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2019-2020年高三第三次(12月)联考数学理试题含答案六校分别为广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中本试卷满分150分,考试时间120分钟考生注意事项1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号3.答第Ⅱ卷时,必须使用
0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用
0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效4.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交参考公式如果事件A与B相互独立,那么PAB=PAPB如果事件A与B互斥,那么PA+B=PA+PBI卷选择题
1、选择题本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求把答案填涂在答卷相应地方上
1.复数z满足则等于A.1B.C.2D.32.设,,,则()A.B.C.D.3.已知甲乙,则甲是乙的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件
4.函数的最小正周期为A.B.C.D.
5.等差数列中,,,则的值为A.15B.20C.25D.306.若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A.若,则B.若,则C.若,,则D.若,,则
7.已知实数满足则的最大值是A.1B.2C.3D.
48.利用随机模拟方法可估计某无理数m的值,为此设计如右图所示的程序框图,其中rand表示产生区间01上的随机数P为s与n之比值,执行此程序框图,输出结果P是m的估计值,则m是A.B.C.ln2D.lg3II卷非选择题
二、填空题本大题共6小题,每小题5分共30分,把答案填在答卷相应地方上)
(一)必做题第9~13题为必做题
9.统计某校1000名学生的数学期中考成绩,得到样本频率分布直方图如右图示,若不低于80分即为优秀据此估计,从这1000名学生中随机选出1名学生,其数学期中考成绩为优秀的概率是.
10.与椭圆有相同的焦点且离心率为2的双曲线标准方程是_______.
11.已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点且A11C23,,则向量的坐标是_____.
12.设P为曲线C上的点,则曲线C在点P处的切线倾斜角取值范围为_____.
13.下图所示一系列数表依次是三项式展开式系数按一定规律排列所得,可发现数表的第k行共有k个数依此类推数表6的第3行第1个数为______,数表6的第5行第3个数为______.
(二)选做题第
14、15题为选做题,考生任选做一题,全答的只计算前题的得分.
14、已知直线L的参数方程为:(为参数),圆C的参数方程为:为参数.若直线L与圆C有公共点,则常数的取值范围是____.15.如图所示,圆O的直径AB=12,C为圆周上一点,BC=6,过C作圆O的切线,过A做直线的垂线,垂足为D,AD交圆O于E则DE=.
三、解答题(共6题,满分80,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,必须在答卷指定区域作答,否则不给分)
16.(本小题满分12分)在锐角中,,,分别为内角,,所对的边,且满足.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,且,,求的值.17.(本小题满分12分)某厂批量试验生产一种零件,对其中每个零件有、两项技术指标需要检测,各项技术指标达标与否互不影响.若项技术指标达标的概率为,有且仅有一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定两项技术指标都达标的零件为合格品.(Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率;(Ⅱ)任意抽出个零件进行检测,求其中至少个零件是合格品的概率;(Ⅲ)任意抽取该种零件3个,设表示其中合格品的个数,求与.18.(本小题满分14分)某企业某年生产某种产品,通过合理定价及促销活动,确保产销平衡(根据市场情况确定产量,使该年所生产产品刚好全部销售完毕),年产量、年销量均为万件已知每生产1万件产品需投入32万元的生产费用另外该年生产设备折旧、维修等固定费用总共为4万元每件产品定价为平均每件生产成本的150%进行销售,年销量万件与年促销费用万元之间满足关系为常数,当年促销费用万元时年销量是万件(Ⅰ)将年的利润(万元)表示为促销费(万元)的函数;(Ⅱ)该企业年促销费投入多少万元时,企业年利润最大?相应年产量及最大年利润为多少?注生产成本=固定费用生产费用(不包括促销费用)利润=销售收入生产成本促销费
19.(本小题满分14分)在四棱锥中,//,,,平面,.(Ⅰ)设平面平面,求证//;(Ⅱ)求证平面;(Ⅲ)设点为线段上一点,且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.
20.本小题满分14分数列的前n项和为已知恒成立.1求数列的通项公式;2,求的前n项和;3求证.
21.本小题满分14分已知函数.1当时,求的单调区间;2求证当时恒成立;3若对任意的都成立其中e是自然对数的底,求常数的最小值参考答案1.B2.B3.A
4.D
5.C6.C
7.B
8.C
9.答
0.
