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文本内容:
2019-2020年八年级数学下册5分式与分式方程教案新版北师大版
1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程了解分式、最简分式、分式方程的概念体会分式、分式方程的模型思想进一步发展符号意识.
2.熟练掌握分式的基本性质会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算会求分式的值会解可化为一元一次方程的分式方程会检验分式方程的解发展运算能力.
1.经历通过观察、归纳、类比、猜想从而获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程发展合情推理能力与代数式的恒等变形能力积累类比的活动经验.
2.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题发展分析问题、解决问题的能力和应用意识.培养学生的观察能力和类比意识培养学生勇于质疑、严谨求实的科学态度.本章主要学习分式的概念、基本性质与运算分式方程及其应用.分式是代数式的重要组成部分.分式的基本性质与运算法则是代数式恒等变形的重要依据是有关比例的学习基础.分式与分数、因式分解、一元一次方程、反比例函数等联系密切在中学数学、物理、化学等学科和生产实践中有着广泛的应用.根据《标准》的要求本章教科书特别关注了下列几个方面:1分式、分式方程是描述现实世界数量关系的模型.在学习分式、分式方程的概念时教科书通过用字母表示现实情境中的数量关系丰富了分式、分式方程的实际背景以帮助学生领会分式、分式方程的模型作用体会分式、分式方程与现实生活的密切联系.2在学习分式的基本性质及其运算法则时十分注重观察、归纳、类比、猜想等思维方法的应用.3分式运算的教学重点是运算法则建立的过程和对算理的理解.在分式运算的设计中教科书适当降低了分式纯运算的难度只对较简单的分式进行化简、求值与运算.具体地教科书设计了4节内容:第1节“认识分式”.通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式的概念体会分式的模型作用;通过类比分数的基本性质理解分式的基本性质.第2节“分式的乘除法”.通过类比分数乘除法的法则获得分式乘除法的法则并会用法则进行分式运算.第3节“分式的加减法”.通过类比分数加减法的法则获得分式加减法的法则并会用法则进行分式运算.第4节“分式方程”.通过列出刻画行程、捐款等实例的方程分析所列出方程的共同特征理解分式方程的概念进而学习怎样解分式方程并会用分式方程解决简单的实际问题.【重点】
1.分式的概念正确理解分式的基本性质.
2.运用分式乘除法的法则进行简单的分式乘除运算.
3.会进行简单的分式加减运算.
4.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来;会解可化为一元一次方程的分式方程会检验根的合理性.【难点】
1.理解和掌握分式有意义的条件;推导分式的基本性质;运用分式的基本性质将分式进行变形.
2.分式乘除法法则的推导.
3.确定公分母分式方程的正确变形检验根的合理性.
4.列分式方程解应用题.
1.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程进一步发展符号感.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程是发展学生符号感的重要环节与以前用字母表示数量关系相比本章表示量与量之间关系的代数式可以是分式.教学时应鼓励学生独立思考、自主探索问题情境中的数量关系并运用符号进行表示.在此基础上可根据教学的实际情况组织学生对一些难点问题展开讨论、交流.
2.让学生通过观察、类比、猜想、尝试等活动学习分式的运算法则发展学生的合情推理能力.教科书为学生探索分式运算的法则提供了丰富的素材教学时应将重点放在对法则的探索过程上使学生充分活动起来在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中发现法则、理解法则、应用法则.同时还要关注学生对算理的理解以培养学生的代数表达能力、运算能力和有条理思考问题的能力.
3.解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程.在引导学生探索分式方程的解法时要注意体现这种“转化”的思想.另外对分式方程的解法只要求掌握可化为一元一次方程的分式方程教学过程中要注意把握这一要求.
4.列分式方程解决应用问题比列一元一次方程组要稍复杂一些.教学时要引导学生抓住寻找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示等量关系等关键环节.对于常用的数量关系虽然学生以前大都接触过但在本章的教学中仍要注意复习、总结引导学生举一反三进一步提高分析问题与解决问题的能力.此外教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力鼓励学生从多角度思考问题注意检验、理解所获得结果的合理性.1 认识分式2课时2 分式的乘除法1课时3 分式的加减法3课时4 分式方程3课时回顾与思考1课时1 认识分式
1.了解分式的概念明确分式和整式的区别会用分式表示生活情境中的数量关系.
2.掌握分式是否有意义、分式的值是否为零的判断方法.
3.在分数性质的基础上掌握分式的基本性质并能利用分式的基本性质对分式进行变形.让学生观察、分析分式的特点提高学生分析问题、解决问题的能力.培养学生类比的思维习惯培养学生严谨认真的科学态度.【重点】 分式的概念与基本性质.【难点】 分式有意义和分式值为零的条件及其应用.第课时
1.能用分式表示现实情境中的数量关系体会分式的模型思想进一步发展符号感.
2.了解分式的概念明确分式与整式的区别.
1.经历用字母表示现实情境中数量关系的过程了解分式的概念体会分式的模型思想进一步发展符号感.
2.使学生经历分析、类比、归纳等活动培养学生的自学能力获得学习代数知识的常用方法.
1.通过教材土地沙化问题的情境体会保护人类生存环境的重要性.
2.培养学生类比联想的思维习惯.【重点】 分式的概念.【难点】 理解和掌握分式有意义的条件.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 回忆小学学过的分数的有关知识及七年级学过的整式的有关知识.导入一:【问题】 下列式子中哪些是整式哪些是单项式哪些是多项式a-3x2y35x-1x2+xy+y
2.解:a-3x2y35x-1x2+xy+y2是整式;a-3x2y3是单项式;5x-1x2+xy+y2是多项式.[设计意图] 因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的所以必须熟练掌握整式的概念.导入二:【问题】 学生思考讨论用式子表达题目中的数量关系:1面对日益严重的土地沙化问题某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林x公顷那么原计划完成造林任务需要 个月实际完成造林任务用了 个月. 2文林书店库存一批图书其中一种图书的原价是每册a元现每册降价x元销售当这种图书的库存全部售出时其销售额为b元.降价销售开始时文林书店这种图书的库存量是多少【师生活动】 让学生充分思考最好让学生积极投身于问题情境中根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.解:1 2册.[设计意图] 让学生经历探索实际问题中数量关系的过程.通过问题情境让学生初步感受分式是解决问题的一种模型体会分式的意义发展符号感.
一、认识分式思路一针对导入一
1.分式初探 [过渡语] 同学们刚才看到的式子都是整式我们可以发现它们有这样的特点:没有分母或者分母是数字那么如同等这样的式子和整式一样吗这就是我们本节课要研究的问题.解决下列问题:1一箱苹果售价a元箱子与苹果的总质量为mkg箱子的质量为nkg则每千克苹果的售价是多少元2一块土地分为两块棉田第一块x公顷收棉花m千克第二块y公顷收棉花n千克这块土地平均每公顷的棉产量是多少3文林书店库存一批图书其中一种图书的原价是每册a元现每册降价x元销售当这种图书的库存全部售出时其销售额为b元.降价销售开始时文林书店这种图书的库存量是多少根据学生交流、讨论可得出结果.解:
1. 2kg. 3册.
2.认识分式问题1刚才这些代数式有什么共同特征它们与整式有什么不同学生分组交流讨论展示讨论结果教师及时补充.它们的共同特征:1它们是由分子、分母与分数线构成的;2分母中都含有字母.它们与整式的不同点:它们的分母中都含有字母而整式的分母中不含有字母例如它们都含有分母但分母中都不含有字母所以它们是整式.一般地用AB表示两个整式A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母那么称为分式其中A称为分式的分子B称为分式的分母.问题2分式中字母可以取任意实数吗学生领会分式的概念并思考得出:不可以.因为分式中分母含有字母而分母是除式不能为零因此字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零否则分式就会失去意义.问题3在什么情况下分式的值为0学生通过类比分数的性质得出:分式的分子为0的时候分式的值为
0.思路二针对导入二
1.分式初探 [过渡语] 刚才同学们得到的三个代数式与我们之前学过的代数式有什么不同呢讨论目的:以小组的形式对前面出现的式子进行讨论进而得出分式的概念体会分式的意义.讨论内容:针对前面列出的三个代数式这些代数式有什么共同特征它们与整式有什么不同老师提出思考问题:1整式中的分母有没有字母2前面的三个代数式中分母中有没有字母3前面的三个代数式是不是分数呢4前面的三个代数式中字母能取任意值吗5前面的三个代数式的值在什么情况下为零问题预设:学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母但容易与整式中有数字分母的情况混淆把字母等同于数字看待这就无法顺利总结出分式的概念.
2.认识分式根据学生的观察、讨论老师进行总结:这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母而整式中虽然也有分母但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.一般地用AB表示两个整式A÷B可以表示为的形式如果B中含有字母那么称为分式.其中A称为分式的分子B称为分式的分母.对于任意一个分式分母都不能为零.[设计意图] 让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同从而得出分式的概念.学生通过观察、类比及小组讨论基本能得出分式的定义对于分式的分母不能为0有的小组考虑到了有的没有考虑到就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解.这样获得的知识理解更加透彻掌握更加牢固运用起来会更灵活.[知识拓展]
1.当整式相除不能整除时就出现了分式所以分式实际上是一个商式其分子是被除式分母是除式.
2.整式和分式统称为有理式即有理式包括整式和分式.
3.分式的概念包括3个方面:1分式是两个整式相除的商式其中分子为被除式分母为除式分数线起除号的作用;2分式的分母中必须含有字母而分子中可以含有字母也可以不含字母这是区别整式的重要依据;3在任何情况下分式的分母的值都不可以为0否则分式无意义.这里分母是指除式而言而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件.
二、例题讲解教材例11当a=12-1时分别求分式的值;2当a取何值时分式有意义〔解析〕 1分式的值是由字母的取值决定的但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0即一定要让分式有意义.2只有当分式的分母不为0时分式才有意义.解:1当a=1时==
2.当a=2时==
1.当a=-1时==
0.2当分母的值为零时分式没有意义除此以外分式都有意义.由分母2a-1=0得a=.所以当a≠时分式有意义.[设计意图] 让学生体会分式的意义理解如果字母的取值使得分母的值为零那么分式没有意义反之则有意义.通过例题讲解让学生从两方面来理解分式:一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比分式的分母也不能为零.学生基本能够计算出分式的值但对于分式在什么条件下有意义一下子掌握还有一定的难度需要通过与分数进行类比多举例才能理解得更深刻.
1.分式的概念.一般地用AB表示两个整式A÷B可以表示成的形式如果B中含有字母那么称为分式.其中A称为分式的分子B称为分式的分母.
2.分式有意义的条件.分式有意义的条件是分母不为
0.
3.分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于
0.
1.xx·随州中考若代数式+有意义则实数x的取值范围是 A.x≠1B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠1解析:若代数式+有意义则有解得x≥0且x≠
1.故选D.
2.若分式有意义则x的取值范围是 . 解析:依题意得3x+5≠0解得x≠-因此x的取值范围是x≠-.故填x≠-.
3.若分式的值为0则x的值是 . 解析:在这个分式中x2-1是分子x+1是分母因此分式的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0所以x=
1.故填
1.
4.对于分式已知当x=-3时分式的值为0;当x=2时分式无意义.试求mn的值.解:∵当x=-3时分式的值为0∴即又∵当x=2时分式无意义∴m-2n+3×2=0即m-2n=-
6.解方程组得第1课时
一、认识分式
1.分式初探
2.认识分式
二、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第109页随堂练习的12题.【选做题】教材第109页习题
5.1的123题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列各式是分式的是 A.B.C.+yD.
2.xx·金华中考要使分式有意义则x的取值应满足 A.x=-2B.x≠2C.x-2D.x≠-
23.若分式的值为0则 A.x=-2B.x=0C.x=1或-2D.x=
14.若分式有意义则x的取值范围是 A.x≠3B.x=3C.x3D.x3【能力提升】
5.使分式无意义的a的值为 A.2B.-2C.±2D.
36.若分式的值为1则x的值为 A.1B.-2C.±1D.
27.一项工作甲单独做x小时完成乙单独做比甲多用6小时完成那么乙单独做t小时t6能完成这项工作的 A.B.C.D.
8.下列各式中可能取值为0的是 A.B.C.D.
9.若的值为正数则x的取值范围是 A.x-2B.x1C.x-2且x≠1D.x
110.要使分式的值为负则x .
11.当x 时分式有意义. 【拓展探究】
12.把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中水面高度为 cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中水面高度为 .
13.已知当x=1时分式无意义;当x=4时此分式的值为零求a+b的值.【答案与解析】
1.B解析:由分式的定义可知分母中含有字母的是分式注意π为实数不是字母.故选B.
2.D解析:分式有意义的条件是分母不为0则由题意得x+2≠0则x≠-
2.故选D.
3.D解析:分式值为0的条件是分子为0且分母不为0所以有解之即可.故选D.
4.A解析:分式有意义的条件是分母不为0即3-x≠0解之即可.故选A.
5.C解析:分式无意义的条件是分母为0即-2=0解之即可.故选C.
6.D解析:分式值为1的条件是分子等于分母且分母不为0即解之即可.故选D.
7.C解析:乙单独做完这项工作需要x+6小时则单独做t小时t6能完成这项工作的.故选C.
8.B解析:A中分子m2+10;B中当m=1时分子为0分母不为0分式的值为0;C中当m=-1时分子为0分母为0分式无意义;D中分子m2+
10.故选B.
9.C解析:因为分式的分母x2-2x+1=x-12≥0所以若分式的值为正数则有x+20且x-1≠0即x-2且x≠
1.故选C.
10.3解析:要使分式的值为负需使分母3-x0即x
3.故填
3.
11.≠±1解析:若分式有意义则x2-1≠0解之即可.故填≠±
1.
12.
