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文本内容:
2019-2020年人教A版高中数学高三一轮第八章平面解析几何8-5椭圆《教案》【教学目标】
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
2.了解椭圆的简单应用.
3.理解数形结合思想.【重点难点】
1.教学重点掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质;
2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二考纲传真:
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
2.了解椭圆的简单应用.
3.理解数形结合思想.真题再现;
1.xx·全国Ⅲ,11已知O为坐标原点,F是椭圆C+=1a>b>0的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 A.B.C.D.解析 设M-c,m,则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以=,a=3c,e=.答案 A
2.xx·大纲全国,6已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点为F
1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为 A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1解析 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,∴△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,∴a=.又e=,∴c=
1.∴b2=a2-c2=2,∴椭圆的方程为+=1,故选A.答案 A
3.xx·全国Ⅰ,10已知椭圆E+=1ab0的右焦点为F3,0,过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为1,-1,则E的方程为 A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 设Ax1,y1,Bx2,y2,∵A,B在椭圆上,∴eq\b\lc\{\a\vs4\al\co1\fxa2+\fyb2=1,
①\fxa2+\fyb2=1
②①-
②,得+=0,即=-,∵AB的中点为1,-1,∴y1+y2=-2,x1+x2=2,而=kAB==,∴=.又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=
9.∴椭圆E的方程为+=1,故选D.答案 D知识梳理知识点1 椭圆的定义1.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数1若ac,则M点的轨迹为椭圆;2若a=c,则M点的轨迹为线段F1F2;3若ac,则M点不存在.知识点2 椭圆的标准方程和几何性质标准方程+=1ab0+=1ab0图形性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴坐标轴;对称中心原点顶点A1-a0,A2a0B10,-b,B20,bA10,-a,A20,aB1-b0,B2b0离心率e=,且e∈01轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2ca,b,c的关系a2=b2+c21.必会结论;1点Px0,y0与椭圆+=1的关系
①点Px0,y0在椭圆内⇔+
1.
②点Px0,y0在椭圆上⇔+=
1.
③点Px0,y0在椭圆外⇔+
1.2若P为椭圆+=1上任一点,F为其一个焦点,O是椭圆的中心坐标原点,则有a-c≤|PF|≤a+c,b≤|PO|≤a.2.必清误区;在设椭圆+=1ab0上点的坐标为Px,y时,则有|x|≤a,这往往在求与点P有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因考点分项突破考点一椭圆的定义与标准方程
1.xx·大纲全国卷已知椭圆C+=1ab0的左、右焦点为F
1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为 A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解析】 由e=得=
①.又△AF1B的周长为4,由椭圆定义,得4a=4,得a=,代入
①得c=1,∴b2=a2-c2=2,故C的方程为+=
1.【答案】 A2.已知两圆C1x-42+y2=169,C2x+42+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】 设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=13-r+3+r=16,∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=162c=8,故所求的轨迹方程为+=1,故选D.【答案】 D3.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P30,则椭圆的方程为________.【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时,a=3,则b=
1.从而椭圆方程为+y2=1,当椭圆的焦点在y轴上时,b=3,则a=9,从而椭圆方程为+=
1.【答案】 +y2=1或+=1归纳;1.求椭圆方程的方法1求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义时,一定要注意常数2a|F1F2|这一条件.2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1m0,n0,m≠n的形式.2.焦点三角形中的常用结论椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|;通过整体代入可求其面积等,常用到的结论有1|PF1|+|PF2|=2a;24c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ;3当P为短轴端点时,θ最大.考点二:椭圆的几何性质
1.xx·江西高考设椭圆C+=1a>b>0的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于________.【解析】 由题意,F1-c0,F2c0,其中c2=a2-b
2.不妨设点B在第一象限,由AB⊥x轴,∴B,A.由于AB∥y轴,|F1O|=|OF2|,∴点D为线段BF1的中点,则D,由于AD⊥F1B,知·=0,则·=2c2-=0,即2ac=b2,∴2ac=a2-c2,又e=,且e∈01,∴e2+2e-=0,解得e=e=-舍去.【答案】 跟踪训练1.设F1,F2分别是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为 A.B.C.D.【解析】 如图,设PF1的中点为M,连接PF
2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=,则e==·=.故选A.【答案】 A2.xx·福建高考已知椭圆E+=1ab0的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是 A.B.C.D.【解析】 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a=2|AF|+|BF|=8,所以a=
2.又d=≥,所以1≤b2,所以e===.因为1≤b2,所以0e≤,故选A.【答案】 A归纳求椭圆离心率的方法1.直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.2.列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程或不等式求解.考点三:直线与圆锥曲线的位置关系
1.xx·安徽高考设F1,F2分别是椭圆E x2+=10b1的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.2xx·陕西高考已知椭圆E+=1ab0的半焦距为c,原点O到经过两点c0,0,b的直线的距离为c.
