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2019-2020年高三第四次月考数学试卷(文科)含解析
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x2+x﹣2<0},,则M∩N=( ) A.(﹣1,1)B.(﹣2,1)C.(﹣2,﹣1)D.(1,2) 2.已知i是虚数单位,设复数z1=1﹣3i,z2=3﹣2i,则在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知向量,的夹角为45°,且||=1,|2﹣|=,则||=( ) A.B.2C.3D.4 4.已知sinθ+cosθ=(0<θ<),则sinθ﹣cosθ的值为( ) A.B.C.D. 5.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( ) A.﹣10B.﹣8C.﹣6D.﹣4 6.下列命题错误的是( ) A.命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1 B.“am2<bm2”是”a<b”的充分不必要条件 C.命题p存在x0∈R,使得x02+x0+1<0,则¬p任意x∈R,都有x2+x+1≥0 D.命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 7.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( ) A.B.C.D. 8.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算A,B两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可以计算出A,B两点的距离为( ) A.50mB.50mC.25mD.m 9.已知函数y=﹣xf′(x)的图象如图(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象可能是( ) A.B.C.D. 10.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题
①若α∥β,则l⊥m;
②若l⊥m,则α∥β;
③若α⊥β,则l∥m;
④若l∥m,则α⊥β其中正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 11.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立,则实数a的取值范围为( ) A.(﹣∞,2)B.(﹣∞,]C.(﹣∞,2]D.,则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为( ) A.2B.3C.4D.5
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=的最小值为 . 14.已知x>0,y>0,若+>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 . 15.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若AB=AA1=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于 . 16.下面四个命题
①已知函数且f(a)+f
(4)=4,那么a=﹣4;
②要得到函数的图象,只要将y=sin2x的图象向左平移单位;
③若定义在(﹣∞,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),则f(x)是周期函数;
④已知奇函数f(x)在(0,+∞)为增函数,且f(﹣1)=0,则不等式f(x)<0解集{x|x<﹣1}.其中正确的是 .
三、解答题本大题共5小题,共计70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且(c是常数,n∈N*),a2=6.(Ⅰ)求c的值及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明. 18.在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;
(2)求四棱锥P﹣ABCD的体积V. 19.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若,求cosα的值. 20.如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC.
(1)求证平面AB1C1⊥平面AC1;
(2)若AB1⊥A1C,求线段AC与AA1长度之比;
(3)若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,试确定点E的位置;若不存在,请说明理由. 21.设函数f(x)=ax﹣lnx,g(x)=ex﹣ax,其中a为正实数.(l)若x=0是函数g(x)的极值点,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)在(1,+∞)上无最小值,且g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;并由此判断曲线g(x)与曲线y=ax2﹣ax在(1,+∞)交点个数.
三、请考生在第
22、
23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写题号.【选修4-1几何证明选讲】22.如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(Ⅰ)求证A,E,F,D四点共圆;(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径. 【选修4-1几何证明选讲】xx•江西二模)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线Cρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于M、N两点.
(1)写出曲线C和直线l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值. 【选修4-5不等式选讲】2011•洛阳一模)对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a﹣b|≥M•|a|恒成立,记实数M的最大值是m.
