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文本内容:
2019-2020年八年级数学下册6平行四边形教案(新版)北师大版
1.了解多边形的定义多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性.
3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.了解两条平行线之间距离的定义能度量两条平行线之间的距离.
5.探索并证明三角形中位线定理.
6.探索平行四边形的中心对称性质.
1.经历平行四边形的性质定理和判定定理的探究过程.
2.经历三角形中位线定理的探究证明过程.
3.经历多边形的内角和定理的探究过程和外角和定理的证明过程.
1.在探究平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理以及它们的应用中体会一些数学思想方法如分类讨论思想、构造思想、转化思想等.
2.在整个教学活动中丰富学生从事数学活动的经验进一步提高合情推理能力增强简单的逻辑推理意识培养学生克服困难的信心、与人交流的合作精神和养成从实践到理论再到实践的科学态度.首先通过图形的拼、剪引入平行四边形逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的判定方法然后在直观的、现实的情境和一些探索性活动中研究三角形中位线定理最后通过一个十分有趣的“多边形广场”的连续情境比较自然地呈现多边形内角和、外角和的探索过程.本章特别强调图形性质的探索过程而不是简单地得到平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理.结合以上分析的教材编写思路在教学中首先要创设使用教材中问题的情境把教材中不动的问题情境转化为学生互动的问题情境在教师的引导下经过学生充分的思考、讨论并结合大量特例由学生自己归纳、总结发现.此外还要根据实际情况对不同的学生进行有针对性的指导使不同的学生都有发展真正把课堂还给学生使学生真正地变为课堂学习的主人教师只是学生学习的引导者和组织者.【重点】
1.平行四边形的性质定理.
2.平行四边形的判定定理.
3.三角形中位线定理.
4.多边形的内角和定理.
5.多边形的外角和定理.【难点】
1.三角形中位线定理的证明和熟练应用.
2.平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理的综合应用.
3.在证明和解决有关问题的探究中添加适当的辅助线使问题得以解决.
1.立足学生的生活经验和已有的数学活动经验创设恰当的问题情境展现图形性质的探索过程.本章教材在引导学生探索有关结论时设计了一些问题情境.教学中教师可以利用教材中呈现的素材.如果条件允许教师也可以根据实际情况创设更现实、更有趣的问题情境.
2.让学生经历“探索——发现——猜想——证明”的完整过程加深对合情推理和演绎推理的认识.在本章教学中不论是平行四边形的性质定理和判定定理还是三角形中位线定理、多边形的内角和定理与外角和定理都建议让学生先进行自主探索通过探索发现结论然后进行证明.要让学生体会证明活动是探索活动的自然延续和必要发展感受合情推理与演绎推理是相互依赖、相互补充的辩证关系.
3.重视对证明思路的启发鼓励尝试多种证明方法.在本章有关证明的教学中教师应为学生的积极思考创设条件鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法;提倡证明方法的多样性并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同提高推理论证水平.同时教师在教学时也应注意教学策略的多样化以满足学生多样化的学习需求.1 平行四边形的性质2课时2 平行四边形的判定3课时3 三角形的中位线1课时4 多边形的内角和与外角和2课时回顾与思考1课时1 平行四边形的性质探索和证明平行四边形的性质.经历平行四边形性质的探究、归纳过程体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.提高学生参加数学活动的积极性注重理论和实际相结合.【重点】 平行四边形的性质的探究与应用.【难点】 平行四边形的性质的探究.第课时
1.理解并能说出平行四边形的定义.
2.理解并能说出平行四边形的对称性和对边相等、对角相等的性质且能够证明.经历平行四边形性质的探究、归纳过程体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.通过独立探索、合作交流等良好学习态度的形成促进学生自主学习能力的提高.【重点】
1.平行四边形的性质的探究、平行四边形的性质的应用.
2.探索和证明平行四边形的性质.【难点】 平行四边形的性质的探究.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 两张全等的三角形纸板、刻度尺、量角器. [过渡语] 生活中我们随处可见一些几何图形之前我们已经深入研究了关于“三角形”的性质和判定今天我们将对特殊的四边形——平行四边形进行研究.导入一:同学们你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗学生根据自己的生活经验可能回答:平行四边形、长方形、四边形……【教师点评】 太阳光属于平行光长方形窗口在地面上的影子通常是平行四边形平行四边形是我们常见的一种图形.有人说平行四边形是一种很美的图形因为它有一种对称美.引出本节课研究内容:板书课题——平行四边形的性质.[设计意图] 通过生活实例既可以活跃课堂气氛又简单易懂.通过类比让学生体会平行四边形的相关概念自然导入本节课的教学并且揭示了课题.导入二:【问题】 同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张.将一张纸对折剪下两张叠放的三角形纸片将它们相等的一组对边重合得到一个四边形.1你拼出了怎样的四边形与同桌交流一下;2给出小明拼出的四边形它们的对边有怎样的位置关系说说你的理由请用简洁的语言刻画这个图形的特征.【学生活动】 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.【教师活动】 平行四边形定义中的两个条件:
①四边形;
②两组对边分别平行即AD∥BC且AB∥DC;平行四边形的表示为“▱”.注意:平行四边形中对边是指无公共点的边对角是指不相邻的角邻边是指有公共端点的边邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形中对边是指一个角的对边对角是指一条边的对角.教学时要结合图形让学生认识清楚[设计意图] 通过学生动手实践引出平行四边形的定义使学生自然过渡到新知识的学习.导入三:平行四边形是我们常见的图形小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等都设计成平行四边形的形状.平行四边形在生活中比比皆是那么它有什么样的性质又如何判断一个四边形是平行四边形呢这就是我们这节课要学习的内容.[设计意图] 通过生活实例既可以活跃课堂气氛又简单易懂自然过渡到对平行四边形的性质的学习.
一、平行四边形的性质 [过渡语] 请同学们将你准备的纸片对折剪下两张叠放的三角形纸片把它们相等的一组对边重合想办法拼出一个四边形.思路一实践探索:1通过剪纸拼纸片及旋转可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等.2可以通过推理来证明这个结论.平行四边形对边相等的证明如图1所示四边形ABCD是平行四边形.求证AB=CDBC=DA.证明:如图2所示连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CDBC∥DA平行四边形的定义.∴∠1=∠2∠3=∠
4.∵AC=CA∴△ABC≌△CDA.∴AB=DCBC=DA.学生证明:平行四边形的对角相等.[设计意图] 学生通过说理由直观感受上升到理性分析在操作感知的基础上提升了对平行四边形的性质的理解.【做一做】 1平行四边形是中心对称图形吗如果是你能找出对称中心并验证你的结论吗2你还发现平行四边形具有哪些性质生1:平行四边形是中心对称图形两条对角线的交点是它的对称中心.生2:平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等.[设计意图] 这个探索活动与上一环节的探索活动有所不同是从整体的角度研究平行四边形中心对称的性质明确了两条对角线的交点就是其对称中心感知平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等的性质.思路二 [过渡语] 了解平行四边形的定义之后我们下面对它的性质进行探究.操作要求:O是▱ABCD对角线AC的中点.用透明纸覆盖在如图所示的图形上描出▱ABCD及其对角线AC再用大头针钉在点O处将透明纸上的▱ABCD旋转180°.你有什么发现学生独立探索得到▱ABCD绕点O旋转180°后与原来的图形重合.从而得到平行四边形是中心对称图形两条对角线的交点是它的对称中心.思考:从验证▱ABCD是中心对称图形的过程中你发现平行四边形还具有哪些性质发现:平行四边形的对边相等、对角相等.[设计意图] 通过动手操作让学生理解平行四边形是中心对称图形.设计“思考”的目的是为了让学生通过操作更好地理解平行四边形的性质.
二、议一议如果已知平行四边形的一个内角度数能确定其他三个内角的度数吗【学生活动】 学生小组内思考、议论.【教师点评】 可以确定其他三个内角的度数.[设计意图] 由平行四边形的对边分别平行得到邻角互补.因为平行四边形的对角相等所以已知平行四边形的一个内角的度数可以确定其他三个内角的度数.
三、例题讲解 [过渡语] 同学们已经会利用平行四边形的性质解决简单的问题了你能解决下面这道题吗试一试多媒体课件给出.教材例1已知:如图所示在▱ABCD中EF是对角线AC上的两点并且AE=CF.求证BE=DF.〔解析〕 本例是对所学的平行四边形的性质的简单应用.鼓励学生寻求证明思路.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD平行四边形的对边相等AB∥CD平行四边形的定义.∴∠BAE=∠DCF.又∵AE=CF∴△ABE≌△CDF.∴BE=DF.补充例题如图所示在▱ABCD中AE=CF求证AF=CE.〔解析〕 要证AF=CE需证△ADF≌△CBE由于四边形ABCD是平行四边形因此有∠D=∠BAD=BCAB=CD又AE=CF根据等式性质可得BE=DF.由“边角边”可得出三角形全等从而得到所需要的结论.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴∠D=∠BAD=BCAB=CD.∵AE=CF∴BE=DF.∴△ADF≌△CBE.∴AF=CE.[设计意图] 通过例题及补充例题使学生进一步理解平行四边形的性质并能进行简单的合情推理.[知识拓展]
1.平行四边形是特殊的四边形因此上述性质是一般四边形不具备的特殊性质.
2.在学习三角形时我们通常从边、角两方面考虑性质与判定由于四边形有对角线故在考虑平行四边形的性质与判定时主要从边、角、对角线三个方面着手对角线是沟通四边形与三角形的桥梁和纽带通过学习我们将进一步深刻体会将四边形问题化为三角形问题的转化思想的应用.
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
3.平行四边形是中心对称图形对角线的交点是它的对称中心.
4.平行四边形的对边相等.
5.平行四边形的对角相等.
1.在▱ABCD中若∠B=60°则∠A= ∠C= ∠D= . 答案:120° 120° 60°
2.在▱ABCD中若∠A比∠B大20°则∠C= . 解析:由∠A+∠B=180°∠A-∠B=20°解得∠A=100°所以∠A=∠C=100°.故填100°.
3.在▱ABCD中若AB=3BC=5则AD= CD= . 解析:AD=BC=5CD=AB=
3.答案:5
34.xx·梅州中考如图所示在▱ABCD中BE平分∠ABCBC=6DE=2求▱ABCD的周长.解:∵四边形ABCD为平行四边形∴AE∥BCAD=BCAB=CD∴∠AEB=∠EBC.∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC∴∠ABE=∠AEB∴AB=AE∴AE+DE=AD=BC=6∴AE+2=6∴AE=4∴AB=CD=4∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=
20.
5.如图所示已知在平行四边形ABCD中BE=DF.求证AE=CF.证明:∵BE=DF∴BE-EF=DF-EF∴BF=DE.∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BCAD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中∴△ADE≌△CBFSAS.∴AE=CF.第1课时
一、平行四边形的性质
二、议一议
三、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第137页随堂练习的12题.【选做题】教材第137页习题
6.1的234题.
二、课后作业【基础巩固】
1.xx·衢州中考如图所示在▱ABCD中已知AD=12cmAB=8cmAE平分∠BAD交BC于点E则CE的长等于 A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm
2.如图所示点E是▱ABCD的边CD的中点AD与BE的延长线相交于点FDF=3DE=2则▱ABCD的周长为 A.5B.7C.10D.
143.在平行四边形ABCD中1若∠A-∠B=30°则∠A∠B∠C∠D的度数分别为 ; 2若平行四边形ABCD的周长为48且AB∶BC=1∶2则AB= BC= .
4.如图所示平行四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O则图中全等的三角形有哪几对呢【能力提升】
5.如图所示在▱ABCD中∠B=110°延长AD至F延长CD至E连接EF则∠E+∠F的值为 A.110°B.30°C.50°D.70°
6.在▱ABCD中若∠A+∠C=200°则∠B的度数是 A.100°B.160°C.80°D.60°
7.如图所示在平行四边形ABCD中EF∥BCGH∥ABEFGH相交于点O图中共有平行四边形的个数为 A.6B.7C.8D.
98.如图所示在▱ABCD中AD=2ABCE平分∠BCD交AD边于点E且AE=3则AB的长为 A.4B.3C.D.2【拓展探究】
9.如图所示已知在平行四边形ABCD中∠C=60°DE⊥AB于点EDF⊥BC于点F.1求∠EDF的度数;2若AE=4CF=7求平行四边形ABCD的周长.【答案与解析】
1.C解析:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAD=BC∴∠DAE=∠AEB.又∵AE平分∠BAD∴∠DAE=∠EAB.∴∠EAB=∠AEB∴AB=BE.∵AD=12cmAB=8cm∴BC=12cmBE=8cm.∴CE=BC-CE=4cm.故选C.
2.D
3.1105° 75° 105° 75° 28
164.解:可以找到4对全等三角形它们是:△AOB≌△COD△AOD≌△COB△ABC≌△CDA△ABD≌△CDB.
5.D解析:由平行四边形的对角相等可得∠ADC=110°再由∠ADC+∠FDC=180°得出∠FDC=70°所以∠E+∠F=∠FDC=70°.
6.C解析:∵∠A+∠C=200°∠A=∠C∴∠A=100°.又AD∥BC∴∠A+∠B=180°∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.
7.D解析:图中的平行四边形有:▱AEOG▱BHOE▱CHOF▱OFDG▱ABHG▱CHGD▱AEFD▱BEFC▱ABCD.
8.B解析:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DCAD∥BC∴∠DEC=∠BCE.∵CE平分∠DCB∴∠DCE=∠BCE∴∠DEC=∠DCE∴DE=DC=AB.∵AD=2AB∴AD=2CD∴AD=2DE∴AE=DE=3∴DC=AB=DE=
3.故选B.
9.解:1∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∠A=∠C=60°∠C+∠B=180°.∵∠C=60°∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥ABDF⊥BC∴∠DEB=∠DFB=90°∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°. 2在Rt△ADE和Rt△CDF中∠A=∠C=60°∴∠ADE=∠CDF=30°∴AD=2AE=8CD=2CF=14∴平行四边形ABCD的周长为2×8+14=
44.本节教材中直观感知的活动较多能培养学生一定的逻辑思考能力及说理能力.因此从理性角度分析平行四边形的性质特点是非常重要的.在“议一议做一做”环节中要引导学生有条理地用数学语言叙述思考过程.增加实际生活的例子激发学生的学习兴趣提高学习的效率.随堂练习教材第137页
1.解:能.设一个内角的度数为x°则其他三个内角的度数分别为:180°-x°x°180°-x°.
2.解:1∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ADC=∠B=56°∠BCD=180°-∠B=124°. 2∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC=25BC=AD=
30.习题
6.1教材第137页
1.解:∵四边形ABCD是平行四边形∴∠BCD=∠A=48°∠B=180°-∠A=132°AD=BC=3cm.
2.解:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥CB∴∠ACB=∠CAD=21°.∵∠ADC=125°∴∠ABC=125°.∴∠DAB=180°-∠ADC=55°∴∠CAB=∠DAB-∠CAD=55°-21°=34°.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∠B=∠D∵BE=DF∴△ABE≌△CDF.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ADC=∠ABC∵DF平分∠ADC∴∠CDF=∠ADC.同理∠ABE=∠ABC∴∠CDF=∠ABE.∵DC∥BA∴∠CDF=∠AFD∴∠AFD=∠ABE∴DF∥EB.∵DE∥FB∴四边形DEBF是平行四边形∴BF=DE.本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质.这一节是全章的重点之一为学好全章打下基础.学习这一节的基础是建立在平行线的性质、全等三角形和四边形的基础之上的课堂上可引导学生回忆有关知识.平行四边形的定义在小学里学过学生是不生疏的但对于概念的本质属性的理解并不深刻所以这里不仅要复习巩固而且要加深理解.为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解在讲平行四边形的定义前要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚.讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”时才是平行四边形;反之平行四边形就一定是“有两组对边分别平行”的一个“四边形”.要指出定义既是平行四边形的一个判定方法又是平行四边形的一个性质.教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的然后用两个三角形全等证明了这两条性质.这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力.教学中可以通过大量的生活实例引入新课使学生在对已有知识的认知基础上去探索数学发展的规律达到用问题创设数学情境提高学生的学习兴趣.然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质.同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式让学生在教师的范式的引导下初步达到演绎数学论证过程的能力.最后通过不同层次的典型例题、习题让学生自己理解并掌握本节课的知识.第课时
1.进一步理解平行四边形的定义平行四边形的对称性、对边相等、对角相等的性质.
2.理解并能够说出平行四边形的对角线互相平分的性质且能够进行证明.
3.能够运用平行四边形的定义和性质证明或解决有关问题.经历平行四边形的性质的探究、归纳过程体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.通过独立探索、合作交流等良好的学习态度的形成促进学生自主学习能力的提高.【重点】
1.理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分的性质.
2.应用平行四边形的性质证明和解决有关问题.【难点】 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习上节课所学内容.导入一:复习提问:1什么样的四边形是平行四边形2平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质.
②角:平行四边形的对角相等邻角互补.
③边:平行四边形的对边相等.3那么平行四边形的对角线有什么特点呢[设计意图] 复习上节课的知识点在此基础上引出本节课的知识点形成一个知识体系使学生的学习具有连贯性.导入二:一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动到晚年的时候终于拥有了一块平行四边形的土地由于年迈体弱他决定把这块土地分给他的四个孩子他是按如图所示的方式分的.当四个孩子看到时争论不休都认为自己的地少.同学们你认为老人这样分合理吗为什么本节课我们将继续学习平行四边形的有关性质你将会明白老人的分法是否合理.[设计意图] 把知识融入到故事情境中能够提高学生的学习兴趣.
