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2019-2020年高三第二次质量抽测文科数学
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.(5分)(xx•昌平区二模)i是虚数单位,则复数z=在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算.专题计算题.分析利用复数的运算法则进行化简,再利用复数的几何意义即可得出.解答解∵复数z===2+i在复平面内对应的点为(2,1),而(2,1)在第一象限内,故选A.点评熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键. 2.(5分)(xx•昌平区二模)已知集合A={x|2x>1},B={x|x<1},则A∩B=( ) A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|0<x<1}D.{x|x<1}考点交集及其运算.专题函数的性质及应用.分析解指数不等式可以求出集合A,进而根据集合交集及其运算,求出A∩B.解答解∵集合B={x|2x>1}=(0,+∞),又B={x|x<1},故A∩B={x|0<x<1}故选C.点评本题考查的知识点是指数不等式的解法,集合的交集及其运算,其中解不等式求出集合A是解答本题的关键. 3.(5分)(xx•昌平区二模)已知命题p∀x∈R,x≥2,那么下列结论正确的是( ) A.命题¬p∀x∈R,x≤2B.命题¬p∃x∈R,x<2 C.命题¬p∀x∈R,x≤﹣2D.命题¬p∃x∈R,x<﹣2考点命题的否定.专题规律型.分析本题中所给的命题是一个全称命题,书写其否定要将结论变为相对的,还要改变量词,由此规则写出其否定即可解答解由题意p∀x∈R,x≥2,∴¬p∃x∈R,x<2,故选B.点评本题考查命题的否定,解题的关键是理解并掌握命题的否定书写的规律,对于两个特殊命题的否定,要记忆其书写规则,即全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,要注意量词的变化. 4.(5分)(xx•昌平区二模)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( ) A.102B.81C.39D.21考点程序框图.专题图表型.分析首先分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值,模拟程序的运行,运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果.解答解按照程序框图依次执行为S=0+1×31=3,n=2;S=3+2•32=21,n=3;S=21+3×33=102,n=4;此时n=4,不满足n<4,退出循环,输出S=102.故选A.点评本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到两个变量,注意每个变量的运行结果和执行情况. 5.(5分)(xx•昌平区二模)在区间上随机取一个数x,则事件“tanxcosx≥”发生的概率为( ) A.B.C.D.考点几何概型.专题概率与统计.分析先化简不等式,确定满足tanx•cosx≥且在区间内x的范围,根据几何概型利用长度之比可得结论.解答解∵tanx•cosx≥,即sinx≥且cosx≠0,∵x∈,∴x∈[,),∴在区间内,满足tanx•cosx≥发生的概率为P==.故选C.点评本题考查几何概型,考查三角函数的化简,考查学生的计算能力,属于中档题. 6.(5分)(xx•昌平区二模)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,经过x年,绿化面积与原绿化面积之比为y,则y=f(x)的图象大致为( ) A.B.C.D.考点函数的图象.专题计算题;函数的性质及应用.分析依题意,可得到绿化面积与原绿化面积之比的解析式,利用函数的性质即可得到答案.解答解设某地区起始年的绿化面积为a,∵该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,∴经过x年,绿化面积g(x)=a(1+18%)x,∵绿化面积与原绿化面积之比为y,则y=f(x)==(1+18%)x=
1.18x,∵y=
1.18x为底数大于1的指数函数,故可排除C,当x=0时,y=1,可排除A,B;故选D.点评本题考查函数的图象,着重考查指数函数的性质,考查理解与识图能力,属于中档题. 7.(5分)(xx•昌平区二模)已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( ) A.2B.3C.D.考点由三视图求面积、体积.专题计算题.分析三视图复原的几何体是四棱锥,利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积,得到最大值即可.解答解因为三视图复原的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点,底面边长分别为3,2,后面是直角三角形,直角边为3与2,所以后面的三角形的高为,右面三角形是直角三角形,直角边长为2,2,三角形的面积为.前面三角形是直角三角形,直角边长为3,2,其面积为=3,前左面也是直角三角形,直角边长为2,,三角形的面积为=,四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积3.故选D.点评本题考查三视图与几何体的关系,几何体的侧面积的求法,考查计算能力. 8.(5分)(xx•昌平区二模)定义一种新运算a•b=已知函数f(x)=(1+)•log2x,若函数g(x)=f(x)﹣k恰有两个零点,则k的取值范围为( ) A.(1,2]B.(1,2)C.(0,2)D.(0,1)考点根的存在性及根的个数判断.专题函数的性质及应用.分析由新定义可得函数f(x)的解析式,问题等价于函数f(x)与y=k的图象有两个交点,作出函数的图象可得答案.解答解令1+=log2x,可解得x=4,此时函数值为2,而且当0<x≤4时,1+≥log2x,当x>4时1+<log2x,故f(x)=(1+)•log2x=,函数g(x)=f(x)﹣k恰有两个零点等价于函数f(x)与y=k的图象有两个交点,作出函数的图象由图象可知,k的取值范围为(1,2)故选B点评本题考查根的存在性即个数的判断,数形结合是解决问题的关键,属中档题.