13.解:因为当x=1时分式无意义所以1-a=0解得a=1;因为当x=4时此分式的值为零所以4+2b=0解得b=-2所以a+b=1+-2=-
1.在学习分式的概念时避免了传统教学中对于概念的直接给出叫学生死记硬背忽略学生学习的过程也不考虑学生是否真正理解本课时是让学生通过观察、归纳出整式与分式的异同从而总结出分式的概念学生对这样获得的知识理解得更透彻.对学生学习效果的反馈不够及时还不能够较全面地了解学生的学习情况对不足之处未能及时补充.在学习中要注意观察学生的情感变化是否遇到困难学生的积极性、热情是否发挥出来投入的程度有多少是否每个学生都参与其中等作为教师应时刻关注这些以便适时地引导他们调动他们鼓励他们.随堂练习教材第109页
1.解:1当x取1以外的任何实数时分式都有意义. 2当x取±3以外的任何实数时分式都有意义.
2.解:当x=0时=-.当x=-2时=.当x=时=
0.
3.提示:kg.习题
5.1教材第109页
1.解:24是整式13是分式.
2.提示:1x=. 2x=-
2.
3.解:当a=-1b=时==.
4.提示:这箱橘子的零售价至少应定为元/kg.
5.提示:1平均每公顷的棉产量是kg. 2这种商品每件的成本是元.易错点 考虑问题不全面导致错误 已知分式的值为整数求整数x的所有可能值.错解:若分式的值为整数则x-1的值可为
1236.∴x=
2347.错因分析:忽略了分式的值为负整数时x的值造成漏解.正解:若分式的值为整数则x-1的值可为±6±3±2±1∴x=7432-5-2-
10.第课时
1.能正确理解和运用分式的基本性质.
2.能解决一些与分式有关的简单的实际问题.
3.会进行简单分式的乘除运算具有一定的代数化归能力.
4.增强学生的代数推理能力与应用意识.通过与分数的基本性质相比较归纳得出分式的基本性质体验类比的思想方法.通过运用分式的基本性质对分式进行变形获得分式变形的基本方法体验学习的乐趣.【重点】 理解分式的基本性质会进行分式的化简.【难点】 灵活应用分式的基本性质将分式变形.【教师准备】 预设学生学习过程中容易出错的地方.【学生准备】 复习分数的基本性质.导入一:【问题】 有位老爷爷把一块地分给三个儿子.老大分到了这块地的老二分到了这块地的老三分到了这块地的.老大、老二觉得自己很吃亏于是他们就争吵起来.刚好阿凡提路过问清争吵的原因后哈哈大笑了起来给他们讲了几句话后三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗这里涉及了分数的基本性质那么分式也有这样的性质吗[设计意图] 创设故事情境导入新课激发了学生学习的好奇心同时复习了分数的基本性质为学习分式的基本性质做好铺垫.导入二:上节课我们类比整式和分数的概念学习了分式的概念今天我们来继续学习分式的相关知识请看下面的问题:问题1 如图1所示面积为1的长方形平均分成了4份则阴影部分的面积是多少问题2 如图2所示面积为1的长方形平均分成了2份则阴影部分的面积是多少问题3 这两块阴影部分的面积相等吗这个问题同学们会很快说出答案依据就是分数的基本性质那么分式是否具有和分数一样的性质呢[设计意图] 提示学生运用类比的思想进行本课时的学习为学生提供本课时学习方法方面的指导.
一、分式的基本性质 [过渡语] 下面我们来看看分式是否具有与分数类似的性质.思路一请看下面的问题.1填空:==;==.2你认为分式与相等吗为什么与呢与同伴交流.学生独立思考第1题根据分数的基本性质的分子分母同乘4可得的分子分母同时除以2可得小组讨论类比第1题解决第2题.类比分数的基本性质你能猜想出分式的基本性质吗学生尝试归纳相互补充总结得出分式的基本性质.分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式分式的值不变.这一性质可以用式子表示为:==m≠
0.思路二 [过渡语] 类比分数的基本性质你能猜想出分式有什么性质吗请看下面的问题:问题1 如图1所示面积为1的长方形长为a那么长方形的宽怎么表示呢问题2 如图2所示两个图1中的长方形拼接在一起它的宽怎么表示呢问题3 两图中长方形的宽相等吗问题4 通过怎样的变形可以由得到通过怎样的变形可以由得到变形的依据是什么问题5 若n个这样的长方形拼接在一起它的宽又该如何表示呢学生分析得出答案为.教师进一步追问:和相等吗通过怎样的变形可以使它们相等呢问题6 若m+1个这样的长方形拼接在一起宽又如何表示呢追问:和相等吗通过怎样的变形可以使它们相等呢问题7 能类比分数的基本性质归纳出分式的基本性质吗学生根据上面的问题尝试归纳分式的基本性质教师在学生回答的基础上补充完善.总结:分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式分式的值不变.这一性质可以用式子表示为:==m≠
0.教师强调:abm均为整式m≠
0.引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别:在分数的基本性质中“数”是一个具体的、唯一的确定值在分式的基本性质中“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.[设计意图] 一方面提高学生对分式的基本性质的认识另一方面通过师生归纳进一步加深对分式基本性质的理解.
二、例题讲解 [过渡语] 利用分式的基本性质只是改变分式的形式不改变分式的值.请看下面的例题.教材例2下列等式的右边是怎样从左边得到的1=y≠0; 2=.处理方式:引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化讨论解题思路.〔解析〕 1的分母2x乘y才能化为2xy为保证分式的值不变根据分式的基本性质分子b也要乘y才能得到.2的分子ax除以x得到a所以分母bx也需要除以x得到b.在这里由于已知所以x≠
0.解:1因为y≠0所以==.2因为x≠0所以==.教材例3化简下列分式:1;
2.处理方式:引导学生观察分式的分子和分母是否有公因式利用分式的基本性质对分式进行化简.〔解析〕 1的分子和分母均有因式ab所以根据分式的基本性质可以同时除以ab则分式可化为ac.2对于分式先对分子和分母进行因式分解x2-1=x+1x-1x2-2x+1=x-12发现分子分母有公因式x-1由分式的基本性质可化简.解:1==ac.2==.总结:像上面的例3把一个分式的分子和分母的公因式约去这种变形称为分式的约分.[知识拓展]
1.从已知的两个分子或分母的比较中找到分式变形的依据再运用分式的基本性质求未知是解决这类题的方法.
2.应用分式的基本性质对分式进行变形需要注意的问题:1分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算;2所乘或除以的必须是同一个整式;3所乘或除以的整式的值应该不等于零.
三、做一做化简下列分式:1;
2.〔解析〕 根据分式的基本性质进行化简.解:1==.2==.
四、议一议在化简时小颖和小明出现了分歧小颖认为=而小明认为==你对他们两人的做法有何看法与同伴交流.解:在小明的化简结果中分子和分母已没有公因式这样的分式称为最简分式.小明的做法正确.[知识拓展] 化简分式时通常要使结果成为最简分式或整式.约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同时除以同一个整式使分式的值不变所以要找准分子和分母的公因式约分的结果要是最简分式或整式.[设计意图] 通过做一做和议一议检查学生对分式的约分的掌握情况对于错误及时指出并纠正.
五、想一想1与有什么关系2与-有什么关系解:1的分子分母都乘-1与相等.2同样的道理与-相等.与-相等.分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中任意改变其中两个的符号分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号则分式的值变成原分式值的相反数.[设计意图] 通过想一想的设计让学生掌握分式的符号法则.
1.分式的基本性质:==m≠
0.1分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.2在运用分式的基本性质时必须注意分式的分子分母同时乘或除以的是同一个整式且不为
0.3分式的基本性质的研究方法:从分数类比到分式从特殊到一般.
2.分子和分母已没有公因式的分式称为最简分式化简分式时通常要使结果成为最简分式或整式.
3.分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中任意改变其中两个的符号分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号则分式的值变成原分式值的相反数.
1.若将分式ab均为正数中的字母ab的值分别扩大为原来的2倍则分式的值 A.扩大为原来的2倍 B.缩小为原来的C.不改变 D.缩小为原来的解析:此分式中的字母分别扩大为原来的2倍则分式的分子扩大为原来的2倍分式的分母扩大为原来的4倍所以分式的值缩小为原来的.故选B.
2.填写下列等式中未知的分子或分母.1=;2=;3=b≠
0.解析:1先观察分子等式左边分式的分子是x+y而等式右边分式的分子为x2-y2由于x+y·x-y=x2-y2即将等式左边分式的分子乘x-y可得到等式右边分式的分子因而等式左边分式的分母也要乘x-y所以应填x-y
2.2先观察分母等式左边分式的分母为a-ca-bb-c等式右边分式的分母为a-c根据分式的基本性质应将等式左边分式的分子、分母同时除以a-b·b-c因为b-ac-b÷[a-bb-c]=1所以应填
1.3先观察分母等式左边分式的分母为a等式右边分式的分母为ab根据分式的基本性质应将等式左边分式的分子、分母同时乘b因此应填b2-ab.答案:1x-y2 21 3b2-ab
3.下列从左到右的变形是否正确1=;2=;3=;4=.解析:此类题主要考查分式的基本性质.对于条件中隐含a≠0分子、分母同时乘a可得=成立因此1正确;分子、分母同时加上c只有当c=0时成立其余条件下不一定成立因此2错误;当c=0时=不成立因此3错误;在=中隐含c≠0分子、分母同时除以c式子成立因此4正确.解:14正确23不正确.
4.不改变分式的值将式子的分子与分母的系数化为整数.解析:利用分式的基本性质分子与分母同时乘6即可.解:==.
5.不改变分式的值使下列分式的分子、分母都不含负号.1;2-.解析:根据分式的符号法则1可同时改变分子和分式本身的符号;2可同时改变分式本身和分母的符号.解:1=-.2-=.第2课时
一、分式的基本性质
二、例题讲解
三、做一做
四、议一议
五、想一想
一、教材作业【必做题】教材第112页随堂练习的12题.【选做题】教材第113页习题
5.2的34题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列各个算式中正确的是 A.=B.=a+bC.=D.=
2.下列各式中与分式相等的是 A.B.C.x≠yD.
3.已知=下列等式中一定成立的是 A.x=yB.9x=7yC.7x=9yD.xy=
634.把分式中的x和y都扩大为原来的5倍那么分式的值 A.扩大为原来的5倍B.不变C.缩小为原来的D.扩大为原来的倍
5.如果把分式中x和y的值都缩小为原来的那么分式的值 A.扩大为原来的3倍B.缩小为原来的C.缩小为原来的D.不变
6.xx·丽水中考分式-可变形为 A.-B.C.-D.【能力提升】
7.若=则M= .
8.将分式的分子与分母中各项系数化为整数结果是 .
9.下列等式的右边是怎样从左边得到的1=x-1≠0;2=x2-y2≠
0.【拓展探究】
10.若a=b=试不用将分数化为小数比较ab的大小.观察ab的特征以及你比较大小的过程直接写出你发现的一个一般结论.
11.若==≠0求的值.【答案与解析】
1.D
2.C
3.B解析:根据分式的基本性质原式可表示为x=y9x=7y.故选B.
4.B解析:将原式中的xy分别都乘5再根据分式的基本性质化简最后与原来的式子比较.故选B.
5.D解析:先把分式中的xy用xy替换再提取公因式变形化简后和原分式对比即可.由于将中的xy缩小为原来的得=与原分式相等.故选D.
6.D解析:同时改变分式的分母和分式本身的符号得-=.故选D.
7.a2-2ab+b2解析:===即M=a2-2ab+b
2.
8.解析:将分式的分子与分母中各项系数化为整数需将分子分母同乘30结果是.故填.
9.解:1等式左边分式的分子分母都乘x-1得到等式右边的分式. 2左边分式的分子分母都除以x+y得到等式右边的分式.
10.解:ab的特征是分母比分子大
1.∵a==1-b==1-∴ab.结论:当分子比分母小1时分子或分母越大的数越大.
11.解:∵==≠0∴设x=2ky=3kz=4kk≠0∴===-.从相等分数的变形依据:分数的基本性质作为复习引入类比到相等分式的变形依据归纳概括出分式的基本性质.对分数的基本性质和分式的基本性质做了对比研究实现了从“数”到“式”的提升.找公因式是分式约分的关键设计一些找公因式的练习作为铺垫这样学生可能对分式的约分掌握得更好.在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考不要让一些思维活跃的同学的回答代替了其他学生的思考从而掩盖了其他学生的疑问和错误.教师应对学生的讨论给予引导对学习有困难的学生给予及时的帮助使小组合作学习更具实效性.在分式的约分教学中要及时发现学生的错误并当作错误例题进行全班范围的分析找出原因让其他学生也认识到这种错误不能只是改正答案.随堂练习教材第112页
1.12x2+2xy 2y-
22.提示:1-.
2. 3-.习题
5.2教材第113页
1.提示:
1.
2.
3.
2.解:1原式=当x=100时原式=. 2原式=-当x=-6y=28时原式=.
3.解:1==. 2==. 3==. 4==ab≠
0.根据本节课的教学内容结合学生的实际情况可选择的教学方法是:采用“类比旧知——引导发现”的教法引入分式的基本性质;采用学生类比归纳与教师启发点拨相结合的教法突出性质的形成过程;采用“讲练结合”的教法落实性质的应用.并在教学中始终关注两点:1从分数的基本性质到分式的基本性质是从具体到抽象、从特殊到一般的过程;2类比分数的有关知识得到分式的相关知识是研究分式的基本方法.本节课的教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质再用类比的方法得出分式的基本性质.通过判断、填空等练习反复强调“都”“同一个”“不等于零”这些关键词让学生时刻谨记性质使学生在理解的基础上灵活地运用. 不改变分式的值把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数.1;2;
3.〔解析〕 第1题的分式中分子、分母的各项系数都是分数字母系数-中分母的最小公倍数为12把分式的分子、分母都乘这个最小公倍数即可把系数化为整数;第2题的各项系数都是小数且所有小数中小数点后最多的位数是2位所以原分式的分子、分母都乘100;第3题中的系数有分数也有小数应先把它们统一成分数或小数再确定分子、分母应同时乘的数.解:1==.解法1:2====.解法2:2==.解法1:3====.解法2:3===. xx·贵阳中考在三个整式x2-1x2+2x+1x2+x中请你任意选择两个将其中一个作为分子另一个作为分母组成一个分式并将这个分式进行化简再求当x=2时分式的值.解:答案不唯一选择x2-1作为分子x2+2x+1为分母组成分式==.当x=2时原式==.2 分式的乘除法
1.能正确理解分式乘除法的法则能类比分数乘除法的法则得出分式乘除法的法则.