一、性质总结思路一【探究】 请学生在纸上画两个全等的▱ABCD和▱EFGH并连接对角线ACBD和EGHF设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起在点O处钉一个图钉将▱ABCD绕点O沿顺时针方向旋转180°观察它还能和▱EFGH重合吗你能从中看出上节课所得到的平行四边形的边、角关系吗进一步你还能发现平行四边形的什么性质结论:1平行四边形是中心对称图形两条对角线的交点是它的对称中心;2平行四边形的对角线互相平分.[设计意图] 利用实际动手操作的形式让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质印象深刻容易理解.思路二 [过渡语] 在上节课我们研究了平行四边形的边、角的特殊关系这节课我们研究其对角线有怎样的特殊关系.【学生活动】 学生小组内思考、交流.得出:平行四边形的对角线互相平分.【师生活动】 请尝试证明这一结论.平行四边形的对角线互相平分的证明已知:如图所示▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O.求证OA=OCOB=OD.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD平行四边形的对边相等.AB∥CD平行四边形的定义.∴∠BAO=∠DCO∠ABO=∠CDO.∴△ABO≌△CDO.∴OA=OCOB=OD.追问:你还有其他的证明方法吗与同伴交流.提示:还可以证明△BOC≌△DOA[设计意图] 通过对上节课动手操作活动的回顾得出平行四边形对角线互相平分的性质再通过严格的说理证明深化对知识的理解.[教法说明] 因为有上节课的基础学生对于定理的证明已具备一定的基础但是在证明定理之后应该给学生强调:定理的证明只是让学生进一步理解定理而在定理运用时则直接由平行四边形可得出其对角线互相平分.
二、例题讲解 [过渡语] 看来大家对平行四边形的性质的理解已经透彻了下面我们就一起来探究一下它的应用吧!补充例题已知:如图a所示▱ABCD的对角线ACBD相交于点OEF过点O与ABCD分别相交于点EF.求证OE=OFAE=CFBE=DF.〔解析〕 由平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC继而得到相关三角形全等从而得证.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CDAB=CD.∴∠1=∠2∠3=∠
4.又∵OA=OC平行四边形的对角线互相平分∴△AOE≌△COFAAS.∴OE=OFAE=CF全等三角形的对应边相等.∴AB-AE=CD-CF即BE=DF.【延伸思考】 若补充例题中的条件都不变将EF转动到图b所示的位置那么补充例题的结论是否仍成立若将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交如图c和图d所示补充例题的结论是否仍成立说明你的理由.教材例2已知:如图所示▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O过点O的直线与ADBC分别相交于点EF.求证OE=OF.解:∵四边形ABCD是平行四边形∴DO=BO平行四边形的对角线互相平分.AD∥BC平行四边形的定义.∴∠ODE=∠OBF.∵∠DOE=∠BOF∴△DOE≌△BOF.∴OE=OF.
三、做一做如图所示平行四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O∠ADB=90°OA=6OB=
3.求AD和AC的长度.〔解析〕 本题意在让学生综合运用平行四边形的性质解决简单问题教学时还可以让学生求其他边长.解:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC=6OB=OD=3∴AC=
12.又∠ADB=90°∴在Rt△ADO中根据勾股定理得:OA2=OD2+AD2∴AD2=OA2-OD2=62-32=
27.∴AD=
3.[知识拓展] 在一次数学探究活动中小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分使含有一组对顶角的两个图形全等.1请在图1中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线2由上述操作你发现所画的两条直线有什么规律解:1如图2所示.答案不唯一2规律:所画的两条直线都经过平行四边形ABCD的对角线的交点.平行四边形的性质:1平行四边形是中心对称图形两条对角线的交点是它的对称中心;2平行四边形的对角线互相平分.
1.判断对错:1在▱ABCD中AC交BD于O则AO=OB=OC=OD. 2平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. 3平行四边形的两组对边分别平行且相等. 4平行四边形是轴对称图形. 解析:1在▱ABCD中AC交BD于OAC和BD不一定相等则AO=OB=OC=OD是错误的.2由三角形全等可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.3由平行四边形的性质和定义可知平行四边形的两组对边分别平行且相等.4平行四边形只是中心对称图形不是轴对称图形.答案:1✕ 2√ 3√ 4✕
2.xx·宁波中考如图所示在▱ABCD中EF是对角线BD上的两点如果添加一个条件使△ABE≌△CDF那么添加的条件不能为 A.BE=DF B.BF=DEC.AE=CF D.∠1=∠2解析:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CDAB=CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加BE=DF则根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加BF=DE由等量减等量差相等得BE=DF再根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加AE=CF不能判定△ABE≌△CDF;若添加∠1=∠2则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.故选C.
3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点OOAOBAB的长度分别为3cm4cm5cm求其他各边以及两条对角线的长度.解:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CDAD=BCOA=OCOB=OD.又OA=3cmOB=4cmAB=5cm∴AC=6cmBD=8cmCD=5cm.∵在△AOB中32+42=52即AO2+BO2=AB2∴∠AOB=90°∴AC⊥BD∴在Rt△AOD中OA2+OD2=AD2∴AD=5cmBC=5cm.答:这个平行四边形的其他各边长都是5cm两条对角线的长分别为6cm和8cm.第2课时
一、性质总结1平行四边形是中心对称图形两条对角线的交点是对称中心;2平行四边形的对角线互相平分.
二、例题讲解
三、做一做
一、教材作业【必做题】教材第139页随堂练习.【选做题】教材第139页习题
6.2的123题.
二、课后作业【基础巩固】
1.在平行四边形中周长等于481已知一边长为12求其他各边的长;2已知对角线ACBD交于点O△AOD与△AOB的周长的差是10求各边的长.
2.如图所示在平行四边形ABCD中∠A=150°AB=8cmBC=10cm求平行四边形ABCD的面积.
3.如图所示已知平行四边形ABOC中A21B4-3求点C的坐标.【能力提升】
4.如图所示在Rt△ABC中∠B=90°AB=3BC=4点D在BC上在以AC为对角线的平行四边形ADCE中DE的长最小是 A.2B.3C.4D.
55.平行四边形一边长为10一条对角线长为6则它的另一条对角线长a的取值范围为 A.4a16B.14a26C.12a20D.8a
326.如图所示在周长为20cm的平行四边形ABCD中AB≠ADACBD相交于点OOE⊥BD交AD于E则△ABE的周长为 A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm
7.如图所示平行四边形ABCD中对角线ACBD相交于点O过点O的直线分别交ADBC于点MN若△CON的面积为2△DOM的面积为4则△AOB的面积为 .
8.如图1所示在▱ABCD中对角线AC与BD相交于点E∠AEB=45°BD=2将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内若点B的落点记为点B如图2所示则DB的长为 . 【拓展探究】
9.xx·大连中考如图所示在▱ABCD中ACBD相交于点OAB=10cmAD=8cmAC⊥BC则OB= cm.
10.在平行四边形ABCD中AC与BD交于点OAB⊥AC∠DAC=45°AC=2求BD长.【答案与解析】
1.解:1已知一边长为12由性质可知对边长为12周长等于48可得邻边长为12所以各边的长均为
12. 2已知对角线ACBD交于点O△AOD的周长为AO+OD+AD△AOB的周长为AB+OB+AO由于BO=OD所以AB-AD=10或AD-AB=10所以AB=17AD=7或AB=7AD=17故各边的长为
177177.
2.解:过点A作AE⊥BC于E∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC.∴∠BAD+∠B=180°.∵∠BAD=150°∴∠B=30°.在Rt△ABE中∠B=30°∴AE==4cm∴平行四边形ABCD的面积=4×10=40cm
2.
3.提示:作CM⊥x轴于M作AN∥y轴BN∥x轴可证△≌△ABN∴OM=BN=2CM=AN=4∴点C的坐标为C-
24.
4.B解析:∵四边形ADCE是平行四边形∴OD=OEOA=OC.∴当OD的长最小时DE的长最小此时BC⊥DE.∵AB⊥BC∴AB∥DE.又AE∥BC∴四边形ABDE是平行四边形∴ED=AB=
3.故选B.
5.B解析:两条对角线的一半和长为10的边构成一个三角形由三角形的三边关系得10-310+3解得14a
26.
6.D解析:根据平行四边形的性质得OB=OD又EO⊥BD根据线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等得BE=DE故△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm.故选D.
7.6解析:因为四边形ABCD是平行四边形所以∠CAD=∠ACBOA=OC因为∠AOM=∠CON所以△CON≌△AOM现在可以求出S△AOD=4+2=
6.再根据O是DB的中点可以求出S△AOB=S△AOD=
6.
8.解析:将△ABC沿AC所在直线翻折180°有对应线段BE=BE对应角∠AEB=∠AEB=45°∴∠BEB=∠DEB=90°.∵BE=DE=BE=1∴在Rt△DEB中DB==.
9.解析:∵四边形ABCD是平行四边形∴CO=ACBC=AD=8cm.∵AB=10cmAC⊥BC∴AC===6cm∴CO=3cm∴BO===cm.故填.
10.解:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=AC=1OB=OD.∵AB⊥AC∠DAC=45°∴AB=AC=
2.在直角三角形AOB中根据勾股定理得OB=∴BD=2OB=
2.本节课以问题为载体采取学生动手实践、自主探究的学习方式.在教学过程中实施开放式教学创设民主、轻松的教学氛围最大限度地调动学生的积极性激发他们的学习兴趣.教师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、学生错误的澄清者、多角度思考的促进者使师生成为“数学学习的共同体”.由于学生的水平不一可能有学生跟不上对于综合题目理解不到位.设计分层练习或者组织学习小组互相学习.例题处理时可让学生先独立完成教师再点评鼓励学生用不同的方法证明结论或计算结果.随堂练习教材第139页解:∵OA=3OB=4AB=5∴△ABO是直角三角形.∴AC和BD互相垂直平分∴AB=BC=CD=DA=5AC=2OA=6BD=2OB=
8.习题
6.2教材第139页
1.解:其他三边长分别为9m16m9m.
2.解:在Rt△ABD中BD===6∴OB=BD=
3.平行四边形ABCD的面积=6×8=
48.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CDOB=ODAB∥CD∴∠EBO=∠FDO∵∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOFASA∴BE=DF∴AE=CF.
4.解:1所有的直线都交于一点O:对角线的交点. 2经过平行四边形对称中心的直线将这个平行四边形分成两部分这两部分可以绕对称中心旋转180°而相互得到.
1.本节课的主要内容是平行四边形的对角线互相平分通过旋转得到平行四边形是中心对称图形且对角线互相平分.这一节知识综合性较强教学中要注意引导学生巩固基础知识和基本技能加强对解题思路的分析解题思想方法的概括.
2.教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法.如图所示设四边形ABCD的对角线ACBD相交于点O若AC与BD互相平分则有OA=OCOB=OD.
3.在平行四边形中从一条边上的任意一点向对边画垂线这点与垂足间的距离或从这点到对边垂线段的长或者说这条边和对边的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高.这里所说的“底”是相对高而言的.
4.平行四边形的面积等于它的底和高的积即S▱ABCD=a·h.其中a可以是平行四边形的任何一边h必须是a边与其对边的距离即对应的高如图1所示.为了区别有时也可以把高记成hahAB表明它们所对应的底是a或AB.要避免学生发生如图23的错误.
5.通过本节的学习归纳平行四边形的性质时可以按边、角、对角线进行总结.通过复习总结使学生掌握这些知识也培养学生养成复习总结的习惯并提高他们归纳总结的能力. 如图所示平行四边形ABCD的面积为20cm2对角线ACBD相交于点O;以ABAO为邻边作平行四边形AOC1B对角线AC1OB相交于点O1;以ABAO1为邻边作平行四边形AO1C2B;…;以此类推则平行四边形AO4C5B的面积为 cm
2. 〔解析〕 根据平行四边形的对角线互相平分得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键.∵O为平行四边形ABCD的对角线的交点∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于平行四边形ABCD底边AB上的高的∴平行四边形AOC1B的面积=S▱ABCD.∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1∴平行四边形AO1C2B底边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的∴平行四边形AO1C2B的面积=×S▱ABCD=…以此类推平行四边形AO4C5B的面积===cm
2.故填.2 平行四边形的判定
1.理解并能够证明平行四边形的判定定理.
2.能够应用平行四边形的定义和平行四边形的判定定理判定一些相关的平行四边形.经历平行四边形判别条件的探索过程在有关活动中发展学生的合情推理意识.通过平行四边形判别条件的探索培养学生面对挑战勇于克服困难的意志增强学好数学的自信心.【重点】
1.平行四边形判定方法的探究.
2.运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形.【难点】 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.第课时
1.理解并能够证明平行四边形的前两个判定定理即两组对边分别相等的四边形是平行四边形和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2.能够应用平行四边形的定义和平行四边形的前两个判定定理判定一些相关的平行四边形.经历平行四边形判别条件的探索过程在有关活动中发展学生的合情推理意识.通过平行四边形判别条件的探索培养学生面对挑战勇于克服困难的意志鼓励学生大胆尝试从中获得成功的体验激发学生的学习热情.【重点】
1.平行四边形判定方法的探究.
2.运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形.【难点】 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.【教师准备】 根据学生不同特长每4人分成一个学习活动研究小组.【学生准备】 每人准备两根等长的木条.导入一: [过渡语] 上一节我们研究的是什么平行四边形具有什么性质生:
①平行四边形是中心对称图形两条对角线的交点是它的对称中心.
②边:平行四边形的对边相等.
③角:平行四边形的对角相等.
④对角线:平行四边形的对角线互相平分.师:同学们回答得很对看来掌握得不错.刚才同学们说的以上这四条是平行四边形的性质这是什么意思生:就是知道它是平行四边形我们就可以确定它具有的特性或特点.师:同学们说得很有自信确实不错就是知道它是平行四边形我们就可以确定它具有的特性或特点.现在同学们拿出每人准备好的两根等长的小木条两个同学合作把一个人的相等的两根小木条作为一个四边形的一组对边另一个同学的作为四边形的另一组对边组成一个四边形能行吗生:能行.师:我现在有一个问题就是:你们两个同学合伙组成的这个四边形是平行四边形吗生:是.师:今天我们就来研究新的一节——平行四边形的判定.[设计意图] 在问题中引入本节课的内容激发学生的思考和学习热情.导入二: [过渡语] 上节课我们学习了平行四边形的性质你能利用所学的知识解决下面的问题吗
1.平行四边形的定义是什么
2.平行四边形还有哪些性质[设计意图] 教师提出问题由学生独立思考并口答得出定义的内容总结出平行四边形的其他几条性质.在此活动中教师应重点关注:1学生参与思考问题的积极性;2学生能否准确、全面地回答出平行四边形的全部性质;3学生能否由平行四边形的性质猜测出平行四边形的判定方法. [过渡语] 我们已经知道了平行四边形的性质那么怎样判断一个四边形是平行四边形呢
一、平行四边形的判定定理思路一【课件】 如图所示取两根相等的木条作为一个四边形的一组对边取另两根相等的木条作为这个四边形的另一组对边组成一个四边形这个四边形是平行四边形吗为什么[设计意图] 创设用木条拼摆平行四边形的情境意在引导学生探究和发现“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.教学时应引导学生经历这一探究发现过程.当然教师也可以创设更符合学生实际情况的情境.思路二【活动1】工具:两对长度分别相等的木条.动手:能否在平面内用这四根木条摆成一个平行四边形【思考1】 你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗已知:如图1所示在四边形ABCD中AB=CDAD=CB.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:如图2所示连接BD.在△ABD和△CDB中∵AB=CDAD=CBBD=DB∴△ABD≌△CDB.∴∠1=∠2∠3=∠
4.∴AB∥CDAD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形平行四边形的定义.【思考2】 以上活动事实能用文字语言表达吗平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.处理设想:学生互相交流口述其推理论证的过程.根据学生的认知水平教师应估计到学生可能会在推理论证时遇到困难所以应加以适当引导.在此活动中教师应重点关注:1学生在拼四边形时能否将相等两木条作为四边形的对边;2拉动四边形改变它的形状能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形;3学生能否通过独立思考、小组合作得出正确的证明思路.[设计意图] 学生以小组为单位利用课前准备好的学具动手操作、观察完成探究活动1共同得到:1只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形.2通过观察、实验猜想到:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.【活动2】工具:两根长度相等的木条两条平行线.动手:利用两根长度相等的木条能摆出以木条顶端为顶点的平行四边形吗【思考1】 你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗已知:如图1所示在四边形ABCD中ABCD.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:如图2所示连接AC.∵AB∥CD∴∠BAC=∠DCA.又∵AB=CDAC=CA∴△ABC≌△CDA.∴BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.【思考2】 以上活动事实能用文字语言表达吗平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.在此活动中教师应重点关注:1学生实验操作的准确性;2学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现;3学生使用几何语言的规范性和严谨性. [过渡语] 下面我们利用已经学过的平行四边形的定义及判定定理来解决一些实际问题.
