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2019-2020年人教A版高中数学高三一轮第八章平面解析几何8-2两直线的位置关系《教案》【教学目标】
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【重点难点】
1.教学重点掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离;
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二考纲传真:
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.真题再现;1.xx·天津高考已知过点P22的直线与圆x-12+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a= A.- B.1 C.2 D.【解析】 由题意知圆心为10,由圆的切线与直线ax-y+1=0垂直,可设圆的切线方程为x+ay+c=0,由切线x+ay+c=0过点P22,∴c=-2-2a,∴=,解得a=
2.【答案】 C1.xx·湖北卷直线l1y=x+a和l2y=x+b将单位圆C x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=2.【解析】依题意,圆心C0,0到两直线l1y=x+a,l2y=x+b的距离相等,且每段弧长等于圆周的,即==1×sin45°=,得|a|=|b|=1,故a2+b2=
2.知识梳理知识点
1、直线与直线的位置关系1.平行与垂直.1若直线l1和l2有斜截式方程l1y=k1x+b1,l2y=k2x+b2,则
①直线l1∥l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2.
②直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1.2若l1和l2都没有斜率,则l1与l2平行或重合.3若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则3l1⊥l2.知识点2 两直线的交点知识点3 三种距离P1x1,y1,P2x2,y2两点之间的距离|P1P2|=点P0x0,y0到直线l Ax+By+C=0的距离d=平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=1.必会结论;1直线A1x+B1y+C1+λA2x+B2y+C2=0过定点P,则定点P即为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点.2点Px0,y0关于Aa,b的对称点为P′2a-x02b-y0.3设点Px0,y0关于直线y=kx+b的对称点为P′x′,y′,则有可求出x′,y′.2.必清误区;在运用两平行直线间的距离公式d=时,一定要注意将两方程中x,y的系数化为相同的形式.考点分项突破考点一直线的交点1当0k时,直线l1kx-y=k-1与直线l2ky-x=2k的交点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2过点P30作一直线l,使它被两直线l12x-y-2=0和l2x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,求此直线l的方程.【解析】 1由得又0k,则0,
0.即x0,y0,从而两直线的交点在第二象限.【答案】 B2设直线l与l1的交点为Ax0,y0,则直线l与l2的交点B6-x0,-y0由题意知解得即A,从而直线l的斜率k==8,直线l的方程为y=8x-3,即8x-y-24=
0.跟踪训练
1.经过直线l13x+2y-1=0和l25x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l33x-5y+6=0的直线l的方程为________.【解析】 由方程组得l1,l2的交点坐标为-12,∵l3的斜率为,∴l的斜率为-,则直线l的方程为y-2=-x+1,即5x+3y-1=
0.【答案】 5x+3y-1=0归纳;1.两直线交点的求法;求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.求过两直线交点的直线方程的方法;求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.考点二:三种距离公式的应用●命题角度1 两点间距离公式及应用1.已知点P在x轴上,且点P与点A512的距离为13,则点P的坐标为 A.00或010B.00或50C.00或100D.00或05【解析】 设Px0,则|PA|==
13.解得x=0,或x=10,故选C.【答案】 C2.在直角三角形ABC中,C00,A0,a,Bb0,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则= A.2B.4C.5D.10【解析】 由题意知,D,P,则|PA|2=+,|PB|2=+,|PC|2=+.所以|PA|2+|PB|2=a2+b2,从而=10,故选D.【答案】 D●命题角度2 点到直线的距离公式及应用3.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A13到直线l的距离为,则直线l的方程为________.【解析】 当直线l过原点时,设其方程为y=kx,由=,解得k=-7或k=1,直线l的方程为y=-7x或y=x,当直线l不过原点时,由题意,设其方程为+=1,即x+y-a=0,由=得a=6或a=
2.此时直线l的方程为x+y-2=0或x+y-6=
0.【答案】 y=x或y=-7x或x+y-2=0或x+y-6=04.经过点P12引直线,使A23,B0,-5到它的距离相等,则直线方程为________.【解析】 法一 若直线斜率不存在,则直线方程为x=1,符合要求.若直线斜率存在,设其方程为y-2=kx-1,即kx-y+2-k=
0.由题意知=,即|k-1|=|k-7|,解得k=4,此时直线方程为4x-y-2=