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)(xx•昌平区二模)在△ABC中,若a=4,b=5,c=,则∠C的大小为 120° .考点余弦定理.专题解三角形.分析与偶条件利用余弦定理求得cosC的值,即可得到∠C的大小.解答解∵在△ABC中,若a=4,b=5,c=,则由余弦定理可得cosC===﹣,故∠C=120°,故答案为120°.点评本题主要考查余弦定理的应用,特殊角的三角函数值,属于中档题. 10.(5分)(xx•昌平区二模)双曲线的一条渐近线方程为y=,则b= .考点双曲线的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析利用双曲线的渐近线方程即可得出.解答解∵双曲线的一条渐近线方程为y=,∴,解得.故答案为.点评正确理解双曲线的渐近线方程是解题的关键. 11.(5分)(xx•昌平区二模)某高校在xx年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩,绘制成频率分布直方图如图所示,由图中数据可知a=
0.040 ;若要从成绩在[85,90),[90,95),[95,100]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取12人参加面试,则成绩在[95,100]内的学生中,学生甲被选取的概率为 .考点频率分布直方图.专题概率与统计.分析根据频率分步直方图的性质可以知道,所有小正方形的面积之和等于各组的频率之和是1,列出四个小正方形的面积之和,得到关于a的方程,解方程即可;求出第
3、
4、5组共有12名学生,所以利用分层抽样在50名学生中抽取12名学生,得到第
3、
4、5组分别抽取的人数,由此能求出成绩在[95,100]内的学生中,学生甲被选取的概率.解答解由频率分步直方图知,(
0.016+
0.064+
0.06+a+
0.02)×5=1,∴a=
0.040.第3组的人数为
0.060×5×50=15,第4组的人数为
0.040×5×50=10.…(2分)第5组的人数为
0.020×5×50=5,因为第
3、
4、5组共抽30名学生,所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生(3分)每组抽取的人数分别为第3组×12=6,第4组×12=4,第5组×12=2,所以第
3、
4、5组分别抽取6人、4人、2人.…(5分)则成绩在[95,100]内的5个学生中抽2个,学生甲被选取的概率为.故答案为
0.040;.点评本题考查用样本的频率分布估计总体的分布,考查频率分步直方图的性质,考查频率、频数和样本容量之间的关系,本题是一个基础题. 12.(5分)(xx•昌平区二模)设与抛物线y2=﹣4x的准线围成的三角形区域(包含边界)为D,P(x,y)为D内的一个动点,则目标函数z=x﹣2y的最大值为 3 .考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析先确定平面区域,作出可行域,进而可求目标函数z=x﹣2y的最大值.解答解由题意,抛物线y2=﹣4x的准线x=1,它和不等式共同围成的三角形区域为,目标函数为z=x﹣2y+5,作出可行域如右图,由图象可知当直线经过点C时,直线z=x﹣2y+5的截距最小,此时z最大,点C的坐标为(1,﹣1),此时z=1﹣2×(﹣1)=3.故答案为3.点评本题考查抛物线的简单性质,考查线性规划知识,正确确定平面区域是关键. 13.(5分)(xx•昌平区二模)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为CD的中点,则= 1 .考点平面向量数量积的运算.专题计算题.分析将表示为,再利用向量的运算法则,数量积的定义求解.解答解在菱形ABCD中,∠BAD=60,∴△ABD为正三角形,<>=60°,=180°﹣60°=120°∵=,∴=(+)•=•+•=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1故答案为1.点评本题考查向量的数量积运算.关键是将将表示为.易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别,导致结果出错.本题还可以以为基底,进行转化计算. 14.(5分)(xx•昌平区二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,解答以下问题
(1)函数f(x)=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为 (,1) ;
(2)计算+…+f()= xx .考点函数的值;函数的零点;导数的运算.专题新定义;函数的性质及应用.分析
(1)根据函数f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得三次函数f(x)=x3﹣x2+3x﹣的对称中心.
