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2019-2020年高三第二次模拟数学理科试卷含解析
一、单选题(共8小题)1.已知集合,则的子集共有 A.个B.个C.个D.个考点集合的运算答案B试题解析所以的子集有共4个故答案为B2.若满足则的最大值为( )A.B.C.D.考点线性规划答案D试题解析作可行域由图知当目标函数线过B()时,目标函数值最大,为故答案为D3.执行如图所示的程序框图,若输入的值为2,则输出的值为( )A.3B.4C.5D.6考点算法和程序框图答案C试题解析否;否;否;否;是,故输出的值为
5.故答案为C4.在的展开式中,的系数为( )A.B.C.D.考点二项式定理与性质答案A试题解析的展开式的通项公式为,令所以的系数为故答案为A5.设函数,若,则( )A.2B.-2C.1D.0考点函数的奇偶性答案D试题解析所以故答案为D6.多面体的底面为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则的长为( )A.B.C.D.考点空间几何体的三视图与直观图答案C试题解析由正(主)视图和侧(左)视图知AB=4,AD=2,MN=
2.设M在底面内的射影为M’,所以MM’=
2.则AM’=所以AM=故答案为C7.已知等差数列满足,且前项和,则的最大值为( )A.B.C.D.考点等差数列答案C试题解析,又得显然越小,越大,又因为,所以是9的倍数,所以=1时,不是9的倍数;=2时,=故答案为C8.为促进资源节约型和环境友好型社会建设,引导居民合理用电、节约用电,北京居民生活用电试行阶梯电价.其标准如下表 北京市某户居民xx年1月的平均电费为
0.4983(元/千瓦时),则该用户1月份的用电量为( )A.千瓦时B.千瓦时C.千瓦时D.千瓦时考点函数模型及其应用答案B试题解析当用电量为400千瓦时时,平均电费为所以该用户1月份的用电量小于400千瓦时且大于240千瓦时.设该用户1月份的用电量为x千瓦时,所以有解得千瓦时故答案为B
二、填空题(共6小题)
9.定积分的值为___.考点积分答案试题解析故答案为
10.已知是圆的切线,切点为,,是圆的直径,交圆于点圆,∠°,则圆的半径为___.考点圆相似三角形答案试题解析由弦切角定理知∠°又是圆的直径,所以.所以,所以AB=.在直角三角形ABC中,AC=2R所以AB=R=.故答案为
11.已知,若是的必要而不充分条件,则实数的取值范围是___.考点充分条件与必要条件答案试题解析若是的必要而不充分条件,则q是p的真子集,所以故答案为
12.抛物线的准线的方程为____,若直线过双曲线的一个焦点且双曲线的离心率为2则该双曲线的方程为___.考点双曲线抛物线答案试题解析抛物线中,且焦点在x轴正半轴,所以其准线的方程为x=-
2.若直线过双曲线的一个焦点则,所以.又双曲线的离心率为2所以所以该双曲线的方程为故答案为
13.直线与函数的图象交于不与坐标原点重合两点,点的坐标为,则___.考点平面向量的几何应用函数的奇偶性答案试题解析因为与函数都是奇函数,所以两点关于原点对称,所以所以故答案为
14.已知函数
①若,且关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是___;
②若关于的方程有且只有一个实根,则实数的取值范围是___.考点零点与方程分段函数,抽象函数与复合函数答案试题解析若则时,时,所以结合分段函数的图像知要使方程有两个不同的实根,则若关于的方程有且只有一个实根,显然只有一个实根显然.所以是方程的实根所以时,与y=1无交点a0时,在x轴下方,成立;时,所以要使与无交点,则-a1即综上故答案为
三、解答题(共6小题)
15.如图,在△中,点在边上,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求△的面积.考点正弦定理两角和与差的三角函数同角三角函数的基本关系式答案(Ⅰ)(Ⅱ)7试题解析(Ⅰ)因为,C是三角形内角所以.又因为,所以..(Ⅱ)在中,由,得.所以
