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文本内容:
2019-2020年人教A版高一数学必修一2-1-1指数与指数幂的运算教案
一、教学目标1.知识与技能1理解根式的概念,掌握n次方根的性质;2理解分数指数幂的含义,掌握分数指数幂和根式之间的互化;3掌握有理指数幂的运算性质;4培养学生观察分析、抽象等的能力.2.过程与方法1通过指数幂概念及其运算性质的拓展,引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性;2通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系,培养学生能辨证地分析问题、认识问题.3.情感、态度价值观1通过根式及分数指数幂概念的学习,使学生认清基本概念的来龙去脉,加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识,体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣;2通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程,使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.二.重点难点 重点n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质.难点根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算.
三、教学方法问题引导,主动探究,启发式教学.
四、教学过程
(1)问题探究问题1我们知道,若x2=9,则x=±3,若x3=8,则x=2,试探究,若xn=an1,n∈N*,则x应该怎么表示?【提示】 1当n为奇数时,x=2当n为偶数时,若a0,则x=±;若a=0,则x=0;若a0,则这样的x不存在.2概念解析根式及相关概念1a的n次方根的定义如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.2a的n次方根的表示x=3根式.2.根式的性质n>1,且n∈N*1n为奇数时,=a.2n为偶数时,=|a|=3=
0.4负数没有偶次方根.问题2.根据n次方根的定义和数的运算,得出以下式子
①==a2=aa0;
②==a4=aa0;
③==a3=aa0.类比以上三个式子的变形,你能给出a0,m,n∈N*,且n1的变形过程吗?【提示】 ==aa0,m,n∈N*,且n1.
2.能用分数指数幂表示吗?如何表示?【提示】 可以.=2-.归纳总结
1.正数的分数指数幂的意义正数的分数指数幂正数的正分数指数幂规定a=a>0,m,n∈N*,且n>1正数的负分数指数幂规定a-=a>0,m,n∈N*,且n>1规定0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义
2.有理数指数幂的运算性质1aras=ar+sa>0,r,s∈Q.2ars=arsa>0,r,s∈Q.3abr=arbra>0,b>0,r∈Q.3.无理数指数幂无理数指数幂aαa>0,α是无理数是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性例
1.求下列各式的值1;2;3;
4.【思路探究】 →【自主解答】 1=-
4.2=|-9|=
9.3=|3-π|=π-
3.4=|a-b|=归纳总结1.解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.2.n与的意义不同.对任意a∈R都有意义;当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|=跟踪训练1化简2++=________.【解析】 由题意,首先有a-1≥0,即a≥
1.2=a-1=|1-a|=a-1,=1-a.∴2++=a-1+a-1+1-a=a-
1.【答案】 a-1例
2. 用分数指数幂表示下列各式a0,b01·;2;3·;42·.【思路探究】 熟练应用=a求解,对于所求根式中含有多重根号的,要由里向外,用分数指数幂写出,再用性质化解.【自主解答】 1原式=a·a=a+=a.2原式=a·a·a=a++=a.3原式=a·a=a+=a.4原式=a2·ab3=a·ab=a+b=ab.归纳总结;1.分数指数幂与根式可以相互转化,其化简的依据是公式a=a0,m,n∈N*,且n1.2.当所要化简的根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后用性质进行化简.3.化简过程中要明确字母的范围,以免出错.跟踪训练
2.下列是根式的化成分数指数幂,是分数指数幂的化成根式的形式式中字母都是正数1;2;3x-;4xy-.【解】 1=x=x
2.2==x-.3x-==.4xy-=×=.例
3. 化简求值
10.5+
0.1-2+--3π0+;2-+
0.002--10-2-1+-0;3a-2b-3·-4a-1b÷12a-4b-2c;42÷4×
3.【思路探究】 直接运用分数指数幂的运算性质求解.在计算过程中,要先把小数化为分数,再把负指数化为正指数,进行合理的运算,得出最简结果.【自主解答】 1原式=++--3+=+100+-3+=
100.2原式=-1-×-+--+1=-+500-10+2+1=+10-10-20+1=-.3原式=-4a-2-1b-3+1÷12a-4b-2c=-a-3--4b-2--2c-1=-ac-1=-.4原式=2a÷4ab×3b=a-b-·3b=ab.归纳总结1.进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.2.在明确根指数的奇偶或具体次数时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算.3.对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.跟踪训练3化简下列各式其中字母均表示正数
10.064--0+[-23]-+16-
0.75+|-
0.01|;22ab-6ab÷-3ab.【解】 1原式=[
0.43]--1+-2-4+2-3+[
0.12]=
0.4-1-1+++
0.1=.2原式=[2×-6÷-3]a+-b+-=4ab0=4a.典例解析整体代换思想在条件求值中的应用典例 12分已知a+a-=3,求下列各式的值1a+a-1;2a2+a-2;
3.【思路点拨】 12利用整体代入思想,寻找“a+a-”与a+a-1及a2+a-2之间的关系.2利用立方差公式求解即可.【规范解答】 1∵a+a-=3,∴a+a-1=a+a-2-2=
7.4分2由a+a-1=7得a2+a-2=a+a-12-2=
47.8分3==a+a-1+1=
8.12分归纳总结:本题是已知代数式的值求其他代数式的值,通常又称为“知值求值”,解决此类问题的步骤是1审题从整体上把握已知条件和所求代数式的特点;2化简化简已知条件与所求代数式;3求值把条件代入求值.
五、当堂检测1.将5写成根式,正确的是 A. B. C. D.【答案】 D2.下列说法
①16的4次方根是2;
②的运算结果是±2;
③当n为大于1的奇数时,对任意a∈R有意义;
④当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义.其中正确的是 A.
①③④B.
②③④C.
②③D.
③④【答案】 D3.5=________;=________;=________.【答案】 -5 -5 54.化简下列各式1·÷;2--
0.5+
0.008-×.【解】 1原式=a·a÷a=a·a·a-=a+-=a.2原式=-+×=-+25×=-+2=.
六、课堂小结
1.我们今天主要学习了与根式有关的哪些内容?
七、课后作业课时练与测
八、教学反思。