二、例题讲解教材例1已知:如图所示在▱ABCD中EF分别为AD和CB的中点.求证:四边形BFDE是平行四边形.〔解析〕 本例是对平行四边形性质和判定的综合应用.要证明一个四边形是平行四边形除了依据平行四边形的定义外还可以考虑本课时刚学完的两个平行四边形的判定定理.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=CB平行四边形的对边相等AD∥CB平行四边形的定义.∵EF分别是AD和CB的中点∴ED=ADFB=CB.∴ED=FBED∥FB.∴四边形BFDE是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.[知识拓展] 判断四边形是否为平行四边形条件中如果没有等量关系重点考虑依据平行四边形的定义去判断;条件中只有等量关系而没有平行关系重点考虑依据判定方法1;条件中既有等量关系又有平行关系重点考虑依据判定方法
2.本节课学习了平行四边形的两个判定定理:
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.xx·新疆中考四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是 A.OA=OCOB=ODB.AD∥BCAB∥CDC.AB=CDAD=BCD.AB∥DCAD=BC答案:D
2.xx·淮安中考如图所示在四边形ABCD中AB∥CD要使得四边形ABCD是平行四边形应添加的条件是 .只填写一个条件不使用图形以外的字母和线段 答案:AB=CD答案不唯一
3.如图所示在▱ABCD中点EF分别在边ADBC上且BE∥DF若∠EBF=45°则∠EDF的度数是 度. 解析:由四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC又由BE∥DF即可证得四边形BFDE是平行四边形根据平行四边形的对角相等即可求得∠EDF=∠EBF=45°.故填
45.
4.如图所示四边形ABCD是平行四边形DE平分∠ADC交AB于点EBF平分∠ABC交CD于点F.1求证DE=BF;2连接EF写出图中所有的全等三角形.不要求证明证明:1∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDE=∠AED.∵DE平分∠ADC∴∠ADE=∠CDE∴∠ADE=∠AED∴AE=AD.同理CF=CB.又AD=CB∴CF=AE∴DF=BE∴四边形DEBF是平行四边形∴DE=BF.解:2△ADE≌△CBF△DFE≌△BEF.第1课时
一、平行四边形的判定定理
二、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第142页随堂练习的12题.【选做题】教材第142页习题
6.3的123题.
二、课后作业【基础巩固】
1.在四边形ABCD中已知AB=7cmBC=5cmCD=7cm当AD= cm时四边形ABCD为平行四边形.
2.如图所示点BECF在一条直线上AB=DE∠B=∠DEFBC=EF求证:四边形ACFD为平行四边形.
3.如图所示在平行四边形ABCD中EF分别为边ADBC上两点且BF=DE连接AFCEBEDF.AF与BE相交于M点DF与CE相交于N点.求证:四边形FMEN为平行四边形.【能力提升】
4.如图所示EF是四边形ABCD的对角线AC上两点AF=CEDF=BEDF∥BE.求证:1△AFD≌△CEB;2四边形ABCD是平行四边形.
5.如图所示已知BE∥DF∠ADF=∠CBEAF=CE求证:四边形DEBF是平行四边形.【拓展探究】
6.如图1所示在△OAB中∠OAB=90°∠AOB=30°OB=8以OB为边在△OAB外作等边三角形OBCD是OB的中点连接AD并延长交OC于E.1求证:四边形ABCE是平行四边形;2如图2所示将图1中的四边形ABCO折叠使点C与点A重合折痕为FG求OG的长.
7.如图所示在四边形ABCD中AB=CDBF=DEAE⊥BDCF⊥BD垂足分别为EF.1求证:△ABE≌△CDF;2若AC与BD交于点O求证:AO=CO.【答案与解析】
1.5解析:由平行四边形的判定定理可知两组对边分别相等的四边形是平行四边形AD=BC=5cm.
2.证明:∵∠B=∠DEF∴AB∥DE.又AB=DE∴四边形ABED为平行四边形∴AD=BE.∵BC=EF∴BE=CF∴AD=CF.又AD∥CF∴四边形ACFD为平行四边形.
3.证明:∵DE平行且等于BF∴四边形BFDE为平行四边形∴BE∥DF同理:AF∥CE∴四边形FMEN为平行四边形.
4.证明:1∵DF∥BE∴∠DFE=∠BEF.又∵AF=CEDF=BE∴△AFD≌△CEB. 2由1知△AFD≌△CEB∴∠DAC=∠BCAAD=BC∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
5.解析:已知BE∥DF所以只要通过证明△ADF≌△CBE从而推出BE=DF即可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明.证明:因为BE∥DF所以∠AFD=∠CEB.又因为∠ADF=∠CBEAF=CE所以△ADF≌△CBE所以DF=BE.又BE∥DF所以四边形DEBF是平行四边形.
6.1提示:证CE平行且等于AB. 2解:设OG=xx0由折叠可知:AG=GC=8-x在Rt△OAG中OG2+OA2=AG2即x2+=8-x2解得x=1∴OG=
1.
7.证明:1∵BF=DE∴BF-EF=DE-EF即BE=DF.∵AE⊥BDCF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°.∵AB=CD∴Rt△ABE≌Rt△CDFHL. 2∵△ABE≌△CDF∴∠ABE=∠CDF∴AB∥CD.∵AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO.本节课在引入的环节上采用复习引入的方式复习了平行四边形的定义和性质唤起学生对已有知识的回忆让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系为平行四边形的性质和判定的综合运用做了铺垫.本课时介绍了两种判定定理留给学生练习的时间不充分可能有部分学生掌握不好.数学的学习要重视学习方法的指导通过由浅入深的练习和灵活的变式引导学生善于抓住图形的基本特征和题目的内在联系达到触类旁通的效果.随堂练习教材第142页
1.解:四边形ABCD是平行四边形理由如下:AD与BC平行且相等.
2.解:AB∥CDAC∥BDCD∥EFCE∥DFAB∥EF理由如下:根据两组对边分别相等可判定四边形ABDC和四边形CDFE都是平行四边形故AB∥CDAC∥BDCD∥EFCE∥DF所以AB∥EF.习题
6.3教材第142页
1.解:四边形EABD与四边形EBCD都是平行四边形.理由如下:∵ED∥AB且ED=AB∴四边形EABD是平行四边形.∵ED∥BCED=BC∴四边形EBCD是平行四边形.
2.证明:在▱ABCD中AB∥CD即DF∥BE又DF=BE∴四边形DEBF是平行四边形.
3.证明:在△ABC和△CDA中∠1=∠2∠B=∠DAC=AC∴△ABC≌△CDA∴AB=CDBC=DA∴四边形ABCD是平行四边形.
4.解:小明画图的过程是一个平移过程平移前后对应边平行且相等即ABA1B1因此四边形ABB1A1是平行四边形.难点的突破方法:平行四边形的判别方法是本节课的核心内容同时它又是后面进一步研究长方形、菱形、正方形判别的基础更是发展学生合情推理及说理的良好素材.本节课的教学重点为平行四边形的判别方法.在本节课中以探索活动为载体并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展从而将直观操作与简单推理有机融合达到突出重点、分散难点的目的.1平行四边形的判定方法13都是平行四边形性质的逆命题它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明.2平行四边形有四种判定方法与性质类似可从边、对角线两方面进行记忆.要注意:
①本教材没有把用角来作为判定的方法教学中可以根据学生的情况作为补充;
②本节课只介绍判定方法
12.3教学中我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境开展有效的数学活动如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形使学生建立对平行四边形的直观认识并复习平行四边形的定义建立新旧知识间的相互联系.然后利用学生手中的学具通过观察、测量、猜想、验证探索构成平行四边形的条件.在学生拼图的活动中教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨让学生在问题解决中实现对平行四边形各种判别方法的掌握并发展了学生说理及简单推理的能力.4从本节开始就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题凡是可以用平行四边形知识证明的问题不要再回到用三角形全等证明.应该对学生提出这个要求.第课时
1.会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.
2.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理并学会简单运用.
1.经历平行四边形判别条件的探索过程在探究活动中发展学生的合情推理意识.
2.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.通过平行四边形判别条件的探索培养学生合情推理的意识鼓励学生大胆尝试从中获得成功的体验激发学生的学习热情.【重点】 平行四边形判定方法的探究、运用.【难点】 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 每人准备两根木条最好是长度不等.导入一:
1.平行四边形的定义是什么
2.判定四边形是平行四边形的方法有哪些1两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.[设计意图] 教师提出问题12由学生独立思考并口答得出定义的内容总结出判定四边形是平行四边形的几个条件.对比平行四边形的性质猜测平行四边形的其他判断方法.导入二:【操作思考】画两条相交直线ab设交点为O.在直线a上截取OA=OC在直线b上截取OB=OD连接ABBCCDDA.你能证明所画的四边形ABCD是平行四边形吗[设计意图] 通过自己动手操作学生能够容易得出结论并且深刻领会判断方法. [过渡语] 除了已经掌握的平行四边形的判定方法还有其他判断一个四边形是平行四边形的方法吗
一、平行四边形的判定定理【活动】工具:两根不同长度的细木条.动手:能否合理摆放这两根细木条使得连接四个顶点后成为平行四边形【思考1】 你能说明你得到的四边形是平行四边形吗已知:如图所示四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O并且OA=OCOB=OD.求证:四边形ABCD是平行四边形.〔解析〕 目前我们证明一个四边形是平行四边形有三个基本思路:定义、两组对边分别相等和一组对边平行且相等.根据本题的条件我们能够通过三角形的全等证明出线段AD和BCAB和CD分别相等;也能证明出AD与BC平行AB与CD平行.证明:∵OA=OCOB=OD且∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD∴AB=CD.同理可得:BC=AD∴四边形ABCD是平行四边形.活动提示:教师应重点关注学生实验操作的准确性;学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现;学生使用几何语言的规范性和严谨性.【思考2】 以上活动事实能用文字语言表达吗平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.[设计意图] 通过探究活动得出平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. [过渡语] 我们一起利用平行四边形的判定定理来解决实际问题吧!
二、例题讲解教材例2已知:如图1所示EF是▱ABCD对角线AC上的两点且AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形.〔解析〕 本例综合应用了涉及对角线的性质定理和判定定理.初看起来在四边形BFDE内既找不到等量关系也找不到平行关系这就需要我们利用题中给出的条件构造出可以为证明服务的相等或平行的条件.通过观察线段BD是四边形ABCD和四边形BFDE共同的对角线连接BD后还可以间接利用到四边形ABCD的另一条对角线.证明:如图2所示连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OCOB=OD平行四边形的对角线互相平分.∵AE=CF∴OA-AE=OC-CF即OE=OF.∴四边形BFDE是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.变式练习:对于上述例题若EF继续移动至OAOC的延长线上仍使AE=CF如图所示则结论还成立吗请说明理由.解:结论成立.理由:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OCOB=OD.∵AE=CF∴OA+AE=OC+CF即OE=OF.∴四边形BFDE是平行四边形.
三、想一想如图所示有一块平行四边形玻璃镜片不小心打掉了一块但是有两条边是完好的.同学们想想看有没有办法把原来的平行四边形重新画出来让学生思考讨论再各自画图画好后互相交流画法教师巡回检查对个别学生稍加点拨最后请学生回答画图的方法学生想到的画法有:1分别过点AC作BCBA的平行线两平行线相交于点D连接ADCD则四边形ABCD即为原来的平行四边形.2分别以点AC为圆心以BCBA的长为半径画弧两弧相交于点D连接ADCD则四边形ABCD即为原来的平行四边形.还有一种方法学生不易想到即利用平行四边形对角线的特性引导学生连接AC取AC的中点O再连接BO并延长BO到D使DO=BO连接ADCD则四边形ABCD即为原来的平行四边形.[设计意图] 通过练习进行强化和巩固加深学生对定理的理解.[知识拓展] 判定平行四边形时常用的反例.1一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.✕反例:如图1所示AD∥BCAB=CD这是一个两腰相等的梯形而不是平行四边形.2一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.✕反例:如图2所示等腰三角形ABC中点D是BC上的点且CDBC将△ADC剪下拼成如图3所示的图形则四边形ABDC虽满足“一组对边相等且一组对角相等”但显然不是平行四边形.3一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.✕反例:如图4所示三角形ABC中AB=AC在AC上取点E在AB延长线上取点D使得BD=EC那么四边形BDCE即为符合“一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”的反例.证明:如图4所示过E作EF∥BD交BC于点F连接DF则∠EFC=∠ABC由AB=AC得∠ABC=∠EFC=∠ACB∴EF=EC∴四边形BDFE是平行四边形∴DM=EM.4一组对角相等一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.✕反例:如图5所示四边形ABCD中OA=OC且AC⊥BD则∠BAD=∠BCD且BD平分AC但四边形ABCD不是平行四边形.判别一个四边形是平行四边形的方法有:角度判定方法边两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.判断下列说法是否正确.1一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形. 2两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 3一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形. 4一组对边平行且一组邻角互补的四边形是平行四边形. 答案:1✕ 2√ 3√ 4✕
2.在四边形ABCD中对角线ACBD相交于点O给出下列四个条件:
①AD∥BC;
②AD=BC;
③OA=OC;
④OB=OD.从中任选两个条件能使四边形ABCD为平行四边形的选法有 A.3种B.4种C.5种D.6种解析:
①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形;
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形;
①③组合可证明△ADO≌△CBO进而得到AD=CB可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形;
①④组合可证明△ADO≌△CBO进而得到AD=CB可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形.故选B.
3.如图所示AD是△ABC的边BC上的中线.1画图:延长AD到点E使DE=AD连接BECE;2判断四边形ABEC的形状.解析:根据要求画图由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABEC的形状.解:1如图所示.2四边形ABEC为平行四边形.
4.如图所示平行四边形ABCD的对角线相交于点O直线EF经过点O分别与ABCD的延长线交于点EF.求证:四边形AECF是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴OD=OBOA=OC∵AB∥CD∴∠DFO=∠BEO∠FDO=∠EBO∴△FDO≌△EBO∴OF=OE∴四边形AECF是平行四边形.第2课时
一、平行四边形的判定定理
二、例题讲解
三、想一想
一、教材作业【必做题】教材第144页随堂练习.【选做题】教材第145页习题
6.4的23题.
二、课后作业【基础巩固】
1.两组对边分别 的四边形是平行四边形对角线 的四边形是平行四边形一组对边平行且 的四边形是平行四边形.
2.在四边形ABCD中ACBD相交于点O若AC=12cmBD=10cm那么当AO= cmOD= cm时四边形ABCD为平行四边形.
3.如图所示四边形ABCD中AC与BD交于点OAB∥CDAO=CO求证:四边形ABCD是平行四边形.
4.如图所示平行四边形ABCD中MN在对角线AC上AM和CN满足怎样的关系四边形BMDN为平行四边形证明你的猜想.【能力提升】
5.如图所示在▱ABCD中对角线ACBD相交于点OEF是对角线AC上的两点则下列条件中使四边形DEBF不一定是平行四边形的是 A.OE=OFB.DE=BFC.∠ADE=∠CBFD.∠ABE=∠CDF
6.如图所示AF与BE互相平分EC与DF互相平分求证:四边形ABCD是平行四边形.
7.如图所示已知D是△ABC的边AB上一点CE∥ABDE交AC于点O且OA=OC猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系并加以证明.【拓展探究】
8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O00A20B11则第四个顶点C的坐标是多少【答案与解析】
1.相等或平行 互相平分 相等解析:根据平行四边形的判定定理填空.
2.6 5解析:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
3.证明:∵AB∥CD∴∠BAO=∠DCO又∠AOB=∠CODAO=CO∴△ABO≌△CDO.∴OB=OD∴四边形ABCD为平行四边形.
4.解:猜想AM=CN时四边形BMDN为平行四边形.证明:连接BD交AC于点O则OB=ODOA=OC.∵AM=CN∴OM=ON∴四边形BMDN为平行四边形.
5.B解析:本题考查平行四边形的概念、性质及判定根据四边形ABCD为平行四边形可知O是BD的中点若OE=OF则四边形DEBF是平行四边形.若∠ADE=∠CBF由四边形ABCD是平行四边形可知∠ADB=∠CBD所以∠BDE=∠DBF从而可知△DEO≌△BFO所以OE=OF所以四边形DEBF是平行四边形.同理由∠ABE=∠CDF可得出四边形DEBF是平行四边形.故选B.
6.证明:易知四边形ABFE和四边形DEFC都是平行四边形∴ABEFEFCD∴ABCD∴四边形ABCD是平行四边形.
7.解析:根据已知条件易证得△ADO≌△CEO进而证得四边形ADCE是平行四边形即可得出结论.解:猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系分别是CD=AECD∥AE.证明如下:∵CE∥AB∴∠DAO=∠ECO在△ADO和△CEO中∴△ADO≌△CEOASA∴AD=CE∴四边形ADCE是平行四边形∴CD∥AE且CD=AE.
8.解:当BCOA时C和B的纵坐标相等若选择AB为对角线则C131;若选择OB为对角线则C2-
11.当ABOC时选择OA为对角线则C31-
1.故第四个顶点C的坐标是:31或-11或1-
1.本节课的设计通过探究活动的开展探求平行四边形的判定方法通过对判定方法的进一步理解典型例题的分析精选的随堂练习学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际生活中的问题.综合应用平行四边形的性质和判定来解决问题的能力训练不够.设计较为合适的难度和数量的题目来适应学生的不同需要.通过对例题的变换加深学生对定理的理解.随堂练习教材第144页解:四边形BFDE是平行四边形.理由如下:在▱ABCD中对角线ACBD互相平分即OA=OC=ACOD=OB=BD∵EF分别是OAOC的中点∴OE=OA=OC=OF即四边形BFDE的两条对角线EFBD互相平分∴四边形BFDE是平行四边形.习题
6.4教材第145页
1.证明:在▱ABCD中AB=CDAB∥CD∴∠BAM=∠DCN∵BM⊥ACDN⊥AC∴∠AMB=∠DNC=90°∴△AMB≌△CNDAAS.∴BM=DN又∵∠BMN=∠DNM=90°∴BM∥DN即BM和DN平行且相等所以四边形BMDN是平行四边形.