(1)求m的值;
(2)解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m. xx学年山东省济宁市微山二中高三(下)第四次月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x2+x﹣2<0},,则M∩N=( ) A.(﹣1,1)B.(﹣2,1)C.(﹣2,﹣1)D.(1,2)考点交集及其运算.专题集合.分析首先化简集合M和N,然后根据交集的定义求出M∩N即可.解答解∵x2+x﹣2<0即(x+2)(x﹣1)<0解得2<x<1∴M={x|﹣2<x<1}∵解得x<﹣1∴N={x|x<﹣1}∴M∩N=(﹣2,﹣1)故选C.点评本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.已知i是虚数单位,设复数z1=1﹣3i,z2=3﹣2i,则在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点复数代数形式的乘除运算.专题数系的扩充和复数.分析直接把复数z1,z2代入,然后利用复数代数形式的除法运算化简求值,求出在复平面内对应的点的坐标,则答案可求.解答解∵z1=1﹣3i,z2=3﹣2i,∴=,则在复平面内对应的点的坐标为(,),位于第四象限.故选D.点评本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题. 3.已知向量,的夹角为45°,且||=1,|2﹣|=,则||=( ) A.B.2C.3D.4考点平面向量数量积的运算;向量的模.专题平面向量及应用.分析将|2﹣|=平方,然后将夹角与||=1代入,得到||的方程,解方程可得.解答解因为向量,的夹角为45°,且||=1,|2﹣|=,所以42﹣4•+2=10,即||2﹣2||﹣6=0,解得||=3或||=﹣(舍).故选C.点评本题解题的关键是将模转化为数量积,从而得到所求向量模的方程,利用到了方程的思想. 4.已知sinθ+cosθ=(0<θ<),则sinθ﹣cosθ的值为( ) A.B.C.D.考点同角三角函数间的基本关系.专题计算题.分析将已知等式左右两边平方,利用同角三角函数间的基本关系化简,求出2sinθcosθ的值,再将所求式子平方,利用完全平方公式展开,并利用同角三角函数间的基本关系化简,把2sinθcosθ的值代入,开方即可求出值.解答解将已知的等式左右两边平方得(sinθ+cosθ)2=,∴sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ=,即2sinθcosθ=,∴(sinθ﹣cosθ)2=sin2θ﹣2sinθcosθ+cos2θ=1﹣2sinθcosθ=,∵0<θ<,∴sinθ<cosθ,即sinθ﹣cosθ<0,则sinθ﹣cosθ=﹣.故选B点评此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及完全平方公式的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 5.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( ) A.﹣10B.﹣8C.﹣6D.﹣4考点等比数列的性质.专题等差数列与等比数列.分析由题意可得,a3=a1+4,a4=a1+6,根据(a1+4)2=a1(a1+6),求得a1的值.从而得解.解答解由题意可得,a3=a1+4,a4=a1+6.∵a1,a3,a4成等比数列,∴(a1+4)2=a1(a1+6),∴a1=﹣8,∴a2等于﹣6,故选C点评本题考查等差数列的通项公式,等比数列的定义,求出a1的值是解题的难点. 6.下列命题错误的是( ) A.命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1 B.“am2<bm2”是”a<b”的充分不必要条件 C.命题p存在x0∈R,使得x02+x0+1<0,则¬p任意x∈R,都有x2+x+1≥0 D.命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题考点命题的真假判断与应用.专题简易逻辑.分析对于A,写出逆否命题,比照后可判断真假;对于B,利用必要不充分条件的定义判断即可;对于C,写出原命题的否定形式,判断即可.对于D,根据复合命题真值表判断即可;解答解命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1,则x2≥1,故A正确;“am2<bm2”⇒”a<b”为真,但”a<b”⇒“am2<bm2”为假(当m=0时不成立),故“am2<bm2”是”a<b”的充分不必要条件,故B正确;命题p存在x0∈R,使得x02+x0+1<0,则¬p任意x∈R,都有x2+x+1≥0,故C正确;命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”中至少有一个是真命题,故D错误,故选D点评本题借助考查命题的真假判断,考查充分条件、必要条件的判定及复合命题的真假判定. 7.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( ) A.B.C.D.考点简单空间图形的三视图;由三视图求面积、体积.