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2019-2020年高三第二次模拟突破冲刺数学试题
(五)含答案1.选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知全集U={l,2,3,4,5},集合A={l,2.4},集合B={l,5},则()A.{24}B.{1,24}C.{2345}D.{l2345}【解析】,所以,选A.
2.是虚数单位,则的虚部是( )A. B. C. D.【解析】=,选C.
3.设分别是的三个内角所对的边,若的( ) A.充分不必要条件;B.必要不充分条件;C.充要条件;D.既不充分也不必要条件;【解析】若,由正弦定理得或反之,则,故选B4.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若,则”的否命题为“若,则”B.命题“”的否定是“”C.命题“若,则”的逆否命题为假命题D.若“p或q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题【解析】“若,则”的否命题为“若,则”,所以A错误“”的否定是“”所以B错误若,则,原命题正确,所以若,则”的逆否命题为真命题,所以C错误D正确,选D.
5.文科若为等差数列,是其前n项的和,且,则=(C)A.B.C.D.【解析】,选C.5(理科)如果的展开式中的常数项为,则直线与曲线围成图形的面积为()A.B.9C.D.【解析】展开式的通项为,所以当时,即常数项为,所以直线方程为,由得或,所以曲线所围成图形的面积为,选C.6.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积是【解析】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥红线图形则正方体的边长为2,所以所以四棱锥的体积为,选A.
7.已知椭圆的焦点为,,在长轴上任取一点,过作垂直于的直线交椭圆于点,则使得的点的概率为()A.B.C.D.【解析】设,则,,概率为,选D8.已知函数,若,则函数的零点个数是A.1B.4C.3D.2【解析】由,得若,则,所以或,解得或若,则,所以或,解得或成立,所以函数的零点个数是4个,选B.9.设为双曲线的左焦点,在轴上点的右侧有一点,以为直径的圆与双曲线左、右两支在轴上方的交点分别为、,则的值为(C)A.B.C.D.【解析】对有,特殊情形为右焦点,,选C二.填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.若,且,则=.【解析】因为,填
112.若某算法流程图如右图所示,则该程序运行后输出的B等于【解析】第一次循环,;第二次循环,;第三次循环,;第四次循环,;第五次循环,;第六次循环,满足条件输出填6313.已知变量x、y,满足的最大值为【解析】设,则做出不等式组对应的可行域如图为三角形内做直线,平移直线,当直线经过点C时,直线的截距最大,此时最大,对应的也最大,由得即代入得,所以的最大值为,填
3.14(文科)给出下列等式,,,……请从中归纳出第个等式.【解析】易得第个等式;
14.理科将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为【解析】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生则,从4人中先选2人一个班,然后在分班,有种若甲乙两人分在一个班则有种,所以甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为种,填
3015.(文科)若函数的定义域和值域均为则的范围是____________【解析】方程有两个不同正根,函数和相切时,由对数函数性质知填(理科)三.选做题请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题评阅计分,本题共5分
(1).(坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下,点是极点,则的面积等于_______;
2.不等式选择题)关于的不等式的解集是________理科
四、文科三本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,向量=(sinAb+c),=(a-csinC-sinB)满足=(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设=(sin(C+))=(2kcos2A)(k1)有最大值为3,求k的值.17.(理科)(本小题满分12分)PM
2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于
2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,根据现行国家标准GB3095–xx,PM
2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75毫克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区xx年全年每天的PM
2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示PM
2.5日均值(微克/立方米)
[2535]3545]4555]5565]6575]7585]频数311113
(1)从这10天的PM
2.5日均值监测数据中,随机抽取3天,求恰有1天空气质量达到一级的概率;
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM
2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列;
(3)以这10天的PM
2.5日均值来估计一年的空气质量状况,则一年(按366天算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级(精确到整数)17.(文科)(本小题满分12分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本,得频率分布表如下组号分组频数频率第一组[230,
23580.16第二组[235,240
①
0.24第三组[240,24515
②第四组[245,
250100.20第五组[250,255]
50.10合计
501.00
(1)写出表中
①②位置的数据;
(2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第
三、
四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,分别求第
三、
四、五各组参加考核人数;
(3)在
(2)的前提下,高校决定在这6名学生中录取2名学生,求2人中至少有1名是第四组的概率.18.(文科)(本小题满分12分)长方体中,,,是底面对角线的交点.Ⅰ求证平面;Ⅱ求证平面;Ⅲ求三棱锥的体积19.已知各项均不相等的等差数列的前三项和为18,是一个与无关的常数,若恰为等比数列的前三项,
(1)求的通项公式.
(2)记数列,的前三项和为,求证20.(本小题满分13分)已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.(I)求动点的轨迹的方程;(II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.
21.文科(本小题满分14分)设函数(Ⅰ若函数在处与直线相切,
①求实数,b的值;
②求函数上的最大值;Ⅱ当时,若不等式对所有的都成立,求实数m的取值范围
21.理科(本小题14分)已知函数,当时,函数取得极大值.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证当,时,对任意大于,且互不相等的实数都有参考答案=2ksin(C+)+cos2A=2ksin(C+B)+cos2A=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+(k1).……8分而0AsinA∈(01]故当sinA=1时,取最大值为2k-=3得k=.……12分17(理科)解:解(Ⅰ)记“从10天的PM
2.5日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件,.(Ⅱ)依据条件,服从超几何分布其中,的可能值为,其分布列为(Ⅲ)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为,一年中空气质量达到一级或二级的天数为,则~,一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级17(文科)解
(1)
①的位置为12,
②的位置为030……4分
(2)抽样比为,所以第
三、
四、五组抽中的人数为
3、
2、1……8分
(3)设2人中至少有1名是第四组为事件A,则……12分……4分18(文科)解:Ⅰ证明依题意,且在平面外.…2分∴平面……3分Ⅱ证明连结∵∴平面…………4分又∵在上,∴在平面上∴……5分∵∴∴∴中,…6分同理∵中,∴…7分,∴平面……8分Ⅲ解∵平面∴所求体积…12分
18.解:
(1)由题意正三棱台高为……..2分………..4分
(2)设分别是上下底面的中心,是中点,是中点.以为原点,过平行的线为轴建立空间直角坐标系.,,,,,,,设平面的一个法向量,则即取,取平面的一个法向量,设所求角为则……..8分
(3)将梯形绕旋转到使其与成平角,由余弦定理得即的最小值为……..13分19/解
(1)是一个与无关的常数………2分又………4分………6分
(2)…8分又因为即……12分所以……12分20.解解析
(1)设动点的坐标为,由题意得…2分化简得当时;当时所以动点的轨迹的方程为和()………………………5分
(2)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为.由设则,…6分因为,所以的斜率为.设,则同理可得,……7分………10分…12分当且仅当即时,取最小值16.…13分
21.文科解:
(1)
①函数在处与直线相切解得……3分
②当时,令得;令,得上单调递增,在[1,e]上单调递减,……8分
(2)当b=0时,若不等式对所有的都成立,则对所有的都成立,即对所有的都成立,令为一次函数,上单调递增,对所有的都成立………14分
21.(理科)解(Ⅰ).由,得,此时.当时,,函数在区间上单调递增;当时,,函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值,故.…………………………3分(Ⅱ)令,………4分则.函数在上可导,存在,使得.又当时,,单调递增,;当时,,单调递减,;故对任意,都有.…………………………8分(Ⅲ)用数学归纳法证明.
①当时,,且,,,由(Ⅱ)得,即,当时,结论成立.…………………………9分
②假设当时结论成立,即当时,.当时,设正数满足令,则,且.。