2.解:1当BE=DF时四边形AECF是平行四边形.理由如下:在▱ABCD中OA=OCOB=OD∵BE=DF∴OE=OF∴四边形AECF是平行四边形. 2当∠AEB=∠CFD时四边形AECF是平行四边形.理由如下:在▱ABCD中OA=OC∵∠AEB=∠CFD∴∠AEO=∠CFO∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴OE=OF∴四边形AECF是平行四边形.
3.解:1四边形EFGH是平行四边形.证明如下:在▱ABCD中AC与BD互相平分AO=CO∵AE=AOCG=CO∴EO=GO同理可得FO=HO即四边形EFGH的对角线EGFH互相平分∴四边形EFGH是平行四边形. 2四边形EFGH是平行四边形.同1可证得EO=GOFO=OH∴四边形EFGH是平行四边形. 3成立.难点的突破方法:本节课是平行四边形判定的第二节课上一节课已经学习了判定方法1和判定方法2再结合平行四边形的定义同学们已经掌握了3种平行四边形的判定方法.本节课在上节课的基础上学习平行四边形的判定方法3使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明并且通过本节课的学习继续培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力.本节课的知识点不难但学生灵活运用判定定理去解决相关问题并不容易在以后的教学中还应加强一题多解和寻找最佳解题方法的训练.1平行四边形的判定方法3可以用平行四边形的定义或平行四边形的判定方法1或2来证明可以看做是巩固前面两个判定方法的一个很好的练习题.教学中可引导学生用不同的方法进行证明以活跃学生的思维.2学过本节后应使学生掌握平行四边形的四个或五个判定方法这些判定的方法是:从边看:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.从对角线看:对角线互相平分的四边形是平行四边形.从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形3让学生了解平行四边形知识的运用包括三个方面:一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数线段的长度证明角相等或线段相等等;二是判定一个四边形是平行四边形从而判定直线平行等;三是先判定一个四边形是平行四边形然后再用平行四边形的性质去解决某些问题.4平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识这些知识是本章的重点内容要使学生熟练地掌握这些知识.如何增加条件使四边形成为平行四边形.如图所示四边形ABCD的两条对角线ACBD相交于点O增加若干组条件使得四边形ABCD是平行四边形请你写出4种以上的条件组合当然希望每一个条件组合中条件个数应尽量少一些.通过尝试我们发现:增加两个条件能够保证其成为平行四边形的组合有多种.现分别从四边形的边、角、对角线以及三者的不同组合这几个角度予以列举:1边:
①两组对边分别平行:AB∥CD且AD∥BC平行四边形的定义;
②一组对边平行且相等:AB∥CD且AB=CD或者AD∥BC且AD=BC;
③两组对边分别相等:AB=CD且AD=BC.2角:两组对角分别相等:∠DAB=∠BCD且∠ADC=∠ABC.3对角线:对角线互相平分:AO=OC且BO=OD.4边与角的组合:一组对边平行且一组对角相等.比如AB∥CD且∠DAB=∠BCD.之所以能构成平行四边形是因为由AB∥CD推出∠BAC=∠ACD从而∠DAC=∠ACB所以AD∥BC所以四边形ABCD是平行四边形.5边与对角线的组合:一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线.比如AD∥BC且BD平分AC即OA=OC从这两个条件出发我们可以证明△ADO≌△CBOAAS于是AD=BC所以四边形ABCD是平行四边形.6角与对角线的组合:一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线.比如∠ABC=∠ADC且对角线BD平分AC即AO=CO如图所示此时BO必定等于DO这是因为:若DOBO在DO上取一点E使EO=BO则此时∠AEC∠ADC;若DOBO在OD延长线上取点F使FO=BO则此时∠AFC∠ADC在这两种情况下都有∠ABC≠∠ADC与假设矛盾.故BO=DO从而四边形ABCD是平行四边形.第课时
1.理解并能说出平行线之间的距离的意义.
2.进一步理解和掌握平行四边形的性质和判定方法.
3.能够综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题.
1.经历探索平行线之间的距离的意义的过程体会数学在现实世界的大量应用.
2.利用类比和对比的方法类比和对比平行线之间的距离、点到直线的距离和两点之间的距离的联系与区别.在探索平行线之间的距离的意义的过程中渗透转化的数学思想体会数学思想方法.【重点】
1.平行线之间的距离的意义的探索.
2.综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题.【难点】 灵活运用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题.【教师准备】 演示课件.【学生准备】 复习平行四边形的性质和判定方法.导入一:【问题】多媒体展示问题
1.平行四边形的定义是什么
2.平行四边形有哪些性质
3.判定四边形是平行四边形的方法有哪些[设计意图] 教师提出问题由学生独立思考并口答得出定义的内容.总结出平行四边形的性质和判定四边形是平行四边形的几个条件.导入二:【问题】多媒体展示问题在笔直的铁轨上夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长你能说明理由吗与同伴交流.[设计意图] 从实际的生活出发让学生感受数学来源于生活又服务于生活.
一、平行线之间的距离教材例3已知:如图所示直线a∥bAB是直线a上任两点AC⊥bBD⊥b垂足分别为CD.求证:AC=BD.〔解析〕 本题条件中已经知道四边形ABDC中有一组对边互相平行如果再能证明另一组对边AC和BD也平行根据平行四边形的性质即可得出AC和BD相等的结论.证明:∵AC⊥CDBD⊥CD∴∠1=∠2=90°.∴AC∥BD.∵AB∥CD∴四边形ACDB是平行四边形平行四边形的定义.∴AC=BD平行四边形的对边相等.【归纳】 如果两条直线互相平行则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等这个距离称为平行线之间的距离.[设计意图] 通过对平行四边形性质的简单应用引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的实例的应用深化对知识的理解.在引入平行线之间的距离的概念中先引入点到直线的距离再通过点到直线的距离来刻画平行线之间的距离.在应用平行四边形性质的同时深入知识、效果很好学生易于接受.[议一议]夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗结论:夹在两条平行线间的平行线段一定相等.[设计意图] 通过弱化前面问题中的条件提出一个新的问题这也是提出新问题的一种方法根据平行四边形的定义和性质可知夹在两条平行线间的平行线段一定相等.[做一做]如图所示以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形并说明你画图的方法和其中的道理.学生提出的方法可能是多种多样的教学时应让学生充分表达自己的方法及其依据.每种方法的依据只能是平行四边形的定义和平行四边形的判定定理.在此活动中教师应重点关注:1学生实验操作的准确性;2学生能否运用不同的判定方法对所画的图形进行说明;3学生使用几何语言的规范性和严谨性.[设计意图] 通过网格中画平行四边形并说理让学生进一步掌握平行四边形的判定定理. [过渡语] 我们一起利用平行四边形的判定定理来解决一些实际问题吧!
二、例题讲解教材例4已知:如图所示在▱ABCD中点MN分别在AD和BC上点EF在BD上且DM=BNDF=BE.求证:四边形MENF是平行四边形.〔解析〕 本例综合应用平行四边形的性质和判定定理.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC平行四边形的定义.∴∠MDF=∠NBE.∵DM=BNDF=BE∴△MDF≌△NBE.∴MF=NE∠MFD=∠NEB.∴∠MFE=∠NEF.∴MF∥EN.∴四边形MENF是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.[知识拓展] 区分两点间的距离、点到直线的距离和平行线之间的距离:
①都是指线段的长度;
②点到直线的距离和平行线之间的距离是垂线段的长度.如果两条直线互相平行则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等这个距离称为平行线之间的距离.夹在两条平行线间的平行线段一定相等.
1.如图所示直线l1∥l2ACF在l1上BDEG在l2上且AB∥CDCE⊥l2FG⊥l2则下列说法不正确的是 A.AB=CDB.AB两点之间的距离就是线段AB的长C.CE=FGD.直线l1l2的距离就是线段CD的长解析:四边形ABDC是平行四边形所以A对;由线段的长的定义可知AB两点之间的距离就是线段AB的长所以B对;因为CE⊥l2FG⊥l2l1∥l2所以CE=FG所以C对;由平行线之间的距离的定义直线l1l2的距离就是线段CE或FG的长所以D错误.故选D.
2.在▱ABCD中AD=16AB=20AB与CD之间的距离为8则AD与BC之间的距离为 . 解析:如图所示∵S▱ABCD=AB×DE=BC×DF∴20×8=16×DF∴DF=
10.故填
10.
3.如图所示已知直线m∥nAB为直线n上两点CP为直线m上两点.1请写出图中面积相等的三角形.答: . 2如果ABC为三个定点点P在m上移动那么无论P点移动到任何位置总有 与△ABC的面积相等理由是 . 答案:1△ABC和△ABP;△ACP和△BCP;△AOC和△BOP 2△ABP 同底等高的三角形面积相等
4.如图所示ABCD是长方形纸片翻折∠B∠D使BCAD恰好落在AC上.设FH分别是BD落在AC上的两点EG分别是折痕CEAG与ABCD的交点.求证:四边形AECG是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是长方形∴AB∥CDAD∥BC∴∠DAC=∠BCA.由折叠可知∠1=∠DAC∠2=∠BCA∴∠1=∠2∴AG∥CE又AE∥CG∴四边形AECG是平行四边形.第3课时
一、平行线之间的距离
二、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第147页随堂练习.【选做题】教材第148页习题
6.5的23题.
二、课后作业【基础巩固】
1.如图所示小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地一条边AB的长为8m则其他三边的长度BC= CD= AD= .
2.平行四边形不一定具有的性质是 A.对边平行B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分
3.如图所示已知▱ABCD的周长是28cmAC与BD交于点O△OAB的周长比△OBC的周长大4cm则AB= cmBC= cm.
4.如图所示在四边形ABCD中AD∥BC且ADBCBC=6cmPQ分别从AC同时出发P以1cm/s的速度由A向D运动Q以2cm/s的速度由C向B运动几秒后四边形ABQP是平行四边形
5.如图所示平行四边形ABCD中∠ABC=60°点EF分别在CDBC的延长线上AE∥BDEF⊥BF垂足为点FDF=
2.1求证:D是EC的中点;2求FC的长.【能力提升】
6.如图所示平行四边形ABCD的周长为36过D作ABBC边上的高DEDF且DE=4DF=5求平行四边形ABCD的面积.
7.如图1所示P为Rt△ABC所在平面内任意一点不在直线AC上∠ACB=90°M为AB边中点.操作:以PAPC为邻边作平行四边形PADC连接PM并延长到点E使ME=PM连接DE.1请猜想与线段DE有关的三个结论;2请你利用图2图3选择不同位置的点P按上述方法操作;3经历2之后如果你认为你写的结论是正确的请加以证明;如果你认为你写的结论是错误的请用图2或图3加以说明;注意:错误的结论只要你用反例给予说明也得分4若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”其他条件不变利用图4操作并写出与线段DE有关的结论直接写答案.【拓展探究】
8.如图所示▱ABCD中AF平分∠BAD交BC延长线于FDE⊥AF交AB于O交CB延长线于E.求证:BE=CF.
9.如图所示在平面直角坐标系中已知O为原点四边形ABCD为平行四边形ABC的坐标分别是A-3B-23C23点D在第一象限.1求D点的坐标;2将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少3求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积.【答案与解析】
1.10m 8m 10m解析:因为四边形ABCD是平行四边形所以AB=CDAD=BC.又因为AB=8m所以CD=8m.因为AB+BC+CD+DA=36m所以AD=BC=×36-8×2=×20=10m.
2.C
3.9 5解析:由▱ABCD的周长是28cm得AB+BC=14cm由△OAB的周长比△OBC的周长大4cm可得AB-BC=4cm联立方程组求解即可.
4.解:设经过x秒后AP=BQ则AP=xBQ=BC-CQ=6-2x所以x=6-2x所以x=
2.所以2秒后四边形ABQP是平行四边形.
5.1证明:在平行四边形ABCD中AB∥CD且AB=CD又∵AE∥BD∴四边形ABDE是平行四边形∴AB=DE∴CD=DE即D是EC的中点. 2解:∵EF⊥BF∴△EFC是直角三角形又∵D是EC的中点∴DF=CD=DE=2在平行四边形ABCD中AB∥CD∵∠ABC=60°∴∠ECF=∠ABC=60°∴△CDF是等边三角形∴FC=DF=
2.
6.解:设AB=x则BC=18-x由AB·DE=BC·DF得4x=518-x解得x=10所以平行四边形ABCD的面积S=10×4=
40.
7.解:1DE∥BCDE=BCDE⊥AC. 2如图23所示答案不唯一. 3如图2所示连接BEPBAE∵PM=MEAM=MB∴四边形PAEB是平行四边形.∴PA∥BEPA=BE∵四边形PADC是平行四边形∴PA∥DCPA=DC.∴BE∥DCBE=DC∴四边形DEBC是平行四边形.∴DE∥BCDE=BC.∵∠ACB=90°∴BC⊥AC∴DE⊥AC.4如图4所示DE∥BCDE=BC.
8.证明:在平行四边形ABCD中AD∥BC∴∠DAF=∠F又AF平分∠BAD∴∠DAF=∠BAF∴∠BAF=∠F∴AB=BF又AF平分∠BADDE⊥AF∴∠AOD=∠ADO又∠BOE=∠AOD=∠EDC∠ADO=∠E∴∠EDC=∠E∴CE=CD又AB=CD∴CE=BF∴BE=CF.
9.解:1由BC的坐标可知AD=BC=4则可得点D的横坐标为1点D的纵坐标与点A的纵坐标相等即点D的坐标为
1. 2依题意得A1B1C1D1的坐标分别为A1-3+0B-2+2C2+2D1+
0. 3如图所示平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积由题意可得GD=AD-AG=4-平行四边形DEFG的高为2-=∴重叠部分的面积为4-·=4-
2.本节课的设计通过对生活中实际情境的探究引出了平行线之间的距离的定义通过对平行四边形性质和判定方法的进一步理解典型例题的分析精选的随堂练习学生一定能够掌握平行四边形的性质和判定方法及应用它们解决实际生活中的问题.学生可能对平行线之间的距离处处相等不好理解怀疑它的正确性.利用画图和实例相结合的方法加以讲解和说明.随堂练习教材第147页解:∵四边形ABCD是平行四边形∴∠C=180°-∠ABC=180°-70°=110°.∵BE平分∠ABC所以∠EBC=∠ABC=35°.∵DF∥BE∴∠DFC=∠EBC=35°∴∠CDF=180°-110°-35°=35°.习题
6.5教材第148页
1.证明:连接AC∵AB∥CD∴∠BAC=∠DCA又∵∠B=∠DAC=CA∴△ABC≌△CDA∴AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形.
2.证明:在▱ABCD中DC∥ABDC=AB∵AE=CF∴DF=EB∴四边形DEBF是平行四边形.∴ME∥FNDE=BF∵MN分别为DE和BF的中点∴ME=FN∴四边形ENFM是平行四边形.
3.证明:在▱ABCD中ABCD∵AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形∴AF=CE又∵AB=CD∴BF=DE∴四边形BFDE是平行四边形∴FG∥HE又∵GE∥FH∴四边形EGFH是平行四边形∴EG=FH.
4.解:根据一组对边平行且相等可判定一个四边形是平行四边形进而确定对边的平行关系.
5.解:6个.如图所示. 如图所示四边形ABCD为平行四边形ACBD交于点O过点O任作直线分别交ADBC于EF.基本结论:1图中的全等三角形有 对. 2图中相等的线段有 对. 3与四边形ABFE周长相等的四边形是四边形 . 4过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分即S四边形ABFE= . 〔答案〕 16 27 3CDEF 4S四边形CDEF 如图所示在平面直角坐标系中四边形OABC为平行四边形A50C14过点P0-2的直线分别交OABC于MN且将平行四边形的面积分成相等的两部分求点MN的坐标.解:如图所示设ACOB交于点E则直线PN过点E易求B64E32作EF⊥OA于F则△OPM≌△FEM∴OM=MF=∴M0又易证BN=OM∴N.3 三角形的中位线
1.理解并能够说出三角形的中位线的定义.
2.理解并能够说出三角形中位线的性质定理能够证明这个定理且能够应用这个定理解决有关的问题.经历探索三角形中位线性质定理的证明过程体会转化的思想方法进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力.通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境激发学生学习数学的热情和兴趣;通过对三角形中位线的研究体验数学活动充满探索性和创造性.【重点】 三角形中位线的性质定理的理解和证明并能应用它解决有关的问题.【难点】 三角形中位线的性质定理的证明辅助线的添加方法及熟练应用.【教师准备】 演示课件.【学生准备】 复习旋转的意义和性质.导入一:如图所示AB两地被池塘隔开小明通过下面的方法估测出了AB间的距离:先在AB外选一点C然后步测出ACBC的中点MN并步测出MN的长由此他就知道了AB间的距离.你能说说其中的道理吗[设计意图] 通过教材中这个现实的生活情境引入三角形中位线的定义和性质.导入二:【情境创设】 怎样将一张三角形的硬纸片剪成两部分使分成的两部分能拼成一个平行四边形
1.剪一张三角形纸片记为△ABC;分别令ABAC的中点为DE连接DE;沿DE将△ABC剪成两部分并将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180度到△CFE的位置得四边形BCFD.
