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2019-2020年高三第二次模拟数学文试卷含解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(5分)(xx•潮州二模)集合A={1,2},B={2,4},U={1,2,3,4},则CU(A∪B)=( ) A.{2}B.{3}C.{1,2,3}D.{1,4}考点交、并、补集的混合运算专题计算题.分析求出A∪B,然后求解CU(A∪B)即可.解答解因为A={1,2},B={2,4},U={1,2,3,4},所以A∪B={1,2,4}.CU(A∪B)={3}.故选B.点评本题考查集合的基本运算,交、并、补的应用,考查计算能力. 2.(5分)(xx•潮州二模)复数的实部是( ) A.﹣iB.﹣1C.1D.i考点复数的基本概念.专题计算题.分析利用复数的运算法则和实部意义即可得出.解答解∵=﹣i+1,∴实部为1.故选C.点评熟练掌握复数的运算法则和实部的意义是解题的关键. 3.(5分)(xx•潮州二模)抛物线y=x2的焦点坐标为( ) A.(,0)B.(,0)C.(0,)D.(0,)考点抛物线的简单性质.专题计算题.分析先把抛物线整理标准方程,进而可判断出焦点所在的坐标轴和p,进而求得焦点坐标.解答解整理抛物线方程得x2=y∴焦点在y轴,p=∴焦点坐标为(0,)故选D.点评本题主要考查了抛物线的简单性质.求抛物线的焦点时,注意抛物线焦点所在的位置,以及抛物线的开口方向.属于基础题. 4.(5分)(xx•潮州二模)某地区共有10万户居民,该地区城市住户与农村住户之比为46,根据分层抽样方法,调查了该地区1000户居民冰箱拥有情况,调查结果如下表所示,那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为( )城市农村有冰箱356(户)440(户)无冰箱44(户)160(户) A.
1.6万户B.
4.4万户C.
1.76万户D.
0.24万户考点分层抽样方法.专题常规题型.分析先做出在抽查的1000户住户中,农村住户且没有冰箱的住户所占的比例,用这个地区10万户居民,乘以做出的农村没有冰箱的所占的比例,得到结果.解答解∵在1000户住户中,农村住户无有冰箱的有160户,∴在所有居民中农村五冰箱的住户所占的比例是∴由分层抽样按比例抽取可得×100000=16000.故选A点评本题考查分层抽样,分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等. 5.(5分)(xx•潮州二模)x>1是的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题不等式的解法及应用.分析先解出的解,再判断两命题的关系即可.解答解由,得x>1或x<0,∴x>1能推出;反之,则由x>1或x<0,不可以推出x>1,故前者是后者的充分不必要条件,故选A.点评本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要注意不等式的合理运用. 6.(5分)(xx•上海)下列函数中,周期为1的奇函数是( ) A.y=1﹣2sin2πxB.C.D.y=sinπxcosπx考点三角函数的周期性及其求法;正弦函数的奇偶性.专题计算题.分析对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数,排除;对于B验证不是奇函数可排除;对于C求周期不等于1排除;故可得答案.解答解∵y=1﹣2sin2πx=cos2πx,为偶函数,排除A.∵对于函数,f(﹣x)=sin(﹣2πx+)≠﹣sin(2πx+),不是奇函数,排除B.对于,T=≠1,排除C.对于y=sinπxcosπx=sin2πx,为奇函数,且T=,满足条件.故选D.点评本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法,一般先将函数化简为y=Asin(wx+ρ)的形式,再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题. 7.(5分)(xx•潮州二模)设m、n是两条直线,α、β是两个不同平面,下列命题正确的是( ) A.若m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥βB.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n C.若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥βD.若α∥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n考点命题的真假判断与应用;平面与平面之间的位置关系.专题计算题.分析若m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α与β相交或平行;若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m与n平行、相交或异面;若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n与β相交,或n⊂β;若α∥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n.