列中(I)求数列的通项公式;(II)设数列,且数列是等比数列.若求数列的前项和.【考点】公式法,分组求和等差数列【试题解析】 (I)设等差数列的公差为,由得所以II由得.得.因为是等比数列,,所以所以所以【答案】见解析17(本小题满分13分)小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图(图1)及相应的消耗能量数据表(表1)如下图1表1(Ⅰ)求小王这8天“健步走”步数的平均数;(Ⅱ)从步数为17千步,18千步19千步的几天中任选2天,求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.【考点】古典概型样本的数据特征【试题解析】I小王这8天每天“健步走”步数的平均数为(千步).(II)设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件“健步走”17千步的天数为2天,记为“健步走”18千步的天数为1天,记为“健步走”19千步的天数为2天,记为5天中任选2天包含基本事件有共10个.事件包含基本事件有共3个.所以【答案】见解析18(本小题满分14分)如图,在直三棱柱中,,为中点.与交于点O.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)求证平面;(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得?请说明理由.【考点】垂直平行【试题解析】(Ⅰ)证明:连结.在直三棱柱中因为所以四边形为正方形所以为中点.因为为中点,所以为的中位线所以因为平面平面所以平面.……………………4分(Ⅱ)在直三棱柱中所以平面所以在正方形中所以平面.(Ⅲ)存在取中点连结.所以.所以.因为为中点所以.因为所以平面.所以.所以当为中点时.【答案】见解析19(本小题满分13分)已知椭圆C的离心率为点在椭圆C上.(I)求椭圆C的方程;(II)若直线与椭圆C交于AB两点,线段AB中点为M点O为坐标原点.证明直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【考点】圆锥曲线综合椭圆【试题解析】(I)由题意得解得.所以椭圆的方程为(Ⅱ)法一设,,.将代入得,故,.于是直线的斜率,即.所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.法二设,,.则由得则即.所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.【答案】见解析20(本小题满分14分)已知函数.Ⅰ求函数在点处的切线方程;(Ⅱ)证明当时,;(Ⅲ)设,若存在最大值,且当最大值大于时,确定实数的取值范围.【考点】导数的综合运用【试题解析】(Ⅰ)解定义域为,.由题意,,,所以函数在点处的切线方程为.…………………4分(Ⅱ)证明当时,,可转化为当时,恒成立.设,所以.当时,,所以在上为减函数,所以,所以当时,成立.(Ⅲ)设,定义域为,所以.⑴当时,对于任意的,,所以在上为增函数,所以无最大值,即不符合题意.⑵当时,令,即,则.所以,变化如下00↗极大值↘因为.所以成立,即,令,,所以,即在上为增函数.又因为,所以当时,.所以,时,命题成立.综上,的取值范围为.【答案】见解析。