2.判别四边形BCFD是否为平行四边形并说明理由.[设计意图] 引导学生主动将三角形与平行四边形建立联系从而发现三角形中位线定理的证明思路.此活动既是对将要探究的三角形中位线性质的一个铺垫又渗透了转化的思想方法——将对三角形中位线性质的研究转化为对平行四边形性质的研究.
一、三角形中位线的定义和性质连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. [过渡语] 知道了三角形中位线的定义那么它具有什么性质呢方法一:度量.1画图:画△ABC及△ABC的中位线DE.DE分别在ABAC上2度量:用量角器测角度:∠ADE= ∠B= ;用直尺测长度:DE= BC= . 3结论:DE与BC的位置关系:DE BC;DE与BC的数量关系:DE BC. 4猜想:三角形的中位线与第三边的关系.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.方法二:旋转拼图.如图1所示先对折得到AB的中点DAC的中点E.过点D作DF⊥BC把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADH;同样过点E作EG⊥BC把△CEG绕点E逆时针旋转180°得到△AEM形成长方形HFGM.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.如图2所示先对折得到AB的中点DAC的中点E.过点D作DF∥AC把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADG形成平行四边形AGFC.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.方法三:几何证明.已知:如图1所示DE是△ABC的中位线.求证:DE∥BCDE=BC.证明:如图2所示延长DE到F使EF=DE连接CF.在△ADE和△CFE中∵AE=CE∠1=∠2DE=FE∴△ADE≌△CFE.∴∠A=∠ECFAD=CF.∴CF∥AB.∵BD=AD∴CF=BD.∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF∥BCDF=BC.∴DE∥BCDE=BC.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.[设计意图] 通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明由感性到理性使学生经历定理的探究过程积累数学活动的经验.
二、议一议顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形有什么特点学生容易发现:所得四边形是平行四边形.已知:如图所示在四边形ABCD中EFGH分别是ABBCCDDA的中点求证:四边形EFGH是平行四边形.证明的方法实际上并不难.证明思路是:作原四边形的一条对角线利用三角形中位线定理证明新四边形的一组对边平行且相等.已知四条线段的中点可设法应用三角形中位线定理找到四边形EFGH的边之间的关系.而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形所以连接AC或BD构造“三角形的中位线”的基本图形.[知识拓展] 三角形的中位线是证明线段、角相等的常用方法也是证明线段平行的常用方法在以后的学习中如果知道中点时经常用中位线定理来解答.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.顺次连接四边形各边的中点所成的四边形是平行四边形.
1.如图所示在△ABC中点DE分别是ABAC的中点∠A=50°∠ADE=60°则∠C的度数为 A.50°B.60°C.70°D.80°解析:在△ADE中利用三角形内角和定理求出∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°∵点DE分别是ABAC的中点∴DE是△ABC的中位线∴DE∥BC∴∠C=∠AED=70°.故选C.
2.已知△ABC的周长为50cmDEF分别为△ABC中ABBCAC边的中点且DE=8cm.EF=10cm则DF的长为 cm. 解析:由三角形中位线定理可知:AC=2DE=16cm.AB=2EF=20cm所以BC=50-16-20=14cm根据三角形中位线定理可得:DF=BC=7cm.故填
7.
3.如图所示已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上的点且CE=DC连接AE分别交BCBD于FG连接AC交BD于O连接OF求证:1AF=EF;2DE=4OF.证明:1如图所示连接BE易知CEAB∴四边形ABEC为平行四边形.∴AF=EF.2由1知BF=FC∵OA=OC∴OF为△ABC的中位线∴OF=AB∴DE=2AB=4OF.3 三角形的中位线
一、三角形中位线的定义和性质
二、议一议
一、教材作业【必做题】教材第152页随堂练习的12题.【选做题】教材第152页习题
6.6的234题.
二、课后作业【基础巩固】
1.如图所示在四边形ABCD中点E是BC的中点连接DE并延长交AB的延长线于点F且AB=BF添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是 A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE
2.如果三角形的两条边分别为4和6那么连接该三角形三边中点所得的三角形的周长可能是下列数据中的 A.6B.8C.10D.
123.xx·娄底中考如图所示▱ABCD的对角线ACBD交于点O点E是AD的中点△BCD的周长为18则△DEO的周长是 .
4.如图所示▱ABCD的对角线ACBD相交于点O点EF分别是线段AOBO的中点若AC+BD=24厘米△OAB的周长是18厘米则EF= 厘米. 【能力提升】
5.已知1个三角形的周长为a它的三条中位线组成第2个三角形其周长为 ;第2个三角形的三条中位线又组成第3个三角形其周长为 ;依次类推第xx个三角形的周长为 .
6.如图所示D是△ABC内一点BD⊥CDAD=6BD=4CD=3EFGH分别是ABACCDBD的中点则四边形EFGH的周长为 .
7.一个三角形的三边长分别是6cm8cm12cm它的三条中位线把它分成三个平行四边形则它们中周长最小是 cm. 【拓展探究】
8.如图所示在▱ABCD中EF∥AB交BC于点F交AD于点E连接AFBE交于点M连接CEDF交于点N连接MN.求证:MN∥ADMN=AD.
9.如图所示在△ABC中BCAC点D在BC上且DC=AC∠ACB的平分线CF交AD于点F点E是AB的中点连接EF.求证:EF∥BC.【答案与解析】
1.D解析:由∠F=∠CDE∠FEB=∠DECBE=EC可证得△BEF≌△CED∴DE=EF又AB=BF∴AD∥BE又由∠F=∠CDE可知AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形.
2.B解析:设原三角形的三边分别是abc令a=4b=6依据三角形三边关系得2c1012三角形的周长20连接各边中点所得的三角形周长是原三角形周长的一半故6中点三角形的周长
10.利用三角形三边关系确定原三角形的周长范围是解题的关键.
3.9解析:△DEO的周长是△BCD的周长的一半.
4.3解析:根据平行四边形对角线互相平分得OA+OB=AC+BD=12厘米又C△OAB=OA+OB+AB=18厘米则AB=6厘米∵点EF分别是线段AOBO的中点∴EF是△OAB的中位线∴EF=AB=3厘米.
5.a a a解析:第2个三角形的周长等于第1个三角形周长的一半为a;第3个三角形的周长为a;…;第xx个三角形的周长为a.
6.11解析:∵BD⊥CDBD=4CD=3∴BC===5∵EFGH分别是ABACCDBD的中点∴EH=FG=ADEF=GH=BC∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC又∵AD=6BC=5∴四边形EFGH的周长=6+5=
11.熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.
7.14解析:如图所示AB=6cmAC=8cmBC=12cmDFE分别为三角形各边中点三条中位线把它分成三个平行四边形则它们中周长最小的应该是▱ADEFAD=EF=3cmDE=AF=4cm其周长为2×3+2×4=14cm.
8.解析:要证明MN∥ADMN=AD只需要证明MN为△ADF的中位线即可.证明:在▱ABCD中AB∥CDAD∥BC.∵EF∥AB∴AB∥EF∥CD∴四边形ABFE和四边形EFCD均为平行四边形∴AM=MFFN=ND∴MN∥ADMN=AD.
9.解析:由等腰三角形“三线合一”的性质得点F为AD的中点又点E为AB的中点所以EF为△ABD的中位线.证明:∵CF平分∠ACBDC=AC∴CF是△ACD的中线∴点F是AD的中点.∵点E是AB的中点∴EF∥BD即EF∥BC.本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线开展教学活动.在三角形中位线定理的探究过程中学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中位线的性质然后师生利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性再引导学生尝试构造平行四边形进行证明.通过知识的形成过程使学生体会探究数学问题的基本方法;通过定理的探究与证明培养了学生分析问题和解决问题的能力提升了学生的思维品质.课堂时间有限练习不够充分.三角形中位线的性质定理是一个很重要的定理对很多问题的解决很有帮助在课堂上多设计典型的题目提高学生的思维和对三角形的中位线的性质定理的应用意识.随堂练习教材第152页
1.解:周长等于8+10+12=15cm.
2.提示:MN是△ABC的中位线AB=2MN.习题
6.6教材第152页
1.证明:∵DEF分别为BCACAB的中点∴DE=AB=BFDF=AC=EC∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+AE+EC=AB+AC.
2.已知:如图所示在△ABC中中位线EF与中线AD相交于点O.求证:AD与EF互相平分.证明:如图所示连接DEDF∵点DE分别是BCAB的中点∴DE∥AC同理得DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴AD与EF互相平分.
3.解:四边形EGFH是平行四边形.证明如下:∵点EFGH分别是线段ABCDACBD的中点∴EG∥BCHF∥BCGF∥ADEH∥AD∴GE∥HFGF∥EH∴四边形EGFH是平行四边形.
4.解:取△CMN的边CM和CN的中点EF量出线段EF的长度即可求出MN的长度因为线段EF是△CMN的中位线所以MN=2EF可求出AB间的距离AB=4EF.三角形中位线定理的引入:三角形中位线定理的引入可以用开放式的方法课前让学生准备一个任意三角形.问题:把三角形剪一刀然后把它重新拼成一个平行四边形!你能用什么办法解决这个问题学生一般都会从中位线处剪切把原三角形剪切成一个三角形和一个梯形.然后把三角形旋转180°与原来的梯形拼成一个平行四边形.说明:本过程学生基本都能通过思考解决但教师要注重学生表达自己思路形成的过程同时要求学生说明这样做的道理.这个过程既可以为中位线性质的证明做好准备又可以让学生形象地接受中位线的定理而不显得唐突. 如图1所示在四边形ABCD中AB=CDEF分别是BCAD的中点连接EF并延长分别与BACD的延长线交于点MN则∠BME=∠CNE不需证明.小明的思路是:在图1中连接BD取BD的中点H连接HEHF根据三角形中位线定理和平行线性质可证得∠BME=∠CNE.问题:如图2所示在△ABC中ACABD点在AC上AB=CDEF分别是BCAD的中点连接EF并延长与BA的延长线交于点G若∠EFC=60°连接GD判断△AGD的形状并证明.解:判断△AGD是直角三角形.证明如下:如图2所示连接BD取BD的中点H连接HFHE∵F是AD的中点∴HF∥ABHF=AB∴∠1=∠3同理HE∥CDHE=CD∴∠2=∠EFC∵AB=CD∴HF=HE∴∠1=∠2∵∠EFC=60°∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°∴△AGF为等边三角形∴AF=GF∴GF=FD∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=180°-60°-30°=90°即△AGD是直角三角形.[解题策略] 本题考查了三角形的中位线定理解答本题的关键是参考题目给出的思路作出辅助线.连接BD取BD的中点H连接HFHE则HF是△ABD的中位线HE是△BDC的中位线从而判断HE=HF从而得出∠1=∠2判断△AGF为等边三角形求出∠FGD=∠FDG=30°后即可得出结论.4 多边形的内角和与外角和
1.掌握多边形内角和定理进一步了解转化的数学思想.
2.掌握多边形的外角和都等于360°.
3.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关问题.经历质疑、猜想、归纳等活动发展学生的合情推理能力积累数学活动的经验在探索中学会与人合作学会交流自己的思想和方法.让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感在解题中感受生活中数学的存在体验数学充满着探索和创造.【重点】 多边形内角和、外角和定理的探索和应用.【难点】 多边形内角和公式的推导;转化的数学思想方法的渗透.第课时
1.理解并能够说出多边形的内角和定理且能够证明它.
2.能够应用多边形的内角和定理解决有关的问题.经历多边形的内角和定理的探究过程进一步体会转化的数学思想.体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感.【重点】 多边形内角和定理的探索和应用它解决有关的问题.【难点】 在定理的推导和定理的应用中对数学转化思想的体验和吸收.【教师准备】 演示课件.【学生准备】 量角器. [过渡语] 数学学习中离不开对图形的研究前面我们研究了三角形及平行四边形那么还有边数更多的图形吗导入一:
1.前面我们研究了平行四边形的性质和判定上一节又研究了三角形的中位线定理现在请同学们回忆一下三角形的内角和是多少度
2.四边形的内角和呢四边形的内角和是怎么得到的
3.下图中广场中心的边缘是一个五边形你能设法求出它的五个内角的和吗与同伴交流.[设计意图] 通过问题暗示学生探求多边形内角和的基本方法和基本思路.导入二:
1.三角形是如何定义的
2.仿照三角形的定义你能学着给四边形、五边形…n边形下定义吗[设计意图] 对概念的分析和归纳培养学生的口头表达能力和语言组织能力同时渗透类比思想. [过渡语] 我们已经知道了三角形的内角和是180°那么四边形的内角和是多少度呢你知道吗五边形呢
一、多边形的内角和思路一
1.三角形的内角和是多少度你是怎么得出的
①用量角器度量:分别测量出三角形三个内角的度数再求和.
②拼角:将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起可组成一个平角.[设计意图] 学生分组利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和为四边形内角和的探索奠定基础.
2.四边形的内角和是多少你又是怎样得出的
①度量;
②拼角;
③将四边形转化成三角形求内角和.[设计意图] 学生先通过度量、拼角两种方法猜想得出四边形的内角和是360°然后引导学生利用分割的方法将四边形分割成两个三角形来得到四边形的内角和进一步渗透类比、转化的数学思想.
3.在四边形内角和的探索过程中用到了几种方法你认为哪种方法好请讲述你的理由.度量法:不精确;拼角法:操作不方便;当多边形边数n较大时度量法、拼角法都不可取.第三种方法:精确、省事且有理论根据.[设计意图] 通过几种方法的展示比较几种方法的优劣为五边形内角和的探索提供最简捷的方法.
4.根据四边形的内角和的求法你能否求出五边形的内角和呢学生动手实践小组讨论、交流寻找解答方法并共同进行归纳总结.估计学生可能有以下几种方法:方法1:如图1所示连接ADAC五边形的内角和为:3×180°=540°.方法2:如图2所示连接AC则五边形的内角和为:360°+180°=540°.方法3:如图3所示在AB上任取一点F连接FCFDFE则五边形的内角和为:4×180°-180°=540°.方法4:如图4所示在五边形内任取一点O连接OAOBOCODOE则五边形的内角和为:5×180°-360°=540°.方法5:如图5所示在AB上任取一点F连接FD则五边形的内角和为:2×360°-180°=540°.方法6:如图6所示在五边形外任取一点O连接OAOBOCODOE则五边形的内角和为:4×180°-180°=540°.小结:纵观以上各种解题思路其共同点是通过图形分割把五边形问题转化为熟悉的三角形、四边形问题来解决.[设计意图] 在课堂上应该留给学生充足的时间讨论、交流寻求多种不同的分割方法来得出五边形的内角和.这既符合新课程教学理念又符合学生的认知规律和年龄特征同时渗透转化思想.
5.小组合作完成下面的表格.n边形图形从一个顶点引出的对角线条数分割成的三角形个数多边形的内角和三角形n=301180°四边形n=412360°五边形n=523540°六边形n=634720°……………n边形n-3n-2n-2·180° 课件出示讨论结果
6.从表格中你发现了什么规律从n边形的一个顶点可以引出n-3条对角线把n边形分成n-2个三角形.从而得出:n边形的内角和等于n-2·180°.[设计意图] 在数学学习中培养学生善于总结规律是培养数学能力的一项重要内容这样不仅使学生把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系而且进一步理解了多边形的内角和公式中的n-2的来历更有利于培养学生善于归纳、总结的数学习惯和能力.思路二【活动1】 如何把四边形的内角和转化为三角形的内角和你是怎样实现的你能找到几种方法学生思考并分组交流讨论教师深入小组参与活动指导、倾听学生交流.方法1:如图1所示2×180°=360°;方法2:如图2所示3×180°-180°=360°;方法3:如图3所示4×180°-360°=360°;方法4:如图4所示3×180°-180°=360°.[设计意图] 从简单的四边形入手让学生亲自操作寻求结论引起学习兴趣鼓励学生找到多种方法让学生体会多种分割形式有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性.通过小组讨论让学生各抒己见培养学生有条理地思考与表达的能力鼓励学生学会倾听、分析与思考他人的见解形成合作探究的精神.【活动2】 请你选择其中一种方法探索五边形、六边形、七边形……的内角和并完成下表:多边形内角和计算规律三角形180°1×180°四边形360°2×180°五边形540°3×180°六边形720°4×180°七边形900°5×180°………n边形n-2×180°n-2×180° 归纳、得出多边形的内角和定理:n边形的内角和等于n-2·180°.[设计意图] 通过对四边形内角和的思考研究逐步拓展到五边形、六边形、七边形……的内角和的探索从而通过归纳总结得到多边形的内角和公式并且对多边形的相关知识加以拓展.通过逐步增加图形复杂性的设计再一次经历转化的过程加深对转化的思想方法的理解并体会由简单到复杂、由特殊到一般的思想方法.[知识拓展] 1多边形每增加一条边内角和增加180°;2多边形的内角和一定是180°的倍数;3多边形的边数越多内角和越大.
二、正多边形1想一想:观察图中的多边形它们的边、角有什么特点正多边形的定义:在平面内每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形.[设计意图] 学生分组动手实践通过度量和叠合感知正多边形的特征每个角都相等每条边都相等从而使得正多边形的定义的得出水到渠成.2议一议:
①一个多边形的边都相等它的内角一定都相等吗
②一个多边形的内角都相等它的边一定都相等吗[设计意图] 通过辨析进一步理解正多边形的定义.3练一练:
①正三角形、正四边形正方形、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度
②正n边形的内角是多少度
③一个正多边形的一个内角是150°求它的边数.[生]
①正三角形的内角为=60°.正四边形正方形的内角为=90°.正五边形的内角为=108°.正六边形的内角为=120°.正八边形的内角为=135°.