解答解若m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α与β相交或平行,故A不正确;若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m与n平行、相交或异面,故B不正确;若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n与β相交,或n⊂β,故C不正确;若α∥β,m⊥α,则m⊥β,再由n∥β,得m⊥n,故D正确.故选D.点评本题考查命题的真假判断及应用,是基础题.解题时要认真审题,注意平面的基本性质及其推论的应用. 8.(5分)(xx•潮州二模)点P(a,b)关于l x+y+1=0对称的点仍在l上,则a+b=( ) A.﹣1B.1C.2D.0考点点到直线的距离公式.专题直线与圆.分析由点P(a,b)关于l x+y+1=0对称的点仍在l上,可知点P(a,b)在直线l上,代人解出即可.解答解∵点P(a,b)关于l x+y+1=0对称的点仍在l上,∴点P(a,b)在直线l上,∴a+b+1=0,解得a+b=﹣1.故选A.点评正确理解“点P(a,b)关于l x+y+1=0对称的点仍在l上得点P(a,b)在直线l上”是解题的关键. 9.(5分)(xx•潮州二模)已知如程序框图,则输出的i是( ) A.9B.11C.13D.15考点循环结构.专题计算题.分析写出前5次循环的结果,直到第五次满足判断框中的条件,执行输出.解答解经过第一次循环得到S=1×3=3,i=5经过第二次循环得到S=3×5=15,i=7经过第三次循环得到S=15×7=105,i=9经过第四次循环得到S=105×9=945,i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395,i=13此时,满足判断框中的条件输出i故选C点评解决程序框图中的循环结构的问题,一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果,找规律. 10.(5分)(xx•潮州二模)为加强食品安全管理,某市质监局拟招聘专业技术人员x名,行政管理人员y名,若x、y满足,则z=3x+3y的最大值为( ) A.4B.12C.18D.24考点二元一次不等式(组)与平面区域.专题不等式的解法及应用.分析首先作出已知不等式组所对应的平面区域如图,然后设直线l z=3x+3y,将直线l进行平移,可得当直线l经过交点P(2,2)时,z达到最大值,且x,y都是正整数,从而得到z的最大值.解答解将不等式组,对应的平面区域作出,即图中的三角形及其内部设直线l z=3x+3y,将直线l进行平移,当l越向上平移时,z的值越大.当直线l经过直线y=x与y=﹣x+4的交点P(2,2)时,z有最大值,且x,y都是正整数∴z的最大值是2×3+3×2=12故选B.点评本题给出目标函数和线性约束条件,要我们求目标函数的最大值,着重考查了简单线性规划及其应用的知识点,属于基础题.
二、填空题本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题;如果二题都做,则按第14题评分)11.(5分)(xx•潮州二模)等比数列{an}中,公比q=2,前3项和为21,则a3+a4+a5= 84 .考点等比数列的性质.专题计算题.分析因为数列{an}为等比数列,所以把a3+a4+a5用a1+a2+a3表示,再根据公比q=2,前3项和为21,就可求出a3+a4+a5的值.解答解∵数列{an}为等比数列,∴a3=a1•q2,a4=a2•q2,a5=a3•q2,∴a3+a4+a5=a1•q2+a2•q2+a3•q2=q2(a1+a2+a3)又∵q=2,∴a3+a4+a5=4(a1+a2+a3)∵前3项和为21,∴a1+a2+a3=21∴a3+a4+a5=4×21=84故答案为84点评本题主要考查等比数列的性质的应用,关键是能够找出a3+a4+a5与a1+a2+a3的关系. 12.(5分)(xx•潮州二模),都是单位向量,且与的夹角为60°,则|+|= .考点向量的模.专题计算题.分析根据题意,先求出•=,结合公式|+|2=2+2•+2计算并开方可得答案.解答解根据题意,||=||=1,且、的夹角为60°,则•=,则|+|2=2+2•+2=3,故|+|=;故答案为.点评本题考查向量模的计算,求向量的模,一般用||2=2,转化为数量积的运算. 13.(5分)(xx•潮州二模)比较大小lg9•lg11 < 1(填“>”,“<”或“=”)考点对数的运算性质;不等关系与不等式.专题计算题.分析由基本不等式可得,lg9•lg11,利用对数的运算性质即可判断解答解∵lg9>0,lg11>0∴lg9•lg11=(2<1故答案<点评本题主要考查了基本不等式及对数的运算性质的简单应用,属于基础试题 14.(5分)(xx•潮州二模)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点M(2,)到直线lρsin(θ+)=的距离为 .考点简单曲线的极坐标方程;点到直线的距离公式.专题计算题.