2.能解决一些与分式有关的简单的实际问题.
3.会进行简单分式的乘除运算具有一定的代数化归能力.
4.增强学生的代数推理能力与应用意识.
1.经历探索分式的乘除运算法则的过程能结合具体情境说明其合理性.
2.基本形成学习分式的方法类比分数得到一些相关结论.
1.培养学生大胆猜想勇于发言与合作交流的意识.
2.获得利用所学知识解决实际问题的成功体验.【重点】 利用法则计算分式乘除法并解决简单的实际问题.【难点】 让学生类比分数的乘除法归纳得到分式乘除法的法则.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习小学学过的分数的乘除法.导入一:【问题】 计算并说出分数的乘除法法则.1×;2÷.解:1×==.2÷=×=.分数乘分数用分子的积做积的分子分母的积做积的分母;分数除以分数把除数的分子分母颠倒位置与被除数相乘.下面各式可以像分数的乘法、除法那样进行计算吗1·; 2÷;
3.[设计意图] 复习小学学过的分数的乘除法运算为学习分式乘除法的法则做准备.用同学们熟悉又陌生的分式的乘除运算引入激发学生对本节课学习的兴趣.导入二:【问题】 怎样计算a÷b·小明:a÷b·=a÷1=a.小丽:a÷b·=a··=.谁的算法正确请说明理由.[设计意图] 用简单的分式乘除混合运算引入通过比较小明、小丽不同的做法让学生积极参与激发学生对本节课学习的兴趣.
一、法则归纳思路一计算:1××;2÷÷.问题1 上面运算的根据是什么问题2 你能回忆并说出分数的乘法和除法法则吗问题3 你能类比分数的运算计算下面的式子吗1·; 2÷.问题4 再举几个这样的例子试一试.与同伴交流你的想法.问题5 请你类比分数的乘除法法则用语言描述出分式的乘除法法则小组内交流得出结论.分式的乘法法则:两个分式相乘把分子相乘的积作为积的分子把分母相乘的积作为积的分母.分式的除法法则:两个分式相除把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.这一法则可以用式子表示为:·=;÷=·=.[设计意图] 让学生从熟悉的分数的乘除运算开始通过类比分数的乘除法引导学生尝试去进行分式的乘除让学生再举这样的例子认识到一般规律学生通过小组交流合作归纳总结出分式的乘除法法则.思路二观察下列运算:×=;×=;÷=×=;÷=×=.猜一猜:·= ;÷= . 你能总结出分式乘除法的法则吗与同伴交流.·=÷=·=.分式乘除法的法则:两个分式相乘把分子相乘的积作为积的分子把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.[设计意图] 让学生观察运算通过小组讨论交流并与分数的乘除法法则类比让学生自己总结出分式的乘除法法则.通过类比分数的乘除法法则让学生明白字母代表数这样很顺利地得出分式的乘除法法则.
二、法则应用补充例题计算:1·; 2÷.注意:运用分式的乘除法运算法则进行分式的乘法和除法时能约分的要约分.解:1·===.2÷=·=.[设计意图] 在学生探究出分式的乘除法法则后通过两个简单问题的尝试进一步熟悉运算法则.通过计算认识到分式运算时能约分的要约分最后结果要化成最简分式.根据乘方的意义和分式乘法的法则计算:1=·= ;2=··= ;3=···= .解:1 2 3根据以上计算推导可得:===.n为正整数归纳:分式乘方的法则:分式的乘方等于分子分母分别乘方.
三、例题讲解教材例1计算:1·; 2·.〔解析〕 本题是分式的乘法运算根据法则先将分子与分子相乘分母与分母相乘然后再约分.当然熟练后也可先约分再相乘.解:1·==.2·==.教材例2计算:13xy2÷; 2÷.〔解析〕 本题是分式的除法运算根据法则把除法转化为乘法.第2题的分式中含有多项式对这类运算一般应先将多项式因式分解以便在运算过程中约分使运算简化.解:13xy2÷=3xy2·==.2÷=·===.通过以上例题帮助学生总结出分式乘除法的运算步骤.总结:当分式的分子与分母都是单项式时:1乘法运算步骤:
①用分子的积作为积的分子分母的积作为积的分母;
②把分式的积中的分子与分母分别写成一个因式与另一个因式的乘积形式如果分子或分母的符号是负号应把负号提到分式的前面;
③约分得到计算的结果.2除法的运算步骤:把除式中的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘其他与乘法运算步骤相同.当分式的分子、分母中有多项式时运算步骤:
①先分解因式;
②如果分子与分母有公因式先约分再计算;
③如果分式的分子或分母的符号是负号应把负号提到分式的前面.最后的计算结果必须是最简分式或整式.[设计意图] 通过例题讲解使学生会根据法则理解每一步的算理从而进行简单的分式的乘除运算.需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式对于这一点很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到.在熟悉分式的乘除法法则后例1的设计让学生尝试解决问题巩固所学知识.例2的设计让学生应用从研究简单问题中所获得的经验来解决较为复杂的问题学习处理复杂问题的研究方法和手段进一步学会用化归思想解决问题激发其探究的欲望培养学生良好的学习习惯.
四、做一做购买西瓜时人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形并且西瓜瓤的分布是均匀的西瓜皮的厚度都是d已知球的体积公式为V=πR3其中R为球的半径那么:1西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少2西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少3你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算与同伴交流.解:1可设整个西瓜的半径为R则西瓜瓤的体积V1=πR-d3整个西瓜的体积V=πR
3.2西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是=.3买大西瓜合算.由=可知R越大即西瓜越大的值越小1-的值就越大的值也越大则的值也越大即西瓜瓤占整个西瓜的体积的比也越大所以买大西瓜合算.[设计意图] 解决一些与分式有关的简单的实际问题增强学生的代数推理能力与应用意识.
1.分式乘除法的法则.分式的乘法法则:两个分式相乘把分子相乘的积作为积的分子把分母相乘的积作为积的分母.分式的除法法则:两个分式相除把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为:·=÷=·=.
2.分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.
1.计算x÷·其结果为 A.1B.xyC.D.解析:x÷·=x··=.故选C.
2.化简-其结果为 A.a+1B.a-1C.1-aD.-a-1解析:-=-=1+a.故选A.
3.xx·衢州中考先化简再求值:x2-9÷其中x=-
1.解:原式=x+3x-3·=xx+3=x2+3x当x=-1时原式=-12+3×-1=-
2.
4.计算:1·;2·.解析:1分子和分母都是单项式直接按“分子乘分子分母乘分母”进行计算其运算步骤为:
①符号运算;
②按分式的乘法法则运算;
③约分.2分式的分子、分母中含有多项式应先因式分解再约分.解:1原式=-=-=-.2原式=·==.
5.计算:1-3xy÷; 2xy-x2÷.解析:1先确定商的符号再把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘;2先把除法变为乘法然后按乘法法则进行计算.解:1原式=-3xy·=-.2原式=xy-x2·=-xx-y·=-x2y.2 分式的乘除法
一、法则归纳
二、法则应用
三、例题讲解
四、做一做
一、教材作业【必做题】教材第115页随堂练习.【选做题】教材第116页习题
5.3的34题.
二、课后作业【基础巩固】
1.计算÷的结果是 A.B.aC.a-1D.
2.下列等式正确的是 A.=B.=C.=D.=
3.计算:1·;2÷.【能力提升】
4.计算:1·;2÷.
5.计算:·.
6.已知分式无意义求÷的值.
7.计算:1÷;2·÷.【拓展探究】
8.有这样一列分式:--…其中x≠0x≠-y.1选择其中任意一个分式除以它后面的分式你发现了什么规律2试写出给定的这列分式中的第10个分式;3你能写出第n个分式吗
9.xx·铜仁中考先化简再求值:÷其中x=2y=-
1.【答案与解析】
1.B解析:÷=·=a.故选B.
2.A解析:按照分式乘方的法则进行判断.B中分子平方时是完全平方式结果应为;C中分子应按幂的乘方运算结果应为;D中分子和分母的系数也应分别乘方其结果应为.故选A.
3.解:1·==. 2÷=·=.
4.解:1·==. 2÷=·=.
5.解:原式=·=.
6.解:∵分式无意义∴x2-1=0即x2=1∴÷=·=x+3x-3=x2-9=1-9=-
8.
7.解:1÷=·=·=. 2·÷=··==a4+2a2b2+b
4.
8.解:1任意一个分式除以它后面的分式恒等于-. 2第10个分式是-. 3第n个分式是-1n+
1.
9.解:原式=·=·=-.当x=2y=-1时原式=-=-.本节课利用类比的思想方法对于学生来说是学习新知识的好方法.通过一定数量的练习既复习了旧知又巩固了新知.学生对于法则的应用不难但是较差基础的学生在运用法则进行计算过程中遇到整式的乘法运算时容易出现错误.应该在复习分数的乘除法法则时复习分数的约分通过对分数的约分类比分式的约分加强学生的化简意识和能力.课前有必要巩固整式的乘法运算和因式分解这两方面的知识进行有针对性的练习.随堂练习教材第115页提示:
1. 2a2-2a+
1. 3xy-y.
4.习题
5.3教材第116页
1.提示:
1.
2.
3.
4.
2.提示:1a2-ab.
2.
3.
3.解:不正确.运算顺序不对正确的过程是:a÷b·=a··=.
4.提示:火车的速度是汽车速度的倍. 用清水洗蔬菜上残留的农药设用xx≥1单位量的水清洗一次以后蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.现有aa2单位量的水可以一次清洗也可以把水平均分成两份后清洗两次用哪种方法清洗后蔬菜上残留的农药量比较少说明理由.解:根据题意在两种方法下设清洗前残留的农药量为1则用a单位量的水清洗一次蔬菜上残留的农药量为p=;把a单位量的水平均分成两份后清洗两次蔬菜上残留的农药量为Q===.因为a2所以1+a-=-=0所以1+a1++所以即PQ所以清洗两次后蔬菜上残留的农药量比较少.3 分式的加减法
1.会进行简单分式的加减运算具有一定的代数化归能力.
2.会进行同分母分式、异分母分式加减的简单运算.
1.经历类比、猜想、归纳、探索分式加减运算法则的过程.
2.经历探索分式加减运算法则的过程理解其算理.
1.能解决一些简单的实际问题进一步体会分式的模型思想.
2.使学生体会分式的加减法在实际生活中的应用价值.【重点】 探索分式加减法法则会进行分式的加减运算.【难点】 异分母分式的加减运算.第课时
1.类比同分母分数的加减法法则归纳出同分母的分式加减法法则.
2.理解同分母的分式加减法法则能进行同分母的分式加减法运算及分母互为相反式的分式加减法运算.
1.经历类比、猜想、归纳、探索同分母的分式加减运算法则的过程.
2.经历探索分式加减运算法则的过程理解其算理.通过学习认识到分数与分式的联系理解事物拓延的内在本质丰富数学情感与思想.【重点】 理解同分母的分式加减法的运算法则能进行同分母的分式加减运算.【难点】 分母互为相反数的分式加减法运算.【教师准备】 推导法则所用的题板.【学生准备】 复习同分母分数的加减法.导入一:计算下列各题:+=-=+=-=猜想下列各式的结果:+=-=+=-=[设计意图] 通过做一做可以使学生很快进入状态又不觉得困难.后两个的运算结果要约分化为最简分数学生极有可能说出没有约分的答案.因此类比时注意引导学生正确猜想注意约分使法则的提出顺理成章也为后面的学习做好铺垫.导入二:计算下列各题:+=-=+=-=【学生活动】 同桌互相配合一个出题一个答题.【问题】 你能否把这一数学事实用字母表示出来会用语言叙述吗用式子表示为:±=.同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减分母不变把分子相加减.[设计意图] 通过复习同分母的分数加减法的题引导学生用类比的思想猜一猜同分母的分式的加减法如何运算并试图让学生认识其合理性.从而给出同分母的分式加减法的运算法则点明本节课的主要内容. [过渡语] 学习了同分母的分式加减法法则大家会运用法则计算吗
一、法则应用思路一教材例1计算:1-;2-;3-;4+-.〔解析〕 这四个题均可以直接利用法则进行计算四个小题由简单到复杂分母由单项式到多项式分式的个数由2个到3个结果由简单约分到需要因式分解后再约分但都属于简单的分式运算.解:1-===.2-===x+
2.3-====-
3.4+-==.[设计意图] 通过这4道小题的讲解让学生掌握如何运用法则进行运算并注意运算时可能出现的问题.[教学提醒] 本例教学每小题都应帮助学生理解算理清楚每一步运算的依据在进行运算时若分子是多项式的分子要先添括号再去括号最后合并同类项;运算结果也要类比分数加减法的结果化成最简形式即约去分子与分母的所有公因式——化简.思路二请计算+-并分别取a=3x=9检验你的结果是否正确.〔解析〕 利用同分母的分式加减法法则可以计算出结果分别代入具体值加以验证.解:+=;-===x+
3.当a=3时+=+=;=.当x=9时-=-=12;x+3=9+3=
12.所以+=;-=x+3均正确.[设计意图] 利用求代数式的值加深对同分母的分式加减法的理解.
二、例题讲解 [过渡语] 对同分母的分式加减法法则我们做到深刻领会了吗请看下面例题.教材例2计算:1+;2-.〔解析〕 本例教学中可以先让学生观察两个分式的分母再提问以启发学生思考:问题1:这两个分式的分母相同吗有什么关系问题2:用什么方法可以将它们化成同分母分式问题3:分子的符号、分母的符号、分式的符号之间有何关系解:1+=-==
1.2-=+===a-
1.补充例题计算:1-;2-+.〔解析〕 同分母的分式相加减分母不变把分子相加减.解:1原式===.2原式===.[方法技巧] 同分母的分式加减法的运算当分子为多项式时应把多项式看成一个整体添上括号再运算结果要化成最简分式.[知识拓展] 分母互为相反数的分式加减法.计算:1+;2+;3+-.〔解析〕 这是一组分母互为相反数的分式加减运算的题目旨在初现异分母分式的加减运算实质是化成同分母的分式再运算这要求学生能够熟练掌握并为下节课要学习的异分母的分式加减法做好准备.解:1+=-==
1.2+=-==.3+-=--===-
1.
