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2019-2020年高三第二次学情检测数学试题Word版含答案
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡的相应位置上. 1.设集合,集合,若,则 ▲ .2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 ▲ 名学生.3.已知复数满足(为虚数单位),则的模为▲.4.根据如图所示的伪代码,最后输出的的值为▲.5.现有5道试题,其中甲类试题2道,乙类试题3道,现从中随机取2道试题,则至少有1道试题是乙类试题的概率为▲.6.在中,若,,,则的值是▲.7.若实数满足约束条件,则目标函数的最小值为▲.8.已知,则的值为▲.
9.已知等比数列的前项和为,若,则的值是▲.10.已知双曲线的一条渐近线与直线平行,则离心率▲.11.一个圆柱和一个圆锥同底等高,若圆锥的侧面积是其底面积的2倍,则圆柱的侧面积是其底面积的 ▲ 倍.12.已知函数,则不等式的解集为▲13.已知函数的图像经过点,如右图所示,则的最小值为 ▲ .14.已知直线与圆相交于两点,若,则圆的半径 ▲ .
二、解答题本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分14分)设函数.
(1)求的单调增区间;
(2)若,求的值域.16.(本小题满分14分)如图,在多面体中,四边形是菱形,相交于点,,,平面平面,,点为的中点.
(1)求证直线平面;
(2)求证直线平面.17.(本小题满分14分)如图,已知椭圆,离心率为.过原点的直线与椭圆交于,两点(,不是椭圆的顶点).点在椭圆上,且.
(1)若椭圆的右准线方程为,求椭圆的方程;
(2)设直线、的斜率分别为、,求的值.18.(本小题满分16分)如图,某小区有一矩形地块,其中,,单位百米.已知是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路(宽度不计),交线段于点,交线段于点.现以点为坐标原点,以线段所在直线为轴,建立平面直角坐标系,若池边满足函数的图象.若点到轴距离记为.
(1)当时,求直路所在的直线方程;
(2)当为何值时,地块在直路不含泳池那侧的面积取到最大,最大值时多少?19.(本小题满分16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若在区间上有且只有一个极值点,求实数的取值范围.20.(本小题满分16分)已知数列的前项和为,且对一切正整数都有.
(1)求证();
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在实数,使不等式对一切正整数都成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由灌云县第一中学xx届高三第二次学情检测附加题1.已知矩阵的一个特征值为,求矩阵的另一个特征值及对应的特征向量.2.已知圆的参数方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,求直线被圆截得的弦长.3.在棱长为4的正方体中,点在棱上,且.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.4.已知为正整数,从数列中分别求相邻两个数的算术平均数,得出新数列.对新数列继续上述操作,直至最后剩下一个数.
(1)求;
(2)推断数列的通项公式,并给出证明.参考答案
1、填空题
1.
12.
603.
4.
555.
6.-
57.
18.
9.-
210.
11.
12.(-2,1)
13.
14.
二、解答题本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分14分)设函数.
(1)求的单调增区间;
(2)若,求的值域.解
(1)……4分∵∴,∴的单调增区间为……7分
(2)∵∴∴∴的值域为……14分16.(本小题满分14分)如图,在多面体中,四边形是菱形,相交于点,,,平面平面,,点为的中点.
(1)求证直线平面;
(2)求证直线平面.解方法1,
(1)证明四边形是菱形又点为的中点又平面平面
(2)证明.分别为的中点且又且四边形是平行四边形又四边形是菱形,即又……………………………………………………………14分方法2,证明
(1)∵四边形是菱形,,∴点是的中点,∵点为的中点∴,……………………3分又∵平面,平面,∴直线平面.……………7分
(2)∵,点为的中点,∴.∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,………………9分∵平面,∴,∵,,∴,∴四边形为平行四边形∴,………………11分∵,,∴,∵四边形是菱形,∴,∵,,,在平面内,∴平面. ………………14分17.(本小题满分14分)如图,已知椭圆,离心率为.过原点的直线与椭圆交于,两点(,不是椭圆的顶点).点在椭圆上,且.
