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2019-2020年高三第五次月考(理)数学试题含答案
一、选择题本大题共12个小题每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则下列结论正确的是()A.B.C.D.
2.已知复数满足,则()A.B.C.D.
3.已知数列满足,,则的前8项和等于()A.B.C.D.
4.已知满足约束条件,则的最小值为()A.B.C.1D.
5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是()A.B.C.D.
6.如果执行如图所示的程序框图,输入,则输出的等于()A.-3B.-4C.-5D.-
67.将3个相同的红色玩偶和3个相同的黄色玩偶在展柜中自左向右排成一排,如果满足从任何一个位置(含这个位置)开始向右数,数到最末一个玩偶,红色玩偶的个数大于或等于黄色玩偶的个数,就称这种排列为“有效排列”,则出现“有效排列”的概率为()A.B.C.D.
8.设,则()A.B.C.35D.-
59.已知,直线与直线互相垂直,则的最小值等于()A.B.C.D.
10.设是定义在上的偶函数,对于任意的,有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数解,则的取值范围是()A.B.C.D.
11.已知圆及抛物线,过圆心作直线,此直线与两曲线有四个交点,自左向右顺次记为.如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,则直线的方程为()A.B.或C.D.或
12.已知都是定义在上的函数,,,且(第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若将圆内的曲线与轴围成的区域记为,则在圆内随机放一粒豆子,落入区域的概率为.
14.如图,在棱长为的正方体中,为的中点,为上任意一点,为上任意两点,且的长为定值,则以下四个值中为定值的编号是.
①点到平面的距离;
②三棱锥的体积;
③直线与平面所成的角;
④二面角的大小.
15.已知函数,数列满足,且对于任意的正整数,都有,则实数的取值范围是.
16.已知函数在上满足,则曲线上的点与直线的距离的最小值是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)设函数.
(1)若,求的单调递增区间;
(2)在锐角中,角的对边分别为,若,,求面积的最大值.
18.(本小题满分12分)为了了解某工业园中员工的颈椎疾病与工作性质是否有关,在工业园内随机的对其中50名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查,得到如下的列联表.患有颈椎疾病没有患颈椎疾病合计白领5蓝领10合计50已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患有颈椎疾病的人的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有
99.5%的把握认为患颈椎疾病与工作性质有关?说明你的理由;
(2)已知在患有颈椎疾病的10名蓝领中,有3为工龄在15年以上,现在从患有颈椎疾病的10名蓝领中,选出3人进行工龄的调查,记选出工龄在15年以上的人数为,求的分布列及数学期望.参考公式,其中.下面的临界值表仅供参考
0.150.
100.
050.
0250.
0100.
0050.
0012.
0722.
7063.
8415.
0246.
6357.
87910.
82819.(本小题满分12分)如图,在几何体中,平面,平面,,,是线段的中点.
(1)求与平面所成角的正弦值;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆中,椭圆长轴长是短轴长的倍,短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线与椭圆相交于两点,
①若线段的中点的横坐标为,求斜率的值;
②已知点,求证为定值.
21.(本小题满分12分)设函数的导函数为,且.
(1)求的解析式;
(2)若方程在区间上恰有两个不同的实根,求实数的取值范围.请考生在
22、
23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图,四边形内接于圆,,过点的圆的切线与的延长线交于点.
(1)求证;
(2)若,求的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,圆的参数方程为,(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长.
24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知,求证
(1);
(2).贵阳第一中学xx届高考适应性月考卷
(五)理科数学参考答案第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案CDCDCBBACCBA【解析】1.,又,故选C.2.∵复数z满足,则,故选D.4.,设,要使z最小,则只需求m的最小值即可.作出不等式组对应的平面区域.由得,平移直线,由平移可知当直线经过点时,直线的截距最大,此时m最小,∴的最小值为,故选D.5.由题设及图知,此几何体为一个三棱锥,其侧面为一个腰长为2的等腰直角三角形,此棱锥的体积为,故选C.6.判断前,第1次判断后;第2次判断后;第3次判断后;第4次判断后,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果为,故选B.7.由题意6个玩偶由3个相同的红色玩偶和3个相同的黄色玩偶组成,自左向右排成一排全部的排法有种,构成“有效排列”的有(黄黄黄红红红),(黄红黄红黄红),(黄黄红红黄红),(黄黄红黄红红),(黄红黄黄红红)共5种,所以出现“有效排列”的概率为,故选B.8.在的展开式中,,,故选A.9.,因为直线与直线互相垂直,所以,,当时,等号成立,故选C.10.因为,且是定义域为的偶函数,令,所以又,即,则有,所以是周期为2的偶函数.又∵当时,,且函数是定义在上的偶函数,故函数在区间上的图象如图1所示.若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数解,则,解得,故选C.11.圆P的方程为,则其直径长,圆心为,∵AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,∴,即,又.设直线l的方程为,代入抛物线方程得,设,有∴,∴,即,解得,∴直线l的方程为或,故选B.12.,∴,∴,从而可得单调递增,从而可得,∵,故,∴,即,故选A.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)题号13141516答案
①②④【解析】13.构成试验的全部区域为圆内的区域,面积为,正弦曲线与轴围成的区域记为M,根据图形的对称性得面积为,由几何概型的计算公式可得,在圆内随机放一粒豆子,落入区域M的概率.14.