1.同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减分母不变把分子相加减.
2.学会用转化的思想将分母互为相反数的分式加减运算转化成同分母分式的加减运算.
3.分子是多项式时一定记得添括号后再进行加减运算.
4.学会用类比的方法去分析和解决问题.
1.xx·绍兴中考化简+的结果是 A.x+1B.C.x-1D.解析:+===x+
1.故选A.
2.计算:-+= . 解析:-+===
1.故填
1.
3.计算:-= . 解析:-===-
2.故填-
2.
4.计算:1+; 2+; 3-.解:1+==.2+===a+b.3-===-
3.第1课时同分母的分式加减法法则:同分母的分式相加减分母不变把分子相加减.用式子表示为:±=.
一、法则应用
二、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第118页随堂练习的12题.【选做题】教材第118页习题
5.4的123题.
二、课后作业【基础巩固】
1.化简-的结果是 A.-x-yB.y-xC.x-yD.x+y
2.计算+-得 A.-B.C.-2D.
23.计算:1-+;2-+.【能力提升】
4.计算:1+-;2-+.
5.xx·湖州中考计算:-.【拓展探究】
6.计算:-+.
7.化简求值:-其中a=-2b=.【答案与解析】
1.C解析:原式===x-y.故选C.
2.D解析:原式===
2.故选D.
3.解:1-+==. 2-+===-.
4.解:1+-==. 2-+==.
5.解:原式===a+b.
6.解:原式====.
7.解:原式===-.当a=-2b=时原式=-=.教材为我们提供了最基本有效的教学素材我们应该充分挖掘这些素材把它们转化成本节课的实质内容并明确教学目标让学生通过对这些素材的把握做到举一反
三、灵活运用.作为运算课后还是应该多加练习扎实基本功毕竟课堂时间有限.
1.因势利导由浅入深鼓励学生通过与同分母的分数的加减法类比给出同分母的分式加减运算法则后应该先讲如何应用再让学生练习自然引出例题.
2.应该讲练结合注意对关键点的引导.随堂练习教材第118页
1.解:1不正确+=. 2不正确-=. 3不正确1+=. 4正确.
2.解:1-.
2.
31.习题
5.4教材第118页
1.解:
1. 2-.
2.解:1a+b. 2-. 3或-. 4x+
2.
3.解:原式=x-1当x=时原式=-.
4.解:-=-=h.历史上的分数运算法则
1.最早的分数运算法则我们伟大的祖国作为世界四大文明古国之一在世界数学发展的历史长河中曾作出过许多杰出的贡献远远走在世界的前列.许多光辉的成就在世界数学史上享有崇高的荣誉.分数运算法则的出现就是我们引以为荣的成就.早在西汉时期张苍、耿寿昌等学者在整理、删补自秦代以来的数学知识的基础上编成了数学的经典——《九章算术》.后来魏晋时代伟大的数学家刘徽对此书作了注解于魏景元四年写成了《九章算术注》.在《九章算术》的《方田》章中提出了完整的分数运算法则讲到了约分、合分分数的加法、减分分数的减法、乘分分数的乘法、经分分数的除法的法则这些与我们现在的分数运算法则完全相同.另外还记载了课分比较分数的大小、平分求分数的平均值等关于分数的知识是世界上最早的系统表述分数的著作.分数运算大约15世纪才在欧洲流行.欧洲人普遍认为这种算法起源于印度.实际上印度到7世纪婆罗门笈多的著作中才开始出现分数的运算法则即使与刘徽的时代相比印度也要比我国迟400年左右.
2.中国最早的约分《九章算术》中的算法是在假设读者已具备了正整数四则运算方法的基础上展开的.《方田》一章中讲述了分数运算“约分术”是第一个算法其述文是:“可半者半之;不可半者副置分母、子之数以少减多更相减损求其等也.以等数约之.”意思是:分母、分子若都是偶数先同被2除;若不都是偶数则用“更相减损术”求其“等数”即最大公约数.再用最大公约数去同除分母与分子.所谓“更相减损”就是辗转相减.例如求91与49的“等数”方法是:于是有=.上述求等数的更相减损法即从多的一边筹码数中将另一边较少的筹码数减去如此反复进行直到两边所剩数相等.这也是“等数”名称的由来. 如果我们定义fx=如f2==f==.根据定义请你计算下面式子的值:fxx+fxx+…+f1+f0+f1+…+f+f.解:依题意设n是整数则fn=f==所以fn+f=+==1则fxx+fxx+…+f1+f0+f1+…+f+f=++…+[f1+f1]+f0=+0=xx.问题:若我们定义gx=如g2==g-2==-根据定义请你计算下面式子的值:gxx+gxx+…+g2+g1+g-1+g-2+…+g-xx+g-xx.〔答案〕 0 xx·河北中考化简:-等于 A.0B.1C.xD.〔解析〕 -===x.故选C. xx·遵义中考计算:+的结果是 . 〔解析〕 原式变形后利用同分母的分式减法法则即可得到结果.+=-==-
1.故填-
1.第课时
1.会找最简公分母能进行分式的通分.
2.理解并掌握异分母的分式加减法法则.经历对异分母分式的加减运算的探讨过程提高学生的分式运算能力.培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识进一步通过实例培养学生的符号感和应用数学的意识.【重点】 理解并掌握异分母的分式加减法法则.【难点】 找到最简公分母能进行分式的通分.【教师准备】 巩固上节的知识点.【学生准备】 复习同分母的分式加减法法则.导入一: [过渡语] 同学们上节课我们学习了同分母的分式加减法法则利用法则我们能进行同分母分式的加减运算下面我们一起复习一下.复习提问:问题1:同分母的分式是怎样进行加减运算的问题2:异分母的分数又是如何进行加减运算的问题3:计算+.[设计意图] 由复习旧知识引入新知识过渡自然易于接受.导入二:计算:-.【问题】 该计算属于同分母的分式相减吗如果不是那么如何化为同分母的分式【师生活动】 由分式的基本性质把化为这样就变成了同分母的分式相减我们就会做了.【学生活动】 类比学过的异分母分数的加减法法则猜测异分母分式的加减法法则.[设计意图] 由复习同分母的分式加减法法则和分式的基本性质引入新知识使学生便于理解和掌握.
一、通分思路一【议一议】 小明认为只要把异分母的分式化成同分母的分式异分母分式的加减运算就变成了同分母分式的加减运算.小亮同意小明的这种看法但他俩的具体做法不同:小明:+=+=+==.小亮:+=+=+=.你对这两种做法有何评论与同伴交流.〔解析〕 他们的共同之处是都根据分式的基本性质将异分母分式的加法变成同分母分式的加法;不同之处是选取的公分母有所不同一个是4a2另一个是4a后者比前者简单.[设计意图] 这里的小明小亮两人的做法很有代表性也是学生在化异分母的分式为同分母的分式的过程中经常出现的情况这就很自然提到通分的概念引导学生类比最小公倍数确定最简公分母.当然从最后结果来说都是对的这就要求教师耐心引导.补充例题通分.1; 2;
3.〔解析〕 分式的通分即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母叫做最简公分母.例如第1小题中的两个分式和它们的最简公分母是a2b
2.解:1与的最简公分母为a2b2所以====.2与的最简公分母为x-yx+y即x2-y2所以====.3因为x2-y2=x+yx-yx2+xy=xx+y所以与的最简公分母为xx+y·x-y因此=;=.[老师点评] 异分母的分式加减法法则:异分母的分式相加减先通分化为同分母的分式然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用式子表示为:±=±=.[知识拓展] 确定最简公分母的一般步骤:1找系数:如果各分母的系数都是整数那么取它们的最小公倍数.2找字母:各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.3找指数:取各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.这样取出的因式的积就是最简公分母.思路二回顾一下我们学习异分母的分数加减法时是如何进行的呢首先要通分变成同分母的分数然后进行计算.类似于异分母的分数加减法法则我们可以根据分式的基本性质对异分母的分式进行通分变为同分母的分式相加减.[设计意图] 利用类比的方式学习新的知识点.过渡自然易于学生接受.
二、例题讲解教材例3计算:1+; 2-; 3-.解:1+=+===.2-=-==.3-=-===.[设计意图] 不同梯度的三道题呈现异分母的分式加减法的三种形式让学生体会法则的运用.要因形式而变且万变不离其宗——异分母的分式加减法法则.[方法技巧] 在化成同分母的分式加减法的过程中学生可能会出现一些麻烦这要求我们根据具体情况加以引导同时还要在3题中渗透分母是多项式且可以进行因式分解的应先分解因式再通分.对于通分后的分子是多项式的也要先添括号再进行运算. [过渡语] 刚才我们只是单纯的计算演练下面看看我们能不能通过计算解决实际问题教材例4小刚家和小丽家到学校的路程都是3km其中小丽走的是平路骑车速度是2vkm/h.小刚需要走1km的上坡路、2km的下坡路在上坡路上的骑车速度为vkm/h在下坡路上的骑车速度为3vkm/h.那么1小刚从家到学校需要多长时间2小刚和小丽谁在路上花费的时间少少用多长时间〔解析〕 这是一道实际问题不仅要求学生用分式来表示还要运用分式的加减运算来解决问题让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程关注学生对数学建模能力的培养问题2涉及比较分式大小的问题可以引导学生类比分数的大小比较进行解决.解:1小刚从家到学校需要+==h.2小丽从家到学校需要h.因为所以小丽在路上花费时间少.小丽比小刚在路上花费时间少-==h.[设计意图] 通过这个实例提高学生运用分式表达数量之间的关系运用分式的加减运算解决实际问题的能力增强学生应用数学解决实际问题的意识.讲解这个题目时可以采取学生板演大家讨论、交流的形式这样老师能更好地发现学生在用知识时真正的“症结”所在有助于教学的针对性.同时应该关注学生的书写是否规范.[知识拓展] 异分母的分式加减法的步骤:1通分将异分母的分式化成同分母的分式;2写成“分母不变分子相加减”的形式;3分子去括号合并同类项;4分子、分母同时约分将结果化成最简分式或整式.
1.异分母的分式加减法法则.
2.通分的关键就是找最简公分母对于分母是多项式且能够进行因式分解的要先分解再找最简公分母.
3.通分前分子是单项式的通分后就可能变成多项式运算时记得添括号.
4.运算结果要约分有一些运算律仍然适用.
1.计算+的结果是 A.B.C.D.解析:+=+==.故选C.
2.计算-的结果是 A.-B.C.-D.解析:-=--===.故选D.
3.计算:1+; 2+; 3--.解:1+=+=.2+=-===.3--=--===-.
4.xx·泸州中考化简:÷.解:原式=÷=·=.
5.计算:+-.解:原式=++===
1.第2课时异分母的分式加减法法则:用式子表示为:±=±=.
一、通分
二、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第121页随堂练习的12题.【选做题】教材第121页习题
5.5的124题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列计算正确的是 A.+=B.+=C.-=D.+=
02.计算+-得 A.-B.C.-2D.
3.计算:1+= ; 2+= .
4.计算:1+;2+.【能力提升】
5.已知x≠0则++等于 A.B.C.D.
6.xx·宜昌中考化简:+.
7.计算:-.
8.计算:+-.
9.计算:÷.【拓展探究】
10.xx·台州中考先化简再求值:-其中a=-
1.
11.已知实数ab满足ab=1求下列分式的值.1+;2+.【答案与解析】
1.D解析:A.+=+==.B.+=+=.C.-==-.D.+=-=
0.故选D.
2.D解析:+-=++==.故选D.
3.11 2解析:1+==
1.2+=+==.
4.解:1+=+===. 2+=+===.
5.D解析:++=++=.故选D.
6.解:+=+=+==
1.
7.解:原式=-===.
8.解:原式=+-====-.
9.解:原式=÷=×=×=.
10.解:原式==.当a=-1时===.
11.解:1原式=+=+=
1. 2原式=+=+=
1.例题和习题采取梯度设置有助于学生循序渐进地获得知识对知识掌握得更容易且更牢靠教学效果很好.增加讨论能让学生更明确其算理所在容易接受.通过演练老师能发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误有助于及时纠正应该多采取这种方式.实际问题的解决在于对数学模型的理解对字母表示数的理解可以在平时教学中不时渗透增强学生应用数学的意识使数学思想得到提升.随堂练习教材第121页
1.解:1==. 2=-=. 3==. 4==-=-.
2.解:
1. 2或.习题
5.5教材第121页
1.解:
1.
2.
3. 4或.
2.解:1-. 2原式=+=.
3.解:原式=·=2x+8或者原式=·-·=2x+
8.
4.解:1输出的答案都为
1. 2-=
1.
5.解:-=元.怎样确定最简公分母我们在进行异分母的分式加减运算时先找到几个异分母的最简公分母然后进行通分再进行计算.如何确定最简公分母呢
1.算式中只有一项是分式最简公分母就是这个分式的分母.如算式a-1+的最简公分母就是a+
1.
2.算式中有几个分式相加减若分母互为相反数则最简公分母可取其中任何一个分母.如算式--的最简公分母可以是a-2b也可以是2b-a.
3.当算式中分式的几个分母都是单项式时最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的乘积.如算式+-的最简公分母就是12abx2y
2.
4.当算式中分式的几个分母都是多项式时要先把所有分母进行因式分解最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积.如算式+的最简公分母是4x+yx-y
2.
