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文本内容:
2019-2020年人教版A版数学必修4《平面向量数量积的物理背景及其含义》说课教案课题§
2.
4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教材普通高中课程标准实验教科书(人教A版)数学必修4
一、教学目标
1、了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义;
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算;
3、体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力
二、教学重、难点教学重点
1、平面向量数量积的含义与物理意义
2、性质与运算律及其应用教学难点
1、平面向量数量积的概念
2、平面向量数量积的运算律
(2)、
(3)的证明
三、教学过程活动一创设问题情景,引出新课
1、提出问题1请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?期望学生回答向量的加法、减法及数乘运算
2、提出问题2请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?期望学生回答物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算平面向量数量积的物理背景及其含义活动二探究数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3
(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移S,那么力F所做的功W=|F||S|cosα
(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空
①W(功)是量,
②F(力)是量,
③S(位移)是量,
④α是
(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗期望学生回答功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
(1)数量积的定义已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积(或内积),记作·,即·=︱︱·︱︱cos
(2)定义说明
①记法“·”中间的“·”不可以省略,也不可以用“”代替
②“规定”零向量与任何向量的数量积为零
3、提出问题4向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?期望学生回答线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅和向量与的模有关,还和它们的夹角有关
4、学生讨论,并完成下表的范围0°≤90°=90°0°≤180°·的符号
5、研究数量积的几何意义
(1)给出向量投影的概念如图,我们把││cos(││cos)叫做向量在方向上(在方向上)的投影,记做OB1=︱││︱cos
(2)提出问题5数量积的几何意义是什么?期望学生回答数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cos的乘积
6、研究数量积的物理意义
(1)请同学们用一句话来概括功的数学本质功是力与位移的数量积
(2)尝试练习一物体质量是10千克,分别做以下运动
①、竖直下降10米;
②、竖直向上提升10米;
③、在水平面上位移为10米;
④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米;分别求重力做功的大小 活动三探究数量积的运算性质
1、提出问题6
(1)将尝试练习中的
①②③的结论推广到一般向量,你能得到哪些结论?
(2)比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小,你有什么结论?
2、请证明上述结论
3、明晰数量积的性质活动四探究数量积的运算律
1、提出问题7我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适用?预测学生可能会提出以下猜想1·=·2(·)=·
③(+)·=·+·
2、分析猜想猜想
①的正确性是显而易见的关于猜想
②的正确性,请同学们先来讨论猜测
②的左右两边的结果各是什么?它们一定相等吗?期望学生回答左边是与向量共线的向量,而右边则是与向量共线的向量,显然在向量与向量不共线的情况下猜测
②是不正确的
3、明晰数量积的运算律
4、学生活动证明运算律2在证明时,学生可能只考虑到λ0的情况为了帮助学生完善证明,提出以下问题当λ0时,向量与λ,与λ的方向的关系如何?此时,向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗?
5、师生活动证明运算律
(3)活动五应用与提高
1、学生独立完成已知︱︱=5︱︱=4与的夹角θ=120°,求·
2、师生共同完成已知︱︱=6,︱︱=4与的夹角为60°,求(+2)·(-3),并思考此运算过程类似于哪种实数运算?
3、学生独立完成对任意向量,b是否有以下结论
(1)+2=2+2·+2
(2)+·-=2—
24、师生共同完成已知︱︱=3,︱︱=4且与不共线,k为何值时,向量+k与-k互相垂直?并讨论通过本题,你有什么体会?
5、反馈练习
1、判断下列各题正确与否
①、若≠0,则对任一非零向量,有·≠0.
②、若≠0,·=·,则=.
2、已知△ABC中,==,当·0或·=0时,试判断△ABC的形状活动六小结
1、本节课我们学习的主要内容是什么?
2、平面向量的数量积有哪些应用?
3、本节课主要采用了什么研究方法?
4、类比向量的线性运算,我们还应该怎样研究数量积?布置作业
1、课本P121习题
2.4A组
1、
2、
32、拓展与提高已知与都是非零向量,且+3与7-5垂直,-4与7-2垂直,求与的夹角(本题供学有余力的同学选做)教学设计说明平面向量的数量积是一种非常重要的运算,同其线性运算一样,既有其深刻的数学背景,也有其现实的物理背景本节课从总体上说是一节概念教学,依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念,在数量积概念的引入过程中,我从数学和物理两个角度创设问题情景,使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然,更是研究客观世界的需要,从而产生强烈的求知欲望相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,为了让学生理解这一点,我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格,其次将数量积的几何意义提前,这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识通过尝试练习,一方面使学生尝试计算数量积,另一方面使学生理解数量积的物理意义,同时也为数量积的性质埋下伏笔数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸,教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现,为了让学生很好的完成这两个探究活动,我始终按照先创设一定的情景,让学生去发现结论,教师明晰后,再由学生或师生共同完成证明比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到,数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到,这样不仅使学生感到亲切自然,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识在应用这个环节中,对教材中提供的四个例题,我重点讲解例2和例4,例1和例3则由学生独立完成,这样既加强了学生的练习,同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价在小结这个环节中,我主要是让学生从知识技能、思想方法两个方面对本节课的内容进行全面回顾总结,达到提高认识,形成体系的目的,同时也为下一节课的内容做好铺垫,不断激发学生的求知欲以上就是我对本节课设计的简单说明SFα设和b都是非零向量,则
1、⊥·=
02、当与同向时,︱·︱=︱︱︱︱;当与反向时,︱·︱=-︱︱︱︱,特别地,·=︱︱2或︱︱=
3、︱·︱≤︱︱×︱︱已知向量、、和实数λ,则
(1)·=·
(2)(λ)·=λ(·=·(λ)
(3)(+)·=·+·。