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2019-2020年高三第二次月考数学试题含答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知圆的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0.在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,该圆的方程为( ) A.ρ=2cosθB.ρ=2sinθC.ρ=﹣2cosθD.ρ=﹣2sinθ答案B 2.若集合A{0,m2},B={1,2},则“m=1”是“A∪B={0,1,2}”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案B3.下列函数中,与函数y=x相同的函数是( ) A.y=B.y=C.y=lg10xD.y=2log2x答案C 4.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( ) A.y=﹣x2B.y=x2﹣2C.y=D.y=log2答案B5.和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为( ) A.3x+4y﹣5=0B.3x+4y+5=0C.﹣3x+4y﹣5=0D.﹣3x+4y+5=0解答解和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线,其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反,设所求直线为3x+4y+b=0,两直线在x轴截距相等,所以所求直线是3x+4y+5=0.故选B.6.实数﹣•+lg4+2lg5的值为( ) A.2B.5C.10D.20答案D 7.若函数f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a等于( ) A.B.C.D.答案A 8.已知函数则“﹣2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解答解函数f(x)=x2+ax+1在[1,+∞)上单调递增则a≥﹣2函数f(x)=ax2+x+1在(﹣∞,1)上单调递增则≤a≤0而函数在R上单调递增则≤a≤0≤a≤0⇒﹣2≤a≤0∴“﹣2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的必要而不充分条件故选B9.双曲线﹣=1的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相切,则双曲线离心率为( ) A.B.C.2D.3解答解∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y﹣2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,∴双曲线离心率e==2.故选C.10.已知函数,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣∞,1]B.(0,1)C.[0,+∞)D.(﹣∞,1)解答解函数的图象如图所示,当a<1时,函数y=f(x)的图象与函数y=x+a的图象有两个交点,即方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根故选D
二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)11.函数的定义域为 (,1] .12.(5分)若点在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)= .13.(5分)已知f(x)=2x3+ax2+b﹣1是奇函数,则a﹣b= ﹣1 .解答解∵f(x)是R上的奇函数,∴f
(0)=0,得b﹣1=0,解得b=1.∴f(x)=2x3+ax2.又∵f(﹣x)+f(x)=0,∴﹣2x3+ax2+2x3+ax2=0,化为ax2=0,对于任意实数R都成立.∴a=0.∴a﹣b=﹣1.故答案为﹣1.14.已知,如果f(x0)=3,那么x0= .解答解∵f(x)=,∴若x0<0,f(x0)==3,∴x0=﹣;同理若x0>0,f(x0)=x0+1=3,∴x0=2.故答案为2,﹣. 15.(5分)(坐标系与参数方程选做题)参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直线y=x的最短距离为 .16.经过点M(2,1),并且与圆x2+y2﹣6x﹣8y+24=0相切的直线方程是 x=2或4x﹣3y﹣5=0 .解答解圆x2+y2﹣6x﹣8y+24=0化为标准方程为(x﹣3)2+(y﹣4)2=1,圆心(3,4),半径R=1当斜率不存在时,x=2是圆的切线,满足题意;斜率存在时,设方程为y﹣1=k(x﹣2),即kx﹣y+1﹣2k=0∴由圆心到直线距离d=R,可得=1∴k=,∴直线方程为4x﹣3y﹣5=0综上,所求切线方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0故答案为x=2或4x﹣3y﹣5=0 17.如图,已知椭圆的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,则该椭圆的离心率是 .解答解设椭圆的右焦点为F′,由题意得A(﹣a,0)、B(0,b),F′(c,0),∵∠BAO+∠BFO=90°,且∠BFO=∠BF′O,∴∠BAO+∠BF′O=90°,∴•=0,∴(a,b)•(c,﹣b)=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0,∴e﹣1+e2=0,解得e=,故答案为.
