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xx届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题
(八)一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分每小题只有一个正确选项)1.复数(是虚数单位)在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.命题甲或;命题乙,则甲是乙的A.充分非必要条件;B.必要非充分条件;C.充要条件;D.既不是充分条件,也不是必要条件.3.在长为10㎝的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为()A.B.C.D.4.设,,是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是A.当时,若,则∥B.当时,若,则⊥C.当,且c是a在内的射影时,若,则D.当,且时,c∥,则b∥c5.在数列{}中,若对任意的n均有++为定值,且,,则数列的前100项的和S100=A.132B.299C.68D.996.执行如图所示的程序框图,输出的值是A.3B4C5D67.设等差数列满足,公差.若当且仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是A.B.C.D.8.已知椭圆和圆,过椭圆上一点引圆的两条切线,切点分别为.若椭圆上存在点,使得,则椭圆离心率的取值范围是()A.BCD9.如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,则()A.B.C.D.10.设函数的定义域为若存在常数使对一切实数均成立则称为“好运”函数.给出下列函数:
①;
②;
③;
④.其中是“好运”函数的序号为.A
①②B
①③C
③D
②④
2、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则它的常数项是.12.已知M,N为平面区域内的两个动点向量=(1,3)则·的最大值是13.设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为______________.14.研究问题“已知关于的不等式的解集为(1,2),解关于的不等式”,有如下解法由,令,则,所以不等式的解集为类比上述解法,已知关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为.
三、选作题本小题5分15.
(1).若关于的不等式的解集非空,则实数的取值范围是
(2).直线的参数方程是(其中为参数),圆的极坐标方程为,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是
4、解答题本大题共6小题,共75分16.(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)当时,函数的最大值与最小值的和为,求的解析式;(Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数的图像向右平移个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的2倍,再向下平移,得到函数,求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积
17.(本小题满分12分)在xx年全国高校自主招生考试中,某高校设计了一个面试考查方案考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立回答全部问题.规定至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答,2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为,且每题正确回答与否互不影响.I分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望;II试用统计知识分析比较两考生的通过能力.18.本小题满分12分已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.Ⅰ求此几何体的体积;Ⅱ求异面直线与所成角的余弦值;Ⅲ探究在上是否存在点Q,使得,并说明理由.19.(本小题满分12分)已知函数,若存在使得恒成立,则称是的一个“下界函数”.I如果函数(t为实数)为的一个“下界函数”,求t的取值范围;(II)设函数,试问函数是否存在零点,若存在,求出零点个数;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分13分)已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足.若点满足.Ⅰ求点的轨迹的方程;Ⅱ设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交于点、(为坐标原点),试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.21.(本小题满分14分) 已知A,B是函数的图象上的任意两点(可以重合),点M在直线上,且.
(1)求+的值及+的值
(2)已知,当时,+++,求;
(3)在
(2)的条件下,设=,为数列{}的前项和,若存在正整数、,使得不等式成立,求和的值.2019-2020年高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题
(八)含答案参考答案
三、选作题本小题5分
15.1;
15.
223、解答题本大题共6小题,共75分
16.(本小题满分12分)设函数.(Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)当时,函数的最大值与最小值的和为,求的解析式;(Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数的图像向右平移个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的2倍,再向下平移,得到函数,求图像与轴的正半轴、直线所围成图形的面积解(Ⅰ),(2分)∴.由,得.故函数的单调递减区间是.(6分)
(2).当时,原函数的最大值与最小值的和,.(8分)
(2)由题意知(10分)=1(12分)
17.(本小题满分12分)在xx年全国高校自主招生考试中,某高校设计了一个面试考查方案考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立回答全部问题.规定至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答,2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为,且每题正确回答与否互不影响.I分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望;II试用统计知识分析比较两考生的通过能力.解析I设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η,则ξ的可能取值为1,2,3,Pξ=1=eq\fCCC=,Pξ=2=eq\fCCC=,Pξ=3=eq\fCCC=,∴考生甲正确完成题数的分布列为ξ123PEξ=1×+2×+3×=
2.(4分)又η~B3,,其分布列为Pη=k=C·k·3-k,k=0,1,2,3;∴Eη=np=3×=
2.(6分)II∵Dξ=2-12×+2-22×+2-32×=,Dη=npq=3××=,(8分)∴DξDη.∵Pξ≥2=+=
0.8,Pη≥2=+≈
0.74,∴Pξ≥2Pη≥2.(10分)从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较强.(12分)18.本小题满分12分已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.Ⅰ求此几何体的体积;Ⅱ求异面直线与所成角的余弦值;Ⅲ探究在上是否存在点Q,使得,并说明理由.解(Ⅰ)由该几何体的三视图可知垂直于底面,且,,,,此几何体的体积为;3分解法一(Ⅱ)过点作交于,连接,则或其补角即为异面直线与所成角,在中,,,;即异面直线与所成角的余弦值为7分(Ⅲ)在上存在点Q,使得;取中点,过点作于点,则点为所求点;连接、,在和中,,∽,,,,,,,,以为圆心,为直径的圆与相切,切点为,连接、,可得;,,,,,;12分解法二(Ⅰ)同上(Ⅱ)以为原点,以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,得,,,又异面直线与所成角为锐角,可得异面直线与所成角的余弦值为(Ⅲ)设存在满足题设的点,其坐标为,则,,,,
①;点在上,存在使得,即,化简得,
②,
②代入
①得,得,;满足题设的点存在,其坐标为19.(本小题满分12分)已知函数,若存在使得恒成立,则称是的一个“下界函数”.I如果函数(t为实数)为的一个“下界函数”,求t的取值范围;(II)设函数,试问函数是否存在零点,若存在,求出零点个数;若不存在,请说明理由.解(Ⅰ)恒成立,,,……………2分令,则,……………4分当时,,在上是减函数,当时,,在上是增函数,……………6分(Ⅱ)由(I)知,
①,,令,则,…8分则时,,上是减函数,时,,上是增函数,
②,10分,
①②中等号取到的条件不同,,函数不存在零点.…12分
20.(本小题满分13分)已知点是椭圆的右焦点,点、分别是轴、轴上的动点,且满足.若点满足.Ⅰ求点的轨迹的方程;Ⅱ设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点,直线、与直线分别交于点、(为坐标原点),试判断是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.解Ⅰ椭圆右焦点的坐标为,………1分.,由,得.…………2分设点的坐标为,由,有,代入,得.………4分(Ⅱ)解法一设直线的方程为,、,则,.…………5分由,得,同理得.…………7分,,则.……8分由,得,.………9分则.……………11分因此,的值是定值,且定值为.………13分解法二
①当时,、,则,.由得点的坐标为,则.由得点的坐标为,则..……………6分
②当不垂直轴时,设直线的方程为,、,同解法一,得.…8分由,得,.…………9分则.…………11分因此,的值是定值,且定值为.…………13分
21.(本小题满分14分) 已知A,B是函数的图象上的任意两点(可以重合),点M在直线上,且.
(1)求+的值及+的值
(2)已知,当时,+++,求;
(3)在
(2)的条件下,设=,为数列{}的前项和,若存在正整数、,使得不等式成立,求和的值.解 (Ⅰ)∵点M在直线x=上,设M. 又=,即,, ∴+=
1.
①当=时,=,+=;
②当时,, +=+=== 综合
①②得,+.3分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当+=1时+ ∴,k=. n≥2时,+++ ,
① ,
②
①+
②得,2=-2n-1则=1-n. 当n=1时,=0满足=1-n.∴=1-n.7分。