5.当算式中分式的分子与分母都有公因式时可以先把这个分式约分再根据情况确定最简公分母.如计算-时如果直接通分则显得繁琐;若把的分子、分母分别分解因式得可化简为.可见最简公分母是x-
2. 甲、乙两人一个月里两次同时到一家粮油商店去买大米两次大米的价格有变化其中第一次的单价为x元第二次的单价为y元x≠y.他们两人的购买方式不同:甲每次总是买相同质量的大米乙每次只拿出相同数量的钱来买大米.两种购买方式哪一种更合算解:设甲每次买a千克大米乙每次拿出b元由题意得甲两次购买大米的平均单价为=元乙两次购买大米的平均单价为=元.甲、乙两次购买大米平均单价的差是-=-=.因为xy是正数所以当x≠y时是正数.所以乙的购买方式更合算. 解答一个问题后将结论作为条件之一提出与原问题有关的新问题我们把它称为原问题的一个“逆向”问题.例如原问题是“已知长方形的两边长分别为3和4求长方形的周长”求出周长等于14后它的一个“逆向”问题可以是“已知长方形的周长为14且一边长为3求另一边的长”;也可以是“已知长方形的周长为14求长方形面积的最大值”等.1设A=-B=求A与B的积;2提出1的一个“逆向”问题并解答这个问题.解:1A×B=·=2x+
8.2已知A×B=2x+8A=-求B的值.2x+8÷=2x+8×=.答案不唯一第课时
1.会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算.
2.提高学生对代数式化简变形的能力.
3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.会运用分式建立数学模型从而解决实际问题增强学生应用数学的意识.培养学生在学习中将未知问题转化为已知问题的能力和意识进一步通过实例增强学生的符号感和应用数学的意识.【重点】 分式的混合运算及较复杂的分式化简、求值.【难点】 运用分式建立数学模型从而解决实际问题.【教师准备】 巩固复习分式加减法的习题.【学生准备】 复习分式的加减法法则.导入一:【问题】 同分母的分式是怎样进行加减运算的异分母的分式呢通过下面的“练一练”思考.【练一练】1+; 2-; 3-.【参考答案】 1+=+=.2-=-==.3-=-====.[设计意图] 通过回忆同分母的分式、异分母的分式加减法法则来加深学生对所学知识的认识也为这节课打好理论基础.同时又通过练一练的三道题检查学生对法则的运用情况加强对法则的理解与应用为本节课的学习扫平障碍.导入二:预习完成:
1.分数混合运算的运算顺序是 .
2.大胆猜一猜:分数的混合运算与分式的混合运算的运算顺序 填“是或不是”相同的.
3.提醒:分式混合运算时要注意运算顺序在没有括号的情况下按从 到 的方向先 再 .有括号要按先 再 最后 的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行 注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时要把“-”提到分式本身的前面. 检查后教师强调说明:分式的加、减、乘、除混合运算注意以下几点:1一般按分式的运算法则进行计算但恰当地使用运算律会使运算简便;2注意分子、分母可以进行因式分解的要先分解因式避免约分或通分时运算繁琐;3注意“添括号”或“去括号”有时要变号;4结果要化为最简分式.[设计意图] 通过类比分数的混合运算引出分式的混合运算使学生自然过渡到新知识的学习中. [过渡语] 要真正理解分式混合运算的法则不能只是纸上谈兵我们实际演练一下吧.
一、例题讲解教材例5计算:1+; 2-x+1; 3+-.〔解析〕 这三道题涵盖了分母是多项式的要先分解因式再通分.这是本节课所要达到的能力目标之一同时又能巩固学生对异分母的分式加减运算的能力应该认真讲解.解:1+=+=+==.2-x+1=-x-1=-==.3+-=+-==.[设计意图] 讲解时应该侧重于培养学生有先分解因式再找公分母的意识注意通分后分子的变化再次提醒学生要添加括号.第2小题讲解时应该注重对整体思想方法的引导而不是强硬地灌输因为逐个通分一样可以解决可以选择在讲解后再让学生自己试一试更能体会整体思想带来的效果或许会有更好的教学效果.教材例6已知=2求--的值.〔解析〕 这道例题从一个新的角度来提升分式加减法的运用——求值也是我们分式运算变形最终的一个落脚点——分式求值而此类题型在七年级时学生就训练了很多一般都是直接给出xy的值这个例题又从新的角度考查使学生对代数式的变形能力明显提高.解:--==.因为=2即x=2y所以原式===.与同伴交流你有几种解法.[设计意图] 本题关键是给学生指明两种变形途径解决问题:1变已知即教材中提到的由=2得x=2y利用消元法的思想去解决;2变所求即将要求的式子向已知的形式变形.讲解时老师应该点明这两种主导思想且让学生动手练习第二种途径.
二、做一做根据规划设计某工程队准备修建一条长1120m的盲道.由于采用新的施工方式实际每天修建盲道的长度比原计划增加10m从而缩短了工期.假设原计划每天修建盲道xm那么1原计划修建这条盲道需要多少天实际修建这条盲道用了多少天2实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天〔解析〕 本题从生活实际出发要求学生会用所学习的知识建立数学模型并解决实际问题.大多数学生对第一问感觉简单但在第二问时有些学生弄不清哪个数减哪个数.关键是没把握谁大谁小总结时可点明:在分子相同的情况下且都是正数就看分母分母越大分式的值越小;反之分母越小分式的值越大.如x
0.因为缩短的天数一定是正数所以一定用大数减小数.明白这一点对后面的分式方程的学习有极大的帮助.解:1原计划修建这条盲道需要天实际修建这条盲道用了天.2实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了天.[知识拓展]
1.分式混合运算的技巧例1 化简·.〔解析〕 如果直接把括号里面的两个分式进行通分则显得有点繁琐如果先把的分子进行因式分解再与括号里的每一项相乘则会简便很多.解:·=·=·-·=2x+3-x-3=2x+6-x+3=x+
9.
2.运用整体思想进行计算例2 计算-.〔解析〕 若把括号内的a2与b2作为两项处理则显得比较繁琐而把-a2+b2作为一个整体进行处理则要容易得多.解:-=-=-=-·+·a-ba+b=-+a+b=a+b.
1.异分母的分式加减法法则及通分的注意事项.
2.分式的化简、求值及变形.
3.在应用题中能正确把握分式所表示的实际意义将更有助于解题.
1.化简:÷的结果是 A.B.x-1C.D.解析:÷=÷=×=x-
1.故选B.
2.化简:÷= . 解析:÷=÷=
1.故填
1.
3.化简:·= . 解析:·=·=-
2.故填-
2.
4.xx·株洲中考先化简再求值:·其中x=
4.解:原式=·=x+
2.当x=4时原式=x+2=
6.
5.计算:1÷;21-÷.解:1÷=÷=÷=×=.21-÷=1-×=-==.第3课时
一、例题讲解
二、做一做
一、教材作业【必做题】教材第123页随堂练习的12题.【选做题】教材第124页习题
5.6的12题.
二、课后作业【基础巩固】
1.化简-的结果是 A.a2-b2B.a+bC.a-bD.
12.若a-b=2ab则-的值为 A.B.-C.-2D.
23.已知x≠0则++等于 A.B.C.D.
4.xx·天津中考若a=则+的值为 .
5.xx·梧州中考计算:-= .
6.xx·随州中考若ab=-1a+b=2则+= .
7.计算:++.【能力提升】
8.xx·莱芜中考先化简再求值:÷其中x=-4+.
9.化简:1-·;2÷-.
10.已知实数a满足a2+4a-8=0求-·的值.【拓展探究】
11.xx·苏州中考先化简再求值:÷其中x=-
1.
12.甲、乙两工程队分别承担一条2km公路的维修工作甲队有一半时间每天维修公路xkm另一半时间每天维修公路ykm.乙队维修前1km公路时每天维修xkm维修后1km公路时每天维修ykm.x≠y1求甲、乙两队完成任务需要的时间;用含xy的代数式表示2甲、乙两队哪队先完成任务
13.xx·资阳中考先化简再求值:÷其中x满足2x-6=
0.【答案与解析】
1.B解析:-===a+b.故选B.
2.C解析:-=-=-把a-b=2ab代入原式=-=-
2.故选C.
3.D解析:++=++=.故选D.
4.解析:+==把a=代入原式=.故填.
5.0解析:-=-=
0.故填
0.
6.-6解析:+=+==把ab=-1a+b=2代入原式==-
6.故填-
6.
7.解:原式=+-====.
8.解:原式=÷=·=·=-x-
4.当x=-4+时原式=--4+-4=4--4=-.
9.解:1-·=-·=-+=
1. 2÷-=·-=-==
1.
10.解:原式==由a2+4a-8=0得a2+4a=8故原式=.
11.解:原式=÷=×=当x=-1时原式===.
12.解:1甲队完成任务需要的时间为2÷=天.乙队完成任务需要的时间为+=天.所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为天天. 2-==.∵x≠yx0y0∴x-y20xyx+y0∴-x-y20∴0即-0∴∴甲队先完成任务.
13.解:原式=÷=÷=×=.∵2x-6=0∴x=
3.当x=3时原式=.本节课通过讨论让学生更进一步理解分式加减法的算理使之容易接受.通过学生演练让老师能更好地发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误有助于及时纠正应该多采取这种方式.本节课中实际问题的解决建立在对数学模型、用字母表示数的理解的基础之上但是有不少学生对此理解不够.在平时教学中应该时时渗透用数学解决实际问题的思想增强学生应用数学的意识使数学思想得到提升.随堂练习教材第123页
1.解:1原式=. 2原式=-n-1=-==. 3原式=.
2.解:1原式=当a=时原式=-. 2原式=-当x=3y时原式=-.习题
5.6教材第124页
1.提示:
1.
2.
3.
4.
2.解:1原式=r+1当r=100时原式=
101. 2原式=-若m=n则原式=.
3.解:1÷=h.
4.解:p-=h.
5.解:设杯中原有糖水mg加入cg糖后杯中糖水变为m+cg此时糖水中含糖g即g含糖量为÷m+c=.因为-==0所以即含糖量比原来高了. 已知x+=3求下列各式的值:1x2+; 2x3+;
3.〔解析〕 观察可知将所求的式子变形可将已知条件或已经求得的值整体代入其中第3题可先求它的倒数再将x2+=7直接代入求值.解:1x2+=-2=32-2=
7.2x3+==3×7-1=
18.3因为=x2++1=7+1=8所以=.[学法指导] 这种变形练习是数学中最常用的今后在进行一元二次方程和二次函数的学习时常用变形解决问题希望把变形原理理解清楚. xx·湛江中考已知P=Q=用“+”或“-”连接PQ共有三种不同的形式:P+QP-QQ-P请选择其中一种进行化简求值其中a=3b=
2.解:如选P+Q进行计算:P+Q=+===当a=3b=2时P+Q==
5.4 分式方程
1.理解分式方程的概念.
2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型并能归纳出分式方程的描述性定义.
3.在建立分式方程数学模型的过程中获得成就感提高解决问题的能力.
1.经历探索分式方程概念的过程会解可化为一元一次方程的分式方程会检验根的合理性明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系与区别.
2.经历“实际问题——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程提高学生分析问题、解决问题的能力增强学生应用数学解决实际问题的意识.
3.通过分式方程的实际应用提高学生的思维水平和应用意识.通过创设贴近学生生活实际的现实情境增强学生的应用意识培养学生对生活的热爱.如节约用水、用电的教育.【重点】 实际生活中分式方程应用题的分析与应用.【难点】 生活中关于分式方程应用题的探究.第课时
1.理解分式方程的概念.
2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型并能归纳出分式方程的描述性定义.
1.经历探索分式方程概念的过程.
2.经历“实际问题——建立分式方程模型”的过程提高学生分析问题、解决问题的能力培养学生的应用意识.
3.通过分式方程的实际应用提高学生的思维水平和应用意识.通过创设贴近学生生活实际的现实情境增强学生的应用意识培养学生对生活的热爱如节约用水、用电的教育.【重点】 根据题意列分式方程.【难点】 分式方程应用题的探究.【教师准备】 多媒体课件.【学生准备】 复习方程的有关知识.导入一:在本章的第一节“认识分式”中我们曾研究过一个“固沙造林绿化家园”的问题.面对日益严重的土地沙化问题某县决定在一定期限内固沙造林2400hm2实际每月固沙造林的面积比原计划多30hm2结果提前4个月完成原计划任务.如果设原计划每月固沙造林xhm2那么1原计划完成造林任务需要多少个月2实际完成造林任务用了多少个月〔解析〕 这一问题中有哪些已知量和未知量已知量:造林总面积2400hm2实际每月造林面积比原计划多30hm
2.未知量:原计划每月固沙造林多少公顷.这一问题中有哪些等量关系实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30hm
2.原计划完成的时间-实际完成的时间=4个月.我们设原计划每月固沙造林xhm2那么原计划完成工程需要 个月实际完成工程用了 个月根据题意可得方程 . 答案:;;-=
4.问题:-=4这个方程和我们先前学习的方程有什么不同怎样解这样的方程[设计意图] 为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过程体会分式方程的模型在解决实际问题中的作用利用本章第一节“认识分式”中一个熟悉的问题引导学生努力寻找问题中的所有等量关系发展学生分析问题、解决问题的能力.导入二:甲、乙两地相距1400km乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的
2.8倍.1你能找出这一问题中的所有等量关系吗2如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h那么x满足怎样的方程3如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh那么y满足怎样的方程〔解析〕 1等量关系包括:乘高铁列车所用的时间+9h=乘特快列车所用的时间;高铁列车的平均行驶速度=
2.8×特快列车的平均行驶速度;乘高铁列车所用的时间=.乘特快列车所用的时间=.2+9=.3=
2.8×.【问题】 上述23的两个方程之间有什么共同特点这种方程我们学过吗[设计意图] 让学生经历从实际问题抽象、概括出分式方程这一“数学化”的过程体会分式方程的模型作用设置这个例题的目的是引导学生寻找问题中的所有等量关系提高学生分析问题、解决问题的能力. [过渡语] 刚才我们列出了与先前学习的方程不同的方程让我们一起来研究这种新的方程.
一、列分式方程为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园某学校号召同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4800元八年级同学捐款总额为5000元八年级捐款人数比七年级多20人而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果设七年级捐款人数为x人那么x满足怎样的方程〔解析〕 教学时要求学生寻找问题中的所有等量关系主要等量关系有:八年级捐款人数=七年级捐款人数+20人.七年级捐款总数=七年级捐款人数×七年级人均捐款额.八年级捐款总数=八年级捐款人数×八年级人均捐款额.七年级人均捐款额=八年级人均捐款额.列方程为=.[设计意图] 让学生经历从实际问题抽象、概括出分式方程这一“数学化”的过程感受建立分式方程的模型的必要.
