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2019-2020年八年级数学下册20函数教案(新版)冀教版
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.
2.通过具体实例了解常量、变量的意义了解函数的概念和三种表示方法能举出函数的实例.
3.能结合图像对简单的实际问题中的函数关系进行分析.
4.能确定简单的整式、分式、二次根式和简单实际问题中的函数的自变量的取值范围并会求出函数值.
5.能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系.
6.结合对函数关系的分析尝试对变量的变化规律进行初步预测.
1.让学生经历常量与变量、两个变量之间的函数关系建立函数模型以及用多种方法表示函数的认知过程进一步发展学生的抽象思维和符号感.
2.使学生能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析对变量的变化规律进行预测并能解决一些简单的问题.让学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的过程体会数学的价值增强学生学习数学的信心.本章的主要内容是:由实例引入函数的基本概念根据实际情景列出函数的关系式求出简单函数中自变量的取值范围通过对实际问题的直观感知领悟相关知识让学生在具体情境中领会函数的相关知识.函数的概念是数学中极为重要的基本概念它的抽象性较强接受并理解它有一定的难度这也是本章的难点.本章的主要特点是:
1.反映函数概念的实际背景渗透“变化与对应”的思想.在建立和运用函数这种数学模型的过程之中“变化与对应”的思想是重要的基础所谓变化与对应的思想包括两个基本意思:1世界是变化的客观事物中存在大量的变量;2在同一变化过程中变量之间不是孤立的而是相互联系的一个变量的变化会引起其他变量的相应变化这些变化之间存在对应关系.本章教材力求能在具体的数学内容中渗透体现变化与对应的思想使学生能潜移默化地感触、体会函数内容中最基本的东西在对数学思想方法的学习方面有所收获.
2.注重联系实际问题体现数学建模的作用.世界是运动变化的函数是研究运动变化的重要数学模型它来源于客观实际又服务于客观实际.本章教材中以实际问题贯穿始终它们中有些是作为函数的实际背景为降低学习抽象概念的难度服务的.
3.重视数学概念中蕴涵的思想注意从运动变化和联系对应的角度认识函数.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的世界永远是处于变化之中的.因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题函数正是研究运动变化的重要数学模型它反映的是变量之间的对应规律它对研究数量关系的作用是十分明显的.【重点】
1.了解函数的三种表示方法能确定函数自变量的取值范围.
2.函数的初步应用.【难点】函数的表示及其应用.教学时应注意引导学生观察、分析鼓励学生发表自己的见解让学生通过实例理解函数的意义以及函数的三种表示方法.在求函数关系式时要联系代数式和方程的相关知识引导学生按顺序考虑问题确定出自变量的取值范围列出相应的函数关系式.整个教学过程中要借助实际问题情境由具体到抽象地认识函数;通过函数应用举例体现数学建模思想.教师要引导从多种角度思考借助图像、表格、表达式等进行分析寻找变量之间的关系检验所建立的函数的合理性.注意加强学生学习的主动性注意鼓励学生积极探究教师为启发诱导设计必要的铺垫让学生能经过自己的努力来发现知识间的内在联系.
20.1常量和变量1课时
20.2函数2课时
20.3函数的表示1课时
20.4函数的初步应用1课时回顾与反思1课时
20.1 常量和变量
1.通过实例理解变量、常量的概念以及相互之间的关系能举出现实中的常量与变量.
2.增加对变量的理解.
3.渗透找变量之间的简单关系能列简单关系式.
1.通过对问题的讨论引出常量与变量的概念为学习函数的定义作准备.
2.通过对学生熟悉的几个例子系统地认识常量与变量有助于理解相关概念之间的联系与区别.
3.通过探索两个数量之间的关系和变化规律发展学生的抽象思维和符号感.学生通过积极参与课堂上对问题的分析感受现实生活中函数的普遍性体会事物之间的相互联系与制约.【重点】变量与常量.【难点】对变量的判断.【教师准备】 课件1~
4.【学生准备】 复习常见的等量关系式.导入一:一辆长途汽车从临沂驶向上海全程哪些量不变哪些量在变学生讨论回答后教师导入:当我们用数学来分析现实世界的各种现象时会遇到各种各样的量如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温;某段河道一天中时刻变化着的水的流量……在某一过程中有些量固定不变有些量不断改变.导入二:火车行驶的里程随着时间的变化而变化一天的温度随着时间的变化而变化像这样在现实生活中一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.今天我们首先来学习——
20.1常量和变量.[设计意图] 两个导入以现实生活为依托通过学生平常接触到的事物引出变化的量引起学生的好奇心.活动1 尝试探究 [过渡语] 在实际生活中人们需要用量化的方式来描述一个事物的变化过程这会涉及一些量其中一些量是不变的一些量是变化的.我们知道在一个匀速运动中路程=速度×时间.这里的路程、速度和时间就是三个不同的量.这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形式呢下面我们来共同探究这个问题.思路一【课件1】 一起探究
1.小明在上学的途中骑自行车的平均速度为300m/min.1填写下表:时间t/min5102055…路程s/m… 2在这个问题中哪些量是不变的哪些量是变化的变化的量之间存在着怎样的关系
2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元计划从今年开始逐年增加收入3500万元.在这个问题中一共有几个量其中哪些量是不变的哪些量是变化的变化的量之间存在着怎样的关系
3.类似地请你再举出两个实际问题的例子并分别说明它们各含有几个不同的量其中哪些量是不变的哪些量是变化的.【教师活动】 让学生填表观察问题1的表格和问题2的条形统计图.思考题目中的问题并板书答案.学生解答后应该给予评价.此处应注意:1学生以组为单位合作探究.2教师巡视注意指导.让学生结合每一道题的题意和表达式来讨论变化的量和不变的量.【学生活动】 学生观察、讨论解释每个题中变化的量和不变的量.在问题1中共有三个量其中平均速度300m/min是不变的量路程和时间都是变化的量它们之间满足关系s=300t.在问题2中共有四个量即去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收入.其中去年的总收入25000万元和以后每年增加的收入3500万元都是不变的量第几年和第几年的总收入都是变化的量.如果用nn取正整数表示从今年起的第n年用W表示第n年的总收入那么它们之间满足关系W=25000+3500n.教师说明:在一个变化过程中可以取不同数值的量叫做变量而数值保持不变的量叫做常量.教师特别强调:1常量与变量必须存在于一个变化过程中.2判断一个量是常量还是变量需:
①看它是否在一个变化的过程中;
②看它在这个变化过程中的取值情况.在问题3中请你指出自己举出的两个例子中的常量和变量.[设计意图] 结合学生比较熟悉其背景的几个例子对新知识有个初步的感知.让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变量之间的变化规律并逐步学会用含有一个变量的式子表示另一个变化的量.[知识拓展] 常量与变量是对“在某一变化过程中”而言的因而是相对的.同一个量在某一变化过程中是常量而在另一变化过程中却可能是变量所以常量和变量是由问题的条件确定的.例如:s=vt中若v确定则st是变量;若t确定则sv是变量.思路二【课件2】 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶行驶里程为s千米行驶时间为t小时.1请同学们根据题意填写下表:t/小时12345s/千米 2在以上这个过程中变化的量是 没有变化的量是 . 3试用含t的式子表示s.师:我们首先来思考上面的几个问题可以互相讨论一下然后回答.生:从题意中可以知道汽车是匀速行驶的那么它1小时行驶60千米2小时行驶2×60千米即120千米3小时行驶3×60千米即180千米4小时行驶4×60千米即240千米5小时行驶5×60千米即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系:s=60t.其中里程s与时间t是变化的量速度60千米/时是不变的量.师:很好!谢谢你正确的阐述.这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题都是反映不同事物的变化过程其中有些量的数值是按照某种规律变化的如上例中的时间t、里程s有些量的数值是始终不变的如上例中的速度60千米/时.【课件3】
1.电影票的售价为10元/张第一场售出150张票第二场售出205张票第三场售出310张票三场电影的票房收入各为多少元设一场电影售票x张票房收入y元.怎样用含x的式子表示y
2.你见过水中的涟漪吗如右图所示圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中当圆的半径r分别为10cm20cm30cm时圆的面积S分别为多少用含r的式子表示S.
3.用10m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m
3.5m4m
4.5m时它的邻边长y分别为多少用含x的式子表示y.[设计意图] 让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.【教师活动】 引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.【学生活动】 在教师的启发引导下经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论.活动结论:
1.第一场电影票房收入:150×10=1500元;第二场电影票房收入:205×10=2050元;第三场电影票房收入:310×10=3100元.关系式:y=10x.
2.当r=10cm时S=102π=100πcm2;当r=20cm时S=202π=400πcm2;当r=30cm时S=302π=900πcm
2.关系式:S=πr
2.
3.当边长为3m时邻边长y为5-3=2m;当边长为
3.5m时邻边长y为5-
3.5=
1.5m;当边长为4m时邻边长y为5-4=1m;当边长为
4.5m时邻边长y为5-
4.5=
0.5m.关系式:y=5-x.师:通过上述活动我们清楚地认识到要想寻求事物变化过程的规律首先需确定在这个过程中哪些量是变化的而哪些量又是不变的.在一个变化过程中可以取不同数值的量为变量数值始终不变的量称之为常量.如上述四个过程中时间t、里程s、售出票数x、票房收入y、圆的半径r、圆的面积S、矩形一边长x、其邻边长y都是变量.而速度60千米/时、票价10元/张、圆周率π、绳长10m都是常量.活动2 巩固练习 [过渡语] 明确了常量和变量的定义理解了它们之间的区别下面我们共同来完成“做一做”.【课件4】 做一做在下列各问题中分别各有几个量其中哪些量是常量哪些量是变量这些量之间具有怎样的关系1每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票票房收入为y元.2一台小型台秤最大称重为6kg每添加
0.1kg重物指针就转动6°的角添加重物质量为mkg时指针转动的角度为α.3用10m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的长xm的大小长方形的面积Sm2就随之有规律地发生变化.【教师活动】 引导、点拨.教师应该重点关注:1学生是否能正确地写出关系式;2答案是否全面;3学生的参与度.【学生活动】 先自主探索再小组合作、分析、总结、交流写出答案.答案:1有三个量10元是常量x张和y元是变量y=10x.2有五个量6kg
0.1kg和6°是常量mkg和α是变量α=60m.3有三个量10m是常量x和S是变量S=x5-x.[设计意图] 进一步熟悉巩固前面总结的探究方法并学会利用以前所学的一些公式来帮助解决问题.通过练习让学生会列关系式并进一步理解变量与常量的含义.本节课所学知识:变量与常量的定义.方法:
①常量与变量必须存在于同一变化过程中判断一个量是常量还是变量需要看两个方面:一是看它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.
②常量和变量是相对于变化过程而言的可以相互转化.
③不要认为字母就是变量.
1.在圆周长计算公式C=2πr中对半径不同的圆变量有 A.CrB.CπrC.CπrD.C2πr解析:直接利用在一个变化的过程中数值发生变化的量称为变量数值始终不变的量称为常量进而得出在圆周长计算公式C=2πr中对半径不同的圆变量有Cr.故选A.
2.如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地设长方形的面积为Sm2周长为pm一边长为am那么Spa中是变量的是 A.S和pB.S和aC.p和aD.Spa解析:∵篱笆的总长为60m∴周长p是定值而面积S和一边长a是变量.故选B.
3.某人要在规定的时间内加工100个零件则工作效率η与时间t之间的关系中下列说法正确的是 A.数100和ηt都是变量B.数100和η都是常量C.η和t是变量D.数100和t都是常量解析:根据变量和常量的定义可知η和t是变量零件的个数100是常量.故选C.
4.在三角形面积公式S=aha=2cm中下列说法正确的是 A.Sa是变量h是常量B.Sh是变量是常量C.Sh是变量a是常量D.Sha是变量是常量解析:在三角形面积公式S=aha=2cm中a的值保持不变它是常量h和S是变量.故选C.
5.林老师骑摩托车到加油站加油发现每个加油器上都有三个量其中一个表示“元/升”其数值固定不变另外两个量分别表示“数量”“金额”数值一直在变化在这三个量当中 是常量 是变量. 解析:常量就是在变化过程中不变的量变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量.答案:元/升 数量、金额
6.汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系:s=vt.如果汽车以每小时60km的速度行驶那么在s=vt中变量是 常量是 ;如果汽车行驶的时间t规定为1小时那么在s=vt中变量是 常量是 ;如果甲、乙两地的路程s为200km汽车从甲地开往乙地那么在s=vt中变量是 常量是 . 解析:根据在一个变化的过程中数值发生变化的量称为变量数值始终不变的量称为常量解答.答案:st 60 sv 1 vt
2007.齿轮每分钟120转如果n表示转数t表示转动时间.1用n的代数式表示t;2说出其中的变量与常量.解析:1根据题意可得转数=每分钟120转×时间;2根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中数值发生变化的量称为变量数值始终不变的量称为常量可得tn是变量.解:1由题意得120t=n即t=.2变量:tn常量:
120.
8.说出下列各个过程中的变量与常量.1我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟t分钟内卫星绕地球的周数为NN=;2矩形的长为2cm它的面积Scm2与宽acm的关系式是S=2a.解析:根据常量是在某一变化过程中保持不变的量变量是在某一变化过程中可以取不同数值的量对各小题分析判断即可得解.解:1N和t是变量106是常量.2S和a是变量2是常量.
20.1 常量和变量活动1 尝试探究变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.常量:在一个变化过程中数值保持不变的量叫做常量.活动2 巩固练习
一、教材作业【必做题】
1.教材第62页练习第12题.
2.教材第62页习题A组第123题.【选做题】教材第62页习题B组第12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.学校计划买100个乒乓球买的乒乓球的总费用W元与单价n元/个的关系式W=100n中 A.100是常量Wn是变量B.100W是常量n是变量C.100n是常量W是变量D.无法确定
2.一长方体的宽为b定值长为xxb高为h体积为V则V=bxh其中变量是 A.xB.hC.VD.xhV
3.下列说法正确的是 A.常量是指永远不变的量B.具体的数一定是常量C.字母一定表示变量D.球的体积公式V=πr3中变量是πr
4.下表是某报纸公布的世界人口数据情况表中的变量 年份195719741987xxxx人口数30亿40亿50亿60亿70亿A.仅有一个是时间年份B.仅有一个是人口数C.有两个一个是人口数另一个是时间年份D.一个也没有【能力提升】
5.完成以下问题:1某人持续以a米/分的速度t分钟内跑了s米其中常量是 变量是 ; 2在t分钟内不同的人以不同的速度a米/分跑了s米其中常量是 变量是 ; 3s米的路程不同的人以不同的速度a米/分各需跑t分钟其中常量是 变量是 ; 4根据以上叙述写一句关于常量与变量的结论: .
6.我国是一个严重缺水的国家我们都应该倍加珍惜水资源节约用水.据测试拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水每滴水约
0.5毫升.小燕子同学在洗手时没有拧紧水龙头当小燕子离开x时后水龙头滴了y毫升水.在这段文字涉及的量中哪些是常量哪些是变量
7.按如图所示的方式摆放餐桌和椅子.用x来表示餐桌的张数用y来表示可坐人数.1题中有几个变量2你能写出两个变量之间的关系吗
8.分析并指出下列关系中的变量与常量.1球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S=4πR2;2以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-
4.9t2;3一物体自高处自由落下这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h=gt2其中g取
9.8m/s2;4已知橙子每千克的售价是
1.8元则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x=
1.8w.【拓展探究】
9.在烧开水时水温达到100℃就会沸腾下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据:时间/分02468101214…温度/℃3044587286100100100…1上表反映了哪两个量之间的关系2水的温度是如何随着时间的变化而变化的3时间推移2分钟水的温度如何变化4时间为8分钟时水的温度为多少你能得出时间为9分钟时水的温度吗5根据表格你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少6为了节约能源你认为应在什么时间停止烧水【答案与解析】
1.A解析:∵买的乒乓球的总费用W元与单价n元/个的关系式为W=100n∴在此式中100是常量Wn是变量.
2.D解析:一长方体的宽为b定值长为xxb高为h体积为V则V=bxh其中变量是xhV常量是b.
3.B解析:A.常量和变量是相对于变化过程而言的可以互相转化错误;B.具体的数一定为常量正确;C.字母不一定都表示变量错误;D.π是常量错误.
4.C解析:观察表格可知时间在变人口在变故C正确.
5.1a ts 2t as 3s at 4在一个变化的过程中数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量解析:根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量可直接得到答案.
6.解:由题意得常量为数值始终不变的量有:
20.5;变量为数值发生变化的量有:xy.
7.解:1观察图形得x=1时y=6;x=2时y=10;x=3时y=14;….可见每增加一张桌子便增加4个座位因此x张餐桌共有6+4x-1=4x+2个座位.故可坐人数y=4x+2故有2个变量. 2能由1分析可得关系式可以为y=4x+
2.
8.解:1常量是4π变量是SR. 2常量是v
04.9变量是ht. 3常量是g变量是ht. 4常量是
1.8变量是xw.