(2)由f(x)=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为(,1),知f(x)+f(1﹣x)=2,由此能够求出+…+f().解答解
(1)∵f(x)=x3﹣x2+3x﹣,∴f′(x)=x2﹣x+3,g(x)=2x﹣1,令f(x)=2x﹣1=0,得x=,∵g()=+3×=1,∴f(x)=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为(,1),
(2)∵f(x)=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为(,1),∴f(x)+f(1﹣x)=2,∴+…+f()=2×1006=xx.故答案为(,1),xx.点评本小题主要考查函数与导数等知识,考查化归与转化的数学思想方法,考查化简计算能力,求函数的值以及函数的对称性的应用,属于难题.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(13分)(xx•昌平区二模)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a3=S3=9(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若等比数列{bn}满足b1=a2,b4=S4,求{bn}的前n项和公式.考点等比数列的前n项和;等差数列的通项公式.专题综合题;等差数列与等比数列.分析(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,由a3=S3=9,得,解出a1,d,由等差数列通项公式即可求得答案;(Ⅱ)设等比数列{bn}的公比为q,由b1=a2可得b1,由b4=S4可得q,由等比数列前n项和公式可得答案;解答解(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d.因为a3=S3=9,所以,解得a1=﹣3,d=6,所以an=﹣3+(n﹣1)•6=6n﹣9;(II)设等比数列{bn}的公比为q,因为b1=a2=﹣3+6=3,b4=S4=4×(﹣3)+=24,所以3q3=24,解得q=2,所以{bn}的前n项和公式为=3(2n﹣1).点评本题考查等差数列的通项公式及等比数列的前n项和公式,通项公式、前n项和公式是解决等差、等比数列的基础,应熟练掌握. 16.(13分)(xx•昌平区二模)已知函数f(x)=﹣2cos2x+1,x∈R.(Ⅰ)求f();(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.考点正弦函数的单调性;诱导公式的作用;两角和与差的正弦函数;三角形中的几何计算.专题三角函数的图像与性质.分析(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为2sin(2x﹣),由此求得f()的值.(Ⅱ)根据函数f(x)的解析式求得它的周期,由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈z,解得x的范围,即可求得函数的单调递增区间.解答解(Ⅰ)∵函数f(x)=﹣2cos2x+1=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣),…..(4分)∴f()=2sin(2×﹣)=2×=1.(6分)(Ⅱ)函数f(x)=2sin(2x﹣)的最小正周期T==π,…(8分)又由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,k∈z,解得kπ﹣≤x≤kπ+,故函数的单调递增区间为[kπ﹣≤x≤kπ+],k∈z.…(13分)点评本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,复合三角函数的周期性和求法,求复合三角函数的单调区间,属于中档题. 17.(14分)(xx•昌平区二模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD=2,E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证EF∥平面PAD;(Ⅱ)求三棱锥P﹣BCD的体积;(Ⅲ)在线段AB上是否存在点G,使得CD⊥平面EFG?说明理由.考点直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.专题空间位置关系与距离.分析(I)连接AC交BD于F,利用三角形的中位线定理即可得到EF∥AP,再利用线面平行的判定定理即可证明;(II)取AD的中点O,连接OP.由等腰三角形的性质可得PO⊥AD,再利用面面垂直的性质可得PO⊥底面ABCD,计算出三角形BCD的面积,利用三棱锥的体积计算公式即可得出;(III)设点G为AB中点满足条件,利用三角形的中位线定理可证明FG∥AD,再利用(I)的结论和面面平行的判定定理即可证明平面EFG∥平面PAD.利用面面垂直的性质可证明CD⊥平面PAD.再利用面面平行的性质定理即可得到结论.解答(Ⅰ)证明连接AC交BD于F,∵ABCD为正方形,∴F为AC中点,∵E为PC中点.∴在△CPA中,EF∥AP.又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,∴EF∥平面PAD;(Ⅱ)解如图,取AD的中点O,连接OP.∵PA=AD,∴PO⊥AD.∵侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.又且PA=PD=AD=2,∴△PAD是等腰直角三角形,且AD=,PO=.在正方形ABCD中,=4.∴=.