①求椭圆E的离心率;
②如图851,AB是圆M x+22+y-12=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.文2xx·陕西高考如图,椭圆E+=1ab0经过点A0,-1,且离心率为.
①求椭圆E的方程;
②经过点11,且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q均异于点A,证明直线AP与AQ的斜率之和为
2.【解析】 1不妨设点A在第一象限,设半焦距为c,则F1-c0,F2c0.∵AF2⊥x轴,则Ac,b2其中c2=1-b20b1.又|AF1|=3|F1B|,得=3,设Bx0,y0,则-2c,-b2=3x0+c,y0,∴x0=-且y0=-,代入椭圆x2+=1,得25c2+b2=9
①又c2=1-b2,
②联立
①②,得b2=.故椭圆E的方程为x2+y2=
1.【答案】 x2+y2=12
①过点c0,0,b的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.
②法一 由
①知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b
2.
①依题意,圆心M-21是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=kx+2+1,代入
①得1+4k2x2+8k2k+1x+42k+12-4b2=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b
2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=,解得b2=
3.故椭圆E的方程为+=
1.法二 由
①知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b
2.
②依题意,点A,B关于圆心M-21对称,且|AB|=.设Ax1,y1,Bx2,y2,则x+4y=4b2,x+4y=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4x1-x2+8y1-y2=
0.易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率kAB==.因此直线AB的方程为y=x+2+1,代入
②得x2+4x+8-2b2=
0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b
2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=,解得b2=
3.故椭圆E的方程为+=
1.跟踪训练
1.xx·全国卷Ⅱ设F1,F2分别是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.1若直线MN的斜率为,求C的离心率;2若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.【解】 1根据c=及题设知M,由kMN=,得=,则2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2舍去.故C的离心率为.2由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D02是线段MF1的中点,故=
4.于是b2=4a.
①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设Nx1,y1,由题意知y10,则即代入C的方程,得+=
1.
②将
①及c=代入
②得+=
1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=
2.归纳1.解决直线与椭圆有关问题的求解策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.2.弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为Ax1,y1,Bx2,y2,则|AB|==k为直线斜率.提醒利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.学生通过对高考真题的解决,发现自己对知识的掌握情况学生通过对高考真题的解决,感受高考题的考察视角教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构引导学生通过对基础知识的逐点扫描,来澄清概念,加强理解从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题,教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构通过对考纲的解读和分析让学生明确考试要求,做到有的放矢由常见问题的解决和总结,使学生形成解题模块,提高模式识别能力和解题效率教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构引导学生对所学的知识进行小结,由利于学生对已有的知识结构进行编码处理,加强理解记忆,提高解题技能环节三课堂小结
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
2.了解椭圆的简单应用.
3.理解数形结合思想.学生回顾,总结.引导学生对学习过程进行反思,为在今后的学习中,进行有效调控打下良好的基础环节四课后作业学生版练与测学生通过作业进行课外反思,通过思考发散巩固所学的知识。