9.解:1上表反映了水的温度与时间的关系. 2水的温度随着时间的增加而增加到100℃时恒定. 3时间推移2分钟水的温度增加14℃到10分钟时恒定. 4时间为8分钟时水的温度是86℃时间为9分钟时水的温度是93℃.5根据表格可知时间为16分钟和18分钟时水的温度均为100℃. 6为了节约能源应在10分钟后停止烧水.常量与变量的概念是由解决实际问题的需要而产生的.本节是实践性很强的内容.教学中无论是知识的发生过程还是应用过程都充分运用实例.根据新课程标准提出的“数学教学不仅要考虑数学自身的特点更应遵循学生学习数学的心理规律强调从学生已有的生活经验出发让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”的要求在本节课的教学中教师应充分发挥实例和多媒体的功能使数学问题生活化、抽象的问题形象化、静态的方式动态化让学生观察和分析数量关系的变化规律使学生从中感受常量和变量的意义从而有效突出重点突破本节的难点.常量与变量是在某一个过程中研究的因此分析清楚变化的过程是什么才有利于学生辨析清楚常量与变量分别是什么.在本节课的课堂实施中教师虽然注意到了对过程的分析但是没有在整个概念教学中贯穿这样的分析方法分析变化过程是什么再讨论变量与常量而是过于强调了两种量在数值变化上的特征有失偏颇应在今后的教学中加以改进.数学知识的教学在掌握基础知识的同时重要的是教给学生掌握必要的学习方法.教师在教学过程中要注意这方面的渗透对于变量与常量的探讨要整合题目中变化的过程让学生在不断观察、总结中体现学习的思路和方法.本节的教学要以师生互动探究式教学模式展开遵循“教为主导学为主体”的教学思想以自主探索和合作交流为主引导学生亲身实践知识的发生、发展、形成的认知过程.由于本节课所学习的“常量”与“变量”是两个抽象的新概念科学研究和教学实践都表明必须让学生通过直观感知来接受新的概念这既符合学生由感性到理性、由具体到抽象的认知规律也有利于学生掌握探究性学习的方法.练习教材第62页
1.解:1如下表所示:b-3-2-
0.50135100a
1051.251241026100012a=b2+1常量为1变量为ab.
2.解:S=15x常量为15变量为Sx.习题教材第62页A组
1.解:
2.4是常量m与W是变量.
2.解:π是常量S与r是变量S=πr
2.B组
1.解:常量是83变量是m与n.m=3×8n=24n即m与n之间的关系式为m=24n.
2.解:4和10是常量x与y是变量y=10-4x.本节课是用变化的观点研究数量重点是认识在变化过程中常常呈现具有不同状态的量:变量和常量.应设置适当的问题系列让学生充分体会其中的变量和常量.
1.对于“一起探究”中的问题1可按下列问题展开分析:1小明行驶5min时自行车的速度是多少行驶路程是多少10min时呢60min时呢2自行车行驶过程中平均速度、行驶时间和行驶路程三个量是否变化若不变它们对应的数值是多少若变化是怎样变化的3行驶路程的变化与行驶时间的变化是否有联系它们之间具有怎样的关系
2.对于“一起探究”中的问题2是以学生已经学习过的条形统计图呈现的学习过程可设计以下环节进行:1先让学生结合问题情境独立思考、探索条形统计图所蕴含的信息.2组织同学间互动、交流、研讨扩充获得的信息.3整合获得的信息将信息归纳为几个量这些量中哪些是变化的哪些是不变的4这些量之间具有怎样的关系
3.“一起探究”中的问题3和“大家谈谈”是开放性的问题应给学生充分思考、交流的时间尽量丰富有关“不变的量”“变化的量”的实例进一步让学生了解常量与变量激发学生的发散思维.变量之间的表现形式 从甲地到乙地的路程为300千米一辆汽车从甲地到乙地每小时行驶50千米行驶的时间为t小时离乙地的路程为s千米填写下表:t/小时123456s/千米 用含有t的式子表示s并说出其中的常量和变量分别是什么.解:表中的数据从左到右依次为
250200150100500.用含有t的式子表示s为s=300-50t其中30050是常量;st是变量.
20.2 函 数
1.结合丰富的实例使学生在具体情境中了解自变量与函数的意义.
2.结合实例初步了解数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法.
3.能确定简单函数的自变量的取值范围.
1.观察在许多问题中的变量之间存在着函数关系.
2.探究函数与自变量的对应关系.
3.理解如何求函数解析式、自变量的取值范围.
1.通过学习函数概念提高学生的分析、综合能力渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法向学生渗透数形结合的思想.
2.感受现实生活中函数的普遍性体会事物之间的相互联系与制约.【重点】了解函数的意义会求自变量的取值范围及函数值.【难点】函数概念的抽象性及列函数关系式.第课时
1.探究具体问题中的数量关系和变化规律.
2.通过实例了解函数的定义及其表示方法.
1.经历思考、分析、观察等数学活动过程发展合情推理有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2.逐步感知变量间的关系.
1.积极参与数学活动对数学产生好奇心和求知欲让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用.
2.提高学生参加数学活动的积极性和好奇心.【重点】函数的概念.【难点】函数概念的理解及表示.【教师准备】 课件1~
8.【学生准备】 复习变量与常量.导入一:【课件1】 下面是一张心电图心电图中显示了心脏部位的生物电流y随时间x的变化则对于x每一个确定的值y是否都有唯一确定的对应值教师让学生细心观察讨论并思考:对于x每一个确定的值y都有唯一确定的对应值.教师归纳:万物皆变这种一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是深刻认识变化世界的数学工具.导入二:【课件2】 高速行驶的列车的行驶里程随着行驶时间而变化.气象站自动温度记录仪描述的某一天的温度曲线气温随时间的变化而变化.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.[设计意图] 两个导入都是以现实生活为依托让学生体会变量之间的关系感受数学知识与现实生活的密切联系从而激发学生的学习热情和求知欲.活动1 整体感知——“观察与思考” [过渡语] 函数是刻画和研究变化过程中量与量之间关系的一种重要数学模型在现实生活中具有广泛的应用.现在我们开始学习函数.思路一【课件3】 思考并解决下列问题:1下表是欣欣报亭上半年的纯收入情况:月份T1月2月3月4月5月6月纯收入S/元456047904430420048704730 根据这个表格你能说出1月~6月每个月的纯收入吗2如图所示的是某市冬季某天的气温变化图.观察这个气温变化图你能找到凌晨3时、上午9时和下午16时对应的温度吗你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗3我们曾做过“对折纸”的游戏:取一张纸第1次对折1页纸折为2层;第2次对折2层纸折为4层;第3次对折4层纸折为8层……用n表示对折的次数p表示对折后的层数请写出用n表示p的表达式.根据写出的表达式是否可以得出任意次对折后的层数依次引导学生回答上述三个问题学生举例时尽可能多地让学生说出观察到的信息.1能.举例略.23时、9时和16时对应的温度分别为-3℃1℃和4℃.能得到这天24小时内任意时刻对应的温度.3p=2n.能举例略.【思考】 1在问题1中有几个变量随着月份T的变化纯收入S怎样变化2在问题2中有几个变量有怎样的变化规律3在问题3中有几个变量当n每取一个值时p是否都有唯一的值教师引导学生讨论上面三个问题:1有两个变量月份对应一个值纯收入也有一个值和它对应;2有两个变量温度随时间的变化而变化;3有两个变量n每取一个值时p都有唯一的值与之对应.[设计意图] 通过练习让学生感知问题中两个变量的存在认识变量之间的单值对应.【课件4】 在上述三个问题中分别指出其中的变量并说明在同一个问题中当其中一个量变化时另一个量是否也在相应地变化当其中一个量取定一个值时另一个量是否也相应地取定一个值.引导学生总结出:三个实例中的两个变量之间分别具有相互依赖关系当其中一个变量变化时另一个变量也相应地变化并且当其中一个变量取定一个值时另一个变量也相应地取定一个值.说明:一般地在某个变化过程中有两个变量x和y.如果给定x的一个值就能相应地确定y的一个值那么我们就说y是x的函数.其中x叫做自变量.请你说一说课件3的1~3中哪个变量是哪个变量的函数自变量是谁指学生回答得出:1欣欣报亭的纯收入S元是月份T的函数T是自变量;2某市某一天的气温T℃是时刻t的函数t是自变量;3折纸的层数p是折纸次数n的函数n是自变量.此处教师应指出:1“自变量”是指在它的取值范围内可以随心所欲地、自由自在地取它想取的值.2“函数”中的“函”是相关的意思是指这两个变量间有相关的关系.每一个自变量的函数值是唯一被确定的.[设计意图] 通过实例从三个不同角度描述变化规律感受变量之间的对应关系.[知识拓展] 1函数不是数函数的本质是对应函数关系就是变量之间的对应关系且是一种特殊的对应关系必须是“对于x的每一个值y都有唯一的值和它对应”.例如:“一个数与它的绝对值”若一个数用x表示它的绝对值用y表示其中x可以取任意实数即自变量的取值范围是全体实数对应关系是一个数与它的绝对值对应一个数的绝对值是这个数的函数.又如:式子y=x2中变量x每取一个值y都有唯一的值与之对应所以y是x的函数;式子y2=x中尽管x与y之间有一种关系但由于变量x在x0的范围内每取一个值y都有两个确定的值与之对应所以说y不是x的函数.2自变量与函数用什么字母表示无关紧要自变量可以用x表示也可以用tup…中的任何一个表示函数可以用y表示也可以用tup…中的任何一个表示.3在我们所研究的范围内如果两个变量之间虽有一定的关系但它们之间存在“不唯一确定”的对应关系也就是说这种关系不是“唯一确定”的关系那么这两个变量之间就不存在函数关系.4函数的定义中指出“对于x的每一个值y都有唯一的值与之对应”但对于自变量x的每一个不同的值y不一定都是不同的值与之对应.思路二
1.共同探究获取新知.【课件5】 问题1:师:这个问题中有哪几个变量学生讨论教师参与.生1:时间.生2:海拔高度.师:很好.观察上图热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米师:你能求出升空后3min6min时热气球到达的海拔高度吗生:能……[设计意图] 用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识同时也活跃了课堂气氛锻炼了学生的合作能力.
2.合作交流深化理解.【课件6】 问题2:师:这个问题中有哪几个变量生:两个变量时间和用电负荷.师:任意给出这天中的某一时刻如
4.5h20h你能找到这一时刻的用电负荷y×103兆瓦是多少吗你是怎么找到的找到的值是唯一确定的吗学生小组讨论教师参与学生交流.师:这一天的用电低谷、用电高峰时负荷各是多少它们是在什么时刻达到的生:……
4.5h和
13.5h.师:很好.问题3:汽车在行驶过程中由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住某型号的汽车在路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有经验公式:s=.这个式子中涉及哪几个变量呢生1:刹车距离.生2:车速.师:当刹车时车速分别是40km/h60km/h时相应的滑行距离分别是多少结果保留一位小数找两名学生板演学生求出结果后集体纠正.[设计意图] 通过教师的点拨师生的合作交流为学习定义打下良好基础.
3.继续探究深化定义.师生共同探究问题123中变量和常量的关系:问题1中t=3时h=1890;t=6时h=
1980.问题2中t=
4.5时y=10;t=20时y=
16.问题3中v=40时s≈
6.3;v=60时s≈
14.
1.教师口述定义:一般地在某个变化过程中有两个变量x和y.如果给定x的一个值就能相应地确定y的一个值那么我们就说y是x的函数.其中x叫做自变量.师:你能说出问题1中的自变量和函数吗学生小组讨论.生:热气球上升高度h是自变量时间t的函数.师:你能说出问题2中的自变量和函数吗生:用电负荷y是自变量时间t的函数.师:问题3中呢生:刹车距离s是自变量车速v的函数.师:大家掌握得太好了真为你们骄傲![设计意图] 通过小组讨论交流达到“兵教兵”的目的实现知识内化.活动2 知识深化——“大家谈谈” [过渡语] 函数体现的是“一一对应”的思想即在自变量取值范围内每取一个值另一个变量都有唯一的值与其对应.【课件7】 请你谈谈:
1.如果y是x的函数那么哪个量是自变量哪个量是自变量的函数
2.在上面的“观察与思考”中我们认识了用“数值表、图像、表达式”三种方式分别表示的函数请你再用这三种方式各举一个表示函数关系的例子.学生举例讨论交流.[设计意图] 进一步理解函数模型辨析自变量与函数初步体会数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法.活动3 巩固新知——“做一做”【课件8】 做一做
1.改革开放以来我国城乡居民的生活发生了巨大变化.下表是国家统计局公布的近几年人民币储蓄存款余额的情况:年份xxxxxxxxxxxx存款余额/亿元141051161587172534217885260772303302在这里存款余额亿元与年份两个量之间是否具有函数关系若具有函数关系请指出其中的自变量和关于自变量的函数.
2.海水受日月的引力而产生潮汐现象.海水早晨上涨的现象叫做潮黄昏上涨的现象叫做汐潮与汐合称潮汐.某港口的某一天从0时至24时的水位情况如图所示.变量h与变量t是否具有函数关系若具有函数关系则哪个量是自变量哪个量是这个自变量的函数 让学生利用函数的定义去加以判断.引导学生得到:
1.存款余额与年份具有函数关系年份是自变量存款余额是年份的函数.
2.h与t具有函数关系t是自变量h是t的函数.[设计意图] 进一步掌握函数的概念能正确地确定自变量提高学生解决实际问题的能力锻炼学生讲题说理的能力.
1.函数的定义:一般地在某个变化过程中有两个变量x和y.如果给定x的一个值就能相应地确定y的一个值那么我们就说y是x的函数.其中x叫做自变量.
2.对于函数的理解:1在某一个变化过程中有两个变量;2一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;3自变量的每一个确定的值函数有且只有一个值与之对应即单对应.
1.xx·南宁中考下列各曲线中表示y是x的函数的是 A BC D解析:根据函数的意义:对于自变量x的任何一个值y都有唯一的值与之相对应可知D正确.故选D.
2.下列说法正确的是 A.若y2x则y是x的函数B.正方形的面积是其周长的函数C.变量xy满足y2=2xy是x的函数D.温度是变量解析:A.不符合函数的定义故本选项错误;B.设正方形的周长为L面积为S用L表示S的函数关系式为S=L2故本选项正确;C.不符合函数的定义故本选项错误;D.在不同的情况下温度不一定是变量故本选项错误.故选B.
3.下列四个关系式:1y=x;2y=x2;3y=x3;4|y|=x.其中y不是x的函数的是 A.1B.2C.3D.4解析:根据函数的定义可知满足对于x的每一个取值y都有唯一确定的值与之对应关系可以得出1y=x2y=x23y=x3满足函数的定义y是x的函数而4|y|=x当x取值时y不是都有唯一的值与之对应y不是x的函数.故选D.
4.下列各选项中两个变量之间的关系不能被看成函数的是 A.小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系B.三角形一边上的高一定时三角形面积S与该边的长度x之间的关系C.骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系D.y表示一个正数x的平方根y与x之间的关系解析:D.y表示一个正数x的平方根而x每取一个值y都有两个值与之对应所以两个变量之间的关系不能看成函数关系故此选项符合题意.故选D.
5.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y的数值其中y不是x的函数的选项是 x1234y-1-2-3-4A x1234y36912B x14y-112-2C x1234y2222D解析:只有选项C中x取1个值y有2个值与其对应故y不是x的函数.故选C.
6.已知△ABC的底边BC上的高为8cm当它的底边BC从16cm变化到5cm时△ABC的面积 A.从20cm2变化到64cm2B.从64cm2变化到20cm2C.从128cm2变化到40cm2D.从40cm2变化到128cm2解析:当△ABC的底边BC上的高为8cm底边BC=16cm时S1=8×16÷2=64cm2;底边BC=5cm时S2=5×8÷2=20cm
2.故选B.
7.一石激起千层浪一块石头投入水中会在水面上激起一圈圈圆形涟漪圆形水波慢慢地扩大如图所示这些圆的圆心相同.1在这个变化过程中自变量是 ; 2如果圆的半径为r面积为S那么S与r之间的关系式是 ; 3当圆的半径由1cm增加到5cm时面积增加了 cm
2. 解析:1圆的面积随着圆的半径的变化而变化所以自变量是圆的半径;2根据圆的面积公式如果圆的半径为r面积为S则S与r之间的关系式是S=πr2;3当圆的半径由1cm增加到5cm时面积增加了25π-π=24πcm
2.答案:1圆的半径 2S=πr2 324π
8.在国内投寄平信应付邮资如下表:信件质量x/克0x≤2020x≤4040x≤60邮资y/元
0.
801.
602.40 1y是x的函数吗为什么2分别求当x=5103050时的函数值.解析:1根据函数定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y对于x的每一个确定的值y都有唯一的值与其对应那么就说y是x的函数x是自变量可得y是x的函数;2根据表格可以直接得到答案.解:1y是x的函数当x取定一个值时y都有唯一确定的值与其对应.2当x=5时y=
0.80;当x=10时y=
0.80;当x=30时y=
1.60;当x=50时y=
2.
