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2019-2020年八年级数学下册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组教案北师大版知识与技能目标
1.理解不等式的意义.
2.能根据条件列出不等式.过程与方法目标通过列不等式,训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.情感态度与价值观目标通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点用不等关系解决实际问题.教学难点正确理解题意列出不等式.教学方法讨论探索法.教具准备投影片两张第一张(记作§
1.1A)第二张(记作§
1.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境引入新课[师]我们学过等式,知道利用等式可以解决许多问题.同时,我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系,利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系,以及不等关系的应用.Ⅱ.新课讲授[师]既然不等关系在现实生活中并不少见,大家肯定接触过不少,能举出例子吗?[生]可以.比如我的身高比她的身高高5公分.用天平称重量时,两个托盘不平衡等.[师]很好.那么,如何用式子表示不等关系呢?请看例题.投影片(§
1.1A)如图1-1,用两根长度均为lcm的绳子,分别围成一个正方形和圆.图1-1
(1)如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式?
(2)如果要使圆的面积不小于100cm2那么绳长l应满足怎样的关系式?
(3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?l=12呢?
(4)你能得到什么猜想?改变l的取值,再试一试.[师]本题中大家首先要弄明白两个问题,一个是正方形和圆的面积计算公式,另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.[生]正方形的面积等于边长的平方.圆的面积是πR2,其中R是圆的半径.两数比较有大于、等于、小于三种情况,“不大于”就是等于或小于.[师]下面请大家互相讨论,按照题中的要求进行解答.[生]
(1)因为绳长l为正方形的周长,所以正方形的边长为,得面积为()2,要使正方形的面积不大于25cm2,就是()2≤
25.即≤
25.
(2)因为圆的周长为l,所以圆的半径为R=.要使圆的面积不小于100cm2,就是π·()2≥100即≥100
(3)当l=8时,正方形的面积为=4(cm2).圆的面积为≈
5.1(cm2).∵4<
5.1∴此时圆的面积大.当l=12时,正方形的面积为=9(cm2).圆的面积为≈
11.5(cm2)此时还是圆的面积大.
(4)我们可以猜想,用长度均为lcm的两根绳子分别围成一个正方形和圆,无论l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即>.因为分子都是l2相等、分母4π<16,根据分数的大小比较,分子相同的分数,分母大的反而小,因此不论l取何值,都有>.做一做投影片(§
1.1B)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面
1.5m的地方作为测量部位,某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约为3cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过
2.4m?(只列关系式).[师]请大家互相讨论后列出关系式.[生]设这棵树至少生长x年其树围才能超过
2.4m,得3x+5>240议一议观察由上述问题得到的关系式,它们有什么共同特点?[生]由≤25100>3x+5>240得,这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知一般地,用符号“<”(或“≤”)“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式(inequality).例题.用不等式表示
(1)a是正数;
(2)a是负数;
(3)a与6的和小于5;
(4)x与2的差小于-1;
(5)x的4倍大于7;
(6)y的一半小于
3.[生]解
(1)a>0;
(2)a<0;
(3)a+6<5;
(4)x-2<-1;
(5)4x>7;
(6)y<
3.Ⅲ.随堂练习
2.解
(1)a≥0;
(2)c>a且c>b;
(3)x+17<5x.补充练习当x=2时,不等式x+3>4成立吗?当x=
1.5时,成立吗?当x=-1呢?解当x=2时,x+3=2+3=5>4成立,当x=
1.5时,x+3=
1.5+3=
4.5>4成立;当x=-1时,x+3=-1+3=2>4不成立.Ⅳ.课时小结能根据题意列出不等式,特别要注意“不大于”,“不小于”等词语的理解.通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.Ⅴ.课后作业习题
1.
11.解
(1)3x+8>5x;
(2)x2≥0;
(3)设海洋面积为S海洋,陆地面积为S陆地,则有S海洋>S陆地.
(4)设老师的年龄为x,你的年龄为y则有x>2y.
(5)m铅球>m篮球.
2.解满足条件的数组有1,3;1,5;1,7;3,
5.
3.解所需甲种原料的质量为x千克,则所需乙种原料的质量为(10-x)千克,得600x+100(10-x)≥
4200.
