还剩4页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年人教A版高中数学选修4-4第一讲坐标系复习小结教案考情分析本节内容在高考中主要考查对极坐标概念的理解,点的极坐标和直角坐标的区别和相互转化,考查直线和圆极坐标方程的理解和应用,并且熟练进行转化基础知识
1.平面直角坐标系下的伸缩变换设点Px,y是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点Px,y对应到点P′x′,y′,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系在平面内取一个定点O,由O点引一条射线Ox,一个单位长度及计算角度的正方向通常取逆时针方,合称为一个极坐标系.O点称为极点,Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画如图所示.这两个数组成的有序数对(称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角.3.极坐标与直角坐标的转化设M为平面上的一点,它的直角坐标为x,y,极坐标为ρ,θ.由图可知下面的关系式成立顺便指出,上式对ρ0也成立.这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
4、空间直角坐标与柱坐标的变换公式是空间直角坐标与球坐标的变换公式是题型一 极坐标和直角坐标的互化【例1】设点A的极坐标为,直线l过点A且与极轴所成的角为,则直线l的极坐标方程为________________.解析 ∵点A的极坐标为,∴点A的平面直角坐标为,1,又∵直线l过点A且与极轴所成的角为,∴直线l的方程为y-1=x-tan,即x-y-2=0,∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-2=0,可整理为ρcos=1或ρsin=1或ρsin=
1.答案 ρcos=1或ρcosθ-ρsinθ-2=0或ρsin=1或ρsin=
1.【变式1】在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为1,-.若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是________.解析 由极坐标与直角坐标的互化公式ρcosθ=x,ρsinθ=y可得,ρcosθ=1ρsinθ=-,解得ρ=2,θ=2kπ-k∈Z,故点P的极坐标为k∈Z.答案 k∈Z题型二 圆的极坐标方程的应用【例2】在极坐标系中,若过点10且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点,则|AB|=________.解析 注意到在极坐标系中,过点10且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x=1,曲线ρ=4cosθ的直角坐标方程是x2+y2=4x,即x-22+y2=4,圆心20到直线x=1的距离等于1,因此|AB|=2=
2.答案 2【变式2】在极坐标系中,P,Q是曲线Cρ=4sinθ上任意两点,则线段PQ长度的最大值为________.解析 由曲线Cρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,x2+y2-4y=0,x2+y-22=4,即曲线Cρ=4sinθ在直角坐标系下表示的是以点02为圆心、以2为半径的圆,易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长,因此线段PQ长度的最大值是
4.答案 4题型三 极坐标方程的综合应用【例3】如图,在圆心的极坐标为A40,半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.解 设Mρ,θ是所求轨迹上任意一点.连接OM并延长交圆A于点Pρ0,θ0,则有θ0=θ,ρ0=2ρ.由圆心为40,半径为4的圆的极坐标方程为ρ=8cosθ,得ρ0=8cosθ
0.所以2ρ=8cosθ,即ρ=4cosθ.故所求轨迹方程是ρ=4cosθ.它表示以20为圆心,2为半径的圆.【变式3】从极点O作直线与另一直线ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12,求点P的轨迹方程.解 设动点P的坐标为ρ,θ,则Mρ0,θ.∵|OM|·|OP|=
12.∵ρ0ρ=
12.ρ0=.又M在直线ρcosθ=4上,∴cosθ=4,∴ρ=3cosθ.这就是点P的轨迹方程.重难点突破【例4】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为φ为参数,曲线C2的参数方程为a>b>0,φ为参数.在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线lθ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.Ⅰ分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;Ⅱ设当α=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=-时,l与C1,C2的交点分别为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.解ⅠC1是圆,C2是椭圆.当α=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为10,a0,因为这两点间的距离为2,所以a=
3.当α=时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为01,0,b,因为这两点重合,所以b=
1.ⅡC1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和+y2=
1.当α=时,射线l与C1交点A1的横坐标为x=,与C2交点B1的横坐标为x′=.当α=-时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此四边形A1A2B2B1为梯形,故四边形A1A2B2B1的面积为=.巩固提高1.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为α为参数.以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ-=
2.点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.解ρcos=2化简为ρcosθ+ρsinθ=4,则直线l的直角坐标方程为x+y=
4.设点P的坐标为2cosα,sinα,得P到直线l的距离d=,即d=,其中cosφ=,sinφ=.当sinα+φ=-1时,dmax=2+.2.在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的参数方程为α为参数,曲线D为极坐标方程为ρsinθ-=-.1将曲线C的参数方程化为普通方程;2判断曲线C与曲线D的交点个数,并说明理由.解1由已知得消去参数α,得曲线C的普通方程为x2=-,x∈[-11].2由ρsinθ-=-得曲线D的直角坐标方程为x-y-3=0,由消去y,得2x2+x-3=0,解得x=-舍去或x=
1.当x=1时,y=-
2.故曲线C与曲线D只有一个交点.3.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为t为参数,椭圆C的方程为θ为参数,θ∈R.试在椭圆C上求一点P,使得P到直线l的距离最小.解直线l的普通方程为x+2y-4=0,设P2cosθ,sinθ,点P到直线l的距离为d==,所以当sinθ+=1时,d有最小值.此时sinθ=sin=sincos-cossin=,cosθ=cos=coscos+sinsin=,所以点P的坐标为.从而椭圆C上到直线l的距离最小的点P的坐标为.4.经过点M,0作直线l,交曲线Cθ为参数于A,B两点,若|MA|,|AB|,|MB|成等比数列,求直线l的方程.解根据题意,设直线l的参数方程为t为参数曲线C化成普通方程得x2+y2=
4.将+tcosθ2+t2sin2θ=
4.化简整理得t2+2cosθt+6=0,∴t1+t2=-2cosθ,t1t2=
6.由题意得|AB|2=|MA||MB|,而|AB|2=t1-t22=t1+t22-4t1t2,|MA||MB|=|t1t2|=6,即40cos2θ-24=6,解得cosθ=±,∴sinθ=,k=tanθ=±.所求直线l的方程为y=x-或y=-x+.5.在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为α为参数.1已知在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;2设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解析1把极坐标系下的点P化为直角坐标,得P04.因为点P的直角坐标04满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.2因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为cosα,sinα,从而点Q到直经l的距离为d===cos+
2.由此得,当cos=-1时,d取得最小值,且最小值为.。