二、分式方程的定义 [过渡语] 从刚才列方程的过程看与我们先前列方程的基本思路是一样的简单地说就是建立起含未知数的等量关系.大家发现了其中不同的地方吗思路一【问题】 1是整式还是分式2以往学过的方程中分母中含有字母吗【答案预设】 学生会比较容易地回答出第1问是分式;对于第2问分式中含有字母这个特点还缺乏概括能力需要对学生进行提示和指导.归纳:分式方程的重要特征:1含分母;2分母中含有未知数.分式方程与整式方程的区别:分式方程中的分母含有未知数而整式方程中的分母不含有未知数.[设计意图] 让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同从而得出分式方程的概念.注意引导学生理解分式方程的重要特征分清分式方程与整式方程的区别.思路二【问题】 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等江水的流速为多少〔解析〕 设江水的流速是v千米/时.1轮船顺流航行速度为20+v千米/时逆流航行速度为20-v千米/时.2顺流航行100千米所用的时间为小时;3逆流航行60千米所用的时间为小时;4根据题意可列方程为=.【议一议】 方程=的特征.教师提出问题学生思考、讨论后在全班交流.【学生活动】 该方程的特征是分母中含有未知数.教师总结出分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.【想一想】 方程x+x+1=是分式方程吗【学生活动】 不是分式方程分母中不含有未知数.【老师总结】 方程中含有分式并且分母中含有未知数的方程才属于分式方程.【做一做】 在关于x的方程
①=8+
②=x
③=
④x-=0中是分式方程的有 A.
①和
②B.
②和
③C.
③和
④D.
①和
④〔解析〕 方程
①和
②的分母中都不含有未知数方程
③和
④的分母中都含有未知数所以
③和
④是分式方程.故选C.[设计意图] 通过让学生经历实际问题的分析过程并总结出分式方程的特点进而给出分式方程的定义便于学生理解.[知识拓展]
1.根据定义判断一个方程是不是分式方程应该看原方程而不是化简后的方程.
2.分式方程与整式方程的区分:特点说明举例整式方程方程中所有的未知数都出现在分子上分母只是常数而没有未知数有“元”和“次”的说法3x+=-x是一元一次方程;2x+y=3是二元一次方程分式方程方程的分母中含有未知数x-=2+1=y分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
1.下列关于x的方程中不是分式方程的是 A.=B.=C.=4D.-=解析:选项D方程的分母中不含有未知数.由分式方程的定义知不是分式方程.故选D.
2.某服装厂准备加工400套运动装在加工完160套后采用了新技术使得工作效率比原计划提高了20%结果共用了18天完成任务则原计划每天加工服装多少套在这个问题中设原计划每天加工x套则根据题意可得方程为 A.+=18B.+=18C.+=18D.+=18解析:本题的关键是寻找两个不同工作效率下完成任务的时间一个是先前加工160套所需的时间另一个是提高工作效率后加工剩余的运动装所需要的时间由题意列出等量关系.故选B.第1课时
一、列分式方程
二、分式方程的定义
一、教材作业【必做题】教材第125页随堂练习的12题.【选做题】教材第126页习题
5.7的123题.
二、课后作业【基础巩固】
1.下列关于x的方程中是分式方程的有
①x2+=0;
②x+5x-6=0;
③+3=0;
④-=
0.A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下列方程是分式方程的是 A.=B.=-2C.2x2+x-3=0D.2x-5=
3.运动会上八3班拉拉队买了两种价格的雪糕其中甲种雪糕共花费40元乙种雪糕共花费30元甲种雪糕比乙种雪糕多20根乙种雪糕的价格是甲种雪糕价格的
1.5倍若设甲种雪糕的价格为x元根据题意可列方程为 A.-=20B.-=20C.-=20D.-=
204.甲、乙两人加工同一种服装乙每天比甲多加工一件乙加工服装24件所用的时间与甲加工服装20件所用的时间相同.如何用方程来描述其中数量间的相等关系【能力提升】
5.一个两位数的个位数字是4如果把个位数字与十位数字对调那么所得的两位数与原两位数的比值是.如何用方程来描述其中数量之间的相等关系
6.某校学生到离学校15km处植树部分学生骑自行车出发40min后其余学生乘汽车出发汽车速度是自行车速度的3倍全体学生同时到达.如何用方程来描述其中数量之间的相等关系【拓展探究】
7.一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半加一台乙型拖拉机两台合耕1天耕完这块地的另一半.如果乙型拖拉机单独耕另一半需x天求x满足的方程.【答案与解析】
1.C
2.A
3.B解析:由题中的等量关系知选B.
4.解:设甲每天加工服装x件可得方程=.答案不唯一
5.解:设对调前这个两位数的十位数字是x可得方程=.
6.解:设自行车的速度为xkm/h则汽车的速度为3xkm/h可得方程=+.答案不唯一
7.解:因为甲型拖拉机4天耕完一块地的一半所以甲型拖拉机耕完这块地需要8天乙型拖拉机单独耕另一半需x天则乙型拖拉机耕完这块地需要2x天两台合耕1天耕完这块地的另一半耕完这块地需要2天由题意得+=.本节课循序渐进合理设计教学问题有效地组织教学活动既发挥教师的主导作用又体现学生的主体地位较好地完成了教学目标.个别学生对分式方程的理解还有难度对分式方程和整式方程的区别也有待加强.从整式方程和分式方程的定义入手加以区别让学生从实际中领悟.随堂练习教材第125页
1.解:x=x-950=12%·x1-12%·x=950=12%=1-12%等.其中=12%=1-12%是分式方程.
2.提示:=.习题
5.7教材第126页
1.提示:=.
2.提示:+=1或+=.
3.提示:-=
45.某项工程要在规定的期限内完成甲队单独做正好能够按期完成乙队单独做则需要延期3天完成;现在这两个队合作2天后再由乙队单独做也正好按期完成;如果设规定的期限是x天工程总量为1如何列方程呢三位同学都给出了自己的答案.甲同学:+=1;乙同学:+=1;丙同学:2+=
1.老师表扬了三位同学并说道:“你们其中有一位的结论是错误的你知道谁的错了吗”请同学们分析这个问题列出的方程是整式方程吗该如何解呢第课时掌握解分式方程的基本方法和步骤.经历和体会解分式方程的基本步骤使学生进一步了解“转化”思想能将分式方程转化为整式方程从而找到解分式方程的方法.培养学生养成自觉反思、求解和自觉检验的良好习惯运用“转化”的思想将分式方程转化为整式方程从而获得一种成就感和学习数学的自信心.【重点】
1.掌握解分式方程的基本方法和步骤.
2.掌握将分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.【难点】
1.解分式方程的基本方法和步骤.
2.检验分式方程的解.【教师准备】 复习分式方程的定义和讲解教材例题的课件.【学生准备】 复习分式方程的定义.导入一:【问题1】 写出与的最简公分母.【问题2】 解一元一次方程-1=.[设计意图] 通过回顾找最简公分母、解一元一次方程的步骤引导学生过渡到解分式方程.提醒学生注意解一元一次方程每一步易犯的错误同时老师还应强调检验方程的根的重要性并为解分式方程的验根打下基础.导入二:【问题】 什么是方程的解你能设法求出分式方程-=9的解吗生1:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.生2:解法1:-=9=9x=
100.生3:解法2:=9=9=9x=
100.生4:解法3:1400-500=9x9x=900x=
100.生5:解法4:1400×
2.8-1400=
2.8x×
92.8×9x=
1.8×1400x=
100.[设计意图] 由复习的内容引出本节内容激发学生的求解欲望引导学生利用不同的方式解决这个问题. [过渡语] 方程其实就是等式在解方程的过程中以前学习的方法是继续可以借鉴的.例题讲解教材例1解方程=.〔解析〕 根据等式的基本性质方程两边都乘xx-2化分式方程为整式方程.解:方程两边都乘xx-2得x=3x-
2.解这个方程得x=
3.检验:将x=3代入原方程得左边=1右边=1左边=右边.所以x=3是原方程的根.[设计意图] 通过观察使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题的讲解让学生明确解分式方程的一般步骤.通过观察类比学生容易发现只要方程两边同时乘最简公分母可以约去分母使方程转化为学过的一元一次方程从而解决问题.教材例2解方程-=
45.解:方程两边都乘2x得960-600=90x.解这个方程得x=
4.经检验x=4是原方程的根.[设计意图] 使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法并强调一定要检验.[教学注意] 让学生规范书写过程.在解题过程中要提醒学生可先化简原方程从而达到简便运算的目的.教材议一议在解方程=-2时小亮的解法如下:方程两边都乘x-2得1-x=-1-2x-
2.解这个方程得x=
2.你认为x=2是原方程的根吗与同伴交流.〔解析〕 在这里x=2不是原方程的根因为它使得原分式方程的分母为零我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式.因为解分式方程可能产生增根所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零有时也要看是否符合实际意义.[设计意图] 让学生通过解这个方程展开讨论了解分式方程会产生增根的原因体会分式方程检验的必要性.[知识拓展]
1.把分式方程化为整式方程的方法是去掉分式方程中的分母.如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤.
2.用分式方程中各式的最简公分母分别乘方程的两边从而约去分母.但要注意用最简公分母乘方程两边的每一项切勿漏项.
3.解分式方程可能产生使最简公分母为零的增根因此检验是解分式方程必要的步骤.解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘最简公分母约去分母化为整式方程.
2.解这个方程.
3.把整式方程的根代入最简公分母看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解必须舍去.
1.xx·重庆中考关于x的方程=1的解是 A.x=4B.x=3C.x=2D.x=1答案:B
2.xx·湘潭中考分式方程=的解为 A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4答案:C
3.xx·温州中考方程=的根是 . 解析:方程两边同乘最简公分母xx+1得3x=2x+2解这个方程得x=2经检验x=2是原方程的根.所以方程=的根是x=
2.故填x=
2.
4.解方程=.解:方程两边都乘最简公分母xx-2得:5x=3x-
2.解这个方程得x=-
3.检验:把x=-3代入原方程的左边和右边得:左边==-1右边==-1左边=右边因此x=-3是原方程的解.
5.解方程-=.解:方程两边同乘x2-4得:x-22-16=x+22即x2-4x+4-16=x2+4x+4解这个方程得x=-
2.检验:把x=-2代入x2-4得x2-4=
0.所以原方程无解.第2课时例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第128页随堂练习的12题.【选做题】教材第128页习题
5.8的34题.
二、课后作业【基础巩固】
1.解分式方程-=-时会产生增根则增根的值是 A.x=0B.x=0和x=-1C.x=-1D.无法确定
2.把分式方程=转化为一元一次方程时方程两边需同乘 A.xB.2xC.x+4D.xx+
43.xx·孝感中考分式方程=的解是 . 【能力提升】
4.xx·荆州中考若关于x的分式方程=2的解为非负数则m的取值范围是 A.m-1B.m≥1C.m-1且m≠1D.m≥-1且m≠
15.若关于x的方程+=无解求k的值.【拓展探究】
6.已知方程x+=2+的解是x1=2x2=;x+=3+的解是x1=3x2=;x+=4+的解是x1=4x2=……1写出下面两个方程的解:
①x+=10+ ;
②x+=a+ . 2试写出方程x+=a+的解.
7.xx·嘉兴中考小明解方程-=1的过程如图.请指出他解答过程中的错误并写出正确的解答过程.【答案与解析】
1.C解析:增根是使原分式方程的分母为零的x的值.
2.D解析:方程两边都乘最简公分母xx+
4.
3.x=解析:方程两边同乘xx+3得x+3=5x解得x=.经检验x=是原方程的解.故填x=.
4.D解析:去分母得m-1=2x-2解得x=由题意得≥0且≠1解得m≥-1且m≠1故选D.
5.解:去分母得x+2+kx-2=3x=所以当k=-1时原分式方程无解;当=2时情况不存在当=-2即k=-时原分式方程无解.分式的分母不能为零
6.解:1
①x1=10x2=
②x1=ax2=. 2x1=ax2=-.
7.解:小明的解法有三处错误:步骤
①去分母错误;步骤
②去括号错误;步骤
⑥之前缺少“检验”步骤.正确的解答过程如下:去分母得1-x-2=x去括号得1-x+2=x移项得-x-x=-1-2合并同类项得-2x=-3两边同除以-2得x=.经检验x=是原方程的解所以原方程的解是x=.学生已经明确解分式方程时在方程的两边要同乘最简公分母将分式方程化为整式方程.个别学生在解方程时会忽略验根这时候应该教给学生必要的方法策略.在教学中注意引导学生理解化归的思想即将分式方程转化为整式方程.随堂练习教材第128页
1.提示:1x=
4. 2x=
1.
2.提示:x=
480.习题
5.8教材第128页
1.提示:1x=
1. 2x=
3. 3y=3是增根原方程无解.
2.提示:不对x=是原方程的增根.
3.解:设原计划每天铺设xm管道根据题意得-=30解得x=20经检验x=20是原方程的解1+25%x=25所以实际每天铺设25m管道.
4.解:设甲厂产品的合格率为x%则乙厂产品的合格率为x-5%根据题意得=解得x=
80.经检验x=80是原方程的解所以甲厂产品的合格率为80%. 读下列材料:方程-=-的解为x=1;方程-=-的解为x=2;方程-=-的解为x=3;1请你观察上述方程与解的特征写出能反映上述方程一般规律的方程并猜想这个方程的解;2利用1所得的结论写出一个解为x=xx的分式方程.解:1-=-.其解为x=n+
2.2n+2=xxn=xx其对应方程为-=-.
1.分式方程的增根或无解问题 关于x的方程+=-1无解求m的值.〔解析〕 分式方程无解时有两种情况:
①所得整式方程的解恰好是原分式方程的增根;
②最后化成整式方程是“0·x=非0常数”的形式.解:原方程去分母得3-2x-2+mx=-x-
3.整理得m+1x=-
2.
