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2019-2020年高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题
(一)含答案
1.选择题本大题共12小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中只有一是符合题目要求的.
1.已知复数满足其中是虚数单位满足则复数的共轭复数在复平面中对应的点在第几象限()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.要得到函数的图象,只需要将函数的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位
3.设,则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件
4.先后掷骰子两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件为“x+y为偶数”,事件为“”,则概率()A.B.C.D.
5.如果双曲线的一条渐近线与直线平行,则双曲线的离心率为( ) A.B.C.2D.
36.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD如图2,则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是 A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直
7.已知向量的夹角为钝角,则函数的最小值为()A.xxB.2014C.xxD.xx
8.已知函数(,,均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是()ABCD
9.执行如图所示的算法,则输出的结果是()A.1B.C.D.
210.的展开式中,的系数为A15B25C30D
5011.已知AB是球O的球面上两点,∠AOB=600C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为,则球O的表面积为A.36πB.64πC.144πD.256π
12.已知函数fx=|log2x|-mm0的零点分别为x1x2x1x2函数gx=|log2x|的零点分别为x3x4x3x4则的最小值为 A.4B.8C.4D.8二.填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.已知函数(为常数)若在区间上是增函数,则的取值范围是
14.已知抛物线Γy2=4x的焦点为F,P是Γ的准线上一点,Q是直线PF与Γ的一个交点.若则直线PF的方程为 .
15.已知abc分别是△ABC的三个内角ABC所对的边,若a=1b=A+C=2B则sinC=.
16.设满足约束条件,若的最大值是12,则的最小值是三.解答题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知是锐角,且tan=,数列数列的首项,
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和
18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=
2.1证明AC1⊥A1B;2设二面角A1-AB-C的正切值为.求直线AA1与平面BCC1B1的距离
19.(本小题满分12分)甲乙两支蓝球队进行总决赛,比赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入50万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.(Ⅰ)求总决赛中获得门票总收入恰好为350万元的概率;(Ⅱ)设总决赛中获得的门票总收入为,求的均值.
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知点,点在直线上,点满足,,点的轨迹为曲线.
(1)求的方程;
(2)设直线与曲线有唯一公共点,且与直线相交于点试探究,在坐标平面内是否存在点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
21.(本小题满分12分)已知函数fx=ex-kx2e为自然对数的底数,x∈R.1若k=,求证当x∈0,+∞时,fx>1;2若fx在区间0,+∞上单调递增,试求k的取值范围;3求证…<e4n∈N*.四.请考生在第
22、
23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图,在直角中,,为边上异于的一点,以为直径作,分别交于点.(Ⅰ)证明四点共圆;(Ⅱ)若为中点,且,求的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程已知在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆锥曲线的极坐标方程为,F1是圆锥曲线的左焦点.直线t为参数.(Ⅰ)求圆锥曲线的直角坐标方程和直线的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线与圆锥曲线交于两点,求|F1M|+|F1N|.24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知函数,.
(1)解关于的不等式;
(2)若函数的图像恒在函数图像的上方,求实数的取值范围.参考答案
1.D
2.B
3.A
4.D
5.C
6.C
7.C
8.C
9.A
10.C
11.C
12.D
13.
14.或
15.
116.
17.【解析】
(1)为锐角
18.【解析】1因为A1D⊥平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C,连接A1C.因为侧面AA1C1C为菱形,故AC1⊥A1C.由三垂线定理得AC1⊥A1B.2方法
(1)BC⊥平面AA1C1C,BC平面BCC1B
1.故平面AA1C1C⊥平面BCC1B
1.作A1E⊥CC1,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B
1.作DF⊥AB,F为垂足,连接A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB,故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角.设AD=x则A1D=,,而tan∠A1FD==故x=1所以D是AC的中点为直线AA1与平面BCC1B1的距离方法
(2)可以建立空间坐标系来做,略
19.【解析】(I)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为50,公差为10的等差数列.设此数列为,则易知,解得(舍去)或,所以此决赛共比赛了5场.则前4场比赛的比分必为,且第5场比赛为领先的球队获胜,其概率为;(II)随机变量可取的值为,即260,350,450,560又所以,的分布列为260350450560所以的均值为
435.625万元
20.【解析】1设由得又,∴.由得即,∴曲线的方程式为.
(2)解法1由曲线C关于轴对称可知,若存在点,使得以为直径的圆恒过点,则点必在轴上,设,又设点,由直线与曲线有唯一公共点知,直线与曲线相切,由得,∴,∴直线的方程为令得,∴点的坐标为,∵点在以为直径的圆上,∴要使方程对恒成立,必须有解得,∴在坐标平面内存在点,使得以为直径的圆恒过点,其坐标为.
21.【解析】1fx=ex-x2,记hx=f′x=ex-x,则h′x=ex-1>0x>0.∴f′x在0,+∞上递增,∴f′x>f′0=1>
0.∴fx在0,+∞上单调递增,故fx>f0=
1.2方法1f′x=ex-2kx,下面求使f′x≥0x>0恒成立的k的取值范围.若k≤0,显然f′x>0,fx在区间0,+∞上单调递增;记φx=ex-2kx,则φ′x=ex-2k,当0<k<时,∵ex>e0=1,2k<1,∴φ′x>0,则φx在0,+∞上单调递增,于是f′x=φx>φ0=1>0,∴fx在0,+∞上单调递增;当k≥时,φx在0,ln2k上单调递减,在ln2k,+∞上单调递增,于是f′x=φx≥φln2k=eln2k-2kln2k,由eln2k-2kln2k≥0得2k-2kln2k≥0,则≤k≤.综上,k的取值范围为.方法2f′x=ex-2kx,下面求使f′x≥0x>0恒成立的k的取值范围.即k≤x>0恒成立,记φx=x>0,则φ′x=·=·x>0,∴φx在0,1上单调递减,在1,+∞上单调递增.φxmin=φ1=,则k≤x>0.∴k的取值范围为.3方法1由1知,对于x∈0,+∞,有ex>x2+1,∴e2x>2x2+
1.则ln2x2+1<2x,从而ln<n∈N*,于是ln+ln+ln+…+ln<+++…+<+++…+=2+21-+-+…+-=4-<4,故…<e4n∈N*.方法2由1知,对于x∈0,+∞,有ex>x2+1,∴e2x>2x2+1,则ln2x2+1<2x,从而有ln<n∈N*,又=<==2,∴+++…+<1+2=1+2<,于是ln+ln+ln+…+ln<2<<4,故…<e
4.
22.(本小题满分10分)【解析】(Ⅰ)连结,则,因为为直径,所以,因为,所以,所以,所以四点共圆.(Ⅱ)由已知为的切线,所以,故,所以,因为为中点,所以.因为四点共圆,所以,所以.
23.【解析】(Ⅰ)圆锥曲线的普通方程为,所以直线的直角坐标方程.(Ⅱ)将直线的参数方程(为参数),代入椭圆方程得,所以,t1+t2=4/5,t
1.t2=-12/5所以,|F1M|+|F1N|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=16/5.24.【解析】
(1)由得,故不等式的解集为
(2)∵函数的图象恒在函数图象的上方∴恒成立,即恒成立∵,∴的取值范围为.。