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2019-2020年高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题
(九)含答案一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,,则()A.B.C.D.2.复数(是虚数单位)的虚部是()A.B.C.D.3.下列命题中正确命题的个数是()
(1)将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与方差均没有变化;
(2)在回归直线中,增加1个单位时,一定减少2个单位;
(3)若为假命题,则均为假命题;
(4)命题使得,则均有;
(5)设随机变量服从正态分布,若,则;A.2B.3C.4D.54.已知sin2α=-,α∈(-,0),则sinα+cosα=()A.-B.C.-D.5.某程序框图如图所示若该程序运行后输出的值是则()A.B. C.D.6.若从区间内随机取两个数,则这两个数之积不小于的概率为()A.B.C.D.7.函数的最小正周期是,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称8.一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是A. B.C. D.9.已知双曲线的左、右焦点分别,,若双曲线上存在点P,使得,则该曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.C.D.10.对于函数,部分与的对应关系如下表123456789375961824数列满足,且对于任意,点都在函数的图像上,则A.7554B.7549C.7546D.753911.设椭圆方程为,右焦点方程的两实根分别为,则必在()A.圆内B.圆外C.圆上D.圆与圆形成的圆环之间12.已知函数,若函数有且只有两个零点,则的取值范围为()A.B.C.D.二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设,则.14.已知实数x,y满足,则的最大值为.15.在中,内角A、B、C的对边分别是,若,且,则________.16.如图所示,在圆中,与是夹角为的两条直径,分别是圆与直径上的动点,若,则的取值范围是________.三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列为等差数列,首项,公差.若成等比数列,且,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求和.18.(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位吨)进行统计,最近50天的统计结果如下日销售量
11.52天数102515频率
0.2ab若以上表中频率作为概率,且每天的销售量相互独立.(Ⅰ)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率;(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,X表示该种商品某两天销售利润的和(单位千元),求X的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,∥,顶点在底面内的射影恰为点.Ⅰ求证;Ⅱ若直线与直线所成的角为求平面与平面所成角(锐角)的余弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于点,当直线的倾斜角是时,的中垂线交轴于点.
(1)求的值;
(2)以为直径的圆交轴于点,记劣弧的长度为,当直线绕旋转时,求的最大值.21.(本小题满分12分)设函数.I求函数的单调区间;II若方程有两个不相等的实数根、,求证.选做题请考生从第
22、
23、24题中任选一题做答,并按要求在答题卷上相应位置做好标志.多答按所答的首题进行评分.22.(本小题满分10分)选修4—1几何证明选讲如图所示,已知与⊙相切,为切点,过点的割线交圆于两点,弦,相交于点,为上一点,且.(Ⅰ)求证;(Ⅱ)若,求的长.23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中圆C的参数方程为参数.以O为极点x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.Ⅰ求圆C的极坐标方程;Ⅱ射线与圆C的交点为O、P两点,求P点的极坐标.24.(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲.Ⅰ设函数.证明;Ⅱ若实数满足求证:参考答案一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)DCABABCBDADC二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.3014.15.16.三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)17.(12分)解1……………6分2……………12分18.12分解(Ⅰ),,………………………2分依题意,随机选取一天,销售量为吨的概率,设5天中该种商品有天的销售量为
1.5吨,则,.…………5分(Ⅱ)的可能取值为,………………7分则,,,所以的分布列为
456780.
040.
20.
370.
30.09………10分的数学期望.……12分19.12分解Ⅰ证明连接则平面,∴在等腰梯形中,连接∵,,∥∴又∴平面∴………………6分Ⅱ解法一∵∥∴∵∴在底面中作连接则所以为平面与平面所成角的一个平面角在中∴∴即平面与平面所成角锐角的余弦函数值为……………12分解法二由Ⅰ知、、两俩垂直,∵∥∴∴在等腰梯形中连接因∥,所以,建立如图空间直角坐标系,则,,设平面的一个法向量由得可得平面的一个法向量.又为平面的一个法向量.因此所以平面和平面所成的角锐角的余弦值为.20.(12分)解
(1)当的倾斜角为时,的方程为设得得中点为中垂线为代入得………………5分
(2)设的方程为,代入得中点为令∵到轴的距离∴当时,取最小值,的最大值为故的最大值为.…………………12分21.(12分)解If′x=2x-a-2-x0.当a≤0时,f′x﹥0,函数fx在0,+∞上单调递增,函数fx的单调增区间为0,+∞.当a﹥0时,由f′x﹥0,得x﹥;由f′x﹤0,得0x.所以函数fx的单调增区间为,单调减区间为.……………4分II证明因为x
1、x2是方程fx=c的两个不等实根,由1知a
0.不妨设0x1x2,则-a-2x1-alnx1=c,-a-2x2-alnx2=c.两式相减得-a-2x1-alnx1-+a-2·x2+alnx2=0,即+2x1--2x2=ax1+alnx1-ax2-alnx2=ax1+lnx1-x2-lnx2.所以a=.因为f′=0,当x∈时,f′x0,当x∈时,f′x0,故只要证即可,即证明x1+x2,即证明-+x1+x2lnx1-lnx2+2x1--2x2,即证明ln.设t=0t1.令gt=lnt-,则g′t=.因为t0,所以g′t≥0,当且仅当t=1时,g′t=0,所以gt在0,+∞上是增函数.又g1=0,所以当t∈0,1时,gt0总成立.所以原题得证………………12分选做题在第
22、
23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,满分10分.22.(10分)解(Ⅰ)∵∴∽∴……………………………………3分又∵∴∴∴∽,∴,∴又∵,∴.………………………………5分(Ⅱ)∵∴,∵∴由
(1)可知,解得.…………………………7分∴.∵是⊙的切线,∴∴,解得.……………………………………10分23.(10分)解Ⅰ圆C的普通方程是,又所以圆C的极坐标方程是………………………5分Ⅱ因为射线的普通方程为联立方程组消去并整理得解得或,所以P点的坐标为所以P点的极坐标为………………………10分解法2把代入得所以P点的极坐标为………………………10分24.(10分)证明:Ⅰ由,有所以………………………5分Ⅱ由柯西不等式得:当且仅当即时取“”号整理得:即……………………10分第8题图ABCDOEFABCDA1B1C1D1xyQABFMNOABCDA1B1C1D1xyz。