分析先求出点M和直线l的直角坐标方程,利用点到直线的距离公式求点M到直线l的距离.解答解点M(2,)的直角坐标为(1,),直线lρsin(θ+)=的直角坐标方程为x+y﹣1=0,∴点M到直线l的距离d==,故答案为.点评本题考查极坐标和直角坐标的互化,点到直线的距离公式的应用,应用点到直线的距离公式求点M到直线l的距离是解题的关键. 15.(xx•潮州二模)如图,已知OA=OB=OC,∠ACB=45°,则∠OBA的大小为 45° .考点圆周角定理.专题计算题.分析结合题意,可分析得出点A、B、C在以点O位圆心,以OA长为半径的圆周上,即可得出∠ACB和∠AOB分别为圆周角和圆心角,且两角对应的弧相等,即可得出∠AOB=2∠ACB=80°.解答解根据题意,可以以点O为圆心,以OA为半径作圆,即可得出点A、B、C均在圆周上,根据圆周角定理,故有∠AOB=2∠ACB=90°.由△OAB为等腰三角形,所以∠OBA=45°故答案为45°点评本题主要考查了学生对知识的灵活运用能力和对问题的分析能力,属于常规性试题,是学生练习的很好的题材.
三、解答题本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)(xx•潮州二模)已知函数
(1)在给定的坐标系内,用五点法画出函数y=f(x)在一个周期内的图象;
(2)若,求sin2x的值.考点五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象;两角和与差的正弦函数.专题三角函数的图像与性质.分析
(1)直接利用五点法,令2x+=0,,π,,2π,列表求出对应的x即可找到五个特殊点的坐标,即可得到函数图象.
(2)先根据已知条件求出cos(2x+)的值,在利用两角差的正弦公式即可求出结论.解答解
(1)列表x0π2πf(x)010﹣10…(2分)描点,连线,得y=f(x)在一个周期内的图象.如右图所示.…(5分)(描5个点正确给(1分),图象基本正确给2分)
(2)由已知得∵,∴…(6分)∴…(8分)从而…(12分).点评本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,用五点法作函数y=Asin(ωx+∅)在一个周期内的图象,属于中档题. 17.(12分)(xx•潮州二模)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)甲、乙按以上规则各摸一个球,求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率;
(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.考点等可能事件的概率.专题计算题.分析
(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是甲、乙二人取出的数字共有5×5等可能的结果,满足条件的事件包含的基本事件可以列举出,根据概率公式得到结果.
(2)这种游戏规则不公平,甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个,做出甲胜的概率,根据对立事件的概率做出乙胜的概率,两者相比较得到结论.解答解
(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为(1,5),(2,4)(3,3),(4,2),(5,1)共5个.又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25等可能的结果,∴.即编号的和为6的概率为.
(2)这种游戏规则不公平.设甲胜为事件B,乙胜为事件C,则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).∴甲胜的概率P(B)=,从而乙胜的概率P(C)=1﹣=.由于P(B)≠P(C),∴这种游戏规则不公平.点评本题主要考查古典概型,解决古典概型问题时最有效的工具是列举,大纲中要求能通过列举解决古典概型问题,也有一些题目需要借助于排列组合来计数. 18.(14分)(xx•潮州二模)已知椭圆C的两个焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点B(2,0),设点P是椭圆C上任一点,求的取值范围.考点平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析
(1)设椭圆C的方程为,利用椭圆定义可求2a,进而可求a,结合已知c,利用b2=a2﹣c2可求b,进而可求椭圆方程
(2)先设,利用向量的数量积的坐标表示可求,结合点P在椭圆上及椭圆的性质可求解答解
(1)设椭圆C的方程为…(1分)由椭圆定义,…(4分)∴,∵c=1,∴b2=a2﹣c2=1.…(5分)故所求的椭圆方程为.…(6分)
(2)设…(7分)∴…(9分)∵点P在椭圆上,∴…(10分)∴∵…(12分)∴x=1,有最小值;,有最大值∴,∴的范围是…(14分)点评本题主要考查了利用椭圆的定义及性质求解椭圆方程及椭圆性质的简单应用. 19.(14分)(xx•潮州二模)如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G.