40.
9.观察如图所示的图形找规律填表答题.小梯形个数n1234…n图形的边数a47…1把表补充完整并回答其中哪个是自变量;2图形的边数a是小梯形个数n的函数吗解析:1根据图形的变化可得自变量;2根据函数的定义可得答案.解:1依次填10133n+
1.图形的边数随着小梯形个数的变化而变化梯形的个数是自变量.2图形的边数a是小梯形个数n的函数理由是有一个n值就有唯一确定的a值与之对应a是n的函数.第1课时活动1 整体感知——“观察与思考”函数的定义活动2 知识深化——“大家谈谈”活动3 巩固新知——“做一做”
一、教材作业【必做题】
1.教材第65页练习第12题.
2.教材第65页习题A组第123题.【选做题】教材第66页习题B组第12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.函数是研究 A.常量之间的对应关系的B.常量与变量之间的对应关系的C.变量与常量之间对应关系的D.变量之间的对应关系的
2.下列说法正确的是 A.在球的体积公式V=πr3中V不是r的函数B.若变量xy满足y2=x则y是x的函数C.在圆锥的体积公式V=πR2h中当h=4厘米R=2厘米时V是π的函数D.若变量xy满足y=-x+则y是x的函数
3.在下表中设x表示乘公共汽车的站数y表示应付的票价元根据此表下列说法正确的是 x/站12345678910y/元1112233344A.y是x的函数B.y不是x的函数C.x是y的函数D.以上说法都不对
4.如图所示在△ABC中过顶点A的直线与边BC相交于点D当顶点A沿直线AD向点D运动且越过点D后逐渐远离点D时在这一运动过程中△ABC的面积的变化情况是 A.由大变小B.由小变大C.先由大变小后又由小变大D.先由小变大后又由大变小
5.据测试:拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水每滴水约
0.05毫升.小康同学洗手后没有把水龙头拧紧水龙头以测试的速度滴水当小康离开x分钟后水龙头滴出y毫升的水则y与x之间的函数关系式是 A.y=
0.05xB.y=5xC.y=100xD.y=
0.05x+
1006.下表反映的是某地区电的使用量x千瓦时与应缴电费y元之间的关系:用电量x/千瓦时1234…应缴电费y/元
0.
551.
11.
652.2…下列说法不正确的是 A.x与y都是变量且x是自变量B.用电量每增加1千瓦时电费增加
0.55元C.若用电量为8千瓦时则应缴电费
4.4元D.若所缴电费为
2.75元则用电量为6千瓦时
7.已知x=3-ky=2+k则y与x的关系是 A.y=x-5B.x+y=1C.x-y=1D.x+y=
58.李大爷要围成一个矩形菜园菜园的一边利用足够长的墙用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x米AB边的长为y米则y与x之间的函数关系式是 A.y=-x+12B.y=-2x+24C.y=2x-24D.y=x-
129.弹簧挂上物体后会伸长测得一弹簧的长度ym与所挂物体质量xkg间有如下关系x≤12下列说法中不正确的是 质量/kg012345长度/cm
1010.
51111.
51212.5A.所挂物体的质量为6kg时弹簧长度为
12.5cmB.弹簧不挂重物时的长度为10cmC.物体质量由3kg增加到4kg弹簧的长度增加
0.5cmD.x是自变量y是自变量的函数
10.如图所示向平静的水面投入一个石子在水面会激起一圈圈圆形涟漪当半径从2cm变成5cm时圆形的面积从 cm2变成 cm
2.这一变化过程中 是自变量 是自变量的函数. 【能力提升】
11.已知W=x+1y=那么y是不是x的函数若不是请说明理由;若是请写出y与x之间的函数关系式.
12.下表是某公共电话亭打长途电话的几次收费记录:时间/分1234567电话费/元
0.
61.
21.
82.
43.
03.
64.21上表反映了哪两个变量间的关系哪个是自变量2如果用x表示时间y表示电话费那么随着x的变化y的变化趋势是什么3丽丽打了5分钟电话那么电话费需付多少元
13.某班同学在自然课中探究弹簧的长度与所受外力的变化关系时实验记录得到的数据如下表:砝码的质量x/克050100150200250300400500指针的位置y/cm
2345677.
57.
57.51y是关于x的函数吗为什么2当x=0时函数值是多少它的实际意义是什么3当x≥300时指针位置保持不变.请你结合生活经验解释产生这种现象的可能原因.【拓展探究】
14.中国联通在某地的资费标准为包月186元时超出部分国内拨打
0.36元/分由于业务多小明的爸爸打电话已超出了包月费.下表是超出部分国内拨打的收费标准:时间/分12345…电话费/元
0.
360.
721.
081.
441.8…1这个表反映了哪两个变量之间的关系哪个是自变量2如果用x表示超出时间y表示超出部分的电话费那么y与x的表达式是什么3如果打电话超出25分钟需付多少电话费4某次打电话的费用超出部分是54元那么小明的爸爸打电话超出几分钟
15.甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球球拍一副定价60元乒乓球每盒定价10元.今年世界乒乓球锦标赛期间两家商店都搞促销活动:甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球;乙商店规定所有商品9折优惠.某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍乒乓球若干盒不少于4盒.设该校要买乒乓球x盒所需商品在甲商店购买需要y1元在乙商店购买需要y2元.1请分别写出y1y2与x之间的函数关系式;2对x的取值情况进行分析试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜;3若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球在不考虑其他因素的情况下请你设计一个最省钱的购买方案.【答案与解析】
1.D
2.D解析:根据函数的定义可知满足对于x的每一个取值y都有唯一确定的值与之对应关系据此即可确定函数.
3.A解析:根据题意知对于x的每一个取值y都有唯一确定的值故y是x的函数.
4.C解析:运动过程中点A到BC的距离先变小然后再变大故△ABC的面积的变化情况是先变小后变大.
5.B解析:每分钟滴出100滴水每滴水约
0.05毫升则一分钟滴水100×
0.05毫升则x分钟可滴100×
0.05x毫升据此即可求解.
6.D解析:D.若所缴电费为
2.75元则用电量为
2.75÷
0.55=5千瓦时故错误.
7.D解析:∵x=3-ky=2+k∴x+y=3-k+2+k=
5.
8.A解析:由题意得2y+x=24故可得y=-x+
12.
9.A解析:A.所挂物体质量为6kg时弹簧长度是10+
0.5×6=13cm故本选项错误.
10.4π 25π 半径 面积解析:当r=2时圆的面积为4π;当r=5时圆的面积为25π;这一变化过程中半径是自变量面积是自变量的函数.
11.解:∵对于x在某一范围内的每一个确定的值y都有唯一确定的值与它对应那么就称y是x的函数∴y是x的函数∵W=x+1y=∴y=.
12.解:1上表反映的是时间和电话费两个变量之间的关系时间是自变量. 2根据表中数据得出:随着x的增大y相应地也增大. 3由表中数据直接得出:丽丽打了5分钟电话那么电话费需付3元.
13.解:1y是关于x的函数.因为在这个变化过程中对于x的每一个确定的值y都有唯一确定的值所以y是关于x的函数. 2当x=0时y=
2.它的实际意义是弹簧的原长是2cm. 3原因是:弹簧所受外力超过弹性限度不能再被拉长了.
14.解:1超出部分国内拨打时间与电话费之间的关系打电话时间是自变量电话费是因变量. 2由题意可得y=
0.36x. 3当x=25时y=
0.36×25=9即如果打电话超出25分钟需付186+9=195元的电话费. 4当y=54时x==
150.即小明的爸爸打电话超出150分钟.
15.解:1y1=10x+80y2=9x+
108. 2当y1=y2时10x+80=9x+108解得x=28∴x=28时在甲商店购买所需商品和在乙商店购买所需商品一样便宜;当y1y2时10x+809x+108而已知不少于4盒∴4≤x28时在甲商店购买所需商品比较便宜;当y1y2时10x+809x+108∴x28时在乙商店购买所需商品比较便宜. 3最佳的购买方案是:到甲商店购买2副乒乓球拍获赠4盒乒乓球;到乙商店购买16盒乒乓球.函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型对函数的学习一直以来都是中学阶段的一个重要的内容.函数的概念是学习后续“函数知识”的最重要的基础内容而函数的概念又是一个比较抽象的知识对它的理解一直是一个教学难点学生对这些问题的探索以及研究思路都是比较陌生的.因此在教学过程中教师注意通过对以前学过的“变量之间的关系”的回顾与思考力求提供生动有趣的问题情境激发学生的学习兴趣;通过层层深入的问题设计引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动在活动中归纳、概括出函数的概念;并通过师生交流、生生交流等加深学生对函数概念的理解.函数是初中阶段数学学习的一个重要内容学生又是第一次接触函数.对于函数的理解和掌握是本节课的重点和难点对于学生举例说明这一环节学生完成得不好.在教学中学生对“观察与思考”的问题3的函数表达式的分析教师没有引导到位.对于规律型的表达式教师可以引导学生进行操作逐一列式整体讨论进行分析充分发挥小组合作学习的优势因为题目毕竟有一定的难度让学生独立思考很难做到.另外课前可以让学生事先进行预习搜集有关函数的例子这样学生举例时就不会感觉到无从说起.练习教材第65页
1.解:表中反映的两个量之间具有函数关系.新增病例是日期的函数.
2.解:s=190tt是自变量s是t的函数.习题教材第65页A组
1.解:对于每一个确定的时刻都能相应地确定一个温度.T是t的函数t是自变量.
2.4x S x S x
3.解:由题意得m=
2.4+1·t-3=t-
0.6∴m与t之间的函数关系式为m=t-
0.6t≥3t为整数.B组
1.解:1v=2tv是t的函数t是自变量. 2v=2×
3.5=7m/s.
2.解:1W=40-6tt是自变量W是t的函数. 2W=40-6×3=
22.即油箱中剩余油量为22L.本课时是在上一节课内容的基础上探索两个变量之间的对应关系——函数.它是刻画两个变量之间关系的重要模型也是解决许多实际问题的重要工具.函数概念的本质是两个变量之间存在的对应关系.教学中应注意三个问题:一是变化过程二是相互依赖的关系三是“值”的唯一性.在引导学生思考、交流、分析实例的共性时要注意两个变量间当一个量变化时另一个量也相应地变化;当一个变量取一个确定的值时另一个变量的值也随之确定.在教学过程中应先让学生自己尝试、思考再合作交流引导学生多取一些值感受变量之间的这种函数关系.为了让学生对函数的概念进一步理解应为学生提供充足的思考、交流的时间与空间让学生进行深刻的思考和广泛的交流在交流中达成共识. 某学校的复印任务由甲复印社承接其收费y元与复印页数x页的关系如下表:x/页1002004001000…y/元4080160400… 1表格中反映的变量是 其中自变量是 ; 2随着复印页数x的逐渐增加其收费y的变化趋势是什么3复印页数x每增加100页收费y怎样变化4当复印页数为xx页时其收费y是多少元〔解析〕 1在一个变化的过程中数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.据此判断出表格中反映的变量是复印页数、收费其中自变量是复印页数因变量是收费;2随着复印页数x的逐渐增加其收费y也逐渐增加;3根据80-40=40元可得复印页数x每增加100页收费y增加40元;4首先根据单价=总价÷数量求出每页的复印费是多少进而确定出收费y元与复印页数x页的关系然后把x=xx代入求出其收费y是多少元即可.解:1表格中反映的变量是复印页数、收费其中自变量是复印页数因变量是收费.2随着复印页数x的逐渐增加其收费y逐渐增加.3因为80-40=40元所以复印页数x每增加100页收费y增加40元.440÷100=
0.4元所以y=
0.4x当x=xx时y=
0.4×xx=800所以当复印页数为xx页时其收费y是800元.[解题策略] 此题主要考查了函数关系式的求法以及常量和变量的判断要熟练掌握;解答此题的关键是要明确:常量与变量必须存在于同一个变化过程中判断一个量是常量还是变量需要看两个方面:一是它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.第课时
1.能根据函数关系式直观得到自变量的取值范围.
2.理解实际背景对自变量取值的限制.
1.通过让学生主动观察、交流、归纳等探索活动形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
2.联系代数式中未知数的取值的要求探索求函数自变量取值范围的方法.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中增强数学建模意识.【重点】函数自变量取值范围的求法.【难点】理解实际背景对自变量取值的限制.【教师准备】 课件1~
6.【学生准备】 复习函数的定义.导入一:
1.函数的定义是什么什么是自变量举例说明
2.说一说你对函数的理解.教师说明:函数的自变量可以在允许的范围内取值超出这个范围可能失去意义这就是函数的自变量的取值范围问题.揭示课题:函数自变量的取值范围.[设计意图] 复习函数的有关知识承上启下明确自变量的值有一定的范围强调本课时研究的问题.导入二:【课件1】 问题1:试写出等腰三角形中顶角的度数y°与底角的度数x°之间的函数关系式.解:y与x的函数关系式:y=180-2x.问题2:填写如图所示的加法表然后把所有填有10的格子涂黑看看你能发现什么如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示纵向的加数用y表示试写出y与x的函数关系式.解:黑色格子在一条直线上;y=10-x.[设计意图] 情景中的两个问题让学生单独完成由于题目简单因此不必占用太多时间此设计主要为后面的探究做铺垫.探究1 探究实际问题中自变量的取值范围 [过渡语] 实际问题中自变量的取值应满足问题的实际意义.请同学们看一下如下的问题.思路一【课件2】 大家谈谈
1.前面讲到的“欣欣报亭的1月~6月的每月纯收入S元是月份T的函数”其中自变量T可取哪些值当T=
1.5或T=7时原问题有意义吗
2.“某市某一天的气温T℃是时刻t的函数”其中自变量t可取哪些值如果t取第二天凌晨3时原问题还有意义吗
3.“折纸的层数p是折纸次数n的函数”其中自变量n可取哪些值当n=
0.5时原问题有没有意义引导学生针对“大家谈谈”的问题小组交流然后选代表发言.最后得出结论:
1.T只能取123456这6个整数当T=
1.5或T=7时原问题S无意义.
2.0≤t24当t取第二天凌晨3时时原问题T无意义.
3.n≥0且n是整数当n=
0.5时原问题p无意义.教师说明:在用解析式表示函数时要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.[设计意图] 通过师生交流合作让学生去领会更好地完成概念的理解.思路二针对导入二【思考】 在上面问题中所出现的各个函数中自变量的取值有限制吗如果有写出它的取值范围.分析:对于问题1因为三角形内角和是180°所以等腰三角形的底角的度数x°不可能大于或等于90°;对于问题2观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的取值范围.解:问题1中自变量x的取值范围是0x90;问题2中自变量x的取值范围是1≤x≤9且x是整数.总结:在用解析式表示函数时要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时如果遇到实际问题必须使实际问题有意义.例如函数解析式S=πR2中自变量R的取值范围是全体实数如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系那么自变量R的取值范围就应该是R
0.[设计意图] 让学生在交流讨论、主动探究中明白在用解析法表达函数时自变量x的取值范围是有一定的限制的以此来引出如何求函数自变量的取值范围这一重点.探究2 函数表达式中自变量的取值范围 [过渡语] 刚才通过探究我们知道实际问题中的函数它的自变量的取值应满足实际意义.那么对于函数表达式自变量的取值又怎样进行判断呢【课件3】 试着做做求下列函数自变量x的取值范围:1y=2x+1; 2y=; 3y=.学生讨论交流后举手上讲台板演其他学生互评.明确:在1中由于函数是关于自变量的整式所以x为全体实数;在2中由于函数是关于自变量的分式必须使分母不为0所以x≠0;在3中由于函数是关于自变量的二次根式所以被开方数为非负数即x≥
1.归纳上述结论可知:相对于已学知识而言函数自变量的取值范围满足下列条件:1使分母不为零;2使二次根式被开方数为非负数;3使实际问题有意义.[知识拓展] 函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面:首先自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义;其次自变量的取值应使实际问题有意义.这两个方面缺一不可特别是后者在学习过程中容易忽略.因此在分析具体问题时一定要细致周到地从多方面考虑.探究3 例题讲解【课件4】 教材第67页例题如图所示等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm边CA与边MN在同一条直线上点A与点M重合.让△ABC沿MN方向运动当点A与点N重合时停止运动.试写出运动中两个图形重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的函数关系式并指出自变量的取值范围.点拨:1重叠部分的三角形是什么三角形2怎样表示这个三角形的面积明确:师生共同归纳1由于△ABC是等腰直角三角形得出重叠部分各锐角的度数都是45度所以重叠部分的三角形是等腰直角三角形;2函数关系式为y=x20≤x≤
10.【课件5】 补充分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围.1已知等腰三角形的面积为20cm2设它的底边长为xcm求底边上的高ycm关于x的函数关系式;2在一个半径为10cm的圆形纸片中剪去一个半径为rcm的同心圆得到一个圆环.设圆环的面积为Scm2求S关于r的函数关系式.3矩形的周长为12cm求它的面积Scm2与它的一边长xcm间的关系式并求出当一边长为2cm时这个矩形的面积.学生尝试完成然后小组合作交流.解:1y=x可取任意正数.2S=100π-πr2r的取值范围是0r
10.3S=x6-x=6x-x2x的取值范围是0x6;当x=2时S=8即此时矩形的面积为8cm
2.【课件6】 做一做
1.求下列函数自变量的取值范围:1y=2x2+7; 2y=;3y=.