(3)存在点G满足条件,证明如下设点G为AB中点,连接EG、FG.由F为BD的中点,∴FG∥AD,由(I)得EF∥PA,且FG∩EF=F,AD∩PA=A,∴平面EFG∥平面PAD.∵侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AD⊥CD,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥平面EFG.所以AB的中点G为满足条件的点.点评熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、面面平行的判定和性质定理、面面垂直的性质是解题的关键. 18.(13分)(xx•昌平区二模)已知函数f(x)=(Ⅰ)若f(x)在x=2处的切线与直线3x﹣2y+1=0平行,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求f(x)在区间[1,e]上的最小值.考点利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.专题导数的综合应用.分析(Ⅰ)f′(x)=x﹣=,由f
(2)=,能求出a,再求出函数的定义域,求出导函数,令导函数大于0,求出x的范围,写出区间形式即得到函数f(x)的单调增区间.(II)求出导函数,令导函数为0求出根,通过讨论根与区间[1,e]的关系,判断出函数的单调性,求出函数的最小值.解答解(I)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x﹣=由f(x)在x=2处的切线与直线3x﹣2y+1=0平行,则f′
(2)==,a=1….(4分)此时f(x)=x2﹣lnx,f′(x)=令f′(x)=0得x=1f(x)与f′(x)的情况如下x(0,1)1(1,+∞)f′(x)﹣0+f(x)↘↗所以,f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)…(7分)(II)由f′(x)=由a>0及定义域为(0,+∞),令f′(x)=0得x=
①若≤1即0<a≤1在(1,e)上,f′(x)>0,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f
(1)=;
②若1<<e,即1<a<e2在(1,)上,f′(x)<0,f(x)单调递减;在(,e)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,因此在[1,e]上,f(x)min=f()=a(1﹣lna);
③若≥e,即a≥e2在(1,e)上,f′(x)<0,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=e2﹣a综上,当0<a≤1时,f(x)min=;当1<<e时,f(x)min=a(1﹣lna);当a≥e2时,f(x)min=e2﹣a…..(13分)点评本题考查函数的单调区间的求法、利用导数求闭区间上函数的最值,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行分类讨论思想和等价转化思想进行解题. 19.(13分)(xx•昌平区二模)已知椭圆的离心率为且过点(0,1).(I)求此椭圆的方程;(II)已知定点E(﹣1,0),直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点.是否存在实数k,使得以线段CD为直径的圆过E点.如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.考点直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析(I)由离心率的计算公式和a2=b2+c2及b=1即可得到a2得到椭圆的方程;(II)把直线的方程与椭圆的方程联立,转化为关于x的一元二次方程,得到根与系数的关系,假设以CD为直径的圆过E点,则,将它们联立消去x1,x2即可得出k的值.解答解(I)根据题意,,解得.∴椭圆方程为.(II)将y=kx+2代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+12kx+9=0,由直线与椭圆有两个交点,∴△=(12k)2﹣36(1+3k2)>0,解得k2>1.(*)设C(x1,y1),D(x2,y2),则,,(**)若以CD为直径的圆过E点,则,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,代入上式得,化为(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.把(**)代入上式得解得,满足k2>1.所以存在使得以线段CD为直径的圆过E点.点评熟练掌握椭圆的方程、离心率的计算公式和a2=b2+c
2、直线与椭圆的相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程及根与系数的关系、数量积与垂直的关系等是解题的关键. 20.(14分)(xx•昌平区二模)如果函数y=f(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得f(x+a)=f(﹣x)成立,则称此函数具有“P(a)性质”.(I)判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”,若具有“P(a)性质”,求出所有a的值;若不具有“P(a)性质”,请说明理由;(II)设函数y=g(x)具有“P(±1)性质”,且当时,g(x)=|x|.若y=g(x)与y=mx交点个数为xx个,求m的值.考点抽象函数及其应用.专题新定义;函数的性质及应用.分析(I)根据题意先检验sin(x+a)=sin(﹣x)是否成立即可检验y=sinx是否具有“P(a)性质”(II)由题意可得g(1+x)=g(﹣x),g(﹣1+x)=g(﹣x),据此递推关系可推断函数y=g(x)的周期,根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m.解答解(I)由sin(x+a)=sin(﹣x)得sin(x+a)=﹣sinx,根据诱导公式得a=2kπ+π(k∈Z).∴y=sinx具有“P(a)性质”,其中a=2kπ+π(k∈Z).…(4分)(II)∵y=g(x)具有“P(±1)性质”,∴g(1+x)=g(﹣x),g(﹣1+x)=g(﹣x),∴g(x+2)=g(1+1+x)=g(﹣1﹣x)=g(x),从而得到y=g(x)是以2为周期的函数.又设≤x≤,则﹣≤1﹣x≤,g(x)=g(x﹣2)=g(﹣1+x﹣1)=g(﹣x+1)=|﹣x+1|=|x﹣1|=g(x﹣1).再设n﹣≤x≤n+(n∈z),当n=2k(k∈z),2k﹣≤x≤2k+,则﹣≤x﹣2k≤,g(x)=g(x﹣2k)=|x﹣2k|=|x﹣n|;当n=2k+1(k∈z),2k+1﹣≤x≤2k+1+,则≤x﹣2k≤,g(x)=g(x﹣2k)=|x﹣2k﹣1|=|x﹣n|;∴对于,n﹣≤x≤n+(n∈z),都有g(x)=|x﹣n|,而n+1﹣≤x+1≤n+1+,∴g(x+1)=|(x+1)﹣(n+1)|=|x﹣n|=g(x),∴y=g(x)是周期为1的函数.
①当m>0时,要使y=mx与y=g(x)有xx个交点,只要y=mx与y=g(x)在[0,1006)有xx个交点,而在[1006,1007]有一个交点.∴y=mx过(,),从而得m=
②当m<0时,同理可得m=﹣
③当m=0时,不合题意.综上所述m=±…(14分)点评本题考查周期函数,着重考查函数在一定条件下的恒成立问题,综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法,难度大,思维深刻,属于难题. 。