16. 随着2022年北京冬奥会的成功申办,冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式.为普及冰雪运动,寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营.其中一班有3名男生和1名女生参加,二班有2名男生和2名女生参加.活动结束时,要从参加冬令营的学生中选出部分学生进行展示.(Ⅰ)若要从参加冬令营的这8名学生中任选4名,求选出的4名学生中有女生的概率;(Ⅱ)若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选2名,设随机变量表示选出的女生人数,求的分布列和数学期望.考点随机变量的期望与方差随机变量的分布列古典概型答案(Ⅰ)13/14(Ⅱ)的分布列为试题解析(Ⅰ)从参加冬令营的8名学生中任选4名,有女生的概率为(Ⅱ)随机变量的可能取值为,所以的分布列为
17.如图,已知直角梯形与等腰梯形所在的平面互相垂直,,,,.(Ⅰ)证明;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)判断直线与平面的位置关系,并说明理由.考点利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角平行垂直答案(Ⅰ)取中点,连结,由已知可得是平行四边形,所以,所以又平面平面,平面平面所以平面,又平面,所以(Ⅱ)二面角的余弦值为(Ⅲ)直线与平面平行.平面的法向量为,因为所以所以平面试题解析(Ⅰ)取中点,连结,由已知可得是平行四边形,所以,所以又平面平面,平面平面所以平面,又平面,所以(Ⅱ)因为平面平面,平面平面所以平面,由(Ⅰ)知如图,以为坐标原点,以为轴,建立空间直角坐标系,设平面的法向量为,则即所以 设平面的法向量为,则即所以 所以二面角的余弦值为(Ⅲ)直线与平面平行.平面的法向量为,因为所以所以平面
18.已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.考点导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性答案(Ⅰ)函数增区间为,,减区间为(Ⅱ)的取值范围为.试题解析(Ⅰ)当时,…………2分令得变化情况所以函数增区间为,,减区间为(Ⅱ)当时,若在上有两个极值点,在上至少有两零点,即方程在上至少有两个不等实根,即方程在上至少有两个不等实根设, 解的在上单增,在上单减所以在上的最大值为又 所以要使方程有两个不等实根,的取值范围为设,解得当时,且在单调递减;在单调递增.设为方程的两个不等实根,则在上,在上,在上所以在上,在上,在上即为的两个极值点综上所述,在内存在两个极值点时,的取值范围为.
19.已知椭圆过点,且长轴长是焦距的倍.过椭圆左焦点F的直线交椭圆于A,B两点,O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若直线AB垂直于x轴,判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由;(Ⅲ)若点O在以线段AB为直径的圆内,求直线AB的斜率的取值范围.考点圆锥曲线综合椭圆答案(Ⅰ)椭圆的标准方程为(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程是由得所以,又因为所以点O在以线段AB为直径的圆外(Ⅲ)试题解析(Ⅰ)因为长轴长是焦距的倍,所以,即又因为椭圆过点,所以由,得所以椭圆的标准方程为(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当直线AB垂直于x轴时,直线AB的方程是由得所以,又因为所以点O在以线段AB为直径的圆外(Ⅲ)设直线AB的方程为,,,由得所以因为点O在以线段AB为直径的圆内,所以为钝角,所以整理得所以
20.已知函数,数列满足,.(Ⅰ)当时,写出数列的通项公式;(Ⅱ)是否存在实数,使得数列是等比数列?若存在,求出所有符合要求的的值;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)当时,求证.(其中是求乘积符号,如,)考点数列综合应用答案(Ⅰ)数列的通项公式为 (Ⅱ)由已知,所以,,假设存在实数,使数列为等比数列,则必有,且所以,即,解得因为当时,,,数列为等比数列,所以存在,使得数列是等比数列(Ⅲ)因为,,所以且,即所以所以设当时,,所以即当时, 所以当时, 试题解析(Ⅰ),所以数列的通项公式为 (Ⅱ)由已知,所以,,假设存在实数,使数列为等比数列,则必有,且所以,即,解得因为当时,,,数列为等比数列,所以存在,使得数列是等比数列(Ⅲ)因为,,所以且,即所以所以设当时,,所以即当时, 所以当时, 。