2.写出下列问题中的函数关系式及自变量的取值范围:1某市民用电费标准为
0.52元/千瓦时求电费y元与用电量x千瓦时的函数关系式.2已知一等腰三角形的面积为20cm
2.设它的底边长为xcm求底边上的高ycm与x的函数关系式.引导学生分析:
1.1为全体实数;2使分母不为零;3二次根式在分母中被开方数大于
0.
2.1利用总价=单价×数量推理得出;2利用三角形的面积=×底×高推理得出.学生独立完成然后集体讲评.答案:
1.1全体实数;2x≠0且x≠-1;3x
2.
2.1y=
0.52xx≥0;2y=x
0.[设计意图] 使学生了解到函数自变量的取值除受解析式影响外还受实际问题的限制通过练习巩固学生对知识的理解程度强化学生对函数的概念、自变量的取值范围的理解.求函数自变量取值范围的两个依据:1要使函数的解析式有意义.
①函数的解析式是整式时自变量可取全体实数;
②函数的解析式的分母中含有自变量时自变量的取值应使分母≠0;
③函数的解析式是二次根式时自变量的取值应使被开方数≥
0.2反映实际问题的函数关系自变量的取值应使实际问题有意义.
1.xx·威海中考函数y=的自变量x的取值范围是 A.x≥-2B.x≥-2且x≠0C.x≠0D.x0且x≠-2解析:由题意得x+2≥0且x≠0解得x≥-2且x≠
0.故选B.
2.函数y=的自变量的取值范围是 A.x≠-3B.x-3C.x≥-3D.x≤-3解析:本题考查了使函数解析式有意义的x的取值范围.一般地从两个角度考虑:分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于
0.当一个式子中同时出现这两点时应该是取让两个条件都满足的公共部分所以x+30解得x-
3.故选B.
3.函数y=x-10中自变量x的取值范围是 A.x1B.x≠1C.x1D.x≥1解析:由y=x-10得x-1≠0解得x≠1自变量x的取值范围是x≠
1.故选B.
4.下列函数中自变量x的取值范围不正确的是 A.y=2x2中x取全体实数B.y=中x≠1C.y=中x≥2D.y=中x3解析:A中的x取全体实数;B中x+1≠0得到x≠-1;C中x-2≥0则x≥2;D中x-3≥0且x-3≠0解得x
3.故选B.
5.求下列函数中自变量x的取值范围.1y=3x-1;2y=+;3y=.解析:1根据对任意的实数都有意义即可求解;2根据二次根式的性质和分式的意义被开方数大于或等于0分母不等于0可以求出x的取值范围;3根据0的0次幂无意义即可求解.解:1x是任意实数.2根据题意得解得x≥2且x≠
3.3根据题意得x-1≠0解得x≠
1.
6.学校游泳池盛满水2400m3出水管每分钟可放水30m3打开出水管一直到放尽为止求游泳池内水量wm3与放水时间tmin的函数关系式写出自变量t的取值范围.解析:根据“游泳池内水量=2400-放水量”列式即可解答.解:根据题意得w=2400-30t0≤t≤
80.
7.如图所示正方形ABCD的边长为5P为BC上一动点不与BC两点重合若CP=x△ABP的面积为y求出y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围.解析:由CP=x得BP=5-x根据三角形的面积计算方法直接得出函数解析式利用P为BC上一动点不与BC两点重合得出自变量的取值范围即可.解:∵CP=x∴BP=5-x∴△ABP的面积为y=×55-x=-x+0x
5.
8.若一个面积为50m2的矩形的宽为ym长为xm.1直接写出y与x的函数关系式以及自变量x的取值范围;2当长满足5≤x≤10时求宽y的取值范围.解析:1根据矩形的面积公式可求得y与x的函数关系式;2根据5≤x≤10可解关于y的不等式组5≤≤10得到y的取值范围.解:1∵xy=50∴y=x
0.2∵5≤x≤10∴5≤≤10即5≤y≤
10.第2课时探究1 探究实际问题中自变量的取值范围探究2 函数表达式中自变量的取值范围1使分母不为零;2使二次根式被开方数为非负数;3使实际问题有意义.探究3 例题讲解例1例2
一、教材作业【必做题】
1.教材第67页练习第12题.
2.教材第68页习题A组.【选做题】教材第68页习题B组.
二、课后作业【基础巩固】
1.xx·扬州中考函数y=中自变量x的取值范围是 A.x1B.x≥1C.x1D.x≤
12.xx·内江中考在函数y=中自变量x的取值范围是 A.x3B.x≥3C.x4D.x≥3且x≠
43.函数y=中自变量x的取值范围是 A.x2B.x≠2C.x≥2且x≠1D.x为任意实数
4.下列四个函数其中自变量的取值范围相同的是 1y=x+1;2y=;3y=;4y=.A.1和2B.1和3C.2和4D.1和
45.若|a+2|+=0则在函数y=中自变量x的取值范围是 A.x2B.x≥2C.x-2D.x≥-
26.下列函数中自变量的取值范围选取错误的是 A.y=中x取x≥2B.y=中x取x≠-1C.y=2x2中x取全体实数D.y=中x取x≥-3【能力提升】
7.已知函数y=+.1求自变量x的取值范围;2求当x=1时的函数值.
8.如图所示在Rt△ABC中∠C=90°AC=6BC=8点P在BC上运动点P不与点BC重合设PC=x若用y表示△APB的面积求y与x的函数关系式并求自变量x的取值范围.
9.一辆汽车的油箱中现有汽油49升如果不再加油那么油箱中的油y单位:升随行驶里程x单位:公里的增加而减少平均耗油量为
0.07升/公里.1写出y与x之间的函数关系式;2求自变量x的取值范围;3汽车行驶200公里时油箱中还有多少汽油
10.等腰三角形的周长为30cm.1若底边长为xcm腰长为ycm写出y与x的关系式并注明自变量的取值范围;2若腰长为xcm底边长为ycm写出y与x的关系式并注明自变量的取值范围.【拓展探究】
11.一个长方体的体积是100cm3它的长是ycm宽是5cm高是xcm.1写出用高表示长的函数关系式: ; 2写出自变量x的取值范围: ; 3当x=3cm时y= cm.
12.全球经济已经进入了高油价时代开发新能源刻不容缓.太阳能热水器已走进千家万户数量为180L的一太阳能热水器设其工作时间为ymin每分钟排水量为xL.1写出y与x之间的函数关系式: ; 2若热水器可连续工作的最长时间为1h求自变量的取值范围: ; 3若每分钟排放热水4L则热水器可不间断地工作 分钟. 【答案与解析】
1.B解析:由题意得x-1≥0解得x≥
1.故选B.
2.D解析:由题意得x-3≥0且x-4≠0解得x≥3且x≠
4.故选D.
3.A解析:由题意得x-20解得x
2.
4.D解析:1x为全体实数;2x+1≥0则x≥-1;3x+1≠0则x≠-1;4x为全体实数.则自变量的取值范围相同的是1和
4.
5.B解析:由题意得a+2=0b-1=0解得a=-2b=1所以y==所以x-2≥0解得x≥
2.
6.D解析:A.x-2≥0则x≥2故正确;B.x+1≠0则x≠-1故正确;C.正确;D.x+30则x-3故错误.
7.解:1根据题意得解得x
5. 2把x=1代入解析式可得y=+=2-1=
1.
8.解:∵BC=8CP=x∴PB=8-x∴=PB·AC=×8-x×6=24-3x自变量的取值范围是0x
8.
9.解:1根据题意每行驶x公里耗油
0.07x升即总油量减少
0.07x升则油箱中的油剩下49-
0.07x升∴y与x的函数关系式为y=49-
0.07x. 2因为x代表的实际意义为行驶里程所以x不能为负数即x≥0;又行驶中的耗油量为
0.07x不能超过油箱中现有汽油量的值49即
0.07x≤49解得x≤
700.综上所述自变量x的取值范围是0≤x≤
700. 3当x=200时代入x与y的关系式得y=49-
0.07×200=
35.所以汽车行驶200公里时油桶中还有35升汽油.
10.解:1∵等腰三角形的周长为30cm底边长为xcm腰长为ycm∴y与x的关系式为x+2y=30即y=-x+15自变量的取值范围是0x
15. 2∵等腰三角形的周长为30cm腰长为xcm底边长为ycm∴y与x的关系式为y=-2x+30自变量的取值范围是
7.5x
15.
11.1y= 20x4 3解析:1根据长方体的体积公式可得100=5xy∴y=.2自变量x的取值范围为0x
4.3当x=3cm时y=cm.
12.1y= 2x≥3 345解析:1根据xy=180得到y=.2∵热水器可连续工作的最长时间为1h即0≤y≤60∴x的取值范围是x≥
3.3把x=4代入y=得y=
45.在整个教学过程中教师主要设计了情境引入、探究归纳、实践应用等环节.在第一环节抓住学生易学的心理利用三个上课时的问题情境引导学生在主动探究过程中发现自变量的取值不是任意的是同时受解析式和实际意义的双重制约的.那么如何确定函数自变量的取值范围呢这就促成了学生的“我要学”的想法.然后利用三个解析法表达式法表达的函数但每个函数的自变量分别位于不同解析式中的不同位置先让学生自主探索然后通过引导整理出确定函数自变量的取值范围的一般方法:
①使解析式有意义
②使实际应用有意义的规律.在整个教学过程中教师采取环节紧扣、步步紧逼的方式使学生自愿接受教师的引导在我想学——我要学——我会学——我学会的过程中学到东西同时能力也得到提高已达到课堂有效的目的.在教学设计上教师始终遵循一个原则:以教师为主导以学生为主体在学生学到知识的同时得到能力的提高.教材通过实际问题中的函数关系式和函数表达式中自变量的取值范围两个方面进行探讨.在探讨的过程中教师没有充分让学生讨论分析而自己总结出函数表达式中自变量的取值范围.并且在小组合作学习的过程中讨论不够充分学生发言时间有限不能够及时进行补充和归纳.因此导致学生在做一做和练习的过程中考虑不周全.对于教材的重点和难点教师要注意引导充分让学生加以讨论和分析尽量让小组合作完成.对于焦点问题可以引导学生在全班进行争辩达成共识使学生深刻认识自变量的取值范围的确定依据和方法.练习教材第67页
1.解:1x为全体实数. 2x≠±
1. 3x≤
2.
2.解:s=270-60t0≤x≤.习题教材第68页A组解:1x是全体实数. 2x≠
0. 3x≠. 4x≥-
4.B组
1.解:由题意得解得x≥2即x的取值范围为x≥
2.
2.解:1设该厂每月生产这种产品x件每月获利润为W元则W=50-25x-
0.5x·2-30000=24x-30000即W与x之间的函数关系式为W=24x-
30000. 2由题意得24x-300000解得x
1250.答:为保证盈利该厂每月至少需生产并销售这种产品1251件. 如图所示矩形的长是4cm宽是3cm如果将其长与宽各增加xcm那么面积增加ycm
2.1写出y与x的函数关系式;2自变量x的取值范围是什么〔解析〕 1矩形的长是4cm宽是3cm如果将其长与宽各增加xcm得到的新矩形的长是x+4cm宽是x+3cm根据增加的面积=新矩形的面积-原矩形的面积即可得出y与x的函数关系式;2根据x的实际意义即可解答.解:1由题意得y=x+4x+3-4×3即y=x2+7x.2自变量x的取值范围是x≥
0.[解题策略] 根据矩形的面积公式得到y与x的函数关系式是解题的关键. 一个长方体的体积是200cm3它的长是ycm宽是5cm高是xcm.1求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围; 2求≤x≤12时y的最大值和最小值.〔解析〕 1利用长方体的体积公式得出y与x的函数关系式进而得出x的取值范围;2分别求出x=以及x=12时y的值进而得出答案.解:1依题意得5xy=200∴y=又∵x0y5∴自变量x的取值范围是0x
8.2∵当x=时y==80当x=12时y==∴在≤x≤12时长方体的长的最大值是80cm最小值是cm.[解题策略] 根据长方体体积公式得出y与x的函数关系式是解题关键.
20.3 函数的表示
1.学会用描点法画出简单的函数图像了解函数关系式与函数图像及函数表格之间的关系.
2.结合函数图像能体会出函数的变化情况.
1.渗透数形结合的思想让学生学会函数图像的基本画法.
2.在画图像中体会函数的规律及三种表达形式之间的关系.
3.初步体会数形结合的思想方法.引导学生积极参与试验与探索活动体验探索的快乐并从中获得成功的体验通过细心画图培养严谨细致的作风增强动手意识和合作精神.【重点】函数图像的画法.【难点】理解三种函数表示形式之间的联系.【教师准备】 课件1~
7.【学生准备】 复习函数关系的三种表示形式.导入一:【课件1】 a是自变量x取值范围内的任意一个值过点a0画y轴的平行线与图中曲线相交下列哪个图形中的曲线表示y是x的函数为什么学生交流后回答左边这个图形中的曲线表示y是x的函数右边不是这是因为给定x的一个值必须能相应地确定y的一个值而不是多个值.教师进而说明左边就是用图形表示两个变量之间的函数关系那么应如何做呢说明:学生回答不是函数的原因时易出错教师可鼓励并引导学生回答.[设计意图] 复习函数的定义消除函数判定的误区通过解决问题引入课题易提高学生学习的兴趣.导入二:【课件2】 复习提问:
1.什么叫函数
2.什么叫平面直角坐标系
3.在坐标平面内什么叫点的横坐标什么叫点的纵坐标
4.如果点A的横坐标为3纵坐标为5如何用坐标标记
5.请在坐标平面内画出点A.
6.如果已知一个点的坐标可在坐标平面内画出几个点反过来如果坐标平面内的一个点已确定这个点的坐标有几个这样的点和坐标的对应关系叫做什么对应平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应.[设计意图] 通过一系列的问题为本节课学习函数的图像做好铺垫让学生意识到点可以理解为最简单的图像给出一个点的坐标就可以在平面直角坐标系中画出这个点反过来在平面直角坐标系中给出一个点也可以确定它的坐标说明点与坐标是一一对应的同样的道理为接下来函数的解析式与图像的对应埋下伏笔.导入三:【课件3】 下图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况.1汽车行驶了多长时间它的最高时速是多少2汽车在哪些时间段保持匀速行驶时速分别是多少3出发后8分钟到13分钟之间可能发生了什么情况4用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.通过本节课的学习就可解决这个问题了.[设计意图] 通过实际问题情境让学生认识到从函数图像中可以获得很多信息激发学生研究问题的热情.活动1 函数图像的画法 [过渡语] 用适当的方法表示函数能够帮助我们更好地认识函数并运用函数解决问题.我们已经看到用表达式、图形、表格等都可以表示两个变量之间的函数关系.现在我们对这些表示方法作进一步的研究.思路一【课件4】 人们发现声音在空气中传播的速度简称声速随气温的变化而变化.某研究者通过实验得到了这样一些关于气温x与声速y对应的数据:x/℃-10-505101520y/m/s
325.
36328.
36331.
36334.
36337.
36340.
36343.36实际上这就是用数值表来表达关于声速y与气温x之间的函数关系.提出问题:
1.你还能用其他方法表示声速y与气温x之间的函数关系吗
2.这些表示方法有什么特点在前面学习函数的基础上探究把表格表示的函数关系用表达式和图形来表示.从表格中可以看出气温x每升高或降低5℃声速y就增加或减少3m/s.也就是说气温x每升高或降低1℃声速y就增加或减少m/s.而当x=0时y=
331.36m/s.这样声速ym/s和气温x℃之间的函数关系就可以表示为y=x+
331.
36.这个表达式更加全面、准确地反映了声速ym/s和气温x℃之间的对应关系.利用它可以方便地得到与x℃值对应的ym/s的值.如:当气温x为-4℃时声速y为×-4+
331.36=
328.96m/s当气温x为28℃时声速y为×28+
331.36=
348.16m/s……声速ym/s与气温x℃之间的函数关系还可以借助图形表示出来具体可以这样做:
1.画出直角坐标系用横轴上的点表示气温x℃用纵轴上的点表示声速ym/s.
2.借助于表格或表达式找出x和y的若干对对应值如-
5328.
360331.
365334.
3610337.
3615340.36….分别以每对值为横、纵坐标确定出坐标系中相应的点.
