还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年高三第二次(12月)月考试数学试题含答案总分160分时间120分钟
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.设集合,,则.2.设复数满足是虚数单位),则的实部为.i1S1WhileSS·iii+1EndWhilePrintS3.某中学共有学生人,其中高一年级人,高二年级人,高三年级人,现采用分层抽样的方法,抽取人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为.4.已知的夹角为,则.5.从2个红球,2个黄球,1个白球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是.
6.运行下面的程序,输出的结果是.7.已知为双曲线的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为.8.设函数则不等式的解集是.9.如图,在长方体,对角线与平面交于点.记四棱锥的体积为,长方体的体积为,则的值是.10.已知函数,若函数有且仅有两个零点,则实数的取值范围是.11.关于函数,有下列命题
①由可得必是的整数倍;
②表达式可写成;
③的图象关于点对称;
④的图象关于直线对称.其中正确的命题的序号是______________.12.在平面直角坐标系中,点是圆上的两个动点,且满足,则的最小值为.13.各项均为正偶数的数列,,,中,前三项依次成为公差为的等差数列,后三项依次成为公比为的等比数列,若,则的所有可能的值构成的集合为.14.已知,函数的图象的两个端点分别为,设是函数图象上任意一点,过作垂直于轴的直线,且与线段交于点,若恒成立,则的最大值是.
二、解答题本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15.已知是三角形三内角,向量,,且.
(1)求角;
(2)若,求.
16.在正三棱柱中,D、E、F分别为棱的中点.
(1)求证平面平面;
(2)求证:平面.17.如图,某城市有一个五边形的地下污水管通道,四边形是矩形,其中kmkm;△是以为底边的等腰三角形,km.现欲在BE的中间点处建地下污水处理中心,为此要过点建一个“直线型”的地下水通道接通主管道,其中接口处点在矩形的边或上.1若点在边上,设∠,用表示和的长;2点设置在哪些地方,能使点平分主通道的周长?请说明理由.
18.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为.为椭圆上异于顶点的一点,点满足.
(1)若点的坐标为,求椭圆的方程;
(2)设过点的一条直线交椭圆于两点,且,直线的斜率之积为,求实数的的值.
19.已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)已知,求证;
(3)设,在区间内是否存在区间,使函数在区间的值域也是?请给出结论,并说明理由.
20.已知数列满足,,.
(1)求;
(2)求证数列是等差数列,并求的通项公式;
(3)设,若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.数学参考答案及评分标准
1.;
2.6;
3.93;
4.;
5.;
6.24;
7.2;
8.;
9.;
10.;
11.
②③;
12.4;
13.;
14.
15.1因为,,所以所以,------------------------------------------------------------2分又为三角形的内角,所以----------------------------4分故,所以-----------------------------------------------------------------6分
(2)------------------------------------8分所以-------------------------------------------------------------------10分因为,所以所以-------------------------------------14分
16.
(1)因为三角形ABC是正三角形,D是边BC的中点,所以------------2分因为ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以平面ABC,平面ABC,所以,------------------------------------------------4分又,平面,平面ABC,平面平面---------6分
(2)连结,交于O,连OD,因为分别是的中点,所以.--------------------10分由于O,D分别为的中点,所以,从而-------------------12分又平面平面平面.-------------------------------------------14分
17.解
(1)当点在边上,设∠,---------------------------2分在△中,.在△中不妨设∠其中,则,------------------------------------------------------------------------4分即;------------------------------------------------6分
(2)当点在边上,由;即;即解得与矛盾,点只能设在上.-----------------------------------------------------------8分当点在边上,设中点为由轴对称不妨设在上,此时点在线段上;设∠,在△中,;在△中,不妨设∠,其中则,即;-------------10分由得,即;解得或;故当,或者时,符合题意.-------------------------------------12分答当点位于中点处,或点到点的距离为时,才能使点平分地下水总通道的周长.---------------------------------------------------------------------14分
18.解
(1)因为,而,所以.代入椭圆方程,得,
①--------------------------------------------------------2分又椭圆的离心率为,所以,
②----------------------------------4分由
①②,得,故椭圆的方程为. --------------------------------6分
(2)设,因为,所以.因为,所以,即于是------------------------8分代入椭圆方程,得,,
③--------------10分因为在椭圆上,所以.
④--------------------------------12分因为直线的斜率之积为,即,结合
②知.
⑤----------------------------------14分将
④⑤代入
③,得,解得. ----------------------------------16分
19.
(1),,当时,,,,函数在上是增函数,所以时,函数的最小值为.---------------------4分(理科学生可直接使用复合函数的求导公式)
(2)由
(1)可知,当时,,,,
①,-------------------------------------6分又,,,则
②由
①②可知.,所以等号不可能取到,即.-------------------------------10分
(3)由于,当时,假设存在区间,使函数在区间的值域也是.当时,,所以函数在区间上是增函数.---------------12分,即,亦即方程有两个大于1的不等实根.---------------------------14分上述方程等价于,令,,,在上是增函数,所以在上至多有一个零点,即不可能有两个大于1的不等实根,故假设不成立,从而不存在区间满足要求.---------------------------16分
20.1∵.∴-----------------------------------------------------4分2∵∴∴∴数列是公差为的等差数列----------------------6分又,∴∴----------------------------------------------------------------------------------------8分
(3)∵∴∴-----------------------------------12分由条件可知恒成立即可满足条件,设当时,恒成立当时,由二次函数的性质知不可能成立当时,对称轴,在为单调递减函数.,∴∴时恒成立-----------------------------------16分ABCDEA1B1C1D1DCBAFEBDCAOFE。