②正n边形的内角是.
③=150°解得n=12所以这个多边形的边数为
12.[设计意图] 本组练习的设计不仅巩固了多边形内角和公式的应用还进一步理解了正多边形的定义.4议一议:剪掉一张长方形纸片的一个角后纸片还剩几个角这个多边形的内角和是多少度与同伴交流.剪的位置不同剩下的多边形的形状也不同多边形的内角和也不同需分类讨论.
①纸片剩下5个角时得到的五边形的内角和为5-2×180°=540°.
②纸片剩下4个角时得到的四边形的内角和为4-2×180°=360°.
③纸片剩下3个角时得到的三角形的内角和为180°.[设计意图] 引导学生在探究实践的过程中真正理解和掌握数学的知识、技能和思想方法增强空间观念及数学思考能力的培养并获得数学活动经验. [过渡语] 这就是我们本课要学习的重要内容请同学们理解并熟记.下面我们一起练一练吧!
三、例题讲解教材例1如图所示在四边形ABCD中∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系〔解析〕 本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题.解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=4-2×180°=360°∴∠B+∠D=360°-∠A+∠C=360°-180°=180°.这就是说如果四边形的一组对角互补那么另一组对角也互补.[设计意图] 处理例题时要让学生充分参与分析鼓励学生主动地表达和交流在交流中发展合乎逻辑的思考和有条理的表达能力.[知识拓展] 多边形内角和定理的补充证法:多边形内角和定理:n边形的内角和等于n-2·180°.研究多边形内角和定理的多种证法便于培养学生的创造性思维以及独立探索精神.该定理在初中教材上有两种证明方法笔者还有几种证法现介绍给大家以飨读者.证法一:在多边形外取一点P与多边形各顶点相连接这样点P与各顶点构成n个三角形.选择适当的P点使得其中仅有两个三角形在多边形外部如图1所示.则n边形的内角和等于用n个三角形内角和n·180°减去△PA4A5△PA4A3两个三角形内角之和360°结果是n-2·180°.证法二:如果没有两条边相互平行则过A3A4A5…An分别作A1A2的平行线如图2所示.则可得到n-3对同旁内角如图中∠A1与∠1∠A2与∠2∠3与∠4等;还有两对内错角如图所示的∠6与∠5∠7与∠
8.因此n边形的内角和等于n-3对同旁内角加上一个平角即n-2·180°.如果有两条边相互平行不妨设AmAm+1∥A2A3以A6A7∥A2A3为例画图则过除A2A3A6A7外的各顶点分别作A2A3的平行线如图3所示.则图中共有n-2对同旁内角如∠A2与∠1∠2与∠A3∠5与∠6等.也可得到n边形的内角和为n-2·180°.n边形的内角和等于n-2·180°.正n边形的内角是.四边形的一组对角互补那么另一组对角也互补.
1.一个多边形的内角和是720°这个多边形的边数是 A.4B.5C.6D.7解析:n-2·180°=720°解得n=
6.故选C.
2.若一个多边形增加一条边那么它的内角和 A.增加180°B.增加360°C.减少360°D.不变解析:n-2+1·180°-n-2·180°=180°.故选A.
3.一个多边形的内角和为1440°则它是 边形. 解析:n-2·180°=1440°解得n=
10.故填十.
4.已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5求这五个内角中的最大角和最小角.解析:设这五个内角的度数分别为13x°11x°9x°7x°5x°再根据五边形的内角和为5-2×180°=540°列方程求解.解:设这五个内角的度数分别为13x°11x°9x°7x°5x°.∵五边形的内角和为5-2×180°=540°∴13x+11x+9x+7x+5x=
540.解得x=
12.∴最大角为13x°=156°最小角为5x°=60°.第1课时
一、多边形的内角和
二、正多边形
三、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第154页随堂练习.【选做题】教材第155页习题
6.7的23题.
二、课后作业【基础巩固】
1.若一个多边形的边数为8则这个多边形的内角和是 A.900°B.540°C.1080°D.360°
2.多边形每一个内角都等于150°则该多边形的边数是 A.10B.11C.12D.13【能力提升】
3.求下列图形中x的值.
4.求如图所示中x的值.【拓展探究】
5.m边形与n边形内角和的差为720°则m与n的差为 A.2B.3C.4D.
56.已知甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍而从甲多边形一个顶点出发所引对角线的条数与从乙多边形一个顶点出发所引对角线的条数的比是7∶3那么甲是 边形乙是 边形. 【答案与解析】
1.C解析:8-2·180°=1080°.
2.C解析:=150°解得n=
12.
3.解:左图x=65右图x=
120.
4.解:x=360-140-90÷2=
65.
5.C解析:720°÷180°=
4.
6.十 六解析:设甲多边形的边数为x乙多边形的边数为y.依题意有:x-3∶y-3=7∶3即3x-7y+12=
0.又∵甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍∴x-2·180°=2y-2·180°即x-2y+2=
0.由前面两个方程组成方程组解得x=10y=
6.∴甲是十边形乙是六边形.这节课师生教与学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上教师充分激发学生的学习兴趣和积极性向学生提供了从事数学活动的机会构建了学生自主探究、合作实践与交流的平台;教师较好地引导学生在探究实践的过程中真正理解和掌握数学的知识、技能和思想方法增强空间观念及数学思考能力的培养并获得数学活动经验.这节课留给学生探究思考与交流的时间不足展示交流的机会不够充分有的同学没有表现的机会.关注各个层面的学生的需要提供更多的机会让每个学生都能得到发挥.本课时的知识类比性和迁移性较强注重设置一些开放性和规律探索性的习题.随堂练习教材第154页解:小彬的计算不正确.由=145°不能得到n的整数值所以不正确.习题
6.7教材第155页
1.解:七边形.内角和为7-2×180°=900°.
2.解:设边数为xx-2×180°=1080°解得x=8所以它是八边形.
3.解:六边形.由图形可知正多边形每个内角都是120°设边数为n则有=120°解得n=
6.
4.解:答案不唯一.如:取四边形的纸片分别撕下每个内角将它们的顶点拼在一起四个内角不重叠即可得到一个周角. 用4个全等的正八边形进行拼接使相邻的两个正八边形有一条公共边围成一圈后中间形成一个正方形如图1所示;用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接如图2所示若围成一圈后中间形成一个正n边形则n的值为 . 〔解析〕 正六边形每个内角的度数为=120°图2中两个正六边形在同一顶点处的两个角的和为240°这表明中间正多边形的内角度数为360°-240°=120°所以这个正多边形也是正六边形.故填
6. 一个多边形截去一个角后形成另一个多边形的内角和为720°那么原多边形的边数为 A.5B.5或6C.5或7D.5或6或7错解:A错因分析:忽略了分类讨论.正解:D思路分析:截去一个角后形成的多边形的边数为n=+2=6画图可知原多边形的边数可能是5或6或
7.第课时
1.理解并能够说出多边形的外角和定理且能够证明它.
2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题.经历多边形的外角和定理的探究过程进一步体会转化的数学思想.在解题中感受生活中数学的妙处体验数学的探索性和创造性.【重点】 多边形外角和定理的探索和应用它解决有关的问题.【难点】 在定理的推导和定理的应用中对数学转化思想的体验和吸收.【教师准备】 演示课件.【学生准备】 量角器.导入一: [过渡语] 上一节我们研究了多边形的内角和我们重点研究了多边形的内角和定理及它的应用多边形内角和定理是怎么说的
1.上一节我们又是怎样研究得到的这个定理对于正多边形我们还可以求出它的每一个内角怎么来求学生甲:n边形的内角和等于n-2·180°.学生乙:是通过转化为三角形再求这些三角形的内角和的和而得到的.学生丙:正n边形的每一个内角的度数是.[设计意图] 多边形的外角和是在多边形内角和基础上推导出来的所以复习整理多边形内角和知识是很必要的.导入二: [过渡语] 上节课我们探究了多边形的内角和公式请完成以下题目.多媒体演示如图所示清晨小刚沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.1小刚每从一条小路转到下一条小路时跑步方向改变的角是哪个角在图上标出这些角.2他每跑完一圈跑步方向改变的角一共有几个它们的和是多少3如图所示你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的结果吗你是怎样得到的实际上以上问题中的∠1∠2∠3∠4∠5是这个五边形的外角它们的和就是这个五边形的外角和这也是我们今天所要研究的——多边形的外角和.[设计意图] 利用生活情境设计问题激发学生的兴趣和积极性同时给学生一定的思考空间. [过渡语] 利用所学的知识你能完成下面的问题吗
一、多边形的外角和思路一对于上述的问题如果学生能给出一些合理的解释和解答例如利用内角和可以按照学生的思路走下去.然后再给出“小刚的做法”或以“小刚的做法”为提示鼓励学生思考.如果学生对于这个问题无法突破教师可以给出“小刚的做法”或引导学生按“小刚的做法”这样的思路去思考以便解决这个问题.小明是这样思考的:如图所示过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OAOBOCODOE得到∠α∠β∠γ∠δ∠θ其中∠α=∠1∠β=∠2∠γ=∠3∠δ=∠4∠θ=∠
5.这样∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.小刚是这样思考的:如图所示跑步方向改变的角分别是∠1∠2∠3∠4∠
5.∵∠1+∠EAB=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BCD=180°∠4+∠CDE=180°∠5+∠DEA=180°∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.∵五边形的内角和为5-2×180°=540°即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.问题引申:
1.如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗
2.如果广场的形状是八边形呢总结得出:多边形的外角和都等于360°.[设计意图] 通过问题的解决和延伸引发学生自主思考由特殊到一般培养学生解决问题的逻辑思维能力也为多边形外角和的得出做好铺垫.思路二
1.给出定义.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角它们的和叫做这个多边形的外角和.
2.探究多边形的外角和.探究多边形的外角和提出一般性的问题:一个任意的n边形它的外角和是多少鼓励学生用多种方法解决这个问题可以参考解决特殊问题的方法去解决这个一般性的问题.方法1:类似探究多边形的内角和的方法由三角形、四边形、五边形……的外角和开始探究.多边形三角形四边形五边形六边形…图形…外角和… 方法2:由n边形的内角和等于n-2·180°出发探究问题.结论:多边形的外角和都等于360°.追问:1还有什么方法可以推导出多边形外角和定理2利用多边形外角和的结论能否推导出多边形内角和的结论 [过渡语] 如何利用多边形的外角和知识解决实际问题呢
二、例题讲解教材例2一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍它是几边形〔解析〕 这是多边形外角和定理的简单应用.解:设这个多边形是n边形则它的内角和为n-2·180°外角和为360°.根据题意得n-2·180°=3×360°.解得n=
8.所以这个多边形是八边形.[知识拓展] 由三角形内角和推广到多边形内角和并且用于解决问题十分重要n边形内角和等于n-2个平角即n-2·180°边数增加内角和也增加边数减少内角和也减少边数每增加减少1内角和就增加减少180°.n边形外角和等于360°与边数无关它有鲜明的直观意义设想一辆汽车在多边形的边界上绕圈子如图所示每经过一个顶点前进的方向就要改变一次改变的角度恰好是这个顶点处的外角绕了一圈回到原处方向与当初出发时一致了角度的改变量之和当然是360°.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形的外角和都等于360°.
1.一个多边形的内角和与外角和之和为2520°则这个多边形的边数为 A.12B.13C.14D.15解析:n-2·180°+360°=2520°解得n=
14.故选C.
2.在一个多边形的每一个顶点处取一个外角这些外角中最多有钝角 A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由外角和为360°可得最多有3个钝角.故选C.
3.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半那么这个多边形是 A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形解析:n-2·180°=360°×解得n=
3.故选D.
4.一个多边形中每个内角都相等并且每个外角都等于它的相邻内角的求这个多边形的边数及内角和.解:设这个多边形的边数为n.则=×4解得n=
10.内角和:n-2·180°=1440°.即这个多边形的边数为10内角和为1440°.第2课时
一、多边形的外角和
二、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第156页随堂练习.【选做题】教材第157页习题
6.8的23题.
二、课后作业【基础巩固】
1.若一个正多边形的一个外角是40°则这个正多边形的边数是 A.十B.九C.八D.六
2.各内角都相等的多边形它的一个内角与一个外角的比是3∶2则它是 A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形
3.正n边形的一个外角的度数为60°则n的值为 .
4.如图所示∠1∠2∠3∠4是五边形ABCDE的4个外角若∠A=120°则∠1+∠2+∠3+∠4= . 【能力提升】
5.一个多边形的内角和是外角和的2倍则这个多边形是 A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形
6.一个多边形的每个外角都是45°求这个多边形的边数.
7.一个正多边形的一个内角是135°求这个多边形的边数.
8.一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角大36°求这个正多边形的边数.【拓展探究】
9.在五边形的五个内角中最多能有几个钝角最多能有几个锐角
10.如图所示求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.【答案与解析】
1.B解析:多边形的外角和为360°则360°÷40°=9可知此多边形的边数为九.
2.B解析:设它的一个内角与一个外角分别为3x和2x则3x+2x=180°所以x=36°所以360°÷72°=
5.
3.6解析:360°÷60°=
6.
4.300°解析:∠A=120°则与∠A相邻的外角为60°由外角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4=360°-60°=300°.
5.C解析:n-2·180°=360°×2解得n=
6.
6.解:360°÷45°=8即这个多边形的边数为
8.
7.解:=135°解得n=
8.即这个多边形的边数为
8.
8.解:设外角为x°则内角为x°+36°x+36+x=180所以x=72360°÷72°=
5.即这个正多边形的边数为
5.
9.解:五边形的五个内角都可以是钝角但最多能有3个锐角否则和内角和定理矛盾.
10.解:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2×180°=360°.本节课的设计突出对多边形的外角和定理的探究与推导过程探究过程既有类比前一节课的方法又有承接多边形内角和的新方法;既是新知识的学习过程又是旧知识的拓展过程.相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要求.由于本节课的内容比较单一学生掌握不错但是课堂的题目偏少缺少必要的综合题.可以考虑增加一些课堂中的习题量以帮助学生巩固新知识.随堂练习教材第156页解:由题意得n-2·180°=360°×2解得n=
6.若每个内角都相等则它们都等于720°÷6=120°.习题
6.8教材第157页
1.提示:四边形它的每个外角都为90°.
2.解:存在为正十二边形.理由如下:如果存在这样的多边形设它的一个内角的度数为x则相邻外角的度数为xx+x=180°解得x=150°符合题意x=30°360°÷30°=12这个多边形是正十二边形.
3.解:内角和相差180°外角和相等.
4.解:1略. 2在缩小的过程中四边形对应的各个外角的大小没有发生变化. 3最终图形可以看成是由同一点出发的四条射线.显然此时四个外角的和为360°而在变化的过程中四边形的各个外角大小不变因此可以说明四边形的外角和等于360°. 4类似地同样可以说明一般多边形的外角和.
5.解:设四边形的四个内角的度数分别为α°β°γ°δ°则α+β+γ+δ=360αβγδ的值最多可以有三个大于90否则若αβγδ都大于90则α+β+γ+δ360与四边形内角和矛盾;同理最多也只能有三个小于
90.答:最多能有三个钝角;最多能有三个锐角.复习题教材第158页
1.解:设BC=x由题意得×2x+6=x解得x=8所以BC=
8.
2.解:∵∠A=30°∠B=150°∴AD∥CB.同理AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB=
2.
3.解:共9个分别为:▱ABCD▱AEOG▱DFOG▱BEOH▱FCHO▱AEFD▱BEFC▱AGHB▱DGHC.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABE=∠CDFAB=CD.∵AE⊥BDCF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=90°.∴△ABE≌△CDFAAS∴∠BAE=∠DCF.
5.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴ADBC.∵CE=BC∴ADCE∴四边形ACED是平行四边形.
6.解:AB=CD.理由如下:∵AB∥CDAD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD.
7.解:如图所示作AE⊥BC垂足为点E.在Rt△AEB中∠B=30°∴AE=AB=2cm.∴▱ABCD的面积=2×9=18cm
2.
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABP=∠CDQAB=CD.又∵BP=DQ∴△ABP≌△CDQSAS∴AP=CQ∠APB=∠CQD∴∠APQ=∠CQP∴APCQ.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥CB∴∠AEB=∠CBE∵BE是∠ABC的平分线∴∠ABE=∠CBE∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE.同理CD=DF.∵AB=CD∴AE=DF∴AF=DE.
11.提示:周长为a+b+c.
12.解:边数3456…多边形的内角和180°360°540°720°…正多边形内角的度数60°90°108°120°…
13.解:这个多边形是九边形.
14.解:图中的白色缝隙所形成的图形的轮廓是正方形.
15.证明:如图所示连接AC∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥CB∵AE∥FC∴四边形AECF是平行四边形∴点O为ACEF中点∵四边形ABCD是平行四边形∴点O为ACBD中点∴EF经过点O.
16.证明:∵∠ADB=∠CBD∴AD∥BC∴∠DAC=∠ACB又∵DE⊥ACBF⊥AC∴∠DEA=∠BFC=90°∵DE=BF∴△AED≌CFBAAS∴AD=BC∵AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形.