①当x=3时原方程无解此时m=-;
②当m=-1时方程m+1x=-2无解即原方程也无解.故当m=-或m=-1时原方程无解.[解题技巧] 当题目只是说分式方程有增根时只需对第
①种情况进行讨论;当题目说分式方程无解时则需同时对
①②两种情况进行讨论.
2.确定字母系数的取值范围 已知关于x的方程-2=有一个正数解求m的取值范围.〔解析〕 先根据解分式方程的步骤求出分式方程的解并根据x0且x≠3列出不等式即可求出m的取值范围.解:方程两边同乘x-3得:x-2x-3=m解得x=6-m.∵x0且x≠3∴6-m0且6-m≠3解得m6且m≠
3.故m的取值范围是m6且m≠
3.[解题技巧] 此类题型中要注意x的取值不能是原分式方程的增根例如此题中易漏掉对x≠3的讨论.第课时通过创设日常生活中的情境经历探索分式方程应用的过程会检验根的合理性.经历“实际问题情境——建立分式方程模型——解分式方程——检验解的合理性”的过程进一步提高学生分析问题和解决问题的能力增强学生学数学、用数学的意识.通过创设贴近学生生活实际的现实情境增强学生的应用意识.【重点】 分式方程的应用.【难点】 在实际问题中建立分式方程的模型.【学生准备】 复习分式方程的有关知识.导入一:【活动内容】
1.解分式方程的一般步骤.
2.解方程-=
1.
3.一元一次方程解应用题的一般步骤.生1:解分式方程的一般步骤:1在方程的两边同乘最简公分母约去分母化为整式方程.2解这个整式方程.3把整式方程的根代入最简公分母看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解必须舍去.生2:解:方程两边同乘x+1x-1得x+12-4=x+1x-1解得x=1经检验x=1是原方程的增根所以原方程无解.生3:可以简单记为:审——设——列——解——验——答.[设计意图] 回顾上节课知识检查学生的掌握情况引导学生回忆一元一次方程解应用题的一般步骤以及每一步应注意的问题.自然过渡到列分式方程解应用题.导入二:情境:某商店销售一批服装每件售价150元可获利25%.求这种服装的成本.要求用多种方法解答生1:这种服装的成本为=120元.生2:设这种服装的成本为x元根据题意得x·1+25%=150解得x=120即这种服装的成本为120元.生3:设这种服装的成本为x元根据题意得=25%解得x=120经检验x=120是所列方程的解.即这种服装的成本为120元.[设计意图] 从学生已有知识入手创设一个发生在学生身边的问题情境让学生带着任务去学习激发他们的好奇心和探究问题的兴趣自然又快捷的揭示本节课要研究的问题同时启发学生解决问题的策略是多样化的防止学生形成思维定势.
一、引例 [过渡语] 如何通过列分式方程解决生活中的实际问题呢先请同学们看教材的这个引例.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元所有房屋出租的租金第一年为
9.6万元第二年为
10.2万元.1你能找出这一情境的等量关系吗2根据这一情境你能提出哪些问题3你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗〔解析〕 引导学生从不同的角度寻求等量关系是解决这一问题的关键.解:1第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.第一年出租的房屋间数=第二年出租的房屋间数.出租房屋间数=.2求出租的房屋总间数;求出第一年每间房屋的租金.答案不唯一3设第一年每间房屋的租金是x元则第二年每间房屋的租金是x+500元根据题意得:=.解得x=
8000.经检验x=8000是所列方程的根.即第一年每间房屋的租金是8000元.[设计意图] 引导学生通过独立思考和小组讨论的形式用所学过的列方程解应用题的一般方法去解决问题形成解决问题的一些基本策略并从中体验解题策略的多样性培养学生的实践能力与创新精神.引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.
二、例题讲解教材例3某市从今年1月1日起调整居民用水价格每立方米水费上涨.小丽家去年12月的水费是15元而今年7月的水费则是30元.已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5m3求该市今年居民用水的价格.〔解析〕 此题的主要等量关系是:小丽家今年7月的用水量-小丽家去年12月的用水量=5m
3.所以首先要表示出小丽家这两个月的用水量而用水量可以用水费除以水的单价得出.于是设该市去年居民用水的价格是x元/m3则今年的水价是x元/m
3.填表如下:去年12月今年7月水费元1530用水价格元/m3xx用水量m3 解:设该市去年居民用水的价格是x元/m3则今年居民用水的价格是x元/m
3.根据题意得:-=
5.解这个方程得x=.经检验x=是所列方程的根.×=2元/m
3.所以该市今年居民用水的价格是2元/m
3.[设计意图] 引导学生从不同角度寻求等量关系提高学生分析问题、解决问题的能力培养学生应用数学的意识引导学生按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.强调验根的必要性.补充例题某列车平均提速vkm/h用相同的时间列车提速前行驶skm提速后比提速前多行驶50km提速前列车的平均速度为多少〔解析〕 这里的字母vs表示已知数据设提速前列车的平均速度为xkm/h那么提速前列车行驶skm所用的时间为 h提速后列车的平均速度为 km/h提速后列车运行s+50km所用的时间为 h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程. 解:设提速前这次列车的平均速度为xkm/h则提速前它行驶skm所用时间为h;提速后列车的平均速度为x+vkm/h提速后它运行s+50km所用的时间为h.根据行驶时间的等量关系得=.方程两边同乘xx+v得sx+v=xs+
50.解得x=.检验:由vs都是正数得x=是原方程的根.所以原分式方程的解为x=.答:提速前列车的平均速度为km/h.[知识拓展] 列分式方程解应用题的步骤:1审题;2设未知数;3找出相等关系列出分式方程;4解这个分式方程;5检验看方程的解是否满足方程并符合题意;6写出答案.用分式方程解决实际问题应按“审——设——列——解——验——答”的步骤解决问题.
1.某单位向一所希望小学赠送1080件文具现用AB两种不同的包装箱进行包装已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个.设B型包装箱每个可以装x件文具根据题意列方程为 A.=+12B.=-12C.=-12D.=+12解析:由单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个寻找等量关系可得方程.故选B.
2.在5月汛期重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛当时洪水流速为10千米/时张师傅奉命用冲锋舟去救援他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与用最大速度逆流航行
1.2千米所用时间相等请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 . 解析:根据沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用的时间与用最大速度逆流航行
1.2千米所用的时间相等列出方程求解.故填40千米/时.
3.xx·青岛中考某厂制作甲、乙两种环保包装盒.已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料.求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料.解:设制作每个乙盒用xm材料则制作每个甲盒用1+20%xm材料由题意得-=
2.解得x=
0.
5.经检验x=
0.5是原方程的解所以1+20%·x=
0.
6.答:制作每个甲盒用
0.6m材料制作每个乙盒用
0.5m材料.第3课时
一、引例
二、例题讲解
一、教材作业【必做题】教材第129页随堂练习.【选做题】教材第130页习题
5.9的123题.
二、课后作业【基础巩固】
1.一项工程甲单独做需要6天完成乙单独做需要4天完成求两人合作需要的天数.如果设两人合作需要x天完成那么所列方程是 A.+=2B.6+4=xC.6+4=D.+=
2.AB两地相距1350km两辆汽车从A地开往B地大汽车比小汽车早出发5小时小汽车比大汽车晚到30分钟已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶3求两车的速度.设大汽车的速度为3xkm/h则小汽车的速度为5xkm/h所列方程是 A.+=+5B.-=+5C.-=-5D.+=-
53.在课外活动跳绳时相同时间内小林跳了90下小群跳了120下已知小群每分钟比小林多跳20下设小林每分钟跳x下则可列方程为 .
4.甲计划用若干天完成某项工作在甲独立工作两天后乙加入此项工作且甲、乙两人工作效率相同结果提前两天完成任务设甲计划完成此项工作的天数是x则x的值是 . 【能力提升】
5.小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家她去时经过环湾高速公路全程约84千米返回时经过跨海大桥全程约45千米.小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的
1.2倍所用时间却比返回时多20分钟.求小丽所乘汽车返回时的平均速度.
6.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材若甲单独整理需要40分钟完工若甲、乙共同整理20分钟后乙需要再单独整理20分钟才能完工.1乙单独整理需要多少分钟完工2若乙因工作需要他的整理时间不超过30分钟则甲至少整理多少分钟才能完工
7.某厂原计划在规定时间内生产通讯设备60台由于改进了技术每天生产的台数比原计划多50%结果提前两天完成任务.求改进技术后每天生产通讯设备多少台.
8.一列火车从车站开出预计行程为450千米当它出发3小时后因特殊情况而多停一站因此耽误30分钟后来把速度提高了20%结果准时到达目的地求这列火车原来的速度.
9.李明到离家
2.1千米的学校参加初三联欢会到学校时发现演出道具还放在家中此时距联欢会开始还有42分钟于是他立即匀速步行回家在家取道具用了1分钟然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟且骑自行车的速度是步行速度的3倍.1李明步行的速度单位:米/分是多少2李明能否在联欢会开始前赶到学校【拓展探究】
10.xx·随州中考端午节前夕小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋每个粽子的价格相同每个咸鸭蛋的价格相同.已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵
1.8元花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同求粽子与咸鸭蛋的价格各是多少.【答案与解析】
1.D
2.A解析:由大汽车比小汽车早出发5小时小汽车比大汽车晚到30分钟列方程可得.故选A.
3.=
4.6解析:由提前两天完成任务得到等量关系列方程+=1解得x=
6.故填
6.
5.解:设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时根据题意得-=.解这个方程得x=75经检验x=75是原方程的解.答:小丽所乘汽车返回时的平均速度是75千米/时.
6.解:1设乙单独整理需要x分钟完工根据题意得+=
1.解得x=
80.经检验x=80是原分式方程的解.答:乙单独整理需要80分钟完工. 2设甲至少整理y分钟才能完工根据题意得+≥
1.解得y≥
25.答:甲至少整理25分钟才能完工.
7.解:设改进技术前每天生产x台根据题意得=+
2.解得x=
10.经检验x=10是原方程的解则
1.5x=
15.所以改进技术后每天生产通讯设备15台.
8.解:设这列火车原来的速度为x千米/时根据题意得=3++解得x=
75.经检验x=75是原方程的解.所以这列火车原来的速度为75千米/时.
9.解:1设步行的速度为x米/分则骑自行车的速度为3x米/分.根据题意得=+20解得x=
70.经检验x=70是原分式方程的解.答:李明步行的速度为70米/分. 2根据题意得++1=4142所以李明能在联欢会开始前赶到学校.
10.解:设咸鸭蛋的价格为x元/个则粽子的价格为
1.8+x元/个根据题意得=去分母得30x=12x+
21.6解得x=
1.2经检验x=
1.2是分式方程的解且符合题意.
1.8+x=
1.8+
1.2=3元故咸鸭蛋的价格为
1.2元/个粽子的价格为3元/个.本节课循序渐进合理设计教学问题有效地组织教学活动既发挥教师的主导作用又体现学生的主体地位较好地完成了教学目标.个别学生对实际应用题的理解不够清晰影响了列方程的正确性.教学中应结合具体的教学内容采用“想问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开让学生经历知识的形成与应用的过程从而更好地理解数学知识的意义掌握必要的基础知识与基本技能提高应用数学知识的意识与能力提高学好数学的信心.随堂练习教材第129页解:设这种文学书的价格为x元则科普书的价格为
1.5x元根据题意得=+1解得x=5经检验x=5是原方程的解
1.5x=
7.5所以这种科普书和文学书的价格分别是
7.5元和5元.习题
5.9教材第130页
1.解:设甲种原料的单价为2x元则乙种原料的单价为3x元根据题意得+=解得x=
4.经检验x=4是原方程的解2x=8故甲种原料的单价为8元.
2.解:设这种服装的成本价为每件x元根据题意得=25%解得x=
120.经检验x=120是原方程的解故这种服装的成本价为每件120元.
3.解:设乙每小时加工这种零件x个则甲每小时加工这种零件x+10个根据题意得=解得x=40经检验x=40是原方程的解x+10=
50.所以甲每小时加工这种零件50个乙每小时加工这种零件40个.复习题教材第131页
1.提示:1-. 2-.
3.
2.提示:
1. 2-. 3原式=·=. 4原式=·=.
3.解:
1.
2.
3.
4.
5. 6-.
4.提示:1x=
0. 2无解. 3x=-.
5.解:1设m=5kn=3kk≠0原式=-===. 2因为=4所以x2+2+=4所以x2+=
2. 3+=+=所以解得
6.解:1当x取不等于1的任何实数时分式都有意义. 2当x取不等于1的任何实数时分式都有意义. 3当x取不等于0的任何实数时分式都有意义.
7.解:不对.因为=x应用了分式的基本性质:分子、分母都除以同一个不为0的x分式的值不变所以x≠
0.
8.解:a=b且a≠-
1.
9.提示:
1.
2.
10.解:设客车原来的平均速度为xkm/h则新修的高速公路开通后客车的平均速度为1+50%xkm/h.根据题意得-=2解得x=
60.经检验x=60是原方程的解.所以客车原来的平均速度为60km/h.
11.解:设慢车的速度为xkm/h则快车的速度为
1.2xkm/h.根据题意得-=解得x=
40.经检验x=40是原方程的解.所以慢车的速度为40km/h.
12.解:设采用新工艺前每小时加工x个零件则采用新工艺后每小时加工
1.3x个零件.根据题意得-=10解得x=
30.经检验x=30是原方程的解.
1.3x=
1.3×30=
39.所以采用新工艺前、后每小时分别加工零件30个和39个.
13.解:1这个学校八年级的学生总数大于240人但不大于300人. 2设这个学校八年级有x名学生根据题意得×300=×360解得x=
300.经检验x=300是原方程的解.所以这个学校八年级有300名学生.
14.解:设第一批购进这种衬衫x件则第二批购进这种衬衫2x件根据题意得-=4解得x=xx.经检验x=xx是原方程的解.58×xx+2×xx-150+80%×58×150-80000-176000=90260元.所以商厦共盈利90260元.