专题计算题.分析由题意可得侧视图为三角形,且边长为边长为1的正三角形的高线,高等于正视图的高,分别求解代入三角形的面积公式可得答案.解答解∵边长为1的正三角形的高为=,∴侧视图的底边长为,又侧视图的高等于正视图的高,故所求的面积为S==故选A点评本题考查简单空间图形的三视图,涉及三角形面积的求解,属基础题. 8.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图),要测算A,B两点的距离,测量人员在岸边定出基线BC,测得BC=50m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可以计算出A,B两点的距离为( ) A.50mB.50mC.25mD.m考点正弦定理的应用.专题计算题.分析由题意及图知,可先求出∠BAC,再由正弦定理得到AB=代入数据即可计算出A,B两点的距离解答解由题意及图知,∠BAC=30°,又BC=50m,∠BCA=45°由正弦定理得AB==50m故选A点评本题考查利用正弦定理求长度,是正弦定理应用的基本题型,计算题. 9.已知函数y=﹣xf′(x)的图象如图(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象可能是( ) A.B.C.D.考点利用导数研究函数的单调性.专题导数的概念及应用.分析根据函数y=﹣xf′(x)的图象,依次判断f(x)在区间(﹣∞,﹣1),(﹣1,0),(0,1),(1,+∞)上的单调性即可.解答解由函数y=﹣xf′(x)的图象可知当x<﹣1时,﹣xf′(x)>0,f′(x)>0,此时f(x)增;当﹣1<x<0时,﹣xf′(x)<0,f′(x)<0,此时f(x)减;当0<x<1时,﹣xf′(x)>0,f′(x)<0,此时f(x)减;当x>1时,﹣xf′(x)<0,f′(x)>0,此时f(x)增.综上所述,y=f(x)的图象可能是B,故选B.点评本题主要考查了函数的单调性与导数的关系,同时考查了分类讨论的思想,属于基础题. 10.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题
①若α∥β,则l⊥m;
②若l⊥m,则α∥β;
③若α⊥β,则l∥m;
④若l∥m,则α⊥β其中正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3考点等差数列的性质.专题综合题.分析利用直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系逐一判断,成立的证明,不成立的可举出反例.解答解;
①∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,又∵m⊂β,∴l⊥m,
①正确.
②由l⊥m推不出l⊥β,
②错误.
③当l⊥α,α⊥β时,l可能平行β,也可能在β内,∴l与m的位置关系不能判断,
③错误.
④∵l⊥α,l∥m,∴m∥α,又∵m⊂β,∴α⊥β故选C点评本题主要考查显现,线面,面面位置关系的判断,属于概念题. 11.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立,则实数a的取值范围为( ) A.(﹣∞,2)B.(﹣∞,]C.(﹣∞,2]D.,故选B.点评本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档. 12.己知x∈,则方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为( ) A.2B.3C.4D.5考点根的存在性及根的个数判断.专题数形结合;函数的性质及应用.分析在同一坐标系内作出函数f(x)=2﹣|x|,g(x)=cos2πx的图象,根据图象交点的个数,可得方程解的个数.解答解在同一坐标系内作出函数f(x)=2﹣|x|,g(x)=cos2πx的图象根据函数图象可知,图象交点的个数为5个∴方程2﹣|x|=cos2πx所有实数根的个数为5个故选D.点评本题考查方程解的个数,考查函数图象的作法,考查数形结合的数学思想,属于中档题.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=的最小值为 1 .考点简单线性规划.专题不等式的解法及应用.分析作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义即可得到结论.解答解z的几何意义为区域内点到点G(0,﹣1)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图由图象可知,AG的斜率最小,由解得,即A(2,1),则AG的斜率k=,故答案为1点评本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及直线斜率的计算,利用数形结合是解决本题的关键. 14.已知x>0,y>0,若+>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 ﹣4<m<2 .考点函数恒成立问题;基本不等式.专题计算题.分析根据题意,由基本不等式的性质,可得+≥2=8,即+的最小值为8,结合题意,可得m2+2m<8恒成立,解可得答案.