17.解:相等.证明如下:∵DE为△ABC的中位线∴DE∥BC且DE=BC又∵FG∥AB∴四边形BDEF为平行四边形∴DE=BF∴DE=BF=FC.
18.解:平行四边形共6个分别为:▱ABOF▱AOEF▱ABCO▱BCDO▱EDCO▱FEDO.如▱ABOF证明如下:∵△ABO和△OFA是等边三角形∴∠BOA=∠FAO=60°∠BAO=∠FOA=60°∴AF∥BO∴AB∥FO.∴四边形ABOF是平行四边形.
19.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AE∥FC.∵AC∥EF∴四边形AEFC是平行四边形∴AC=EF.同理AC=GH∴EF=GH.
20.解:
①②③⑤可以组成平行四边形理由如下:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
21.提示:1AD=6cm. 2重叠部分的面积为cm
2.
22.提示:连接ACBD分别过点ABCD作对角线BDAC的平行线所作四条线围成的四边形即为满足条件的平行四边形.总复习教材第166页
1.解:∵在△ABA1中∠B=20°AB=A1B∴∠BA1A===80°∵A1A2=A1C∠BA1A是△A1A2C的外角∴∠CA2A1===40°;同理可得∠DA3A2=20°∴∠A4==10°.
2.解:由∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3可得∠A=30°∠B=60°∠C=90°由BC=4得AB=8在Rt△ABC中由勾股定理得AC==4所以S△ABC=×4×4=
8.
3.证明:由已知条件可得∠BEO=∠CDO=90°OE=OD∵∠EOB=∠DOC∴△OEB≌△ODCASA∴OB=OC.
4.解:∵DE是△ABC的AB边的垂直平分线∴BE=AE∵∠B=30°∴∠B=∠BAE=30°∵AE平分∠BAC∴∠BAC=2∠BAE=60°∴∠C=180°-∠B-∠BAC=90°.
5.提示:1x
5. 2x-
6. 3x
0. 4x
3. 5x
1. 6x≥-. 7x≥-
2. 8x≥-
100.数轴表示略.
6.提示:1无解. 2x
4. 3-1x-. 4x-
1. 50x
1. 6x≤
1.
7.解:1Rt△ABC绕直角顶点C按逆时针方向连续旋转三次每次旋转90°的结果如图所示. 2把所得的所有三角形看成一个图形将得到一个“风车”图案.
8.提示:1描点作图略.它像四角星它既是轴对称图形又是中心对称图形. 2得到的图形与1中图形关于纵轴对称. 3得到的图形与1中图形关于坐标原点对称. 4得到的图形是1中图形向左平移2个单位长度再向下平移1个单位长度后的图形.
9.提示:1对应点:-11和65-22和56-6-2和12横坐标相差7纵坐标相差
4. 2-54和-5-4-14和-1-431和3-1横坐标相同纵坐标互为相反数.
10.解:1xx-y2y-x.
21.4b+a
1.4b-a. 3x-6y
2.
4. 5a-4b
2.
11.提示:1a+b2a-b
2.
2.
12.提示:12a-
42. 2x-y-
12.
13.解:x+y=
0.2
① x+3y=1
②
①+
②得2x+4y=
1.2所以x+2y=
0.6原式=3x2+4xy+4y2=3x+2y2=
1.
08.
14.解:1原式=当x=3时原式=
0. 2原式=当x=5时原式=
5.
15.提示:1x=
0. 2无解. 3x=
2.
16.已知:四边形ABCD∠A=∠C∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:∵∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴2∠A+2∠B=360°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形.
17.解:BE=CF.理由如下:∵l1∥l2AE∥DF∴四边形AEFD是平行四边形∴AD=EF易证得四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC∴EF=BC∴BE=CF.
18.证明:在▱ABCD中ADBC∴∠A+∠B=180°∵AB=2ADM为AB的中点∴AM=MB=AD=BC在△DAM中∠DMA=同理在△CMB中∠CMB=∴∠DMA+∠CMB=+=180°-∠A+∠B=180°-×180°=90°∴∠DMC=90°即DM⊥MC.
19.提示:对应点的坐标分别为B55C74D95M
75.
20.解:存在△CBE≌△CDF△CBE绕着点C顺时针旋转90°可得到△CDF.
21.提示:1四个部分都是圆形状相同大小相等. 2形状相同大小相等这四部分组成了一个旋转对称图形它们可以看成一个图形绕点O依次旋转90°而相互得到的.
22.解:1答案不唯一如图所示. 2“分割线”都经过方格纸的中心中间那个小正方形的中心这些“分割线”将原图形分成的两部分关于方格纸的中心对称.
23.证明:原式=n+7+n-5n+7-n+5=122n+2=24n+1∴n+72-n-52能被24整除.
24.解:有2个如图所示点C1C2就是所求的点.
25.解:∵△DCE由△ABC平移而成∴△ABC平移的距离为BC=2且BE=2BC=4DE=AC=2∠E=∠ACB=60°∴DE=BE∴BD⊥DE∴△BED是直角三角形∵BE=4DE=2∴BD==
2.
26.解:设该种植物种在距山脚xm的部分比较适宜根据题意得16≤22-×
0.55≤20解得≤x≤.所以植物种在山的m和m之间为宜.
27.解:共有4组:012;123;234;
345.
28.解:设团体人数为x人时甲、乙两家旅行社的收费一样.列方程得100×4+50x-4=100×x解得x=
8.取x=10甲旅行社收费700元乙旅行社收费750元即甲更优惠;取x=4甲旅行社收费400元乙旅行社收费300元即乙更优惠.所以当团体人数大于8人时甲旅行社收费更优惠;当团体人数等于8人时两家旅行社的收费一样;当团体人数小于8人时乙旅行社收费更优惠.
29.解:100a+t-8=270-3a整理得100t=1070-103a.当a=10时100t=1070-103×10=40解得t=
0.
4.所以政府补贴至少应为
0.4元/kg.
30.解:1设租用x辆45座的客车依题意得45x=60x-1-30解得x=
6.所以该校参加春游的人数为270人. 2设租用y辆45座的客车依题意得解不等式组得2≤y.∵y为正整数∴y=
2.所以该校租用2辆45座的客车3辆60座的客车.则2×250+3×300=1400元.所以按这种方案需要租金1400元.
31.解:1得到“A”字形图. 2所得到的图形是由1中图形以原点为旋转中心按逆时针方向旋转90°得到的. 3所得到的图形由1中图形以原点为旋转中心按顺时针方向旋转90°得到的.
32.1图略. 2新“鱼”各“顶点”坐标:-32-8-2-62-81-83-62-74-
32.
33.解:所得图形与原图形关于原点对称.
35.解:当d=
0.22mmC=80cm时y==≈
579.所以该地发生地震的大致年代为1403年.
36.解:960÷+40==天.所以实际天完成了任务.
37.解:由题意得-=吨.所以每天应节约用煤吨.
38.解:设C检工作量为m原计划x天完成C检.由题意得1+30%=解得x=.经检验x=是所列方程的解.所以原计划约22天完成C检.
39.解:a+b+c2=3a2+b2+c2整理得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc-3a2-3b2-3c2=0即2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0则a-b2+a-c2+b-c2=
0.所以a=ba=cb=c即a=b=c.所以这个三角形是等边三角形.
40.1证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∵AM=ABCN=CD∴AM=CN又∵AM∥CN∴四边形AMCN是平行四边形. 23两题中四边形AMCN是平行四边形证明方法同
1.
41.解:1假命题.其逆命题:相邻两个角都相等的四边形是平行四边形逆命题是真命题. 2假命题.其逆命题:平行四边形的一组对边平行另一组对边相等逆命题是真命题.
42.证明:由折叠可知AF=FC∠AFE=∠CFE.∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC.∴∠AEF=∠CFE.∴∠AFE=∠AEF.∴AE=AF.∵AF=FC∴AE=FC.又∵AE∥FC∴四边形AFCE是平行四边形.
43.解:小明的考虑不全面.因为无法确定线段AB和BE线段DC和CF在同一条直线上.证明:如图所示连接AEDF.∵四边形ABCD是平行四边形∴ADBC.∵四边形BEFC是平行四边形∴BCEF∴ADEF∴四边形AEFD是平行四边形.本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华并且在探索学习过程中又与三角形相联系从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣前面的知识为后边的知识做了铺垫联系性比较强特别是教材中设计了现实情境“想一想”“议一议”等内容体现了课改的精神.在编写意图上编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程回归多边形的几何特征而不是硬背公式发展了学生的合情推理能力.在上一节的学习中学生已经掌握了多边形的内角和公式对如何探究内角和的问题有了一定的认识加之八年级学生的好奇心、求知欲强互相评价、互相提问的积极性高因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟学生也具备了参加探索活动的热情所以考虑把这节课设计成一节探索活动课. 如图所示小明在操场上从A点出发沿直线前进10米后向左转40°再沿直线前进10米后又向左转40°……照这样走下去他第一次回到出发地A点时一共走了 米. 〔解析〕 由题意知如果小明能走回A点那么他走过的路线即可构成一个边长为10米每个外角都是40°的正多边形这时360°与这个正多边形的外角的商一定是一个整数因为360°÷40°=9所以他走过的路线可以构成一个边长为10的正九边形即可回到A点他回到A点所走的路程为10×9=90米.故填
90.
1.能够熟练掌握平行四边形的性质和判定定理并能够应用数学符号语言表述证明过程.
2.掌握三角形中位线的定义和性质明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算.
3.掌握多边形内角和、外角和定理进一步了解转化的数学思想.
4.会熟练应用所学定理进行证明.体会证明中所运用的归纳、类比、转化等数学思想通过复习课对证明的必要性有进一步的认识.
5.学会对证明方法的总结.
1.通过知识的综合分析深刻领会本单元探索活动进行的依据整合构建新的知识体系.
2.进一步规范证明过程的严谨性和逻辑性.通过讨论交流进一步发展学生的合作交流意识.【重点】
1.平行四边形的判定.
2.平行四边形、三角形中位线、多边形内角和和外角和的性质定理.【难点】
1.三角形的中位线的性质定理的证明和熟练应用.
2.平行四边形的性质和判定三角形中位线的性质定理多边形的内角和定理和外角和定理的综合应用.
3.在证明和解决有关问题中添加适当的辅助线以帮助对问题的解决.平行四边形专题一 平行四边形的性质和判定定理
1.平行四边形的性质:1平行四边形的对边平行且相等.2平行四边形的对角相等.3平行四边形的对角线互相平分.
2.平行四边形的判定:1两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2两组对边分别相等的四边形是平行四边形.3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.4对角线互相平分的四边形是平行四边形.5两组对角分别相等的四边形是平行四边形.【专题分析】平行四边形的性质和判定是考查的重点解题时要分清性质还是判定有时一个题目中两者都用到要会熟练运用性质和判定进行相关的证明和计算.在中考中常围绕平行四边形的概念、判定及性质命题以选择题、填空题或解答题的形式出现单独考查性质或者判定的情况较少一般将平行四边形的判定和性质结合起来综合考查解决这类问题应熟练掌握平行四边形的概念、判定方法和性质以及三角形等有关知识. 如图所示在平行四边形ABCD中AC与BD相交于点O点EF在AC上且BE∥DF.求证:BE=DF.证明:∵四边形ABCD是平行四边形AC与BD相交于点O∴BO=DO∵BE∥DF∴∠BEO=∠DFO.又∵∠BOE=∠DOF∴△BEO≌△DFO.∴BE=DF.[规律方法] 本题先利用平行四边形的性质得出对角线互相平分再利用三角形全等证明线段相等.【针对训练1】 如图所示平行四边形ABCD的对角线相交于点O直线EF经过点O分别与ABCD的延长线交于点EF.求证:四边形AECF是平行四边形.〔解析〕 根据题中给出的平行四边形的条件并充分利用图形中隐含的“平行”和“相等”关系证明.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴OD=OBOA=OC∵AB∥CD∴∠DFO=∠BEO∠FDO=∠EBO∴△FDO≌△EBO∴OF=OE∴四边形AECF是平行四边形.专题二 三角形的中位线三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.【专题分析】三角形的中位线定理是几何中一个重要的定理不但给出了三角形中线段的位置关系而且给出了线段的数量关系为平面几何中证明线段平行和相等提供了新的思路.在中考中三角形的中位线是一个重要考点在三角形、四边形、函数等知识的综合考查中经常关联此知识点. 如图所示已知四边形ABCD中RP分别是BCCD上的点EF分别是APRP的中点当点P在CD上从C向D移动而点R不动时下列结论成立的是 A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关〔解析〕 由三角形中位线定理可知线段EF的长等于AR长的一半又由于AR的长不变所以线段EF的长不变.故选C.[规律方法] 了解三角形中位线的定义熟练掌握三角形中位线的性质定理并能运用三角形中位线的性质进行解题.【针对训练2】 如图所示在四边形ABCD中点E是线段AD上的任意一点E与AD不重合GFH分别是BEBCCE的中点.请证明四边形EGFH是平行四边形.〔解析〕 根据三角形中位线定理得GF∥ECGF=EC=EH一组对边平行且相等的四边形是平行四边形所以四边形EGFH是平行四边形.证明:∵GF分别是BEBC的中点∴GF∥EC且GF=EC.又∵H是EC的中点∴EH=EC∴GF∥EH且GF=EH∴四边形EGFH是平行四边形.专题三 多边形的内角和与外角和n边形的内角和等于n-2·180°;多边形的外角和都等于360°.【专题分析】多边形的内角和、外角和定理主要是多边形边数和内角度数之间的互化:由多边形的边数得内角和的度数由多边形的内角和的度数得边数.在中考题中多以规律探索、方程求值等方式进行考查. 若一个多边形的内角和为1800°求该多边形的边数.解:设这个多边形的边数为n根据题意得n-2×180°=1800°.解得n=
12.所以该多边形为十二边形.【针对训练3】 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°求该多边形的边数.解:设该多边形的边数为n这个外角度数为x°则n-2×180+x=1350所以n=9+.因为n为整数所以必为整数.即90-x必为180的倍数.又因为0x180所以x=90所以n=
9.即该多边形的边数为
9.本章质量评估时间:90分钟 满分:120分
一、选择题每小题3分共30分
1.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是 A.两组对边分别平行B.一组对边平行另一组对边相等C.一组对边平行且相等D.两组对边分别相等
2.如图所示▱ABCD的周长是28cm△ABC的周长是22cm则AC的长为 A.6cmB.12cmC.4cmD.8cm
3.已知▱ABCD中∠B=4∠A则∠C等于 A.18°B.36°C.72°D.144°
4.如图所示在▱ABCD中AD=5AB=3AE平分∠BAD交BC边于点E则线段BEEC的长度分别为 A.2和3B.3和2C.4和1D.1和
45.如图所示在▱ABCD中下列各式不一定正确的是 A.∠1+∠2=180°B.∠2+∠3=180°C.∠3+∠4=180°D.∠2+∠4=180°
6.平行四边形的两邻边分别为34那么其对角线必 A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于
17.如图所示在▱ABCD中过点C的直线CE⊥AB垂足为E若∠EAD=53°则∠BCE的度数为 A.53°B.37°C.47°D.123°
8.如图所示若以A-
0.50B20C01三点为顶点画平行四边形则第四个顶点不可能在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
9.一个多边形的每个内角均为108°则这个多边形是 A.七边形B.六边形C.五边形D.四边形
10.依次连接任意四边形各边的中点得到一个特殊图形则这个图形一定是 A.平行四边形B.长方形C.菱形D.梯形
二、填空题每小题4分共32分
11.如图所示在▱ABCD中AD=8点EF分别是BDCD的中点则EF= .
12.如图所示AB∥CD要使四边形ABCD是平行四边形还需补充一个条件是 .
13.如图所示▱ABCD的周长是18cm对角线ACBD相交于点O若△AOD的周长比△AOB的周长长5cm则边AB的长是 cm.
14.如图所示在▱ABCD中对角线ACBD相交于点O图中全等三角形共有 对.
15.如图所示▱ABCD中已知点A-10B20D01则点C的坐标为 .
16.如图所示在周长为20的平行四边形ABCD中ABADAC与BD交于点OOE⊥BD交AD于点E则△ABE的周长为 .
17.如图所示△ABC为等边三角形P是△ABC内任意一点PD∥ABPE∥BCPF∥AC若△ABC的周长为12则PD+PE+PF= .
18.如图所示平行四边形ABCD中AE=CGDH=BF顺次连接EFGH则四边形EFGH是 .
三、解答题共58分
19.9分如图所示在平行四边形ABCD中过AC中点O作直线分别交ADBC于点EF.求证△AOE≌△COF.
20.9分如图所示▱ABCD中AE=CFMN分别是DEBF的中点.求证:四边形MFNE是平行四边形.
21.10分已知:如图所示平行四边形ABCD的对角线ACBD相交于点OEF经过点O并且分别和ABCD相交于点EF点GH分别为OAOC的中点.求证:四边形EHFG是平行四边形.
22.10分如图所示已知四边形ABCD中点EFGH分别是ABCDACBD的中点并且点EFGH不在同一条直线上.求证:EF和GH互相平分.
23.10分如图所示在▱ABCD中点O是对角线ACBD的交点点E是边CD的中点点F在BC的延长线上且CF=BC.求证:四边形OCFE是平行四边形.
24.10分在△ABC中AB=AC点P为△ABC所在平面内一点过点P分别作PE∥AC交AB于点EPF∥AB交BC于点D交AC于点F.若点P在BC边上如图1所示此时PD=0可得结论:PD+PE+PF=AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内如图2所示△ABC外如图3所示时上述结论是否成立若成立请给予证明;若不成立PDPEPF与AB之间又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需要证明.【答案与解析】
1.B解析:由平行四边形的定义和判定定理判定.