(1)求证AE⊥平面BCE;
(2)求证AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥E﹣ADC的体积.考点直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.分析
(1)由已知中AD⊥平面ABE,AD∥BC,得到BC⊥平面ABE,即AE⊥BC,又由BF⊥平面ACE,即BF⊥AE,再由线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面BCE;
(2)连接GF,由已知BF⊥平面ACE,我们易得GF∥AE,由线面平行的判定定理,可以得到AE∥平面BFD;
(3)由已知可得三棱锥E﹣ADC的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积,求出三棱锥E﹣ABC的体积,即可得到棱锥E﹣ADC的体积.解答解
(1)证明∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,∴AE⊥BC.(2分)又∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE(4分)
(2)连接GF,∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥CE∵BE=BC,∴F为EC的中点;∵矩形ABCD中,G为两对角线的交点且是两线段的中点,∴GF∥AE,(7分)∵GF⊂平面BFD,AE⊄平面BFD,∴AE∥平面BFD.(8分)
(3)∵三棱锥E﹣ADC的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积∵VE﹣ABC==故棱锥E﹣ADC的体积为点评本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,棱锥的体积,及直线与平面平行的判定,其中熟练掌握空间中直线与平面的平行及垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键. 20.(14分)(xx•潮州二模)已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn,且,a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证.考点数列递推式;数列的求和.专题等差数列与等比数列.分析
(1)利用an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)即可得到an+1﹣an﹣1=2.分n为奇数和偶数讨论即可得到an;
(2)利用
(1)通过放缩,利用“裂项求和”即可证明.解答
(1)解∵,
①∴,
②①﹣
②得∵an≠0,∴an+1﹣an﹣1=2.数列{an}的奇数项组成首项为a1=1,公差为2的等差数列;偶数项组成首项为a2,公差为2的等差数列.∵a1=1,∴,∴a2n﹣1=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,a2n=2+(n﹣1)×2=2n.∴数列{an}的通项公式为an=n.(n∈N*);
(2)证明当n≥3时,,则当n=1时,;当n=2时,;∴.点评熟练掌握数列的通项与其前n项和公式之间的关系、分类讨论思想方法、放缩法、裂项求和法是解题的关键. 21.(14分)(xx•潮州二模)已知函数f(x)=x3﹣3x.
(1)求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程;
(2)若过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围、考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题.分析
(1)先求导数f(x)=3x2﹣3,欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=2处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(2)先将过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线转化为方程2x3﹣3x2+m+3=0(*)有三个不同实数根,记g(x)=2x3﹣3x2+m+3,g(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1),下面利用导数研究函数g(x)的零点,从而求得m的范围.解答解
(1)f(x)=3x2﹣3,f
(2)=9,f
(2)=23﹣3×2=2(2分)∴曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y﹣2=9(x﹣2),即9x﹣y﹣16=0(4分)
(2)过点A(1,m)向曲线y=f(x)作切线,设切点为(x0,y0)则y0=x03﹣3x0,k=f(x0)=3x02﹣3.则切线方程为y﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(x﹣x0)(6分)将A(1,m)代入上式,整理得2x03﹣3x02+m+3=0.∵过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线∴方程2x3﹣3x2+m+3=0(*)有三个不同实数根、(8分)记g(x)=2x3﹣3x2+m+3,g(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1)、令g(x)=0,x=0或
1、(10分)则x,g(x),g(x)的变化情况如下表x(﹣∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g(x)+0﹣0+g(x)递增极大递减极小递增当x=0,g(x)有极大值m+3;x=1,g(x)有极小值m+
2、(12分)由题意有,当且仅当即时,函数g(x)有三个不同零点、此时过点A可作曲线y=f(x)的三条不同切线.故m的范围是(﹣3,﹣2)(14分)点评本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题. 。