解答解根据题意,x>0,y>0,则>0,>0,则+≥2=8,即+的最小值为8,若+>m2+2m恒成立,必有m2+2m<8恒成立,m2+2m<8⇔m2+2m﹣8<0,解可得,﹣4<m<2,故答案为﹣4<m<2.点评本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用,关键是利用基本不等式求出+的最小值. 15.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若AB=AA1=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于 8π .考点球的体积和表面积.专题计算题.分析通过已知体积求出底面外接圆的半径,确定球心为O的位置,求出球的半径,然后求出球的表面积.解答解在△ABC中AB=AA1=2,AC=1,∠BAC=60°,可得BC=,可得△ABC外接圆半径r=1,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,三棱柱为直三棱柱,侧面BAA1B1是正方形它的中心是球心O,球的直径为BA1=2,球半径R=,故此球的表面积为4πR2=8π故答案为8π点评本题是中档题,解题思路是先求底面外接圆的半径,转化为直角三角形,求出球的半径,这是三棱柱外接球的常用方法;本题考查空间想象能力,计算能力. 16.下面四个命题
①已知函数且f(a)+f
(4)=4,那么a=﹣4;
②要得到函数的图象,只要将y=sin2x的图象向左平移单位;
③若定义在(﹣∞,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),则f(x)是周期函数;
④已知奇函数f(x)在(0,+∞)为增函数,且f(﹣1)=0,则不等式f(x)<0解集{x|x<﹣1}.其中正确的是
③ .考点命题的真假判断与应用.专题综合题;简易逻辑.分析
①已知函数,分a<0,a>0,利用f(a)+f
(4)=4,即可求出a;
②要得到函数的图象,只要将y=sin2x的图象向左平移单位;
③利用f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),可得f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数;
④已知奇函数f(x)在(0,+∞)为增函数,且f(﹣1)=0,则f
(1)=0,在(﹣∞,0)为增函数,即可解不等式f(x)<0.解答解
①已知函数,a<0时,f(a)+f
(4)=4,那么a=﹣4;a>0时,f(a)+f
(4)=4,那么a=4,故不正确;
②要得到函数的图象,只要将y=sin2x的图象向左平移单位,故不正确;
③若定义在(﹣∞,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),则f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期函数,周期为2;
④已知奇函数f(x)在(0,+∞)为增函数,且f(﹣1)=0,则f
(1)=0,在(﹣∞,0)为增函数,不等式f(x)<0等价于f(x)<f(﹣1)或f(x)<f
(1),解集{x|x<﹣1}∪{x|0<x<1},故不正确.故答案为
③.点评本题考查命题的真假的判断,考查分段函数,函数的图象变换,周期性,奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
三、解答题本大题共5小题,共计70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且(c是常数,n∈N*),a2=6.(Ⅰ)求c的值及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明.考点等差数列的前n项和;数列的求和.专题计算题;证明题.分析(Ⅰ)根据,令n=1代入求出a1,令n=2代入求出a2,由a2=6即可求出c的值,由c的值即可求出首项和公差,根据首项和公差写出等差数列的通项公式即可;(Ⅱ)利用数列的通项公式列举出各项并代入所证不等式的坐标,利用=(﹣),把各项拆项后抵消化简后即可得证.解答解(Ⅰ)解因为,所以当n=1时,,解得a1=2c,当n=2时,S2=a2+a2﹣c,即a1+a2=2a2﹣c,解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2,则a1=4,数列{an}的公差d=a2﹣a1=2,所以an=a1+(n﹣1)d=2n+2;(Ⅱ)因为=====.因为n∈N*,所以.点评此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,会利用拆项法进行数列的求和,是一道综合题. 18.在四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;
(2)求四棱锥P﹣ABCD的体积V.考点棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.专题空间位置关系与距离.分析
(1)在Rt△ABC,∠BAC=60°,可得AC=2AB,PA=CA,又F为PC的中点,可得AF⊥PC.利用线面垂直的判定与性质定理可得CD⊥PC.利用三角形的中位线定理可得EF∥CD.于是EF⊥PC.即可证明PC⊥平面AEF.