210.答:
11.答
4712.答
13.答10,
3014.答15.答3注第13题第一空2分,第二空3分第8题提示框图表示的随机模拟方法是:已知点xy为区域内随机取点求其在曲线下方的概率P的估计值,由积分可得条件区域面积为ln2,故满足条件的概率P为ln
2.第13题其系数为数表6第一斜列的数即各行第一个数其系数为第二斜列的数(即第2行起各行第2个数)其系数为第三斜列的数(即第3行起各行第3个数)其系数为第四斜列的数法二由杨辉三角可知数表n的第一斜列数为杨辉三角数,第k行的数是由杨辉三角相应各数乘以此行第一个数而得到的
三、解答题(共6题,满分80,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.解(Ⅰ)由正弦定理得…………1分因为,所以,…………2分因为为锐角,所以.……………3分又为锐角,则.………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.因为,根据余弦定理,得,……………6分整理,得.由已知,则.又,可得,.………8分于是,………10分所以.………12分17.解(Ⅰ)设、两项技术指标达标的概率分别为、.…………1分由题意得,……………3分解得.……………4分∴ 一个零件经过检测为合格品的概率.……………5分(Ⅱ)任意抽出5个零件进行检查,其中至少3个零件是合格品的概率为.……………8分(Ⅲ)依题意知 ,……………10分,……………11分.……………12分注全题没有文字表述的扣2分18.解(Ⅰ)依题意,将,代入得,所以年销售量……………………2分依题意,产销平衡即年产量等于年销量万件,所以当年生产(万件)时,年生产成本,……………4分平均每件产品生产成本=……………5分年销售收入=,……………6分年利润y=年销售收入—年生产成本—促销费,所以…………8分(Ⅱ)因为…………9分…………11分.…………12分当且仅当,即时,,…………………13分所以当促销费投入7万元时,企业年利润最大,此时年产量x=
5.5万件,年利润最大值为83万元…………………14分19.(Ⅰ)证明因为//,平面,平面,所以//平面.………………………………………2分因为平面,平面平面,所以//.………………………………………4分(Ⅱ)证明因为平面,,所以以为坐标原点,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,,,.…………6分所以,,,所以,.所以,.……………8分因为,平面,平面,所以平面.…………………………………9分(Ⅲ)解设(其中),,直线与平面所成角为.所以.所以.即.……………11分由(Ⅱ)知平面的一个法向量为.因为,……………12分得.解得.所以.…………14分法2II依题意∽所以,又因为,所以,所以…..6分又因为平面,,所以…..8分因为,平面,平面,所以平面.………9分(Ⅲ)解设(其中),,直线与平面所成角为.记交于,连结.过作平行于,交于.连结、.由
(2)知,平面,平面,即为与平面所成角.
①.……11分设(),则.在中,,,.易证∽,,即,,
②.在中,,,,.在中,,,.根据余弦定理有,……………13分即,解得
③.将
②,
③代入
①,解得.……………14分
20.解由得n=1时,…….1分时…….2分…….3分是以为首项,公比的等比数列…….4分…….5分2,….6分…….7分,其中…….8分的前n项和=…….10分
(3)由
(1)知……12分…..14分
21.解
(1)时,的定义域为…..1分令其定义域为3时,*…..8分由
(2)及,可得恒成立时都有不等式*恒成立.……9分下证对任意常数不等式*不恒成立所以对任意常数总存在使得时为减函数,当,有仅当x=0取等号从而时仅当x=0取等号所以为减函数…..12分时所以时不符合题意.……13分综上述使不等式*恒成立的的最小值为……14分注2结论只能说明是函数的上界而非上确界,所以
(3)的后部分是必须的又如设fx=,显然有fx0恒成立这只能说明0为fx的下界而非下确界,所以不能由此得出满足fx恒成立的的最大值为0实际上fx的最小值为2为fx的下确界所以fx恒成立时的最大值为
2.
(2)、
(3)法二先证,证明如下此步4分再由罗比塔法则可求出下面极限(此步4分)下面3分所以函数在上为单调递减且上确界是,其图象是连续的所以时;函数在01]上的值域为由法一得恒成立,的最小值为.否n=0s=0n10000x=randy=randEMBEDEquation.DSMT4s=s+1P=s/n输出P结束开始是是否n=n+1。