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文本内容:
2019-2020年高三质量监测
（二）数学（文）试题含答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合，，则（）A．B．C．D．
2、复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3、在区间上随机取一个实数，使得的概率为（）A．B．C．D．
4、已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．
5、若，满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．
6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．
7、已知平面向量，满足，，，则（）A．B．C．D．
8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为、、、，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（）A．B．C．D．
9、已知函数，若其图象是由图象向左平移（）个单位得到，则的最小值为（）A．B．C．D．
10、设，，若直线与圆相切，则的最小值是（）A．B．C．D．
11、设数列的前项和为，且，为常数列，则（）A．B．C．D．
12、若是双曲线（）的右焦点，过作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于，两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（）A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、若函数，则．
14、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则的面积为．
15、若三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直且长都相等，其外接球半径为，则三棱锥的表面积为．
16、已知函数为偶函数且，又，函数，若恰好有2个零点，则．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）在中，，．求角的值；设，求．
18、（本小题满分12分）根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示．已知、、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求，的值；该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，并在这5人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和为200元的概率．
19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形，且，点为中点．求证平面平面；求点到平面的距离．
20、（本小题满分12分）在中，顶点，，、分别是的重心和内心，且．求顶点的轨迹的方程；过点的直线交曲线于、两点，是直线上一点，设直线、、的斜率分别为，，，求证．
21、（本小题满分12分）已知函数（）．若函数在处取得极值，求的值；在的条件下，求证；当时，恒成立，求的取值范围．请考生在第
22、
23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，过点作圆的割线与切线，为切点，连接，，的平分线与，分别交于点，，其中．求证；求的大小．
23、（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；试判断曲线与是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．
24、（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设函数，．当时，求不等式的解集；对任意恒有，求实数的取值范围．长春市普通高中xx届高三质量监测
（二）数学文科参考答案及评分标准
一、选择题本大题包括12小题，每小题5分，共60分
1.D
2.D
3.C
4.A
5.D
6.D
7.B
8.B
9.C
10.B
11.B
12.C简答与提示
1.【命题意图】本题主要考查集合交集的运算，属于基础题.【试题解析】D由题意可知或，所以.故选D.
2.【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】D.故选D.
3.【命题意图】本题考查解三角函数与几何概型等知识，属于基础题.【试题解析】C在区间上，当时，，由几何概型知，符合条件的概率为.故选C.
4.【命题意图】本题考查含有一个绝对值的函数的单调区间问题，属于简单题.【试题解析】A函数在上是单调函数，所以，解得.故选A.
5.【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.【试题解析】D由题意可知，在处取得最小值，在处取得最大值，即.故选D.
6.【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为.故选D.
7.【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】B .故选B.
8.【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.【试题解析】B由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为
10.故选B.
9.【命题意图】本题主要考查学生对三角函数图像的掌握情况，属于基础题.【试题解析】C，函数的图象向左平移个单位后的解析式为，从而，有的最小值为.故选C.
10.【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.【试题解析】B由直线与圆相切可知，整理得，由可知.故选B.
11.【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于较难题.【试题解析】B由题意知，，当时，，从而，有，当时上式成立，所以.故选B.
12.【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.【试题解析】C由题可知，过I、III象限的渐近线的倾斜角为，则，，因此△的面积可以表示为，解得，则.故选C.
二、填空题本大题包括4小题，每小题5分，共20分
13.
14.
15.
16.简答与提示
13.【命题意图】本题考查导数的运算.【试题解析】由，得.
14.【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的基本运算能力.【试题解析】抛物线焦点为，直线方程为，与抛物线方程联立得两交点纵坐标差的绝对值为，从而△的面积为.
15.【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定的难度.【试题解析】由三棱锥的外接球半径为2，可知，从而三棱锥的表面积为.
16.【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.【试题解析】由题意可知是周期为4的偶函数，对称轴为直线.若恰有2个零点，有，解得.
三、解答题本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分
17.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.【试题解析】解13分6分2因为，而，且为锐角，可求得.9分所以在△中，由正弦定理得，.12分
18.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识.本题主要考查数据处理能力.【试题解析】1由图可知，.4分2利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人.6分令高消费的人为，潜在消费的人为，从中取出三人，总共有10种情况，8分其中为获得代金卷总和为200元的情况，10分因此，三人获得代金券总和为200元的概率为.12分
19.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题.【试题解析】解1取中点，连结、是中点，，又，，四边形为平行四边形，平面，，，，平面，平面，平面平面.6分
（2）由
（1）知，，所以平面，即点到平面的距离为，在△中，由，得，所以.12分
20.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识.本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解1已知，且，其中为内切圆半径，化简得，顶点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆（去掉长轴端点），其中进而其方程为.5分2证明当直线斜率存在时，设直线且，，联立可得，.8分由题意，，.当直线斜率不存在时，，综上可得.12分
21.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值的情况.本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解
（1），由题意可得，解得经检验，时在处取得极值，所以3分
（2）证明由
（1）知，令由，可知在上是减函数，在上是增函数所以，所以成立8分
（3）由知，所以恒成立等价于在时恒成立令，，有，所以在上是增函数，有，所以.12分
22.本小题满分10分【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解1由题意可知，，，则△∽△，则，又，则.5分2由，，可得，在△中，，可知.10分
23.本小题满分10分【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解1对于曲线有，对于曲线有.5分2显然曲线为直线，则其参数方程可写为（为参数）与曲线联立，可知，所以与存在两个交点，由，，得.10分
24.本小题满分10分【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解1当时，所以的解集为（5分）2由恒成立，有，解得所以的取值范围是（10分）。
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