(2)利用直角三角形的边角关系可得BC,CD.SABCD=.利用V=,即可得出.解答
(1)证明在Rt△ABC,∠BAC=60°,∴AC=2AB,∵PA=2AB,∴PA=CA,又F为PC的中点,∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.∵E为PD中点,F为PC中点,∴EF∥CD.则EF⊥PC.∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.
(2)解在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴BC=,AC=2.在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,∴CD=2,AD=4.∴SABCD==.则V==.点评本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若,求cosα的值.考点由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的恒等变换及化简求值.专题作图题;综合题.分析(I)观察图象可得函数的最值为1,且函数先出现最大值可得A=1;函数的周期T=π,结合周期公式T=可求ω;由函数的图象过()代入可得φ(II)由(I)可得f(x)=sin(2x+),从而由f()=,代入整理可得sin()=,结合已知0<a<,可得cos(α+)=.,利用,代入两角差的余弦公式可求解答解(Ⅰ)由图象知A=1f(x)的最小正周期T=4×(﹣)=π,故ω==2将点(,1)代入f(x)的解析式得sin(+φ)=1,又|φ|<,∴φ=故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+)(Ⅱ)f()=,即sin()=,注意到0<a<,则<<,所以cos(α+)=.又cosα==cos(α+)cos+sin(α+)sin=点评本题主要考查了(i)由三角函数的图象求解函数的解析式,其步骤一般是由函数的最值求解A,(但要判断是先出现最大值或是最小值,从而判断A的正负号)由周期求解ω=,由函数图象上的点(一般用最值点)代入求解φ;(ii)三角函数的同角平方关系,两角差的余弦公式,及求值中的拆角的技巧,要掌握常见的拆角技巧
①2α=(α+β)+(α﹣β)
②2β=(α+β)﹣(α﹣β)
③α=(α+β)﹣β
④β=(α+β)﹣α 20.如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC.
(1)求证平面AB1C1⊥平面AC1;
(2)若AB1⊥A1C,求线段AC与AA1长度之比;
(3)若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?若存在,试确定点E的位置;若不存在,请说明理由.考点平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.专题证明题;空间位置关系与距离.分析
(1)由于已知,可得B1C1⊥CC1,又AC⊥BC,可得B1C1⊥A1C1,从而B1C1⊥平面AC1,又B1C1⊂平面AB1C1,从而平面AB1C1⊥平面AC1.
(2)由
(1)知,B1C1⊥A1C,若AB1⊥A1C,则可得A1C⊥平面AB1C1,从而A1C⊥AC1,由于ACC1A1是矩形,故AC与AA1长度之比为11.
(3)证法一设F是BB1的中点,连结DF、EF、DE.则易证平面DEF∥平面AB1C1,从而DE∥平面AB1C1.证法二设G是AB1的中点,连结EG,则易证EGDC1.即有DE∥C1G,DE∥平面AB1C1.解答解
(1)由于ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以B1C1⊥CC1;又因为AC⊥BC,所以B1C1⊥A1C1,所以B1C1⊥平面AC1.由于B1C1⊂平面AB1C1,从而平面AB1C1⊥平面AC1.
(2)由
(1)知,B1C1⊥A1C.所以,若AB1⊥A1C,则可得A1C⊥平面AB1C1,从而A1C⊥AC1.由于ACC1A1是矩形,故AC与AA1长度之比为11.
(3)点E位于AB的中点时,能使DE∥平面AB1C1.证法一设F是BB1的中点,连结DF、EF、DE.则易证平面DEF∥平面AB1C1,从而DE∥平面AB1C1.证法二设G是AB1的中点,连结EG,则易证EGDC1.所以DE∥C1G,DE∥平面AB1C1.点评本题主要考察了平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,属于基本知识的考查. 21.设函数f(x)=ax﹣lnx,g(x)=ex﹣ax,其中a为正实数.(l)若x=0是函数g(x)的极值点,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)在(1,+∞)上无最小值,且g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;并由此判断曲线g(x)与曲线y=ax2﹣ax在(1,+∞)交点个数.考点利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.专题计算题;导数的综合应用.分析
(1)求出g(x)的导数,令它为0,求出a=1,再求f(x)的导数,令它大于0或小于0,即可得到单调区间;
(2)求出f(x)的导数,讨论a的范围,由条件得到a≥1,再由g(x)的导数不小于0在(1,+∞)上恒成立,求出a≤e,令即a=,令h(x)=,求出导数,求出单调区间,判断极值与e的大小即可.解答解
(1)由g′(x)=ex﹣a,g′
(0)=1﹣a=0得a=1,f(x)=x﹣lnx∵f(x)的定义域为(0,+∞),,∴函数f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).