4.解8x+4(10-x)≤
72.Ⅵ.活动与探究ab两个实数在数轴上的对应点如图1-2所示图1-2用“<”或“>”号填空
(1)a__________b;
(2)|a|__________|b|;
(3)a+b__________0;
(4)a-b__________0;
(5)a+b__________a-b;
(6)ab__________a.解由图可知a>0b<0|a|<|b|.
(1)a>b;
(2)|a|<|b|;
(3)a+b<0;
(4)a-b>0;
(5)a+b<a-b;
(6)ab<a.VI板书设计§
1.1不等关系
一、
1.投影片§
1.1A(讨论长度均为lcm的绳子,分别围成一个正方形和圆,比较它们的面积的大小).
2.做一做(投影片§
1.1B)根据已知条件列不等式
3.归纳不等式的定义
4.例题
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业《不等式的基本性质》教案教学目的掌握不等式的基本性质,会用不等式的基本性质进行不等式的变形教学过程师我们已学过等式,不等式,现在我们来看两组式子(教师出示小黑板中的两组式子),请同学们观察,哪些是等式?哪些是不等式?第一组1+2=3;a+b=b+a;S=ab;4+x=
7. 第二组-7-5;3+41+4; 2x≤6a+2≥0;3≠
4.生第一组都是等式,第二组都是不等式师那么,什么叫做等式?什么叫做不等式?生表示相等关系的式子叫做等式;表示不等式的式子叫做不等式师在数学炽,我们用等号“=”来表示相等关系,用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系,其中“>”和“<”表示大小关系表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的前面我们学过了等式,同学们还记得等式的性质吗?生等式有这样的性质等式两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除以(除数不为零)同一个数,所得到的仍是等式师很好!当我们开始研究不等式的时候,自然会联想到,是否有与等式相类似的性质,也就是说,如果在不等式的两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除经(除数不为零)同一个数,结果将会如何呢?让我们先做一些试验练习练习1回答用小于号“”或大于号“”填空
(1)7___4;
(2)-2____6;
(3)-3_____-2;
(4)-4_____-6练习2(口答)分别从练习1中四个不等式出发,进行下面的运算
(1)两边都加上(或都减去)5,结果怎样?不等号的方向改变了吗?
(2)两边都乘以(或都除以)5,结果怎样?不等号的方向改变了吗?
(3)两边都乘以(或都除以)(-5),结果怎样?不等号的方向改变了吗?生我们发现在练习2中,第
(1)、
(2)题的结果是不等号的方向不变;在第
(3)题中,结果是不等号的方向改变了!师同学们观察得很认真,大家再进一步探讨一下,在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢?生甲在原不等式的两边都乘以(或除以)一个负数的情况下,不等号的方向要改变师有没有不同的意见?大家都同意他的看法吗?可能还有同学不放心,让我们再做一些试验练习3(口答)分别在下面四个不等式的两边都以乘以(可除以)-2,看看不等号的方向是否改变 7>4;-2<6;-3<-2;-4>-6师现在我们可以归纳出不等式的基本性质,一般地说,不等式的基本性质有三条性质1不等式的两边都加上(或都减去)同一个数,不等号的方向 (让同学回答)性质2不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向 (让同学回答)性质3不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向 (让同学回答)现在请大家翻开课本,一起朗读用黑体字写的三条基本性质不等式的这三条基本性质,都可以用数学语言表达出来,先请一位同学说一说第一条基本性质生如果a<b那么a+c<b+c(或a-c<b-c;如果a>b,那么a+c>b+c(或a-c>b-c)师对a和b有什么要求吗?对c有什么要求?生没有什么要求师哪位同学来回答第