0.法二 由题意,所求直线经过点23和0,-5的中点或与点23和0,-5所在直线平行.1当直线经过点A23和B0,-5的中点1,-1时,所求直线方程为x=
1.2当所求直线与直线AB平行时,由kAB=4得所求直线的方程y-2=4x-1即4x-y-2=
0.【答案】 4x-y-2=0或x=1●命题角度3 两平行线间的距离公式及应用5.若动点P1x1,y1,P2x2,y2分别在直线l1x-y-5=0,l2x-y-15=0上移动,则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是 A.B.5C.D.15【解析】 由题意知l1∥l2,则P1P2的中点P在与直线l1,l2平行,且到l1,l2的距离相等的直线l上.设直线l的方程为x-y+C=0,则=,解得C=-10,则直线l的方程为x-y-10=
0.P1P2的中点P到原点的距离的最小值就是原点到直线l的距离,且d==5,故选B.【答案】 B归纳距离的求法1.点到直线的距离;可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.2.两平行直线间的距离;1利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;2利用两平行线间的距离公式.在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x,y的系数分别相等.考点三:对称问题
1.已知直线l2x-3y+1=0,点A-1,-2.求1点A关于直线l的对称点A′的坐标;2直线m3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;3直线l关于点A-1,-2对称的直线l′的方程.【解】 1设A′x,y,由已知得解得∴A′.2在直线m上取一点,如M20,则M20关于直线l的对称点必在m′上.设对称点为M′a,b,则解得M′.设m与l的交点为N,则由得N43.又∵m′经过点N43,∴由两点式得直线方程为9x-46y+102=
0.3由题意知,l′∥l,设直线l′的方程为2x-3y+C=0C≠1,则点A-1,-2到两平行线的距离相等.所以=即=,解得C=-
9.因此直线l′的方程为2x-3y-9=
0.跟踪训练1.平面直角坐标系中,直线y=2x+1关于点11对称的直线l的方程是 A.y=2x-1 B.y=-2x+1C.y=-2x+3D.y=2x-3【解析】 由题意,l与直线y=2x+1平行,设l的方程为2x-y+C=0C≠1,则点11到两平行线的距离相等.∴=,解得C=-
3.因此所求直线l的方程为y=2x-
3.【答案】 D2.如图,已知A40,B04,从点P20射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是 A.3B.6C.2D.2【解析】 直线AB的方程为x+y=4,点P20关于直线AB的对称点为D42,关于y轴的对称点为C-20.则光线经过的路程为|CD|==
2.【答案】 C归纳1.中心对称问题的两个类型及求解方法1点关于点对称若点Mx1,y1及Nx,y关于Pa,b对称,则由中点坐标公式得进而求解.2直线关于点的对称,主要求解方法是
①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;
②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的两个类型及求解方法1点关于直线的对称若两点P1x1,y1与P2x2,y2关于直线l Ax+By+C=0对称,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标x2,y2其中B≠0,x1≠x2.2直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.易错辨析求直线方程时忽视斜率不存在的情况致误
1.已知直线l过点P510,且原点到它的距离为5,则直线l的方程为__________________________.[错误解法] 设直线l的方程为y-10=kx-5,即kx-y+10-5k=0,由已知得=5,解得k=,故直线l的方程为x-y+10-=0,即3x-4y+25=
0.[错解分析] 分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示上面解题过程没有讨论直线l斜率不存在的情况,导致漏解.[自我纠正] 当直线l的斜率不存在时,直线方程是x=5,满足条件.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-10=kx-5,即kx-y-5k+10=
0.由已知得=5,解得k=,故直线l的方程为x-y-+10=0,即3x-4y+25=
0.综上知,直线l的方程为x=5或3x-4y+25=
0.【答案】 x=5或3x-4y+25=0学生通过对高考真题的解决,发现自己对知识的掌握情况学生通过对高考真题的解决,感受高考题的考察视角教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构引导学生通过对基础知识的逐点扫描,来澄清概念,加强理解从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题,教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构通过对考纲的解读和分析让学生明确考试要求,做到有的放矢由常见问题的解决和总结,使学生形成解题模块,提高模式识别能力和解题效率教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构引导学生对所学的知识进行小结,由利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强理解记忆,提高解题技能环节三课堂小结
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.学生回顾,总结.引导学生对学习过程进行反思,为在今后的学习中,进行有效调控打下良好的基础环节四课后作业学生版练与测学生通过作业进行课外反思,通过思考发散巩固所学的知识。