2.D解析:▱ABCD的周长是28cm则AB+BC=14cm△ABC的周长是22cm则AB+BC+AC=22cm所以AC=22-14=8cm.
3.B解析:∠B=4∠A∠B+∠A=180°解得∠C=∠A=36°.
4.B解析:由平行线和角平分线得△ABE为等腰三角形∴BE=AB=3EC=5-3=
2.
5.D解析:显然∠1+∠2=180°因为四边形ABCD为平行四边形对边平行可得∠2+∠3=180°∠3+∠4=180°.
6.C解析:由三角形的三边关系对角线大于4-3=1且小于4+3=
7.
7.B解析:∠EAD=53°则∠B=53°CE⊥AB所以∠BCE=90°-53°=37°.
8.C解析:分别以ABBCAC为对角线可以画三个平行四边形第四个顶点分别在第
四、
一、二象限.
9.C解析:=108°n=
5.
10.A解析:依次连接任意四边形各边的中点由中位线定理及平行四边形判定定理可知中点四边形为平行四边形.
11.4解析:点EF分别是BDCD的中点则EF为中位线EF=BC=AD=
4.
12.AD∥BC解析:答案不唯一符合平行四边形的判定定理即可.
13.2解析:因为△AOD的周长比△AOB的周长长5cm则AD-AB=5cm因为▱ABCD的周长是18cm则AD+AB=9cm所以AB=2cm.
14.4解析:△ABC≌△CDA;△ABD≌△CDB;△AOD≌△COB;△AOB≌△COD.
15.31解析:因为四边形ABCD是平行四边形所以CD=AB=3故点C的坐标为
31.
16.10解析:因为四边形ABCD是平行四边形所以BO=DO因为OE⊥BD所以BE=DE则△ABE的周长为AB+AD=
10.
17.4解析:延长EP交AB于点H.因为PH∥BCPD∥AB所以四边形PDBH为平行四边形所以PD=BH.因为△ABC为等边三角形所以∠B=60°.因为HE∥BC所以∠AHE=60°所以△AHE为等边三角形所以AH=EH.同理△FHP为等边三角形所以PF=PH所以PD+PE+PF=BH+PE+PH=BH+AH=AB.因为△ABC的周长为12所以AB=
4.所以PD+PE+PF=
4.故填
4.
18.平行四边形解析:证明△AEH≌△CGF△BEF≌△DGH得出EH=FGEF=HG所以四边形EFGH为平行四边形.
19.证明:由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC∴∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COFASA.
20.证明:由平行四边形可知AD=CB∠DAE=∠FCB又∵AE=CF∴△DAE≌△BCF∴DE=BF∠AED=∠CFB.又∵MN分别是DEBF的中点∴ME=NF.又由AB∥DC得∠AED=∠EDC.∴∠EDC=∠BFC∴ME∥NF.∴四边形MFNE为平行四边形.
21.证明:如图所示∵点O为平行四边形ABCD对角线ACBD的交点∴OA=OCOB=OD.∵GH分别为OAOC的中点∴OG=OAOH=OC∴OG=OH.又∵AB∥CD∴∠1=∠
2.在△OEB和△OFD中∠1=∠2OB=OD∠3=∠4∴△OEB≌△OFD∴OE=OF.∴四边形EHFG为平行四边形.
22.证明:如图所示连接EGGFFHHE∵点EFGH分别是ABCDACBD的中点∴EG=BCHF=BC∴EG=HF.同理EH=GF.∴四边形EGFH为平行四边形.∴EF与GH互相平分.
23.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是BD的中点.又∵点E是边CD的中点∴OE是△BCD的中位线∴OE∥BC且OE=BC.又∵CF=BC∴OE=CF.又∵点F在BC的延长线上∴OE∥CF∴四边形OCFE是平行四边形.
24.解:图2结论:PD+PE+PF=AB.证明如下:如图所示过点P作MN∥BC分别交ABAC于MN两点由题意得PE+PF=AM.∵四边形BDPM是平行四边形∴MB=PD.∴PD+PE+PF=MB+AM=AB即PD+PE+PF=AB.图3结论:PE+PF-PD=AB.综合与实践 生活中的“一次模型”综合运用一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的相关知识解决问题体会三者之间的内在联系.经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题尝试提出问题并加以解决的全过程体会模型思想发展应用意识提高实践能力了解数学的价值.反思参与活动的全过程将研究的过程和结果形成报告并能进行交流进一步积累数学活动经验.【重点】 在问题解决过程中综合运用所学数学运算及代数式等有关知识体会知识之间的内在联系形成对数学整体性的认识.【难点】 分时电表计费规律的探索.【教师准备】 实践活动用的图表、备选资料.【学生准备】 预习新课查阅资料.【导入语】 同学们认识大屏幕上的电表展示电表的画面如下图所示吗它和你家的是否一样它所显示的数字和我们平时见到的是否一样呢分时电表小明所在的小区用上了这样的电表前期我安排小明等几个学生调查了他们小区的电表得到一些数据这节课我们利用这些数据运用所学的知识研究一些问题.板书课题:综合与实践 生活中的“一次模型”我市现在有两种用电收费方法:分时电表普通电表峰时8:00~21:00谷时21:00到次日8:00电价
0.55元/千瓦·时电价
0.35元/千瓦·时电价
0.52元/千瓦·时 小明所在的小区用的是分时电表.问题:家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢【解决问题】 解:设某家庭某月用电总量为a千瓦·时a为常数.其中谷时用电x千瓦·时峰时用电a-x千瓦·时分时计价时总价为y1元普通计价时总价为y2元.则函数关系式为:y1=
0.35x+
0.55a-xy2=
0.52a.当
0.35x+
0.55a-x=
0.52a时解得x=
0.15a.此时y1=y
2.说明如果一个家庭每月在谷时的用电量等于每月总用电量的15%则两种方法费用相等.当
0.35x+
0.55a-x
0.52a时解不等式得x
0.15a.此时y1y
2.说明如果一个家庭每月在谷时的用电量小于每月总用电量的15%则普通电表合算.当
0.35x+
0.55a-x
0.52a时解不等式得x
0.15a.此时y1y
2.说明如果一个家庭每月在谷时的用电量大于每月总用电量的15%则分时电表合算.[设计意图] 为学生提供一个思考探究的平台在活动中体现归纳、猜想感悟处理问题的方法和策略积累数学活动经验.小明家最近两个月用电的收据:谷时用电千瓦·时峰时用电千瓦·时合计元181239181×
0.35+239×
0.55=
194.80 根据上表我们进行计算:x=181a=181+239=420x÷a=181÷420≈
0.
430.
430.15所以用分时电表是合算的.当然仅仅根据两个月的数据来判断是远远不够的需收集多个月的数据来判断这里由于时间较短无法收集齐全[设计意图] 利用所学的一次函数和一元一次不等式的知识解决实际问题给学生一个实际应用所学知识的机会.【进一步研究】 根据分时电表的特点除了日常必须按时进行的一些用电外如果能将可调用电时间控制在21:00~8:00谷时使的值尽可能大就可以最大限度地节省电费.对此进行归纳和分析:部分家庭电费明细表/月电器名称功率W时间时/天用电量kW·h谷时电费元峰时电费元差额元时间是否可调洗衣机
2941.
513.
234.
637.
282.65是电 灯
405.
06.
002.
103.
301.20否电水壶
18000.
527.
009.
4514.
855.40是电饭煲
5000.
57.
502.
634.
131.50否电冰箱
14010.
042.
0014.
7023.
108.40否电视机
806.
014.
405.
047.
922.88否门 灯
324.
02.
160.
761.
190.43否合 计
285747.
5112.
2939.
2161.
7722.46注:1kW·h=1000W×1h月用电总量kW·h=功率×使用时间×30÷1000 根据上表我们认为洗衣、烧水等时间可调功率较大的电器放在谷时工作这样就可以充分发挥分时电表的优势使的值尽可能大就可以最大限度地节省电费如果家家户户都能这样做的话必定可以节省一笔不小的开支.[设计意图] 通过前一环节的学习学生发现了此类问题的探究方法通过类比可较快得出本题的规律所在.由于探究过程所需的相关知识并不复杂所以大部分学生都能经历观察、比较、猜想、推理、交流、反思的数学活动过程有利于发展学生数学地思考.而且通过与同伴合作、克服困难能提升学生的自信心进一步提升学生学习的热情.课程标准指出我们的数学课程应当使“不同的人在数学得到不同的发展”鼓励学有余力的学生将问题进一步延伸与拓展获得高层次能力的发展努力使他们的创新思维及问题意识得以提升.
1.本课题评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程.
2.关注学生自主参与培养合作能力和反思意识.
3.关注学生模型思想的建立即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律求出结果并讨论结果的意义.
4.关注学生用数学的视角分析和理解现实问题.对于问题研究的深度可以让不同层次的学生选择不同的问题情境也可以不同程度的融合数学知识让不同的学生得到不同的发展.
5.关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力研究成果的逻辑性、实用性以及报告的精练、准确程度.补充例题如图所示大拇指与小拇指尽量张开时两指尖的距离称为指距.某项研究表明一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据:指距dcm20212223身高hcm160169178187 1求出h与d之间的函数关系式;不要求写出自变量d的取值范围2某人身高为196cm一般情况下他的指距应是多少解:1设h与d之间的函数关系式为:h=kd+b.把d=20h=160;d=21h=169分别代入得解得k=9b=-20即h=9d-
20.2当h=196时196=9d-20解得d=24cm.即某人的身高为196cm一般情况下他的指距为24cm.
1.体会到数学就在自己的身边.
2.分时电表的特点和计费规律.【备选问题】问题1 某自来水公司为鼓励居民节约用水采取月用水量分段收费的办法.某户居民应交水费y单位:元与用水量x单位:吨的函数关系如图所示.1分别写出当0≤x15和x≥15时y与x的函数解析式;2某用户该月用水21吨则应交水费多少元问题2 我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书有两个印刷厂前来联系制作业务.甲厂的优惠条件是:按每份定价
1.5元的八折收费另收900元制版费;乙厂的优惠条件是:每份定价
1.5元的价格不变而制版费900元六折优惠.且甲、乙两厂都规定:一次印刷数至少是500份.1分别求两个印刷厂收费y元与印刷数量x份的函数关系式并求出自变量x的取值范围;2如何根据印刷的数量选择比较合算的方案如果这个中学要印制xx份录取通知书那么应选择哪个厂需要多少费用【备选研究主题】主题1 探索出租车如何计价
1.日间出租车计价与里程数之间的函数关系;
2.夜间出租车计价与里程数之间的函数关系;
3.当遇到红灯或堵车时的计价情况等.主题2 探索商场促销现象节假日商场经常打出打折的牌子在各种以打折名义进行的促销活动中如何选择最实惠的商品是大多数人常常面临的问题.调查学校或居住小区附近某一商场的促销方式列出相应的方程、函数或不等关系并作出分析用你得到的结论指导周围的人理性消费.主题3 关于教育支出的调查
1.计算一下自己从现在起到参加工作总共需要多少教育资金.
2.考虑你如何支付这些费用帮家长写一个储蓄计划.
3.用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的最低数量.
4.将你的调查与同学交流一下让大家看看你的调查是否可行如果可能请他们提供改进的建议.综合与实践 平面图形的镶嵌通过探索平面图形的镶嵌知道哪些图形可以密铺.经历探索多边形密铺镶嵌条件的过程进一步发展学生推理、交流的意识和一定的审美情趣.通过本节的学习进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用.【重点】 多边形镶嵌的条件.【难点】 运用正三角形、正方形和正六边形进行简单的密铺.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 观察生活中平面图形的镶嵌事例.
1.活动内容:观察工人师傅铺地砖的情境;情景1:情景2:
2.观察小结:1什么叫平面图形的密铺用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片就是平面图形的镶嵌又叫做平面图形的密铺.2生活中平面图形的密铺随处可见.[设计意图] 通过观察平面图形密铺的实例进一步感受平面图形在现实生活中的广泛应用.
1.一种多边形的镶嵌1如果只用一种正多边形镶嵌整个平面那么这样的正多边形可能有哪些先想一想再实际拼一拼、画一画;说明:在第一环节的课堂展示中学生可能已经注意到正三角形、正方形和正六边形都可以镶嵌整个平面这时教师可以追问:是否所有的正多边形都可以镶嵌整个平面你认为还有哪些正多边形可以镶嵌整个平面2在一般的多边形中有哪些可以镶嵌整个平面先想一想再实际拼一拼、画一画.[设计意图] 一般多边形的镶嵌问题对学生来说是有难度的因此这里可以要求学生利用已经准各好的多边形纸片实际动手操作认识到任意的三角形和四边形都能够进行平面镶嵌对于学有余力的学生还可以鼓励他们进一步得到:用6kk为正整数个相同的任意三角形可以镶嵌平面用4k个相同的任意四边形也能镶嵌平面.以下是学生可能会得到的一些镶嵌图案:教师应当让学生有足够的交流、分享时间并鼓励他们以自己的方式说明理由反思自己的镶嵌过程发现其中的规律并依据具体情况及时给予学生鼓励性评价.另外由于课上时间有限对于只用同一种多边形进行平面镶嵌的各种情形可能无法穷尽也没有这个必要感兴趣的学生可以课下继续研究.
2.两种多边形的镶嵌1用图1中的若干正三角形和若干正六边形能镶嵌整个平面吗如果能请你试一试.如果用图2中的若干正三角形和若干正六边形呢2用其他两种正多边形能镶嵌整个平面吗可能有哪些不同的情况呢分小组选择你们准备的正多边形纸片中的任意两种进行镶嵌看你能发现什么并将你们发现的结论填入下表中.正多边形1正多边形2是否能镶嵌镶嵌图案正方形正六边形正三角形正方形………… 3经历了以上活动1和2你发现了什么对于两种及两种以上多边形的镶嵌需要满足什么条件[设计意图] 通过活动12学生进一步感受能否进行镶嵌取决于拼在一起的几个多边形的内角度数和边长的关系.通过以上活动并与前面一种图形的镶嵌进行对比意在引导学生不仅要关注图形能够镶嵌而且要关注镶嵌图案的形成过程发现能否镶嵌的规律体会镶嵌与多边形的内、外角及图形的平移、旋转等知识之间的关系与前面讨论用一种多边形的镶嵌的问题类似用两种或两种以上的多边形进行镶嵌的情况很多课上时间有限仅讨论正多边形的情形对学有余力的学生可以让他们课下继续研究和交流.
3.拓展应用1用若干如图所示的两种图形能镶嵌整个平面吗请你试一试.2用图中的两种图形分别能镶嵌整个平面吗将它们与平行四边形的镶嵌图案比较你发现了什么与同伴交流.3设计一个自己喜欢的图形构造美丽的镶嵌图案.[设计意图] 在前面的探索的基础上学生可以设计各种图形的密铺这也是对学生应用能力的一次提升.[知识拓展] 地板砖的学问.现在随着生活水平的提高对家庭居室进行装修成了许多人热衷的话题.装修房屋不仅仅是花多少钱的问题更重要的是良好的设计和构思这就需要有较高的艺术欣赏能力和较好的数学基础.就拿地板砖来说吧多数人是用正方形砖块来拼接也有人喜欢用六边形地板砖如下图所示.为什么不用其他形状呢比如受人喜爱的五边形如果拼接起来不是别具一格吗经过数学计算这是不行的.因为根据需要凡是能作地板砖的多边形必须是几块砖拼在一起时其顶角之和为360°.为此我们把几个正多边形的内角排列出来见表.正多边形顶角度数正多边形边数34568910…顶角度数60°90°108°120°135°140°144°…如果只许用一种形状的砖那么只有正三角形、正方形、正六边形可取.因为:60°×6=360°90°×4=360°120°×3=360°.如下图所示而用360°除以其他正多边形顶角度数都不是整数说明它们不能拼成平面因而不适合作地板砖.三角形虽然可以做地板砖但不十分美观.其实正六边形中已蕴含了三角形的图案而且更加美观、方便所以就没有人用三角形了.某工厂切下大量四边形木板形状完全一样但却不规则如图1所示.工人们就利用它们来铺地板图
2.不规则四边形能用来铺地板的道理是:“任意四边形指凸四边形内角之和都等于360°.”因此不管切下的四边形怎样歪七扭八只要形状完全相同4块相拼就能凑成360°而且总能找到等长的边相接使砖与砖之间不留缝隙.你看数学知识在实际生产和生活中多么有用啊!2地板砖图案欣赏:
1.体会到数学就在自己的身边.
2.利用所学的镶嵌知识研究几何图形的密铺.平面图形的镶嵌内容综合性较强教学设计层层递进:通过探索一个基本图形、两个基本图形是否能够镶嵌的一系列问题使学生反复经历归纳、猜想的合情推理过程并结合多边形内角和等性质获得验证这无疑将提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.拓展应用的内容对于提高学生的图案设计能力有较大的帮助但对学生的总体要求可能偏高对一些学习较困难的学生挑战性比较大.教师在教学时可以根据学生数学认知水平进行相应调整平面图形的镶嵌本质上是用一种或几种平面图形拼出一个360°角教学设计准确把握了平面图形镶嵌的数学本质也关注到学生思维发展的顺序逐渐使学生积累活动经验在活动中提升认知水平.。