3.用平滑的线将这些点连起来就得到声速ym/s和气温x℃之间用图形表示的函数关系如图所示.总结:数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点.把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系中描点所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像.用图像表示的函数关系更为直观和形象.思路二函数关系的表示方法.【课件5】 汽车以60千米/时的速度匀速行驶行驶里程为s千米行驶时间为t小时.
1.表达式法:用含自变量x的各种数学运算构成的式子来表示函数y的方法.指名说出:行驶里程s和行驶时间t的函数关系式为s=60t.优点:简单明了能从解析式中清楚地看到两个变量之间的全部相依关系并且适合进行理论分析和推导计算.缺点:在求对应值时有时要做较复杂的计算.
2.列表法.提出问题:自变量的取值范围是什么t≥0让学生完成表格:t/小时01234…s/千米060120180240… 优点:具有很强的操作性数据很具体便于作深入的统计分析对于表中自变量的每一个值可以不通过计算直接把函数值找到查询时很方便.缺点:它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出而且从表中看不出变量间的对应规律.
3.图像法:用图像来表示函数关系的方法.1以横轴表示时间每1小时为一个单位长度纵轴表示路程每60千米为一个单位长度;2在平面直角坐标系中描点、连线画出图形.引导学生操作画图像.函数的图像定义:把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系中描点所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像.优点:能形象直观地显示出函数的变化规律把抽象的函数概念形象化为研究函数的性质提供方便.缺点:所画的图像是近似的、局部的从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值.总结:函数的三种基本表示方法各有各的优点和缺点因此要根据不同问题与需要灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上有时把这三种方法结合起来使用即由已知的函数解析式列出自变量与对应的函数值的表格再画出它的图像.[知识拓展] 一般来说函数图像是由直角坐标系中的一系列点组成的.图像上每一点的坐标xy代表了函数中变量的一对对应值它的横坐标表示自变量的某一个值纵坐标表示与它相对应的函数值.1通常情况下横坐标表示自变量纵坐标表示函数值;2函数图像代表了函数的几何意义体现了数形结合的思想;3图像上每一个点的坐标都满足函数关系式满足函数关系式的任意一对xy的值所对应的点都在函数图像上.活动2 例题讲解 [过渡语] 根据函数关系式我们可以利用刚才学到的方法画出函数的图像.【课件6】 在直角坐标系中画出函数y=2x+1的图像.这个函数关系式中对于y与x的对应关系我们还可以通过在坐标平面内画出图像的方法来表示.具体做法是:第一步:列表列出自变量x与函数值的对应表即数值表.先确定x的若干个值然后填入相应的y值.x-2-1012y-3-1135 第二步:描点.对于表格中的每一组对应值以x值作为点的横坐标以对应的y值作为点的纵坐标便可画出一个点也就是由表中给出的有序实数对在直角坐标系中描出相应的点.第三步:连线.按照横坐标由小到大的顺序把这些点用线连接起来得到的图形就是y=2x+1的图像如图所示.规律方法小结:1画函数图像的一般步骤:列表:用列表的方法找出自变量和与其对应的函数值;描点:把表中各对自变量与函数值分别作为点的横坐标与纵坐标在坐标系中描出相应的点;连线:用平滑的曲线依次连接所找出的各点.2在画函数图像时一般应考虑在坐标原点附近描点对一些有特殊条件限制的函数要在自变量取值范围内取点.[设计意图] 明确图像法的意义其本质是通过点形成的让学生体会到一般的作图只是作出函数的近似图像.活动3 实际应用 [过渡语] 在画函数图像时我们要注意自变量的取值范围刚才我们所画的图像是一条直线有的函数的图像并不都是直线.【课件7】 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入的数为x显示的结果为y程序如图所示.1请写出y与x之间的函数关系式并指出自变量的取值范围.y=x≥
0.2根据函数关系式填写表格:x014916y 0 1 2 3 4 3借助这些对应的数值画出这个函数的图像.让学生画出图像后观察并总结图像的特点.[设计意图] 明确画函数图像时要在自变量取值范围内取相应的数值进一步强化学生画图像的步骤提高学生画图像的能力.到现在我们已经学过了表示函数关系的方法有三种:1解析式法——用数学式子表示函数关系;2数值表法——通过列表给出自变量与函数值的对应关系;3图像法——把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像.画函数图像的方法:1列表;2描点;3连线.
1.下图是护士统计一位甲型H1N1流感疑似病人的体温变化图这位病人在16时的体温约是 A.
37.8℃B.38℃C.
38.7℃D.
39.1℃解析:从15时到18时体温上升16时的体温应该在
38.5℃~
39.2℃之间由此选择合适的答案.故选C.
2.xx·新疆中考小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店在书店看了10分钟书后用15分钟返回家下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图像是 A B C D解析:根据题意知从20分钟到30分钟在书店里看书离家距离没有变化是一条平行于x轴的线段.故选B.
3.大年三十晚上小六驾车从家出发到烟花燃放指定点去燃放烟花爆竹小六驾车匀速行驶一段时间后途中遇到堵车原地等待一会儿然后小六加快速度继续匀速行驶零点之前到达指定燃放地点燃放结束后小六驾车匀速返回.其中x表示小六从家出发后所用时间y表示小六离家的距离.下图中能反映y与x的函数关系的大致图像是 A BC D解析:由题意得离家的距离越来越远直线呈上升趋势根据途中加油可得路程不变时间加长直线呈水平状态后来加速行驶可得路程变化快直线上升快燃放烟花爆竹时路程不变时间加长直线呈水平状态再匀速回家离家距离越来越近直线呈下降趋势.故选A.
4.一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择其中一种有月租费另一种无月租费.这两种收费方式的通话费用y元与通话时间x分钟之间的函数关系如图所示.小红根据图像得出下列结论:
①l1描述的是无月租费的收费方式;
②l2描述的是有月租费的收费方式;
③当每月的通话时间为500分钟时选择有月租费的收费方式省钱.其中正确结论的个数是 A.0B.1C.2D.3解析:根据l1是从原点出发可得不打电话收费为0元因此是无月租费的收费方式;l2是从020出发可得不打电话收费为20元因此是有月租费的收费方式;两函数图像交点为40040说明打电话400分钟时两种收费相同超过400分钟后当x取定一个值时l1所对应的函数值总比l2所对应的函数值大因此当每月的通话时间为500分钟时选择有月租费的收费方式省钱.故选D.
5.某星期天下午小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校小强从家出发先步行到车站等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中折线表示小强离开家的路程y公里和所用的时间x分之间的函数关系.下列说法错误的是 A.小强从家到公共汽车站步行了2公里B.小强在公共汽车站等小明用了10分钟C.公共汽车的平均速度是30公里/小时D.小强乘公共汽车用了20分钟解析:小强和小明一起乘公共汽车时间为60-30=30分钟.故选D.
6.下图表示某地的气温变化情况.1在 时气温最高为 ; 2在 时到 时这段时间气温是逐渐上升的. 解析:1根据图像中折线上升、下降的趋势可知:在14时气温最高为15℃;2在8时到14时这段时间气温是逐渐上升的.答案:114 15℃ 28
147.河道的剩水量Q米3和水泵抽水时间t时的关系图像如图所示则水泵抽水前河道内有 米3的水水泵最多抽 小时水泵抽8小时后河道剩水量是 米
3. 解析:由图像得水泵抽水前即t=0时河道内的水量;当Q=0时t=12;水泵抽8个小时后河道剩水量根据水泵的工作效率即可求出.由图像得:水泵抽水前河道内有600米3的水水泵最多抽12小时水泵抽8个小时后河道剩水量是600-×8=200米
3.答案:600 12
2008.阳阳离开家去新华书店买书回来后阳阳用所学知识绘制了一张反映他离家的距离与时间的关系图请根据阳阳绘制的这张图回答以下问题:1在上述变化过程中自变量是什么2阳阳到达新华书店用了多长时间3新华书店离阳阳家有多远4阳阳回家用了多长时间5阳阳从家到新华书店的平均速度是多少返回时的平均速度是多少解析:1根据自变量的定义求解;2阳阳所行驶的路程包括三部分:去书店买书在书店买书从书店回家由图像知0~20分钟去书店;320分钟时对应的距离即为所求;430~45分钟为回家路上用的时间;5利用速度=再根据图像可得答案.解:1自变量为时间因变量为距离.220-0=20分钟阳阳到达新华书店用了20分钟.3新华书店离阳阳家有900米.445-30=15分钟阳阳回家用了15分钟.5900÷20=45米/分;900÷15=60米/分.阳阳从家到新华书店的平均速度是45米/分;返回时的平均速度是60米/分.
20.3 函数的表示活动1 函数图像的画法
1.列表
2.描点
3.连线活动2 例题讲解活动3 实际应用
一、教材作业【必做题】
1.教材第71页练习第12题.
2.教材第71页习题A组第123题.【选做题】教材第72页习题B组第12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.洗衣机在洗涤衣服时每洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程工作前洗衣机内无水.在这三个过程中洗衣机内的水量y升与洗一遍的时间x分之间函数关系的大致图像为图中的 A BC D
2.上周周末放学小华的妈妈来学校门口接他回家小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里于是以相同的速度折返回去拿到了教室后碰到班主任并与班主任交流了一下周末计划才离开为了不让妈妈久等小华快步跑到学校门口则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图像是图中的 A BC D
3.如图所示的图像中所反映的过程是:张强从家跑步去体育场在那里锻炼了一阵后又去早餐店吃早餐然后散步走回家其中x表示时间y表示张强离家的距离.根据图像提供的信息以下四个说法错误的是 A.体育场离张强家
3.5千米B.张强在体育场锻炼了15分钟C.体育场离早餐店
1.5千米D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/时
4.一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶路程随时间变化的图像如图所示下列结论错误的是 A.轮船的速度为20km/hB.快艇的速度为km/hC.轮船比快艇先出发2hD.快艇比轮船早到2h
5.如图所示的是春季某地一天气温随时间变化的图像根据图像判断在这天中最高温度与最低温度的差是 ℃.
6.某兴趣小组从学校出发骑车去植物园参观先经过一段上坡路后到达途中一处景点停车10分钟进行参观然后又经一段下坡路到达植物园行程情况速度与时间关系如图所示若他们上、下坡路速度不变则这个兴趣小组的同学按原路返回所用的时间为 .途中不停留
7.某人沿直路行走设此人离出发地的距离s千米与行走时间t分钟的函数关系如图所示则此人在这段时间内最快的行走速度是 千米/时. 【能力提升】
8.某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游一部分同学步行另一部分同学骑自行车他们都沿相同路线前往.如图所示已知l1l2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y千米与所用时间x分钟之间的函数图像请你根据图中提供的信息写出三个正确结论.
① ;
② ;
③ .
9.如图所示的是某购物中心食品柜在四月份的营业额情况统计图根据图像回答下列问题.1在这个月中日最低营业额是在4月 日只有 万元; 2在这个月中日最高营业额是在4月 日达到 万元; 3这个月中从 日到 日营业额呈逐日上升趋势; 4这个月营业额比较平衡的大约有 天每日均在 万元左右. 【拓展探究】
10.如图所示它表示甲、乙两人从同一个地点出发到达目的地的情况.到十点时甲大约走了13千米.根据图像回答:1甲是几点钟出发2乙是几点钟出发到十点时他大约走了多少千米3到十点为止哪个人的速度快4两人最终在几点钟相遇到达目的地5你能利用图像中得到的信息编个故事吗【答案与解析】
1.C解析:根据洗衣机内水量开始为0清洗时水量不变排水时水量变小直到水量为0即可得到答案.
2.B解析:根据题意得函数图像是距离先变短再变长在教室内没变化最后迅速变短B符合题意.
3.D解析:A.由纵坐标看出体育场离张强家
3.5千米故A正确;B.由横坐标看出30-15=15分钟张强在体育场锻炼了15分钟故B正确;C.由纵坐标看出
3.5-
2.0=
1.5千米体育场离早餐店
1.5千米故C正确;D.由纵坐标看出早餐店离家2千米由横坐标看出从早餐店回家用了95-65=30分钟即
0.5小时2÷
0.5=4千米/时故D错误.
4.B解析:由函数图像得轮船的速度为160÷8=20km/h故A正确;快艇的速度为160÷6-2=40km/h故B错误;由函数图像可以得出轮船比快艇先出发2h故C正确;快艇比轮船早到8-6=2h故D正确.
5.10解析:观察图像由纵坐标看出最高气温是12℃最低气温是2℃所以温差是12-2=10℃.
6.分钟解析:去植物园上坡路为120×25=3000米下坡路为180×45-35=1800米返回时的上坡路是1800米下坡路是3000米返回时的时间是1800÷120+3000÷180=分钟.
7.8解析:此人在这段时间内最快的行走速度是=8千米/时.
8.
①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
②步行的速度是6÷1=6千米/时
③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了50-30=20分钟解析:答案不唯一还可以是:骑车的同学用了54-30=24分钟到目的地比步行的同学提前6分钟到达目的地等.
9.16 2 221 6 36 21 410
410.解:1甲8点出发. 2乙9点出发;到10时他大约走了13千米. 3到10时为止乙的速度快. 4两人最终在12时相遇. 5甲8时骑车从家出发3小时后改乘汽车;乙骑摩托车9时开始追赶最终在12时同甲一起到达目的地.“函数的表示”的教学内容是在学生初步学习了常量、变量及函数的基础上继续对函数的表示方法进行深入具体的研究.从静止到变化是数学学习的一次飞跃函数的表示是本章的重点如何让学生在运动与变化过程中体会函数的意义又是本节课的重点.函数在实际生活中应用广泛它刻画了两个变量之间的对应关系.函数的表示更是重中之重探究过程中它有效地将数和形联系起来体现了数形结合这一重要思想.本节课教师根据学生不同的基础通过由浅入深地设计一系列问题首先由表格中已有的数值到表格中没有的数值让学生带着疑问进入一个个环节的探索.探究过程中引导学生动手操作、自主探索、小组合作交流最后通过观察、发现、归纳出函数的三种表示法.培养了学生观察、分析、抽象、概括的能力.从整节课的活动过程看有学生的观察感受动手操作画图像有师生的问答交流有小组的讨论交流、合作总结目的是为了发挥教师的引导作用体现学生是学习的主体.通过一系列探索性的问题激发了学生对函数的学习兴趣.学生在画教材中第一个“做一做”中图像的时候对于每一点纵坐标的确定不够准确因为原来的数据比较大而且全是小数所以在画的时候误差较大.在动手操作的环节中由于问题情境是生活中的实际问题数据比较大因此教师必须做出正确的引导.对于画图中学生出现的问题及时进行反馈和纠正.同时可以利用电脑操作画图的过程让学生自己领悟到图像的形状.这样既有利于培养学生的猜想能力也让学生体验所学知识与现实生活之间的联系.练习教材第71页
1.解:1画出的函数图像如图所示. 25日.
2.解:1图
1. 2图
2. 3略.习题教材第71页A组
1.解:1y=2xx≥
0. 2略.
2.解:1行驶2h后司机开始吃饭吃饭用了1h. 2饭后行驶4h到达加油站到加油站时油箱内还有油10L. 3在饭前与饭后的行驶过程中汽车每小时的耗油量是相同的每小时耗油量均为5L.
3.解:1图
2. 2答案不唯一以图1为例:小亮家与长途汽车站相距1500m星期日小亮步行去长途汽车站乘车去外婆家最初他以某一速度匀速前进走了一段时间后发现时间紧迫他就改为匀速慢跑终于准时赶到长途汽车站.B组
1.解:1由题意得s=90tt的取值范围为t≥
0. 2如下表所示:t/h
0.
40.
811.524s/km367290135180360函数图像如图所示.
2.提示:1答案不唯一例如:
1122334455. 2把这5个点的坐标分别代入函数表达式因为函数表达式的左右两边都相等说明这5个点的坐标满足函数表达式. 3略. xx·巴中中考小张的爷爷每天坚持体育锻炼星期天爷爷从家里跑步到公园打了一会太极拳然后沿原路慢步走到家下图中能反映当天爷爷离家的距离y米与时间t分钟之间关系的大致图像是 A BC D〔解析〕 生活中比较运动快慢通常有两种方法即比较相同时间内通过的路程多少或通过相同路程所用时间的多少但统一的方法是直接比较速度的大小.根据题中信息可知相同的路程跑步比慢步的速度快;在一定时间内没有移动距离则速度为零.故小华的爷爷跑步到公园的速度较快即单位时间内通过的路程较大打太极的过程中没有移动距离因此单位时间内通过的路程为零还要注意出去和回来时的方向不同故B符合要求.故选B. xx·济宁中考匀速地向一个容器内注水最后把容器注满在注水过程中水面高度h随时间t的变化规律如图所示图中OABC为一折线这个容器的形状是下图中的 A B C D〔解析〕 根据每一段函数图像的倾斜程度反映了水面上升速度的快慢再观察容器的粗细作出判断.注水量一定函数图像的走势是稍陡较平很陡那么速度就相应地变化跟所给容器的粗细有关.则相应的排列顺序就为C.故选C.