二、三条性质?生甲如果ab且c0那么acbc或 ;如果ab且c0那么acbc或生乙如果ab且c0那么acbc或 ;如果ab且c0那么acbc或师这两条性质中,对a、b、c有什么要求?生对a、b没什么要求,特别要注意c是正数还是负数师很好,c可以为零吗?生c不能为零因为c为零时,任何不等式两边都乘以零就变成等式了师好!应用刚才学到的基本性质,我们来看下面的例题[例1]按照下列条件,写出仍能成立的不等式
(1)5<9,两边都加上-3;
(2)9>4,两边都减去10;
(3)-5<3,两边都乘以4;
(4)14>-8,两边都除以-2解
(1)根据不等式基本性质1,在不等式59的两边都加上-3,不等号的方向不变,所以 5+(-3)<9+(-3), 2<6
(2)根据不等式基本性质1,得9-10>4-10 -1>-6
(3)根据不等式基本性质2,得 -5×4<3×4 -20<12
(4)根据不等式基本性质3,得 14÷(-2)<(-8)÷(-2) -7<4[例2]设a>b,用不等号连结下列各题中的两式
(1)a-3与b-3;
(2)2a与2b;
(3)-a与-b.师哪一位同学来做这题?解题时,要讲清一步的理由生甲因为a>b,两边都减去3,由不等式的基本性质1,得a-3>b-3.师很好,大家都是这样做的吗?生乙我是这样做的,因为a>b两边都加上(-3),由基本性质1,得a-3>b-3.师好!这两位同学从不同的角度来分析题目,都得到了正确的结论生丙因为a>b,2>0,由基本性质2,得2a>2b生丁因为a>b,-1>0,由基本性质3,得-a>-b师下面我们来看一组较复杂的问题,请大家都来开动脑筋,认真审题,仔细分析[例3]判断以下各题的结论是否正确,并说明都理由1如果ab且c0,那么acbd;2如果ab那么ac2bc2;3如果ac2bc2那么ab;4如果ab那么a-b0;5如果axb且a≠0,那么x ;6如果a+ba;生甲
(1)不对,当c=d≤0时,ac>bd不成立生乙
(2)也不对,因为c2是一个非负数,当c=0时,ac2>bc2不成立生丙
(3)对,因为ac2>bc2成立,则c2一定大于零,根据不等式基本性质2,得a>b出
(4)对,根据不等式基本性质,由a>b,两边减去b得a-b>0
(5)不对,当a<0时,根据不等式基本性质3,得
(6)不对,因为当b<0时,根据不等式基本性质1,得a+b<a;而当b=0时,则有a+b=a师同学们回答得很好今天我们学习了不等式的基本性质,我们不仅要理解这三条性质,还要能灵活运用 课外做以下作业略教案说明
(1) 不等式的基本性质的教学,是分成两个阶段进行的在初中阶段,对不等式的基本性质,并不作证明,只引导学生用试验的方法,归纳出三条基本性质通过试验,由特殊到一般,由具体到抽象,这是一种认识事物规律的重要方法科学上的许多发现,大多离不开试验和观察大数学家欧拉说过“数学这门科学,需要观察,也需要试验”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法,具有重要的意义当然通过几个特殊的试验,就得出一般的结论,是不严密的但对初中学生来说,初次接触不等式,是不能要求那么严密的
(2) 不等式的基本性质的教学,还应采用对比的方法学生已学过等式和等式的性质,为了便于和加深对不等式基本性质的理解,在教学过程中,应将不等式的性质与等式的性质加以比较强调等式的两边都加上或减去,都乘以或除以(除数不能为零)同一个数,所得到的仍是等式,这个数可以是正数、负数或零;而在不等式的两边都加上或减去,都乘以或除以(除数不能为零)同一个数,当这个数是正数、负数或零时,对不等式的方向,有什么不同的影响通过这样的对比,不但可以复习已学过的等式有关知识,便于引入新课,而且也有利于掌握不等式的基本性质对比的方法,也是学习数学的一种重要方法
(3) 在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时,学生对不等式两边是具体数,判定大小关系比较容易因为这实际上是有理数大小的比较对于不等式两边是含字母的代数式时,根据题给的条件,运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向,就比较困难因为它比较抽象,特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时,学生必须考虑不等式两边同乘(或同除)的这个用字母表示的数的符号是什么,或者还要对这个用字母表示的数,按正数、负数或零三种情况加以讨论在教学过程中,对于这类题目,采用讨论法是比较好的因为在讨论时,学生可以充分发表各种见解对于正确的见解,教师可以让学生说出解题的依据;对于错误的见解,教师可以进行启发引导,发动学生自己找出错误的原因,自己修正见解这样,有利于发现问题,有的放矢地解决问题,有利于深化对不等式基本性质的认识。