三、解答题(本大题共6小题,共75分)18.(10分)定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2﹣x﹣1(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)写出函数f(x)的单调区间.(不用证明)解答解(Ⅰ)设x<0,则﹣x>0,由题意可得f(﹣x)=(﹣x)2﹣(﹣x)﹣1=﹣f(x),∴f(x)=﹣x2﹣x+1.再由f
(0)=0,可得f(x)=.(Ⅱ)结合函数f(x)的图象可得函数f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣)、(,+∞),减区间为(,0)、(0,). 19.(13分)已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1﹣x).(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性;(Ⅲ)判断f(x)在(0,1)内的单调性并证明.解答解
(1)由函数的解析式可得,解得﹣1<x<1,故函数的定义域为(﹣1,1).
(2)由于函数的定义域关于原点对称,且f(﹣x)=lg(1﹣x)+lg(1+x)=f(x),故函数为偶函数.
(3)由于函数f(x)=lg(1+x)+lg(1﹣x)=lg(1﹣x2),可得函数f(x)在(0,1)内的单调递减.证明当0<x<1时,令t=1﹣x2,则t′=﹣2x<0,故函数t在(0,1)内的单调递减,再结合复合函数的单调性可得f(x)在(0,1)内的单调递减.20.(13分)已知f(x)=﹣4x2+4ax﹣4a﹣a2在区间[0,1]内有最大值﹣5,求a的值及函数表达式f(x).解答解∵f(x)=﹣4﹣4a,此抛物线顶点为.当≥1,即a≥2时,f(x)取最大值﹣4﹣a2.令﹣4﹣a2=﹣5,得a2=1,a=±1<2(舍去).当0<<1,即0<a<2时,x=时,f(x)取最大值为﹣4A、令﹣4a=﹣5,得a=∈(0,2).当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,∴x=0时,f(x)取最大值为﹣4a﹣a2,令﹣4a﹣a2=﹣5,得a2+4a2﹣5=0,解得a=﹣5,或a=1,其中﹣5∈(﹣∞,0].综上所述,a=或a=﹣5时,f(x)在[0,1]内有最大值﹣5.∴f(x)=﹣4x2+5x﹣或f(x)=﹣4x2﹣20x﹣5. 21.(13分)m为何值时,直线2x﹣y+m=0与圆x2+y2=5(Ⅰ)无公共点;(Ⅱ)截得的弦长为2;(Ⅲ)交点处两条半径互相垂直.解答解由圆方程得圆心(0,0),半径r=,∴圆心到直线2x﹣y+m=0的距离d=,(Ⅰ)若直线与圆无公共点,则有d>r,即>,解得m>5或m<﹣5;(Ⅱ)根据题意得2=2,即5﹣=1,解得m=±2;(Ⅲ)根据题意得弦长的平方等于2r2,即
(2)2=2r2,∴4(5﹣)=10,解得m=±. 22.(13分)已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.解答解∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9],∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x)2+6log3x+6,令t=log3x由题意可得即1≤x≤3,则t∈[0,1]∴y=t2+6t+6=(t+3)2﹣3在[0,1]上单调递增当t=1即x=3时,函数有最大值,ymax=1323.(13分)已知椭圆的右焦点为F(1,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△OMF是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心(垂心三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解答解(Ⅰ)由△OMF是等腰直角三角形,得b=1,a=b=,故椭圆方程为. …(5分)(Ⅱ)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且使点F为△PQM的垂心,设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为M(0,1),F(1,0),所以kPQ=1.…(7分)于是设直线l的方程为y=x+m,代入椭圆方程,消元可得3x2+4mx+2m2﹣2=0.由△>0,得m2<3,且x1+x2=﹣,x1x2=.…(9分)由题意应有,所以x1(x2﹣1)+y2(y1﹣1)=0,所以2x1x2+(x1+x2)(m﹣1)+m2﹣m=0.整理得2×﹣(m﹣1)+m2﹣m=0.解得m=﹣或m=1.…(12分)经检验,当m=1时,△PQM不存在,故舍去.当m=﹣时,所求直线l存在,且直线l的方程为y=x﹣.…(13分)。