(1)若椭圆的右准线方程为,求椭圆的方程;
(2)设直线、的斜率分别为、,求的值.解
(1)∵,解得∴∴椭圆方程为……6分
(2)法
(一)设,,则,∵,在椭圆上∴∴∴∵∴∴……11分∵∴∴……14分法
(二)设,,则则,下同法
(一)18.(本小题满分16分)如图,某小区有一矩形地块OABC,其中OC=2,OA=3,单位百米.已知OEF是一个游泳池,计划在地块OABC内修一条与池边EF相切于点M的直路l(宽度不计),交线段OC于点D,交线段OA于点N.现以点O为坐标原点,以线段OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,若池边EF满足函数y=﹣x2+2()的图象.若点M到y轴距离记为t.
(1)当时,求直路l所在的直线方程;
(2)当t为何值时,地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大,最大值时多少?【解答】解
(1)把代入函数y=﹣x2+2,得M(,),∵y=﹣2x,∴k=﹣,∴直线方程为y=﹣x+;
(2)由
(1)知,直线的方程为y=﹣2tx+t2+2,令y=0,x=(t+),令x=0,y=t2+2,∴(t+)≤2,t2+2≤3,∴2﹣≤t≤1,∴s△OND=(t+)(t2+2)=(t3+4t+),令g(t)=(t3+4t+),∴g(t)=,当t=时,g(t)=0,当t∈(2﹣,)时,g(t)<0,当t∈(,1)时,g(t)>0,g(t)≥g()=,所以所求面积的最大值为6﹣.19.(本小题满分16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若在区间上有且只有一个极值点,求实数的取值范围.解
(1)当a=0时,f(x)=3xlnx﹣1的定义域为(0,+∞),f′(x)=3lnx+3=3(lnx+1),故f(x)=3xlnx﹣1在(0,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数;故f(x)在x=时取得极小值f()=﹣3﹣1;……………………………4分
(2)函数f(x)=ax3+3xlnx﹣1的定义域为(0,+∞),f′(x)=3(ax2+lnx+1),令g(x)=ax2+lnx+1,则g′(x)=2ax+=,当a>0时,g′(x)>0在(0,+∞)恒成立,故=3(ax2+lnx+1)在(0,+∞)上是增函数,而=3[a()2+ln+1]=3a()2>0,……………………………6分故当x∈(,e)时,>0恒成立,故在区间(,e)上单调递增,故在区间(,e)上没有极值点;……………………………10分当a=0时,由
(1)知,在区间(,e)上没有极值点;当a<0时,令=0解得,x=;故=ax2+lnx+1在(0,)上是增函数,在(,+∞)上是减函数,…12分
①当g(e)•g()<0,即﹣<a<0时,g(x)在(,e)上有且只有一个零点,且在该零点两侧异号,
②令g()=0得=0,不可能;………………………………14分
③令g(e)=0得a=﹣,所以∈(,e),而g()=g()=+ln>0,又g()<0,所以g(x)在(,e)上有且只有一个零点,且在该零点两侧异号,综上所述,实数a的取值范围是[﹣,0).……………………………16分20.(本小题满分16分)已知数列的前项和为,且对一切正整数都有.
(1)求证();
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在实数,使不等式对一切正整数都成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由解
(1)证明∵()
①∴()
②由
②①得(),∴().…………………………4分
(2)解方法1,∵()……
③∴(),……
④④—
③,得()………………………6分从而数列的奇数项依次成等差数列,且首项为,公差为4;数列的偶数项也依次成等差数列,且首项为,公差为
4.在
①中令得,又∵,∴在
③中令得,∴……………………………7分∴当()时,,;…8分∴当()时,,;……………9分综上所述,().………………………………10分方法2,由
③式知,(),………………………7分记(),则(),在
①中令得,又∵,∴从而,∴()即().……………10分
(3)解令(),则且………………12分(或……12分)∴,∴单调递减,∴.……………………13分∴不等式对一切正整数n都成立等价于对一切正整数n都成立等价于,即…………………14分∴,即,解之得综上所述,存在实数适合题意,的取值范围是………16分附加题1.已知矩阵的一个特征值为,求矩阵的另一个特征值及对应的特征向量.2.已知圆的参数方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,求直线被圆截得的弦长.3.在棱长为4的正方体中,点在棱上,且.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.
4.已知为正整数,从数列中分别求相邻两个数的算术平均数,得出新数列.对新数列继续上述操作,直至最后剩下一个数.
(1)求;
(2)推断数列的通项公式,并给出证明.略(第13题)为的中点平面.…………………………………3分……………7分……………………10分………………………………………9分且.……………………………………………11分平面.。