15.解:1他来回一趟所需的时间t=+. 2l=.
16.解:标价比成本高p%的含义是:标价=成本×1+p%.降价幅度最多为d%的含义是:最低价成本=标价×1-d%.由题意可得d=.
17.解:甲购买饲料的平均单价是元/kg.乙购买饲料的平均单价是元/kg.乙购买饲料的平均单价较低.
18.解:1增大了因为-=
0. 2所得分式的值增大了. 3所得分式的值增大了.理由略列分式方程解应用题时要注意检验:一是要检验所求的解是否是原方程的解;二是要检验所求的解是否符合题意.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节正确列出方程再进行求解.另外还要注意从多角度去思考、分析.注意检验和解释结果的合理性. 金泉街道改建工程指挥部要对某路段工程进行招标.接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的;若由甲队先做10天剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.1求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天;2已知甲队每天的施工费用为
0.84万元乙队每天的施工费用为
0.56万元工程预算的施工费用为50万元为缩短工期拟安排甲、乙两队合作完成这项工程则工程预算的施工费用是否够用若不够用需追加预算多少万元请给出你的判断并说明理由.解:1设乙队单独完成这项工程需要x天则甲队单独完成这项工程需要x天根据题意得+30=1解得x=
90.经检验x=90是原方程的解且符合题意.所以x=60即甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天.2不够用应追加
0.4万元.理由如下:设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天则有y=1解得y=36需施工费用36×
0.84+
0.56=
50.4万元因为
50.450所以工程预算的施工费用不够用需追加预算
0.4万元.通过对知识的整合熟练掌握分式的基本性质会进行分式的约分、通分和分式的加减乘除四则运算会求分式的值会解可化为一元一次方程的分式方程会检验分式方程的根提高运算能力.
1.在认识分式的过程中让学生体验知识之间的必然联系体会类比思想的运用激发学生爱数学、学数学的兴趣.
2.培养学生养成认真计算的良好习惯认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
3.结合实际问题讨论可以化为一元一次方程的分式方程掌握分式方程的解法体会解方程中的化归思想.
1.通过对实际问题的解决亲身感受数学来源于生活.
2.体会在学习活动中与同学合作和独立思考的重要性并在学习活动中获得成功的体验增强学习的自信心.【重点】
1.运用分式的基本性质和运算法则进行计算.
2.将实际问题中的数量关系用分式进行描述.【难点】 列比较复杂的分式方程解决实际问题.分式专题一 分式的概念和性质
1.分式的概念一般地用AB表示两个整式A÷B可以表示成的形式如果B中含有字母那么称为分式.其中A称为分式的分子B称为分式的分母.对于任意一个分式分母都不能为零.
2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式分式的值不变.用式子表示为:==m≠
0.【专题分析】本专题是分式知识的基础中考试题中通常结合因式分解、求值、化简、解方程等知识进行考查会出现在多种题型的考查当中. 1当x= 时分式无意义; 2若分式的值为0则x的值为 . 〔解析〕 1当2x-1=0即x=时分式没有意义;2由题意知当2x—4=0且x+1≠0时分式的值等于0解得x=
2.〔答案〕 1 22【针对训练1】 下列运算中错误的是 A.=c≠0B.=-1C.=D.=〔解析〕 由分式的基本性质:分式的分子与分母都乘或除以同一个不等于零的整式分式的值不变.故选D.〔注意事项〕 在分式的化简中需要特别注意使分式有意义的条件.专题二 分式的运算
1.分式的加减运算分式的加减运算与分数的加减运算一样分两种情况:同分母的分式相加减分母不变把分子相加减;异分母的分式相加减先通分化为同分母的分式然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用式子表示为:±=±=±=.在通分时关键要找准最简公分母然后根据分式的基本性质进行通分.
2.分式的乘除运算与分数乘除法的法则类似分式乘除法的法则是:两个分式相乘把分子相乘的积作为积的分子把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
3.分式的混合运算1进行分式混合运算时要注意运算顺序.在没有括号的情况下按从左向右的顺序先算乘方再算乘除后算加减有括号时先算括号里面的.2混合运算后的结果必须化成最简分式或整式.3分子或分母第一项的系数是负数时要把负号提到分式的前边.【专题分析】分式的运算属于基础知识单独考查的题型主要是选择题、填空题、解答题等方式. 化简:1-;2·-.解:1原式=-==.2原式=·-=-=.【针对训练2】 先化简再求值:÷其中x=
5.解:原式=·xx+1=·xx+1=-.当x=5时原式=-=-.专题三 解分式方程
1.概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程1解分式方程的基本思想:根据等式的基本性质把分母去掉化分式方程为整式方程.2解分式方程的步骤:
①去分母在方程的两边同乘最简公分母化为整式方程;
②解这个整式方程;
③验根把整式方程的根代入最简公分母看其结果是否为零若是零则此根是原方程的增根要舍去.【专题分析】分式方程是中考的考点之一题型比较多样难度考查比较灵活分值一般为3~5分. 解方程-=-.〔解析〕 将方程两边先分别通分然后利用分式的基本性质解决.解:两边分别通分计算得=.所以x-1x-2=x-3x-4即x2-3x+2=x2-7x+12解这个方程得x=.检验:把x=代入原方程得左边=-=右边所以x=是原方程的根.【针对训练3】 解方程+=
1.〔解析〕 通过观察知方程的最简公分母是xx+3因此方程两边同乘xx+3即可把分式方程转化为整式方程.解:方程两边同乘xx+3得:2x+3+x·x=xx+3解这个方程得x=
6.检验:将x=6代入最简公分母得xx+3=6×6+3=54≠0所以x=6是原方程的根.[解题策略] 解分式方程一定要验根其中验根的方法有两种:第一种是把所得的解代入原方程看方程的两边是否相等;第二种是把所得的解代入最简公分母看最简公分母的值是否等于
0.在这两种方法中第二种方法比较简单因此较为常用.专题四 分式方程的应用分式方程的应用主要是列方程解应用题一般步骤为:1审:弄清题意找出题目中的等量关系;2设:选择适当的量为未知数;3列:根据题目中的等量关系和题设列出方程;4解:解这个方程注意解题过程要简练;5检:检验所得的解是否为原方程的解和是否符合实际意义;6答:注意单位和语言完整.【专题分析】分式方程的应用主要是通过建立分式方程的数学模型解决实际问题是中考的热点之一题型主要是选择题和解答题难度中等分值一般为3~6分. 某商店有一个不准确的天平其臂长不等和一个1kg的砝码一位顾客想购买2kg糖果售货员先将砝码放于左盘糖果放在右盘待平衡后把糖果交给顾客;然后又将砝码放于右盘糖果放在左盘待平衡后再把糖果交给顾客.请判断在这次买卖中是商店吃亏还是顾客吃亏并说明理由.〔解析〕 这是一道探索性问题探索方向是比较顾客购得糖果的实际数量比2kg多还是少若比2kg多说明商店吃亏若比2kg少说明顾客吃亏.解:商店吃亏理由如下:设天平的左臂长为a右臂长为ba≠b第一次交给顾客的糖果为xkg第二次交给顾客的糖果为ykg根据题意得a×1=bxay=b×
1.所以x=y=.所以x+y-2=+-2==.因为a0b0a≠b所以0x+y-20即x+y
2.所以商店吃亏.[方法归纳] 列分式方程解应用题比列一次方程组要稍复杂一些.注意恰当选、设未知数确定主要等量关系用未知量表示题中相等的数量关系解方程、检验、解释所获得结果的合理性.【针对训练4】 八年1班的大课间活动丰富多彩小峰与小月进行跳绳比赛.在相同的时间内小峰跳了100个小月跳了110个如果小月比小峰每分钟多跳20个那么小月与小峰每分钟各跳多少个〔解析〕 先利用等量关系“小月比小峰每分钟多跳20个”分别用含x的式子表示出小峰与小月每分钟跳的个数再利用等量关系“小峰跳100个与小月跳110个所用的时间相同”列出方程并求解.解:设小峰每分钟跳x个则小月每分钟跳x+20个.根据题意得=.解这个方程得x=
200.经检验x=200是原方程的根且符合题意所以x+20=220个.答:小峰每分钟跳200个小月每分钟跳220个.[解题策略] 当题目中的未知数有两个且等量关系也有两个时可从中选取一个比较简单的等量关系把这两个未知数联系起来然后利用另一个等量关系列出方程.专题五 整体思想【专题分析】分式的化简求值中经常运用整体代换法.整体代换是指在解决某些问题时把一些组合式子看成一个“整体”并把这个“整体”直接代入另一个式子从而避免局部运算的麻烦和困难. 先化简再求值:×÷.其中a满足a2-a=
0.〔解析〕 将所给式子进行化简后发现有“a2-a”这样一个整体此时不用求a的值进行整体代入即可.解:×÷=××=a-2a+1=a2-a-2所以当a2-a=0时原式=0-2=-
2.【针对训练5】 若的值为则的值为 . 〔解析〕 将2y2+3y和4y2+6y分别看成一个整体来解答.因为=所以2y2+3y+7=8故2y2+3y=1则4y2+6y=2所以==
1.故填
1.[解题策略] 解答此题的关键是将2y2+3y和4y2+6y分别看成一个整体以简化计算.本章质量评估时间:90分钟 满分:120分
一、选择题每小题3分共30分
1.下列式子是分式的是 A.B.C.+yD.
2.下列约分正确的是 A.=B.=-1C.=0D.=
3.下列四个分式中为最简分式的是 A.B.C.D.
4.下列各式从左到右的变形正确的是 A.=B.=C.-=D.=
5.式子a-10+有意义则a的取值范围是 A.a≠1且a≠-1B.a≠1或a≠-1C.a=1或-1D.a≠0且a≠-
16.分式方程-1=的解是 A.x=1B.x=-1+C.x=2D.无解
7.若分式方程-=有增根x=-1则k的值是 A.-1B.3C.6D.
98.xx·毕节中考若分式的值为零则x的值为 A.0B.1C.-1D.±
19.已知关于x的方程+1=无解则m的值为 A.-1或-B.-1C.2D.
310.“五一”期间部分同学包租一辆面包车出去旅游面包车的租价为180元出发时又增加了两名同学结果每个同学比原来少分摊了3元车费.若设原来的学生共有x人则所列方程为 A.-=3B.-=3C.-=3D.-=3
二、填空题每小题4分共32分
11.当x 时分式有意义.
12.xx·泰州中考已知a2+3ab+b2=0a≠0b≠0则代数式+的值等于 .
13.计算÷= .
14.xx·安徽中考方程=3的解是x= .
15.xx·泉州中考计算+= .
16.已知的值为整数则x的整数值为 .
17.xx·黄冈中考计算÷的结果是 .
18.已知a2-5a+1=0则a2+a-2= .
三、解答题共58分
19.16分1化简:a2+3a÷;2化简:a2b+ab÷;3xx·恩施中考先化简再求值:·-其中x=2-1;4已知实数a满足a2+2a-8=0求-·的值.
20.8分解分式方程:1-=3;2-=
0.
21.8分先化简÷然后从012中选择一值求原式的值.
22.8分xx·广州中考已知A=-.1化简A;2当x满足不等式组且x为整数时求A的值.
23.8分课堂上李老师出了这样一道题:已知=+求整式AB.本题是这样思考的:已知是等式首先对等式的右边进行通分可得已知两个分式相等时若分母相等则分子也相等即:3x-4=A+Bx-2A+B利用多项式相等则对应的系数相等可求得AB.请你根据上面的思路解决下列问题:已知=+求AB的值.
24.10分xx·咸宁中考节选在“绿满鄂南”行动中某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化.经投标由甲、乙两个工程队来完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时甲队比乙队少用4天.1求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积;2设甲工程队施工x天乙工程队施工y天刚好完成绿化任务求y与x的函数解析式.【答案与解析】
1.B解析:根据分式的定义.故选B.
2.D解析:A.不能约分;B.不能约分;C.等于1;D.可约去a-b
2.故选D.
3.C
4.A解析:由分式的基本性质分子、分母都乘相同的倍数得到A正确.
5.A解析:原式有意义的条件是a-1≠0a+1≠
0.解得a≠1且a≠-
1.故选A.
6.D解析:去分母得xx+2-x-1x+2=3解得x=1经检验x=1是原分式方程的增根所以分式方程无解.故选D.
7.D
8.C解析:由x2-1=0得x=±
1.当x=1时x-1=0故x=1不合题意;当x=-1时x-1=-2≠0所以x=-1时分式的值为
0.故选C.
9.A解析;方程两边同乘x-3得1+mx=-2当1+m=0时方程1+mx=-2无解此时m=-1当1+m≠0时根据分式方程有增根为x=
3.把x=3代入1+mx=-2解得m=-.综上可得m的值为-1或-.故选A.
10.A
11.≠±2解析:分式有意义的条件为x2-4≠
0.
12.-3解析:∵a2+3ab+b2=0∴a2+b2=-3ab∴原式===-
3.
13.解析:原式=·=.
14.-4解析:去分母得4x-2=3x-6解得x=-4经检验x=-4是原分式方程的解.
15.1解析:原式==
1.
16.
32017.解析:原式=÷=·=.故填.
18.23解析:由a2-5a+1=0得a+a-1=5则原式=52-2=
23.
19.解:1原式=aa+3÷=aa+3·=a. 2原式=aba+1·=ab. 3原式=·-=-=-当x=2-1时原式=-=-. 4原式=.∵a2+2a-8=0∴a2+2a=8故原式=.
20.解:1x=
4. 2无解.
21.解:原式=.∵x只能取1∴原式=.
22.解:1A=-=-=-=. 2由x-1≥0解得x≥
1.由x-30解得x3∴的解为1≤x
3.∵x为整数且x≠1∴x=
2.当x=2时A==
1.
23.解:原方程可化为=∴x+3=Ax-2A+B∴解得故A=1B=
5.
24.解:1设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2根据题意得-=4解得x=50经检验x=50是原方程的解则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100m
2.答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m250m
2. 2根据题意得100x+50y=1800整理得y=36-2x∴y与x的函数解析式为y=36-2x.。