(2)由若0<a<1则f(x)在(1,+∞)上有最小值f(),当a≥1时,f(x)在(1,+∞)单调递增无最小值.∵g(x)在(1,+∞)上是单调增函数∴g(x)=ex﹣a≥0在(1,+∞)上恒成立∴a≤e,综上所述a的取值范围为,此时即a=,令h(x)=,h′(x)=,则h(x)在(0,2)单调递减,(2,+∞)单调递增,极小值为.故两曲线没有公共点.点评本题考查导数的综合应用求单调区间,求极值和最值,考查分类讨论的思想方法,曲线与曲线交点个数转化为函数极值或最值问题,属于中档题.
三、请考生在第
22、
23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写题号.【选修4-1几何证明选讲】22.如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(Ⅰ)求证A,E,F,D四点共圆;(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径.考点分析法和综合法.专题计算题;证明题.分析(I)依题意,可证得△BAD≌△CBE,从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=π,即可证得A,E,F,D四点共圆;(Ⅱ)取AE的中点G,连接GD,可证得△AGD为正三角形,GA=GE=GD=,即点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.解答(Ⅰ)证明∵AE=AB,∴BE=AB,∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE,又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆.…(5分)(Ⅱ)解如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,∵AD=AC=,∠DAE=60°,∴△AGD为正三角形,∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.…(10分)点评本题考查利用综合法进行证明,着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突出推理能力与分析运算能力的考查,属于难题. 【选修4-1几何证明选讲】xx•江西二模)在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线Cρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于M、N两点.
(1)写出曲线C和直线l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.考点参数方程化成普通方程.专题坐标系和参数方程.分析
(1)直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程.
(2)利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组,利用根和系数的关系求出两根和与两根积,进一步利用等比数列进一步求出a的值.解答解
(1)曲线Cρsin2θ=2acosθ(a>0),转化成直角坐标方程为y2=2ax线l的参数方程为(t为参数),转化成直角坐标方程为x﹣y﹣2=0.
(2)将直线的参数方程(t为参数),代入y2=2ax得到,所以,t1t2=32+8a,
①则|PM|=t1,|PN|=t2,|MN|=|t1﹣t2||PM|,|MN|,|PN|成等比数列,所以,
②由
①②得a=1.点评本题考查的知识要点极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与直角坐标方程的互化,利用根和系数的关系建立方程组求解,等比数列的应用. 【选修4-5不等式选讲】2011•洛阳一模)对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a﹣b|≥M•|a|恒成立,记实数M的最大值是m.
(1)求m的值;
(2)解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m.考点绝对值不等式的解法.专题压轴题;不等式的解法及应用.分析
(1)由题意可得,对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,再由可得,M≤2,由此可得m的值.
(2)由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2,由此求得|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解集.解答解
(1)不等式|a+b|+|a﹣b|≥M•|a|恒成立,即对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,故只要左边恒小于或等于右边的最小值.…(2分)因为|a+b|+|a﹣b|≥|(a+b)+(a﹣b)|=2|a|,当且仅当(a﹣b)(a+b)≥0时等号成立,即|a|≥|b|时,成立,也就是的最小值是2,故M的最大值为2,即m=2.…(5分)
(2)不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m即|x﹣1|+|x﹣2|≤2.由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2,故|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解集为{x|}.(10分)点评本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,属于中档题. 。