20.4 函数的初步应用
1.使学生能从图像中分析变量的相互关系寻找对应的现实情境预测变化趋势等问题.
2.能利用函数图像解决简单的实际问题提高学生的数学应用能力.
1.通过作图、交流、归纳等数学实践活动提高把实际问题转化为数学问题的能力.
2.培养利用函数知识推测事物的发展趋势的能力.让学生通过实际操作体会函数三种表示法在实际生活中的应用价值激发学生对数学学习的兴趣.【重点】数形结合思想的应用.【难点】函数与方程、不等式的综合应用.【教师准备】 课件1~
6.【学生准备】 复习函数图像的画法.导入一:【课件1】 某居民按照分期付款的方式购房购房时首付第1年款30000元以后每年付款见下表.年份第2年第3年第4年第5年第6年支付房款15000xx0250003000035000 1根据表格推算第7年应付款多少元;2试写出两个变量之间的函数表达式;3小明购得一套住房求他第10年应付房款多少.[设计意图] 由生活中的实例引入课题说明用函数既可解决生活中的实际问题又可激发学生的学习兴趣提高学习的积极性.导入二:提出问题:
1.用描点法画函数图像一般有哪些步骤
2.列表能表示函数吗除此之外你认为表示函数的方法还有哪些[设计意图] 让学生回顾上节课的学习内容为学新课作准备.导入三:【课件2】 小亮和妈妈到超市买了一台电磁炉.售货员介绍说用这台电磁炉和配赠的专用水壶烧开一壶水只需几分钟.小亮决定用自己学习过的知识对电磁炉烧开水的功能进行测试.他从实验室借来专用的温度计放入电磁炉上的水壶中随后打开电磁炉记录下了水壶中的水温T℃随烧水时间tmin的变化情况8min后关掉了电磁炉如下表:t/min012345678T/℃183247627792100100100
1.在这个过程中变量T℃是变量tmin的函数吗如果是请指出自变量的取值范围.
2.请在直角坐标系中用图像表示出T℃与tmin的关系.
3.用电磁炉烧开一壶水需要多长时间
4.从图像上看如果烧一壶50℃的生活用水需用多长时间
5.从画出的图像上你还能获得关于变量T℃和变量tmin之间关系的哪些认识[设计意图] 目的是让学生亲身经历建立数学模型从函数的各种表示中获取信息、解决问题的过程提高数学转化的能力和应用意识.活动1 初步感知 [过渡语] 很多实际问题和数学问题都表现为两个变量之间的函数关系因此学会建立函数模型并用函数模型解决问题是十分重要的.思路一出示教材“一起探究”.【课件3】 已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系:摄氏温度/℃01020304050华氏温度/℉32506886104122提出问题:1观察表格说一说从表格中能知道哪些信息2摄氏温度值与华氏温度值有怎样的变化关系分析:华氏温度随摄氏温度的增加而不断增大.而且它们呈有规律的增长即摄氏温度每增加10℃华氏温度增加18℉.3当摄氏温度为30℃时由数值表能直接求出华氏温度吗能为86℉.4如果设摄氏温度为x℃华氏温度为y℉你能表示出x和y之间的函数关系吗学生讨论后得出y=
1.8x+
32.教师让学生根据表达式求出当摄氏温度为36℃时的华氏温度和华氏温度为140℉时的摄氏温度.学生回答后教师归纳:求这两个值就是已知变量x等于36求y已知y等于140求x当其中一个量对应一个值另一个量也对应一个值充分体现了函数的对应思想.[设计意图] 从函数的表示方法入手通过对表格的观察得到两个变量之间的关系提高学生解决问题的能力让学生充分参与探索的过程主动思考和发表自己的见解.思路二【课件4】 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼主要活动是爬山.有一天小强让爷爷先上然后追赶爷爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离米与爬山所用时间分的关系从小强开始爬山开始计时. 问题1:图中有一个直角坐标系它的横轴和纵轴各表示什么问题2:如图所示线段上有一点P则P的坐标是多少表示的实际意义是什么学生思考后作答学生间相互交流补充:要多长时间追上爷爷问题3:你还能从图中获得哪些信息吗学生小组讨论交流可能会有以下这些问题.1小强让爷爷先上多少米2山顶离山脚的距离有多少米谁先爬上山顶分析:1小强让爷爷先上的路程应该看表示爷爷的这条线段由于是从小强开始爬山开始计时的而x轴表示爬山所用时间当x=0时可在线段上找到这一点A如图所示点A对应的函数值y=
60.2y轴表示离开山脚的距离山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离也就是函数值y的最大值.可分别在这两条线段上找到这两点BC如图所示过BC两点分别向x轴、y轴作垂线可发现交y轴于同一点Q因为两人爬的是同一座山点Q的数值就是山顶离山脚的距离分别交x轴于MNMN点的数值分别是小强和爷爷从小强开始爬开始计时爬上山顶所用的时间比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶.进而分析:从题意可以知道线段
①表达了小强离开山脚的距离与爬山所用时间的关系线段
②表达了爷爷离开山脚的距离与爬山所用时间的关系这两条线并不是小强与爷爷的爬山路线.刚开始计时时爷爷已经在小强的前方60米处小强让爷爷先上60米;从上图来看山顶距离山脚300米因为小强登上山顶用的时间比爷爷用的少所以小强比爷爷快先登上山顶;小强经过8分钟追上爷爷.解:1小强让爷爷先上60米.2山顶离山脚的距离有300米小强先爬上山顶.归纳:在观察实际问题的图像时先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义如图中的点P390这一点表示小强爬山3分后离开山脚的距离为90米再从图形中分析两变量的相互关系寻找对应的现实情境.从图中的两条线段都可以看出随着自变量x的逐渐增大函数值y也逐渐增大再联系现实情境知爬山所用时间越长离开山脚的距离越大当x达到最大值时也就是到达山顶的时刻.[设计意图] 本问题涵盖的信息量比较大经过学生的讨论可能会有很多想法教师都应及时做出鼓励和表扬图像虽然比较直观但对于如何准确地读出图中的信息学生还有很长的路要走这里难点是要突破坐标系中横、纵坐标的实际含义.[知识拓展] 根据图像读取信息时要把握以下三个方面:1横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量;2关于某个具体点要求向横、纵轴作垂线求得该点的坐标;3在实际问题中要注意图像与x轴y轴的交点坐标所代表的具体意义.活动2 深入探究 [过渡语] 同学们你们知道奥运会的标志图案是什么吗五环图.奥运会五环标志象征五大洲和全世界的运动员在奥运会上相聚一堂充分体现了奥林匹克主义的内容.五环从左到右分别是:上方蓝、黑、红下方黄和绿这五种颜色分别代表五大洲蓝色代表欧洲、黄色代表亚洲、黑色代表非洲、绿色代表大洋洲、红色代表美洲.下面我们来研究一下五环图的数学问题.【课件5】 五环图的示意图如图所示观察各个环中的数据有什么特点教师引导学生分析:上面三个环中的数字是三个连续的偶数下面两个环中的数字是两个连续的奇数并且三个偶数之和与两个奇数之和相等.思考:请你再写出几组具有这种关系的五个数同桌交流满足要求的有多少组明确:通过列举发现满足条件的数字有无数组那么它们之间是否也存在着一定的函数关系呢教师引导学生用2x-22x2x+2表示三个连续的偶数用2y-1和2y+1表示两个连续的奇数求y与x之间满足的关系式.学生小组交流后得出:y=x.教师让学生回答当x=2050或更大的数时这五个数分别是多少总结:数学中存在很多有趣的事通过刚才的探索我想同学们一定会受益匪浅真正领会到了数学的神奇.[设计意图] 通过对五环标志的解析使学生受到爱国主义的感染激发了学生的探索欲望提升了学生学习数学的兴趣这一开放题的设计更让学生的思路得到了拓展巩固了知识也提高了学生的学习技能.活动3 巩固新知 [过渡语] 刚才经过同学们的讨论和探究我们已经知道函数在生活中有着广泛的应用.我们再来完成下面两道题.【课件6】 做一做
1.一支20cm长的蜡烛点燃后每小时燃烧5cm.在图中哪幅图像能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度hcm与点燃时间th之间的函数关系请说明理由.
2.一等腰三角形的周长为12cm设其底边长为ycm腰长为xcm.1写出y与x的函数关系式并指出自变量x的取值范围.2画出这个函数的图像.学生自己独立完成有困难的小组合作.答案:
1.图3理由略.
2.1y=12-2x3x
6.2略.[设计意图] 通过解决两个学生所熟知的问题从图像和表达式出发进一步体会函数模型的作用.
1.在观察实际问题的图像时先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标和实际意义然后观察图形分析两变量的相互关系结合题意寻找对应的现实情境.
2.函数图像是典型的数形结合思想的应用图像应用信息广泛通过看图获取信息不仅可以解决生活中的实际问题还可以提高分析问题、解决问题的能力.
1.为了节能减排鼓励居民节约用电某市将出台新的居民用电收费标准:1若每户居民每月用电量不超过100度则按
0.50元/度计算;2若每户居民每月用电量超过100度则超过部分按
0.80元/度计算未超过部分仍按每度电
0.50元计算.现假设某户居民某月用电量是x单位:度电费为y单位:元则y与x的函数关系用图像表示正确的是 ABCD解析:根据题意知当0≤x≤100时y=
0.5x当x100时y=100×
0.5+
0.8x-100=50+
0.8x-80=
0.8x-30所以y与x的函数关系为y=纵观各选项只有C选项图形符合.故选C.
2.豪豪和欢欢相约星期六下午一起去电影院看电影欢欢走到半路时发现电影票没带于是以相同的速度折返回去回家找了一会拿上电影票快步跑向电影院则欢欢离电影院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图像是图中的 A BC D解析:根据题意得函数图像中距离先变短再变长在家里找票时没变化最后迅速变短B符合题意.故选B.
3.某市一周平均气温℃如图所示下列说法不正确的是 A.星期二的平均气温最高B.星期四到星期日天气逐渐转暖C.这一周最高气温与最低气温相差4℃D.星期四的平均气温最低解析:由图像可得:星期二的平均气温最高故A正确;星期四到星期日天气逐渐转暖故B正确;这一周最高气温与最低气温相差12-4=8℃故C错误;星期四的平均气温最低故D正确.故选C.
4.有下面几个函数:
①烟花点燃后离地高度与时间;
②汽车匀速行驶的速度与时间;
③汽车匀速行驶的路程与时间;
④物体上抛后自由落下的离地高度与时间.与这几个函数对应的图像依次为 a bc dA.abcdB.bcdaC.dcbaD.dbca解析:
①烟花点燃后离地高度与时间上升到最大高度之前速度越来越小上升到最大高度之后高度下降速度增大故选d;
②汽车匀速行驶的速度与时间速度随时间增大而不变故选c;
③汽车匀速行驶的路程与时间路程与时间的比不变故选b;
④物体上抛后自由落下的离地高度与时间自由落下的离地高度先上升后再下降故选a.故选C.
5.xx·宜宾中考如图所示的是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图像下列结论错误的是 A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒 C.两车到第3秒时行驶的路程相等D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度解析:A.根据图像可得乙前4秒的速度不变为4米/秒则行驶的路程为12×4=48米故A正确;B.根据图像得在0到8秒内甲的速度是一条过原点的线段即甲的速度从0均匀增加到32米/秒则每秒增加=4米/秒故B正确;C.由于甲的图像过原点斜率为4所以可得v=4tvt分别表示速度、时间将v=12米/秒代入v=4t得t=3秒则t=3秒前甲的速度小于乙的速度所以两车到第3秒时行驶的路程不相等故C错误;D.在4至8秒内甲的速度图像一直在乙的上方所以甲的速度都大于乙的速度故D正确.故选C.
6.如图所示射线l甲l乙分别表示甲乙两名运动员在自行车比赛中所走路程s与时间t的函数关系图像则甲的速度 乙的速度用“”“=”或“”填空. 解析:根据题意:甲的路程增加得快故甲的速度大于乙的速度.故填.第6题图第7题图
7.小华从家里出发到超市购物然后回家回家时比去时每分钟慢10米如图所示的是他离家的距离y米关于离家的时间x分钟的函数图像.那么C处的值是 . 解析:出去时的速度:200÷5=40米/分回家时比去时每分钟慢10米所以回家时的速度为40-10=30米/分所以回家需要的时间为200÷30=6分钟C处的值是12+6=
18.故填
18.
8.吉安市某旅游公司取得了xx年上海世博会门票销售权每张普通票的票价与买票的数量的函数关系如图所示.1从图中可以看出:买票的数量a 时票价打 折; 2吉安市某校初三
1、2班的学生都不超过50人两个班合起来买票结果比各自独去买票共节省了2400元则该校初三
1、2班的人数各为多少解析:1此题根据函数的图像即可直接得出买票的数量a50时票价打折再根据两段的票价即可求出打几折;2设初三
1、2班各xy人再根据两个班合起来买票比各自独去买票共节省了2400元列出方程最后根据
1、2班的学生都不超过50人即可求出两个班的人数.解:1从图中可以看出:买票的数量a50时票价打八折.2设初三
1、2班各xy人则120x+y-96x+y=2400解得x+y=
100.∵每班人数都不超过50人∴x=y=
50.∴该校初三
1、2班的人数各为50人.
9.星期天小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游匀速行驶
1.5小时的时候其中一辆自行车出故障因此二人在自行车修理点修车用了半个小时然后以原速继续前行行驶1小时到达目的地.请在如图所示的平面直角坐标系中画出符合他们行驶的路程s千米与行驶时间t时之间的函数图像.解析:第一阶段匀速行驶
1.5小时的时候这段时间路程与时间的比不变;修车用了半个小时这段时间路程不随时间的变化而变化;然后以原速继续前行行驶1小时到达目的地这一段图像与第一段平行.利用描点法即可求解.第9题图第9题答图解:如图所示.
10.某天早晨王老师从家出发骑摩托车前往学校途中在路旁一家饭店吃早餐如图所示的是王老师从家到学校这一过程中行驶路程s千米与时间t分之间的关系.1学校离他家多远从出发到学校用了多少时间2王老师吃早餐用了多少时间3王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快最快时速达到多少解析:1由于骑摩托车前往学校途中在路旁一家饭店吃早餐那么行驶路程s千米与时间t分之间的关系图像中有一段平行于横轴的线段然后再到学校根据图像可以直接得到结论;2根据图像中平行于横轴的线段即可确定王老师吃早餐用了多少时间;3根据图像可以分别求出吃早餐以前的速度和吃完早餐以后的速度然后比较即可得到结果.解:1依题意得:学校离王老师家有10千米;从出发到学校王老师用了25分钟.2依题意得王老师吃早餐用了10分钟.3吃早餐以前的速度为5÷10=
0.5千米/分吃完早餐以后的速度为10-5÷25-20=1千米/分即60千米/时∴王老师吃完早餐以后的速度快最快时速达到60千米/时.
20.4 函数的初步应用活动1 初步感知活动2 深入探究活动3 巩固新知
一、教材作业【必做题】
1.教材第75页练习第12题.
2.教材第76页习题A组第123题.【选做题】教材第77页习题B组.
二、课后作业【基础巩固】
1.下图中的图像折线ABCDE描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中汽车离出发地的距离s千米和行驶时间t小时之间的函数关系根据图中提供的信息给出下列说法:
①汽车共行驶了120千米;
②汽车在行驶途中停留了
0.5小时;
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为
80.8千米/时;
④汽车自出发后3小时至
4.5小时之间行驶的速度在逐渐减小;
⑤汽车离出发地64千米是在汽车出发后
1.2小时时.其中正确的说法共有 A.1个B.2个C.3个D.4个
2.若等腰三角形的周长是12cm则能反映这个等腰三角形的底边长ycm与腰长xcm的函数关系的图像是下图中的 A BC D
3.诸暨“天天速递”快递公司规定:重量在xx克以内的包裹快递邮资标准如下表:运送距离x/km0x≤500500x≤10001000x≤15001500x≤xx…邮资y/元
5.
006.
007.
008.00…如果某人从该公司快递900克的包裹到距诸暨1300km的某地他应付的邮资是 A.
5.00元B.
6.00元C.
7.00元D.
8.00元
4.右图描述的是李平同学放学回家过程中离校的路程y与所用时间x之间的函数关系.请你设计一个问题让其他同学通过观察图像能回答你所提的问题.注意:提出的问题要尽量贴近生活;不需要在图中添加数字或其余字母你设计的问题是 . 【能力提升】
5.某城市出租车的起步价为10元即行驶距离在3千米及以内付10元车费超过3千米后每行驶1千米加3元不足1千米按1千米计.小张在该市乘出租车是从甲地到乙地支付车费28元则从甲地到乙地的路程最少有 A.11千米B.10千米C.9千米D.8千米
6.小明每天上午9时骑自行车离开家15时回家他描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示.1图像表示哪两个变量的关系哪个是自变量210时和13时他分别离家多远3他到达离家最远的地方时是什么时间离家多远411时到12时他行驶了多少千米5他由离家最远的地方返回的平均速度是多少.
