还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年高三质量监测
(二)数学(理)试题含答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、已知集合,,则()A.B.C.D.
2、复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、已知随机变量服从正态分布,若,则()A.B.C.D.
4、已知函数在上是单调函数,函数(且)在上是增函数,则成立是成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5、若,满足约束条件,则的取值范围是()A.B.C.D.
6、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.C.D.
7、已知平面向量,满足,,,则()A.B.C.D.
8、下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号同学的成绩依次为、、、,右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图,那么该算法流程图输出的结果是()A.B.C.D.
9、已知函数,若将其图象向右平移()个单位后所得的图象关于原点对称,则的最小值为()A.B.C.D.
10、设,,若直线与圆相切,则的取值范围是()A.B.C.D.
11、若是双曲线()的右焦点,过作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于,两点,为坐标原点,的面积为,则该双曲线的离心率()A.B.C.D.
12、设数列的前项和为,且,为等差数列,则()A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13、的展开式中常数项为.
14、已知且曲线、与所围成的封闭区域的面积为,则.
15、正四面体的外接球半径为,过棱作该球的截面,则截面面积的最小值为.
16、已知函数为偶函数且,又,函数,若恰好有4个零点,则的取值范围是.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17、(本小题满分12分)在中,,.求角的值;设,求.
18、(本小题满分12分)根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如下图显示.已知、、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求,的值;该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放100元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望.
19、(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,,四边形满足,且,点为中点,点为边上的动点,且.求证平面平面;是否存在实数,使得二面角的余弦值为?若存在,试求出实数的值;若不存在,说明理由.
20、(本小题满分12分)在中,顶点,,、分别是的重心和内心,且.求顶点的轨迹的方程;过点的直线交曲线于、两点,是直线上一点,设直线、、的斜率分别为,,,试比较与的大小,并加以证明.
21、(本小题满分12分)设函数,其中和是实数,曲线恒与轴相切于坐标原点.求常数的值;当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;求证.请考生在第
22、
23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22、(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图,过点作圆的割线与切线,为切点,连接,,的平分线与,分别交于点,,其中.求证;求的大小.
23、(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;试判断曲线与是否存在两个交点,若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理由.
24、(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设函数,.当时,求不等式的解集;对任意恒有,求实数的取值范围.长春市普通高中xx届高三质量监测
(二)数学理科参考答案及评分标准
一、选择题本大题包括12小题,每小题5分,共60分
1.D
2.A
3.C
4.C
5.D
6.D
7.B
8.B
9.C
10.A
11.C
12.A简答与提示
1.【命题意图】本题主要考查集合交集与补集的运算,属于基础题.【试题解析】D由题意可知或,则,所以.故选D.
2.【命题意图】本题考查复数的除法运算,以及复平面上的点与复数的关系,属于基础题.【试题解析】A,所以其共轭复数为.故选A.
3.【命题意图】本题考查正态分布的概念,属于基础题,要求学生对统计学原理有全面的认识.【试题解析】C.故选C.
4.【命题意图】本题借助不等式来考查命题逻辑,属于基础题.【试题解析】C 由成立,则,由成立,则,所以成立时是的充要条件.故选C.
5.【命题意图】本题主要考查线性规划,是书中的原题改编,要求学生有一定的运算能力.【试题解析】D由题意可知,在处取得最小值,在处取得最大值,即.故选D.
6.【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法,对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥,所以其体积为.故选D.
7.【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】B .故选B.
8.【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识,通过统计学知识考查程序流程图的认识,是一道综合题.【试题解析】B由算法流程图可知,其统计的是数学成绩大于等于90的人数,所以由茎叶图知数学成绩大于等于90的人数为10,因此输出结果为
10.故选B.
9.【命题意图】本题主要考查三角函数的图像和性质,属于基础题.【试题解析】C由题意,将其图像向右平移个单位后解析式为,则,即,所以的最小值为.故选C.
10.【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离,属于中档题.【试题解析】A由直线与圆相切可知,整理得,由可知,解得.故选A.
11.【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,结合着较大的运算量,属于难题.【试题解析】C由题可知,过I、III象限的渐近线的倾斜角为,则,,因此△的面积可以表示为,解得,则.故选C.
12.【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题,属于难题.【试题解析】A设,有,,则,即当时,所以,即,所以是以为公比,1为首项的等比数列,所以,.故选A.
二、填空题本大题包括4小题,每小题5分,共20分
13.
14.
15.
16.简答与提示
13.【命题意图】本题主要考查二项式定理的有关知识,属于基础题.【试题解析】由题意可知常数项为.
14.【命题意图】本题考查定积分的几何意义及微积分基本定理,属于基础题.【试题解析】由题意,所以.
15.【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题,本题通过求球的截面面积,对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查,具有一定难度.【试题解析】由题意,面积最小的截面是以为直径,可求得,进而截面面积的最小值为.
16.【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题,需要学生对图像进行理解,对学生的能力提出很高要求,属于难题.【试题解析】由题意可知是周期为4的偶函数,对称轴为直线.若恰有4个零点,有,解得.
17.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式,以及同角三角函数的应用,并借助正弦定理考查边角关系的运算,对考生的化归与转化能力有较高要求.【试题解析】解13分6分2因为,而,且为锐角,可求得.9分所以在△中,由正弦定理得,.12分
18.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法.本题主要考查数据处理能力.【试题解析】1由图可知,.4分2利用分层抽样从样本中抽取10人,其中属于高消费人群的为6人,属于潜在消费人群的为4人.6分从中取出三人,并计算三人所获得代金券的总和,则的所有可能取值为150,200,250,
300.,,,,15020025030010分且.12分
19.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解1取中点,连结、,是中点,,又,,四边形为平行四边形,平面,,,,平面,平面,平面平面.6分2存在符合条件的.以为原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴,建立空间直角坐标系,设,,,从而,,则平面的法向量为,又平面即为平面,其法向量,则,解得或,进而或.12分
20.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法,椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识.本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解1已知,且,其中为内切圆半径,化简得,顶点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴端点),其中进而其方程为.5分2,以下进行证明当直线斜率存在时,设直线且,,联立可得,.8分由题意,,.当直线斜率不存在时,,综上可得.12分
21.本小题满分12分【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值以及函数零点的情况.本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解1对求导得,根据条件知,所以.3分2由1得,.
①当时,由于,有,于是在上单调递增,从而,因此在上单调递增,即而且仅有;
②当时,由于,有,于是在上单调递减,从而,因此在上单调递减,即而且仅有;
③当时,令,当时,,于是在上单调递减,从而,因此在上单调递减,即而且仅有.综上可知,所求实数的取值范围是.(8分)3对要证明的不等式等价变形如下所以可以考虑证明对于任意的正整数,不等式恒成立.并且继续作如下等价变形对于相当于
(2)中,情形,有在上单调递减,即而且仅有.取,当时,成立;当时,.从而对于任意正整数都有成立.对于相当于
(2)中情形,对于任意,恒有而且仅有.取,得对于任意正整数都有成立.因此对于任意正整数,不等式恒成立.这样依据不等式,再令利用左边,令利用右边,即可得到成立.12分
22.本小题满分10分【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到弦切角定理以及三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解1由题意可知,,,则△∽△,则,又,则.5分2由,,可得,在△中,,可知.10分
23.本小题满分10分【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解1对于曲线有,对于曲线有.5分2显然曲线为直线,则其参数方程可写为(为参数)与曲线联立,可知,所以与存在两个交点,由,,得.10分
24.本小题满分10分【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】解1当时,所以的解集为(5分)2由恒成立,有,解得所以的取值范围是(10分)。