①中,∵平面QEF也就是平面,既然P和平面QEF都是固定的,∴P到平面的距离是定值,∴点P到平面QEF的距离为定值;
②中,∵△QEF的面积是定值(∵EF定长,Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长,即底和高都是定值),再根据
①的结论P到平面QEF的距离也是定值,∴三棱锥的高也是定值,于是体积固定,∴三棱锥的体积是定值;
③中,∵Q是动点,E,F也是动点,推不出定值的结论,∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值;
④中,由图,平面也就是平面,又平面即为平面,∴二面角的大小为定值.故答案为
①②④.15.∵数列是递增数列,∴且,∴,解得或,故实数的取值范围是.16.∵,∴,∴.将代入,得,∴,∴在切点处的切线斜率为,∴切点为,∴曲线上的点与直线的距离的最小值为.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)解(Ⅰ)由题意可知,,………………………………………………………………(3分)由,可解得.………………………………………(4分)又因为,所以的单调递增区间是和.…………………………(6分)(Ⅱ)由,可得,………………………(7分)由题意知B为锐角,所以,……………………………………………(8分)由余弦定理,可得,即,且当时等号成立,……(10分)因此,所以面积的最大值为.………………………………………………(12分)18.(本小题满分12分)解(Ⅰ)根据在全部50人中随机抽取1人患颈椎疾病的概率为,可得患颈椎疾病的为30人,故可得列联表如下患有颈椎疾病没有患颈椎疾病合计白领20525蓝领101525合计302050………………………………………………………………………(3分)因为,即,所以,………………………………………………………………………(5分)又,所以,我们有
99.5%的把握认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的.……(6分)(Ⅱ)现在从患颈椎疾病的10名蓝领中,选出3名进行工龄的调查,记选出工龄在15年以上的人数为,则.故,,,,……………………………………………(10分)则的分布列为0123P则.……………………………………………(12分)19.(本小题满分12分)解(Ⅰ)∵CD⊥平面SBC,∴CD⊥SB,…………………………………(1分)∵SB⊥SC,且SC与CD交于C点,∴SB⊥平面SDC,G为SB上一点,∴为所求线面角.………………………………………………………(3分)∵,,,…………………………………………(4分)∴,与平面所成角的正弦值为.…………………………………………(6分)(Ⅱ)如图2,在平面SBC内,过点B作BQ∥CS,∵BS⊥SC,∴BQ⊥BS,又∵AB⊥平面SBC,∴AB⊥BS,AB⊥BQ,以B为原点,分别以射线BQ,BS,BA为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,.……………………(7分)∵AB⊥平面SBC,∴为平面SBC的法向量,……………………(8分)设为平面SAD的法向量.又,,可得,…………………………………………(10分)∴,∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为.…………………………(12分)20.(本小题满分12分)(Ⅰ)解因为椭圆C满足,…………(2分)根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为,可得.从而可解得,所以椭圆C的标准方程为.…………………………………………………(4分)(Ⅱ)
①解设将代入中,消元得,…………………………………………(5分),,…………(6分)因为AB中点的横坐标为,所以,解得.…………(7分)
②证明由
①知,,所以…………(8分)…………………………………………(10分).……………………………………………………(12分)21.(本小题满分12分)解(Ⅰ)∵,∴,…………………………………………(2分)∴,∴,………………………………………………………………(3分)∴,∴,∴.………………………………………………………………(4分)可得.…………………………………………(6分)(Ⅱ)由,化为.令,∴,…………………………………………(7分)令,解得,此时函数单调递增;令,解得,此时函数单调递减.……………………(8分)∴当时,函数取得最小值,.……………………(9分)而.…………………………………………(10分).又∵方程在区间上恰有两个不同的实根,∴,∴实数的取值范围是.…………………………………………(12分)22.(本小题满分10分)【选修4−1几何证明选讲】(Ⅰ)证明因为,所以,因为是圆的切线,所以,所以,所以,因为,所以.…………………………………(5分)(Ⅱ)解因为,所以,.因为,所以,所以,由切割线定理得,即,即,解得.………………………………………(10分)23.(本小题满分10分)【选修4−4坐标系与参数方程】解(Ⅰ)圆的普通方程为,又,所以圆的极坐标方程为.………………………………………………(5分)(Ⅱ)设,则由解得……………………(7分)设,则由解得………(9分)所以.…………………………………………………………………(10分)24.(本小题满分10分)【选修4−5不等式选讲】证明(Ⅰ).,,,,当且仅当时取“=”,,当且仅当时取“=”,,当且仅当时取“=”,因此,当,有.……………………………………………(5分)(Ⅱ),当且仅当时取“=”,,因此,,即.……………………………………………(10分)。