7.周末上午10:00小明爸爸开车从家里出发带着他们全家外出旅游已知汽车离家的距离skm与时间th之间的关系如图所示.根据图像回答下列问题:1汽车离家距离最远是 km; 2汽车行驶过程中最快的车速是 km/h最慢的车速是 km/h; 3途中他们共休息了 次共休息了 小时; 4求小明他们返回到家的时间.
8.如图所示的图像表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.1汽车从出发到最后停止共经过了多少时间它的最高时速是多少2汽车在哪段时间保持匀速行驶时速是多少3汽车在哪段时间停止可能发生了什么情况4请大致描述这辆汽车的行驶情况.
9.星期天晚饭后小红出门散步如图描述了她散步过程中离家的距离sm与散步所用的时间tmin之间的关系.1取一个t的值相应的s的值确定吗s可以看作t的函数吗t可以看作s的函数吗2第12分钟时小红离家多远【拓展探究】
10.某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程开始时风速平均每小时增加2千米4小时后沙尘暴经过开阔荒漠地风速平均每小时增加4千米一段时间后风速保持不变当沙尘暴到达绿色植被区时其风速平均每小时减少1千米最终停止风速与时间的图像如图所示.1在y轴的括号内填入相应的数值;2沙尘暴从发生到结束共经过多少小时3当x≥25时写出风速y千米/时与时间x时之间的函数关系式.【答案与解析】
1.A解析:
①行驶的最远距离是120千米共行驶240千米故错误;
②根据图像从
1.5小时到2小时是停留时间停留
0.5小时故正确;
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为=千米/时故错误;
④汽车自出发后3小时至
4.5小时之间路程与时间的比不变因而速度不变故错误;
⑤由于×
1.2=64千米但汽车回来途中也有离出发地64千米的时候故错误.故正确的说法只有
②.
2.D解析:由三角形的周长得y=-2x+
12.由-2x+120解得x
6.由三角形两边之和大于第三边得2x-2x+12解得x3故自变量的取值范围是3x
6.
3.C解析:因为100013001500所以应付的邮资是
7.00元.
4.李平放学后是直接回家吗解析:答案不唯一如还可以为:图中的哪一段表明李平在某处逗留了一段时间
5.C解析:设甲地到乙地的路程为x千米x3根据题意得28≤10+x-3×328+3解不等式组得9≤x10所以从甲地到乙地的路程最少有9千米.
6.解:1图像表示了距离与时间的关系时间是自变量. 210时他离家10千米13时他离家30千米. 3他到达离家最远的地方时是12时离家30千米. 4由图像可以看出从11时到12时他行驶了15千米. 5共用了2小时因此平均速度为30÷2=15千米/时.
7.解:1由图像得汽车离家距离最远是180km. 2第一段车速为=60km/h第二段车速为=120km/h第三段车速为0km/h第四段车速为40km/h第五段车速为0km/h第六段车速为70km/h故可得汽车行驶过程中最快的车速是120km/h最慢的车速是40km/h. 3途中他们共休息了2次共休息了2小时. 4小明他们返回到家的时间是17:
00.
8.解:1汽车从出发到最后停止共经过了24分钟它的最高时速是90千米/时. 2汽车在出发后2分钟到6分钟18分钟到22分钟保持匀速行驶时速分别是30千米/时和90千米/时. 3汽车在出发后8分钟到10分钟停止可能遇到红灯.答案只要合理即可 4汽车开始加速行驶2分钟从2分钟到6分钟以30千米/时的速度匀速行驶从6分钟到8分钟减速行驶从8分钟到10分钟停止从10分钟到18分钟又加速行驶从18分钟到22分钟以90千米/时的速度匀速行驶从22分钟到24分钟减速行驶至停止.答案只要合理就行
9.解:1取一个t的值相应的s的值确定s可以看作t的函数取一个s的值有多个t的值与之对应的情况t不可以看作s的函数. 2由图像得t=12时s=500小红离家500米.
10.解:1由题意可知:当0≤x≤4时风速每小时增加2千米到4小时时风速达到2×4=8千米/时;当4x≤10时风速再增加每小时增加4千米到x=10时增加到8+4×10-4=32千米/时.故在y轴的上、下两个括号内分别填入32和
8. 2由图像知当10≤x≤25时风速保持不变即当x=25时y=32从x=25时开始风速平均每小时减少1千米到风速为0时共经历了32小时故沙尘暴从发生到结束共经过了25+32=57小时. 3当x≥25时可知当x=25时y=32;当x=26时y=31;当x=27时y=30;….观察发现x+y=57∴y=57-x25≤x≤
57.本节课的设计力求体现新课程改革的理念结合学生自主探究的时间为学生营造宽松、和谐的氛围让学生学得更主动、更轻松力求在探索知识的过程中培养学生的探索能力和创新能力激发学生学习的积极性.在学生选择解决问题的诸多方法的过程中不过多地干涉学生的思维而是通过引导让学生自己去探究以选择解决问题的办法.本节课也存在一些应该深刻的反思和改进的地方.例如在探究活动中有些问题处理得有些仓促有些问题的指向性太明确需要今后加强.另外今后教学中还应该更多地关注学生的发展和提升.多用幽默和鼓励性的语言激励学生.合理安排课堂的节奏控制好时间是上好一节课的关键.在学生讨论问题的过程中要注意引导适可而止使讨论的效果恰到好处.总之本节课着力做到课堂是数学活动的场所是师生共同成长的基地是学生张扬自我的舞台.练习教材第75页
1.解:s=4tt的取值范围是t≥0函数图像如图所示.
2.解:1一天售出这种电子元件300个时盈利最多为400元. 2100个.习题教材第76页A组
1.解:xx~xx年该工厂年产量增长较快xx~2011年该工厂年产量基本稳定.
2.解:1大概是从8岁开始到16岁之前女生的平均体重略高于男生的平均体重. 216岁以后男生的平均体重就超过了女生的平均体重.
3.解:1画出的图像如图所示. 2从第四年开始这种树生长变得缓慢.B组解:1根据题意得解得 2
①函数关系式为:y=
②由题意得y=
2.4×8-
5.4=
13.8元.复习题教材第79页A组
1.解:13是常量xy是变量. 2y=3xx≥
0.
2.解:11016是常量xS是变量. 2根据三角形的面积公式得S=×16-x×10=80-5x所以S与x之间的函数关系式为S=80-5xx的取值范围是0≤x
16. 3当x=10时S=80-5×10=30;当x=5时S=80-5×5=55;当x=3时S=80-5×3=
65.
3.解:正确的有
134.
4.解:1年份、升学率是变量. 2升学率是年份的函数.
5.解:1100m. 2小兰起跑慢了慢了
0.5s. 3小兰跑得快. 4小兰用了
14.5s小惠用了16s.
6.解:1体温最高的时刻是14时体温最低的时刻是4时. 20时到4时与14时到24时体温由高到低变化. 3这一天内小明体温变化的范围为36℃~
36.8℃.
7.解:余额y与乘车次数x之间的关系式为y=30-
0.8x因为对于x在小于38的自然数范围内任取一个值时y都有唯一确定的值与之对应所以y是x的函数自变量的取值范围为0≤x≤37且x为整数.
8.提示:1用描点法画图画出的函数图像略. 2最后两组数据显示并非施用氮肥越多土豆产量越高. 3每公顷氮肥施用量约为210吨到410吨之间时包括210吨和410吨土豆产量在40吨/公顷以上.B组
1.解:图
2.
2.解:1V与r之间的函数关系式为V=πr2·20=πr21≤r≤
10. 2表中从左到右依次填入540π.
3.解:1从家到景点全程共有178km汽车行驶了3小时10分钟或190分钟. 2路程随时间变化的函数图像如图所示. 3汽车在7:00~7:50行驶得最快在7:50~9:00行驶得最慢.C组
1.解:1这项调查反映了雪糕的日销量与日最高气温之间的函数关系可用表格表示如下:日最高气温/℃15202528303539雪糕的日销量/箱138152538602这个供应点进30左右箱比较合适.
2.解:1汗液量随温度的升高而升高尿液量随温度的升高而降低. 2大约在23℃时汗液量与尿液量大体相等.本节课是用函数解决一些简单实际问题在解决问题的过程中使学生加深对函数概念的理解体会函数模型的作用.
1.对于“一起探究”的活动应尽可能让学生自己完成.
2.对于“试着做做”“大家谈谈”的活动应让学生采取自主探究与合作交流的学习方式独立思考填写数组后交流各自的结果交流符合要求的数组所具有的特征教师应引导学生深入思考分析问题建立函数思想求解验证体会函数模型的作用. 如图所示在平面直角坐标系中正方形ABCD的边长为1AD边的中点处有一动点P动点P沿P→A→B→C→D→P运动一周则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图像表示大致是图中的 A B C D 〔解析〕 将动点P的运动过程划分为PAABBCCDDP共5个阶段分别进行分析最后得出结论.动点P运动过程中:
①当0≤s≤时动点P在线段PA上运动此时y=2保持不变;
②当≤s≤时动点P在线段AB上运动此时y由2到1逐渐减少;
③当≤s≤时动点P在线段CB上运动此时y=1保持不变;
④当≤s≤时动点P在线段CD上运动此时y由1到2逐渐增大;
⑤当≤s≤4时动点P在线段DP上运动此时y=2保持不变.结合函数图像只有D选项符合要求.故选D.
1.了解常量与变量以及自变量的取值范围.
2.了解函数概念和三种表示方法能用适当的函数表示法描述某些实际问题中变量之间的关系.
3.能运用函数的观点观察、分析问题预测实际问题中变量的变化规律.
1.激发学生的发散思维从多个角度领会用数学知识解决问题的作用.
2.逐步积累从事数学活动的经验感悟归纳、概括等数学思想.使学生经历问题的解决过程让学生体会函数自变量与函数值的对应关系体会函数概念的本质.【重点】常量与变量以及自变量的取值范围函数图像的观察.【难点】函数图像的综合应用.专题一 变量与常量【专题分析】在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;取值始终保持不变的量叫做常量.常量与变量是对“在某一变化过程中”而言的因而是相对的.离开具体过程抽象地说一个量是常量还是变量是不可以的另外在各种关于变量、常量的例子中变量之间是有一定的依赖关系的. 甲、乙两地相距s千米某人行完全程所用的时间t时与他的速度v千米/时满足vt=s在这个变化过程中下列判断错误的是 A.s是变量B.t是变量C.v是变量D.s是常量〔解析〕 根据常量和变量的定义即可作出判断本题中路程是不变的某人行完全程的时间与他的速度是变化的所以s是常量v和t是变量.故选A.[解题策略] 当题中字母的值固定不变或给定了字母的值时则该字母是常量其他字母是变量.【针对训练1】 一长方体的长为a定值宽为xxa高为h体积为V则V=axh其中变量是 A.xB.hC.VD.xhV〔解析〕 由题意可知a是定值所以常量是a变量是xhV.故选D.专题二 函数的概念【专题分析】函数体现的是“一一对应”的关系即在某一变化过程中有两个变量对于自变量的每一个值另一个变量都有唯一的值与其对应. 下列各曲线中表示y不是x的函数的是 A BC D〔解析〕 根据函数的意义可知对于自变量x的任何值y都有唯一的值与之相对应所以C不正确.故选C.【针对训练2】 下列各式y=2xy=y=|x|-1|y|=xy=x2中y是x的函数的个数为 A.5B.4C.3D.2〔解析〕 根据函数的定义可知满足对于x的每一个取值y都有唯一确定的值与之对应关系据此即可确定函数的个数.∵对于x的每一个取值y都有唯一确定的值∴y=2xy=y=|x|-1y=x2当x取值时y有唯一的值对应.故选B.[规律方法] 函数的意义反映在图像上简单的判断方法:作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中与函数图像只会有一个交点.判断两个变量间的关系是不是函数关系根据函数的定义给定自变量的值看所求得的函数值是否唯一.专题三 函数的表示方法【专题分析】函数的常见表示法有以下三种:1解析法:是用自变量x的各种数学运算构成的式子来表示函数y的方法.它的优点是简明扼要、规范准确便于理解函数的性质但并非所有的函数都能用解析法表示.2数值表法:是把自变量的值和与之对应的函数值列成表格来表示函数的方法.它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出不能反映出函数变化的全貌.3图像法:是用图像来表示函数的方法它的优点是直观、形象地显示出函数的变化规律但所画出的图像是近似的、局部的. 在某次实验中测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的 m1234v
0.
012.
98.
0315.1A.v=2m-2B.v=m2-1C.v=3m-3D.v=m+1〔解析〕 一般情况下是把最大的一对数据代入函数关系式后通过比较得出最接近的关系式.当m=4时A.v=2m-2=6;B.v=m2-1=15;C.v=3m-3=9;D.v=m+1=
5.故选B.[规律方法] 我们把用来表示函数关系的数学式子叫做函数关系式也称为函数解析式.由于函数的三种表示法各有优点但又都有不足所以在应用时通常把三种方法结合起来.【针对训练3】 弹簧挂上物体后会伸长现测得一弹簧的长度y厘米与所挂物体的质量x千克之间有如下关系:物体质量x/千克012345…弹簧长度y/厘米
1010.
51111.
51212.5…下列说法不正确的是 A.x与y都是变量其中x是自变量y是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为0厘米C.在弹性范围内所挂物体质量为7千克时弹簧长度为
13.5厘米D.在弹性范围内所挂物体质量每增加1千克弹簧长度增加
0.5厘米〔解析〕 A.x与y都是变量且x是自变量y是因变量正确不符合题意;B.弹簧不挂重物时的长度为10厘米错误符合题意;C.在弹性范围内所挂物体质量为7千克时弹簧长度为10+
0.5×7=
13.5正确不符合题意;D.在弹性范围内所挂物体质量每增加1千克弹簧长度增加
0.5厘米正确不符合题意.故选B.【针对训练4】 如图所示用长为20的铁丝焊接成一个长方形设长方形的一边为x面积为y随着x的变化y的值也随之变化.1写出y与x之间的关系式并指出在这个变化中哪个是自变量;2用表格表示当x从1变化到9时每次增加1y的相应值;填下表x123456789y3当x为何值时y的值最大〔解析〕 1根据周长的等量关系可得长方形的另一边为10-x那么面积=x10-x自变量是x;2把相关x的值代入1中的函数解析式求值即可;3根据2所得的结论可得x为何值时y的值最大.解:1y=20÷2-x×x=10-x×x=10x-x2;x是自变量.2所填数值依次为:
9162124252421169.3由2可以看出:当x为5时y的值最大.[解题策略] 本类题考查了函数关系的确认常量与变量的确定读懂图表数据并从表格数据得出正确结论是解题的关键.专题四 自变量的取值范围和函数值【专题分析】当自变量x取某一数值时相对应的y的值叫做函数值.用数学式子表示的函数一般来说自变量只能取使式子有意义的值对于实际问题中的函数关系式自变量的值应满足实际意义. 求下列函数中自变量的取值范围.1y=x2+x;2y=;3y=;4y=.〔解析〕 1根据整式有意义的条件求解;2根据分式的分母不能为0求解;3根据二次根式的性质中被开方数大于或等于0求解;4根据被开方数大于或等于0分母不等于0求解.解:1y=x2+x的自变量的值是全体实数.2根据题意得2-x≠0解得x≠
2.3根据题意得3-2x≥0解得x≤.4根据题意得2+3x0解得x-.【针对训练5】 求下列函数中自变量x的取值范围.1y=;2y=x2-x-2;3y=;4y=.〔解析〕 1x取全体实数;2x取全体实数;3根据分式的意义分母不等于0可以求出x的取值范围;4根据二次根式有意义的条件被开方数大于或等于0可以求出x的范围.解:1x取全体实数.2x取全体实数.34x+8≠0x≠-
2.4x+3≥0解得x≥-
3.[规律方法] 函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:1当函数表达式是整式时自变量可取全体实数;2当函数表达式是分式时考虑分式的分母不能为0;3当函数表达式是二次根式时考虑被开方数非负. 物体自由下落的高度h米和下落时间t秒的关系在地球上大约是h=
4.9t2在月球上大约是h=
0.8t2当h=20米时:1物体在地球上和在月球上自由下落的时间各是多少2物体在哪里下落得快〔解析〕 1把h=20代入函数解析式分别计算即可得解;2根据平均速度=路程÷时间分别求出速度然后比较大小即可.解:1h=20米时地球上
4.9t2=20解得t=月球上
0.8t2=20解得t=
5.2在地球上的平均速度==7米/秒在月球上的平均速度==4米/秒所以在地球上物体下落得快.[规律方法] 有关函数值的问题:1当函数是由一个关系式表示时欲求函数值时实质上就是求代数式的值;2当已知关系式又给出函数值欲求相应的自变量时实质上就是解方程;3当给定函数的一个取值范围欲求相应的自变量的取值范围时一般先求端点值.【针对训练6】 已知函数y=2x-
3.1分别求当x=-x=4时的函数值;2求当y=-5时x的值.〔解析〕 1把x的值分别代入函数关系式计算即可得解;2把函数值代入函数关系式解关于x的一元一次方程即可.解:1x=-时y=2×-3=-1-3=-4;x=4时y=2×4-3=8-3=
5.2y=-5时2x-3=-5解得x=-
1.专题五 确定实际问题的函数关系式【专题分析】确定实际问题的函数关系式一般与列方程解应用题类似首先根据题意列出关于两个变量的二元一次方程再用含有自变量的式子表示函数最后写出自变量的取值范围. 为响应教育局组织的三热爱教育活动某学校要给每位学生印制一份宣传资料甲印刷厂提出:每份收
0.1元印刷费另收100元制版费;乙印刷厂提出:每份收
0.2元印刷费不收制版费.1分别写出两厂的收费y甲元y乙元与印制数量x本之间的关系式;2当印制多少份资料时两个印刷厂费用一样多3如果该校有800人那么应选哪家印刷厂划算〔解析〕 1根据甲、乙的收费标准可得甲、乙的函数解析式;2根据收费相同可得方程解方程可得答案;3根据自变量的值可得相应的函数值根据有理数的大小比较可得答案.解:1y甲=
0.1x+100y乙=
0.2x.2由题意得y甲=y乙∴
0.1x+100=
0.2x解得x=1000即当印刷1000份时两个印刷厂费用一样多.3当x=800时y甲=
0.1×800+100=180;y乙=
0.2×800=
160.∵180160∴选择乙印刷厂划算.[规律方法] 确定实际问题的函数关系式首先要分析、理解题意把实际问题转化为数学问题建立数学模型探索函数与自变量之间的关系用含有自变量的代数式表示函数.【针对训练7】 如图所示梯形ABCD上底的长是4下底的长是x高是
6.1求梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式;2用表格表示当x从10变到16时每次增加1y的相应值;3x每增加1时y如何变化说明你的理由.〔解析〕 1利用梯形面积公式得出y与x之间的关系;2结合关系式列表计算得出相关数据;3利用1中关系式进而得出x每增加1时y的变化.解:1∵梯形ABCD上底的长是4下底的长是x高是6∴梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式为y=4+x×6=12+3x.2如下表:x10111213141516y42454851545760 3由上表可得x每增加1时y增加
3.理由:y1=12+3xy2=12+3x+1=12+3x+3=15+3xy2-y1=15+3x-12+3x=3即x每增加1时y增加
3.专题六 函数的图像【专题分析】一般来说函数的图像是由直角坐标系中的一系列的点组成的图像上的每一个点的坐标xy代表了函数中变量的一对对应值它的横坐标x表示自变量的某一个值纵坐标y表示与它对应的函数值. 均匀地向如图所示的容器注水容器内水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是图中的 A BC D〔解析〕 最下面的部分较粗中间部分最粗那么中间部分的函数图像水面高度h随时间t的增大而增长最慢用时最长最上面容器最小那么用时最短.故选C.【针对训练8】 如图所示的是汽车沿直线运动时的路程与时间关系图图中s表示汽车离出发点的路程.根据图像给出下列四个结论:
①汽车在OA段的速度为5m/s;
②汽车在AB段保持静止;
③汽车在BC段的速度比在OA段的速度小;
④汽车在整个过程中的平均速度为5m/s.其中正确的说法有 A.
