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2019-2020年人教B版选修1-1高中数学综合检测
(二)
一、选择题1.下列结论错误的是 A.若“p∧q”与“綈p∨q”均为假命题,则p真q假B.命题“∃x∈R,x2-x0”的否定是“∀x∈R,x2-x≤0”C.“x=1”是“x2-3x+2=0”充分不必要条件D.若“am2bm2,则ab”的逆命题为真2.已知条件p x≤1,条件q1,则綈q是p的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再慢慢走余下的路程,图中纵坐标表示离学校的距离,横坐标表示出发后的时间,则下面四个图形中较符合该学生走法的是 4.已知命题p∃x∈-∞,0,2x3x;命题q∀x∈,tanxsinx.则下列命题为真命题的是 A.p∧qB.p∨綈qC.p∧綈qD.綈p∧q5.函数fx=excosx的图象在点0,f0处的切线方程的倾斜角为 A.0B.C.1D.6.双曲线-=1p0的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则该双曲线的离心率为 A.B.C.D.47.抛物线y2=x关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是 A.10B.C.01D.8.设p fx=x3+2x2+mx+1在-∞,+∞内单调递增,q m≥,则p是q的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知P为双曲线-=1a0,b0左支上一点,F
1、F2分别为双曲线的左、右焦点,且cos∠PF1F2=sin∠PF2F1=,则此双曲线的离心率是 A.B.5C.2D.310.一动圆的圆心在抛物线x2=8y上,且该动圆恒与直线y+2=0相切,则动圆必经过的定点为 A.02B.20C.10D.0111.若函数y=fx的导函数在区间a,b上不是单调函数,则函数y=fx在区间[a,b]上的图象可能是 A.
①③B.
②④C.
②③D.
③④12.函数fx=x3+x,x∈R,当0≤θ≤时,fmsinθ+f1-m0恒成立,则实数m的取值范围是 A.01B.-∞,0C.D.-∞,1
二、填空题13.若命题“存在实数x,使x2+ax+10”的否定是假命题,则实数a的取值范围为_______.14.已知fx=x3+x2f′1+3xf′-1,则f′1+f′-1的值为________.15.椭圆+=1ab0的两焦点为F10,-c,F20,cc0,离心率e=,焦点到椭圆上点的最短距离为2-,则椭圆的方程为________.
16.已知函数fx的定义域为-∞,+∞,f′x为fx的导函数,函数y=f′x的图象如图所示,且f-2=1,f3=1,则不等式fx2-61的解集为________.
三、解答题17.求与椭圆+=1有共同焦点,且过点02的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.
18.已知命题p fx=x+在区间[1,+∞上是增函数;命题q fx=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若命题“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围.19.如图,抛物线顶点在原点,圆x2+y2=4x的圆心是抛物线的焦点,直线l过抛物线的焦点,且斜率为2,直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点.1求抛物线的方程.2求|AB|+|CD|.20.已知函数fx=x3+mx2+nx-2的图象过点-1,-6,且函数gx=f′x+6x是偶函数.1求m、n的值;2若a0,求函数y=fx在区间a-1,a+1内的极值.21.某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x单位元,0≤x≤30的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.1将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;2如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?22.如图,从椭圆+=1ab0上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM.1求椭圆的离心率e;2设Q是椭圆上任一点,F2是右焦点,F1是左焦点,求∠F1QF2的取值范围;3设Q是椭圆上一点,当QF2⊥AB时,延长QF2与椭圆交于另一点P,若△F1PQ的面积为20,求此时椭圆的方程.答案1.D 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A 11.D 12.D13.a-2或a214.-
15.+x2=116.23∪-3,-217.解 椭圆+=1的焦点是0,-5,05,焦点在y轴上,于是设双曲线方程是-=1a0,b0,又双曲线过点02,∴c=5,a=2,∴b2=c2-a2=25-4=21,∴双曲线的标准方程是-=1,实轴长为4,焦距为10,离心率e==,渐近线方程是y=±x.18.解 命题p f′x=1-.∵fx=x+在区间[1,+∞上是增函数,则f′x=1-≥0在[1,+∞上恒成立,即a≤x2在[1,+∞上恒成立,∴a≤x2min,∴a≤
1.命题p A={a|a≤1}.命题q f′x=3x2+2ax+
3.要使得fx=x3+ax2+3x+1在R上有极值,则f′x=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×30,解得a-3或a
3.命题q B={a|a-3,或a3}.∵命题“p∨q”为真命题,∴A∪B={a|a≤1,或a3}.∴所求实数a的取值范围为-∞,1]∪3,+∞.19.解 1由圆的方程x2+y2=4x,即x-22+y2=4可知,圆心为F20,半径为2,又由抛物线焦点为已知圆的圆心,得抛物线焦点为F20,抛物线方程为y2=8x.2|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,∵|BC|为已知圆的直径,∴|BC|=4,则|AB|+|CD|=|AD|-
4.设Ax1,y1,Dx2,y2,∵|AD|=|AF|+|FD|,而A、D在抛物线上,由已知可知,直线l的方程为y=2x-2,由,消去y,得x2-6x+4=0,∴x1+x2=6,∴|AD|=10,因此,|AB|+|CD|=10-4=
6.20.解 1由函数fx图象过点-1,-6,得m-n=-3,
①由fx=x3+mx2+nx-2,得f′x=3x2+2mx+n,则gx=f′x+6x=3x2+6+2mx+n;而gx图象关于y轴对称,所以-=0,所以m=-3,代入
①得n=
0.2由1得f′x=3xx-2,令f′x=0得x=0或x=
2.当x变化时,f′x、fx的变化状态如下表x-∞,000222,+∞f′x+0-0+fx极大值极小值由此可得当0a1时,fx在a-1,a+1内有极大值f0=-2,无极小值;当a=1时,fx在a-1,a+1内无极值;当1a3时,fx在a-1,a+1内有极小值f2=-6,无极大值;当a≥3时,fx在a-1,a+1内无极值.综上得当0a1时,fx有极大值-2,无极小值;当1a3时,有极小值-6,无极大值;当a=1或a≥3时,fx无极值.21.解 1设商品降低x元时,多卖出的商品件数为kx2,若记商品在一个星期的销售利润为fx,则依题意有fx=30-x-9·432+kx2=21-x·432+kx2,又由已知条件24=k·22,于是有k=6,所以fx=-6x3+126x2-432x+9072,x∈
[030].2根据1,有f′x=-18x2+252x-432=-18x-2x-12.当x变化时,fx与f′x的变化状态如下表x022212121230f′x-0+0-fx极小值极大值故x=12时,fx达到极大值.因为f0=9072,f12=11664,所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大.22.解 1∵MF1⊥x轴,∴xM=-c,代入椭圆方程得yM=,∴kOM=-.又∵kAB=-且OM∥AB,∴-=-,故b=c,从而e=.2设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ.∵r1+r2=2a,|F1F2|=2c,∴cosθ===-1≥-1=0,当且仅当r1=r2时,上式等号成立.∴0≤cosθ≤1,故θ∈.3∵b=c,a=c,∴设椭圆方程为+=
1.
①∵PQ⊥AB,kAB=-,∴kPQ=.∴直线PQ的方程为y=x-c.
②联立
①、
②消去y得5x2-8cx+2c2=
0.∴|PQ|==.又点F1到PQ的距离d=c,∴S△F1PQ=d|PQ|=×c×=c
2.由c2=20得c2=25,故2c2=
50.∴所求椭圆方程为+=
1.。