①②④B.
①②③C.
②③④D.
①③④〔解析〕
①汽车在OA段的速度为100÷20=5m/s故本结论正确;
②汽车在AB段s没有发生变化保持静止故本结论正确;
③汽车在BC段的速度为200-100÷40-30=10m/s比在OA段的速度大故本结论错误;
④汽车在整个过程中的平均速度为200÷40=5m/s故本结论正确.综上所述正确的说法有
①②④.故选A.【针对训练9】 张爷爷晚饭以后外出散步碰到老邻居交谈了一会儿返回途中在读报栏前看了一会儿报此情景如图所示请你回答下列问题:1张爷爷是在什么地方碰到老邻居的交谈了多少时间2读报栏大约离家多少路程读报用了多少时间3张爷爷在哪一段路程中走得较快速度是多少〔解析〕 1根据图像可知张爷爷在距家1260米的地方时有1小时的时间距离没变所以可知张爷爷在距家1260米的地方碰见邻居的交谈了1小时;2因为返回途中在读报栏看了一会报即此时距家的距离不变所以读报栏离家600米读报用了
0.6小时;3根据图像可知从读报栏回家这一段最陡也就是张爷爷在从读报栏回家这一段路程中走得最快.解:1由纵坐标看出张爷爷在距家1260米的地方碰见老邻居的由横坐标看出交谈了2-1=1小时.2由纵坐标看出读报栏离家600米.读报用了
3.6-3=
0.6小时.3张爷爷在从读报栏回家这一段路程中走得最快速度为600÷
0.4=1500米/时.[规律方法] 观察函数图像时首先要明确横、纵轴表示的量另外要注意图像上特殊点的坐标的意义明确每一段图像表示的实际情境.本章质量评估时间:120分钟 满分:120分
一、选择题第1~10小题各3分第11~16小题各2分共42分
1.某型号的汽车在路面上的制动距离s=其中变量是 A.svB.sv2C.sD.v
2.下列变量之间的关系:
①高h确定时三角形的面积S与它的底边a;
②x-y=3中的x与y;
③y=中的y与x;
④圆的面积S与圆的半r.其中成函数关系的有 A.1个B.2个C.3个D.4个
3.汽车由A地驶往相距120km的B地它的平均速度是30km/h则汽车距B地的路程skm与行驶时间th的函数关系式及自变量t的取值范围是 A.s=120-30t0≤t≤4B.s=120-30tt0C.s=30t0≤t≤4D.s=30tt
44.弹簧挂上物体后会伸长已知一弹簧的长度cm与所挂物体的质量kg之间的关系如下表:物体的质量/kg012345弹簧的长度/cm
1212.
51313.
51414.5下列说法错误的是 A.弹簧的长度随物体的质量的变化而变化物体的质量是自变量B.如果物体的质量为xkg那么弹簧的长度ycm可以表示为y=12+
0.5xC.在弹簧能承受的范围内当物体的质量为7kg时弹簧的长度为16cmD.在没挂物体时弹簧的长度为12cm
5.点2-1在下列函数图像上的是 A.y=B.y=x2-3C.y=-x+1D.y=2x-
16.函数y=中自变量x的取值范围是 A.x3B.x3C.x≠3D.x≠-
37.如图所示根据流程图中的程序当输出数值y=5时输入数值x是 A.B.-C.或-D.或-
8.如图所示已知某容器由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而成若往此容器中注水设注入水的体积为y高度为x则y关于x的函数图像大致是图中的 A BC D
9.3月23日早晨“母亲河畔的奔跑——xx重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑甲、乙两选手的行程y千米随时间x时变化的图像全程如图所示.下列说法错误是 A.起跑后1小时内甲在乙的前面B.第1小时两人都跑了21千米C.甲比乙先到达终点D.两人都跑了
42.195千米
10.一个直角三角形的两直角边长分别为xy其面积为2则y与x之间的关系用图像可大致表示为如图所示
11.赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表如下表:年龄x/岁03691215182124身高h/cm
48100130140150158165170170.4下列说法错误的是 A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了C.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高
7.1cmD.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高
5.1cm
12.为了节约水资源自来水公司按分段收费标准收费右图反映的是每月收取水费y元与用水量x吨之间的函数关系.按照分段收费标准小颖家
三、四月份分别缴水费29元和
19.8元则四月份比三月份节约用水 A.2吨B.
2.5吨C.3吨D.
3.5吨
13.已知函数y=-2x+3当自变量x增加1时函数值y A.增加1B.减少1C.增加2D.减少
214.将一物体向正上方空中抛起物体在空中运行的过程中速度v米与时间t秒的变化情况可刻画为下图中的 A BC D
15.一个矩形的周长为30则矩形的面积y与矩形一边长x的函数关系为 A.y=x15-xB.y=x30-xC.y=x30-2xD.y=x15+x
16.某班师生组织植树活动上午8时从学校出发到植树地点植树后原路匀速返回学校如图所示的为师生距离学校的路程s与时间t之间的图像.师生回到学校的时间为 A.13时B.
13.4时C.
13.6时D.14时
二、填空题第17~18小题各3分第19小题4分共10分
17.从甲地向乙地打长途电话按时间收费3分钟内收费
2.4元每加1分钟加收1元若时间t≥3分时电话费y元与t分之间的函数关系式是 .
18.当x=2时函数y=ax2+1的函数值是9那么当函数值是17时自变量x的值是 .
19.如图所示图像折线OEFPMN描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系.根据图像所给的信息下列说法中:
①第3分时汽车的速度是40千米/时;
②从第3分到第6分汽车的速度是40千米/时;
③从第3分到第6分汽车行驶了120千米;
④从第9分到第12分汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时.正确的有 .只填序号
三、解答题共68分
20.9分看图说故事.请你编写一个故事使故事情境中出现的一对变量xy满足如图所示的函数关系要求:1指出变量x和y的含义;2利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义其中必须涉及“速度”这个量.
21.9分分别写出下列各问题中的函数关系式并指出自变量的取值范围.1一个正方形的边长为3cm它的边长减少xcm后得到的新正方形周长为ycmy是x的函数;2寄一封重量在20克以内的市内平信需邮资
0.80元寄n封这样的信所需邮资y元是n的函数;3长方形的周长为12cm它的面积Scm2是它的一条边长xcm的函数.
22.9分旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李如果超过规定则需购行李票行李费y元与行李重量x千克间的关系为y=x-5根据这个关系式:1当x=306090120150时计算相应的y值并用表格表示所得结果;2乘客最多可免费携带的行李重多少千克3若小王需付行李费12元则他的行李重量是多少
23.9分某拖拉机的油箱最多可装56千克油装满油后犁地平均每小时耗油6千克解答下列问题:1写出油箱中剩油量Q千克与犁地时间t小时之间的函数关系式;2求函数自变量的取值范围;3求拖拉机工作4小时30分钟后油箱中的剩油量.
24.10分声音在空气中传播的速度和气温间有如下关系:气温/℃05101520声速/m/s3313343373403431上表反映了 之间的关系其中 是自变量 是自变量的函数; 2若用T℃表示气温vm/s表示声速则随着T的增大v将发生怎样的变化试写出v关于T的解析式;3根据表中数据的变化你发现了什么规律4根据你发现的规律回答:在30℃发生闪电的夜晚小明在看到闪电6s后听到雷声那么发生打雷的地方距小明大约有多远光传播的时间可忽略不计
25.10分某市为了鼓励居民节约用水采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费:月用水量不超过20m3时按2元/m3计费;月用水量超过20m3时其中的20m3仍按2元/m3计费超过部分按
2.6元/m3计费.设每户家庭的月用水量为xm3时应缴水费y元.1分别求出当0≤x≤20和x20时y与x的函数关系式;2小明家第二季度缴纳水费的情况如下:月份4月份5月份6月份缴费金额30元34元
42.6元小明家这个季度共用水多少立方米
26.12分如图所示在矩形MNPQ中MN=6PN=4动点R从点N出发沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x△MNR的面积为y.1当x=3时y= ;当x=12时y= ;当y=6时x= ; 2分别求当0x44≤x≤1010x14时y与x的函数关系式.【答案与解析】
1.A解析:变量就是可以取不同数值的量根据题意即可判断.
2.D解析:根据函数的定义可知满足对于x的每一个取值y都有唯一确定的值与之对应关系据此即可确定函数的个数.
3.A解析:∵平均速度是30km/h∴t小时行驶30tkm∴s=120-30t∵时间为非负数汽车距B地的路程为非负数∴t≥0120-30t≥0解得0≤t≤
4.
4.C解析:A.反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系所挂物体的质量是自变量故本选项正确不符合题意;B.当物体的质量为xkg时弹簧的长度是y=12+
0.5x故本选项正确不符合题意;C.当x=7时y=12+
0.5x=
15.5cm故本选项错误符合题意;D.这是正确的不符合题意.
5.C解析:A.y==1≠-1故本选项错误;B.y=22-3=1≠-1故本选项错误;C.y=-2+1=-1故本选项正确;D.y=2×2-1=3≠-1故本选项错误.
6.C解析:根据题意得3-x≠0解得x≠
3.
7.C解析:x0时-2=5解得x=;x0时-+2=5解得x=-.所以输入数值x是或-.
8.A解析:
①水在下边的圆锥体内时曲线越来越陡;
②水面在圆柱体内时成直线增长;
③水在上边的圆锥体内时水的高度增长的速度与
①中相反即曲线变缓了纵观各选项只有A选项符合.
9.C解析:由图像可知起跑后1小时内甲在乙的前面;在跑了1小时时乙追上甲此时都跑了21千米;乙比甲先到达终点;根据纵坐标即可求得两人跑的距离则可求得答案.
10.C解析:由xy=2得y=且x0由x≠0知不能选A和D;由x0知不能选B.
11.C解析:
170.4-48÷24=
5.1cm从0岁到24岁平均每年增高
7.1cm是错误的.
12.C解析:前一段每吨缴水费22÷10=
2.2元后一段每吨缴水费57-22÷20-10=
3.5元三月份缴水费29元用水为29-22÷
3.5+10=12吨四月份缴水费
19.8元用水为
19.8÷
2.2=9吨即可得四月份比三月份节约用水12-9=3吨.
13.D解析:令x=a则y=-2a+3;令x=a+1则y=-2a+1+3=-2a+
1.所以y减少
2.故选D.
14.C解析:上升阶段:v=v0-gtg为重力加速度图像为v值逐渐减小直至为0的线段下降阶段:v=gt图像为v值从0开始逐渐增大的线段.纵观各选项只有C选项符合.
15.A解析:∵矩形的周长为30一边长x∴另一边长为15-x∴面积y=x15-x.
16.C解析:返回时的速度是5千米/时所以返回时的时间为8÷5=
1.6小时12+
1.6=
13.6时.
17.y=t-
0.6解析:3分钟内收费
2.4元3分以外的收费为t-3×1=t-3则t≥3时电话费y元与t分之间的函数关系式是y=
2.4+t-3=t-
0.
6.
18.±2解析:由x=2时函数y=ax2+1的函数值是9得22×a+1=9解得a=2函数的解析式为y=2x2+1当函数值是17时2x2+1=17解得x=±
2.
19.
①②④解析:从图中可获取的信息是:
①第3分时汽车的速度是40千米/时;
②从第3分到第6分汽车的速度是40千米/时;
③从第3分到第6分汽车行驶了40×=2千米;
④从第9分到第12分汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时.故错误的是
③.故正确的有
①②④.
20.解:本题答案不唯一下列解法供参考.1该函数图像表示小明骑车离出发地的距离y单位:km与他所用的时间x单位:min的关系.2小明以
0.4km/min的速度匀速骑了5min在原地休息了6min然后以
0.5km/min的速度匀速骑车回出发地.
21.解:1由正方形的周长公式得y=43-x由正方形的边长是正数得0x
3. 2由题意得y=
0.8n由信的封数是正数得n0且n是整数.3长方形的另一边长是cm长方形面积是S=6-xx由长方形的边长是正数得0x
6.
22.解:1填表如下:x306090120150y=x-5051015202将y=0代入得x-5=0解得x=
30.即乘客最多可免费携带的行李重30千克. 3将y=12代入得x-5=12解得x=
102.即若小王需付行李费12元则他的行李重量是102千克.
23.解:1原有油量=56千克用油量=6t千克由题意得Q=56-6t. 2由题意得6t≤56解得t≤又∵t≥0∴0≤t≤即自变量t的取值范围是0≤t≤. 3将t=
4.5代入Q=56-6t得Q=56-6×
4.5=29千克.
24.解:1上表反映了气温与声速之间的关系其中气温是自变量声速是自变量的函数.故分别填气温与声速气温声速. 2随着T的增大v将增大v=331+T. 3气温每升高5℃声速增大3m/s. 4把T=30代入v=331+T得v=349m/s所以发生打雷的地方距小明大约有349×6=2094m.
25.解:1当0≤x≤20时y与x的函数表达式是y=2x;当x20时y与x的函数表达式是y=2×20+
2.6x-20即y=
2.6x-
12. 2由表知小明家45月份的水费都不超过40元6月份的水费超过了40元.把y=30代入y=2x中得x=15;把y=34代入y=2x中得x=17;把y=
42.6代入y=
2.6x-12中得x=
21.所以小明家这个季度共用水15+17+21=53m
3.
26.解:1如图1所示∵点R运动的路程为x△MNR的面积为y∴当x=3时y=MN×RN=×6×3=9如图2所示当x=12时y=RM×MN=×2×6=6根据以上计算归纳得出当y=6时x=2或
12.故分别填962或
12. 2当0x4时R在PN上运动y=MN×RN=×6×x=3x;当4≤x≤10时R在QP上运动y=MN×PN=×6×4=12;当10x14时R在QM上运动y=MN×RM=×6×[4-x-10]=42-3x.。