还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
2019-2020年高三高考冲刺模拟数学试题
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.是虚数单位,复数的虚部是;2.抛物线的焦点到准线的距离是;
3.已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则=;4.已知集合,集合,若命题“”是命题“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是;5.某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表,若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告,则其中恰好有1人来自公务员的概率为相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者6446.已知函数,则不等式的解集是;
7.若某程序框图如所示,则该程序运作后输出的等于;8.函数(其中,)的图象如图所示,若点A是函数的图象与x轴的交点,点B、D分别是函数的图象的最高点和最低点,点C是点B在x轴上的射影,则=;9.如图,在棱长为5的正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=2,是A1D1的中点,点P是棱C1D1上的动点,则四面体PQEF的体积为_________;10.如图,是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是(,则整数____________;
11.设是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若,则中数字0的个数为 .
12.设是实数.若函数是定义在上的奇函数,但不是偶函数,则函数的递增区间为.
13.已知椭圆的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,点Q在椭圆的右准线上,若则椭圆的离心率为.14.函数满足,且均大于,,则的最小值为.
二、解答题本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤请把答案写在答题纸的指定区域内.15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2AA1,BAA1=CAA1=60,D,E分别为AB,A1C中点.
(1)求证DE∥平面BB1C1C;
(2)求证BB1平面A1BC.
16.本小题满分14分已知=1+cossin=向量与夹角为,向量与夹角为,且-=,若中角A、B、C的对边分别为a、b、c,且角A=.求(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若的外接圆半径为,试求b+c取值范围.
17.如图,海岸线,现用长为的栏网围成一养殖场,其中.1若,求养殖场面积最大值;
(2)若、为定点,,在折线内选点,使,求四边形养殖场的最大面积;3若
(2)中、可选择,求四边形养殖场面积的最大值.
18.(本题满分16分)给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为.(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方程;(Ⅱ)若过点的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为,求的值;(Ⅲ)过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,试判断直线的斜率之积是否为定值并说明理由.
19.设首项为的正项数列的前项和为为非零常数已知对任意正整数总成立.(Ⅰ)求证数列是等比数列;(Ⅱ)若不等的正整数成等差数列,试比较与的大小;(Ⅲ)若不等的正整数成等比数列,试比较与的大小.
20.已知函数满足对于任意R都有且令.1求函数的表达式;2求函数的单调区间;
(3)研究函数在区间上的零点个数附加题21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1 几何证明选讲如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,DE交AB于点F.求证△PDF∽△POC.B.选修4-2 矩阵与变换已知矩阵.
(1)求逆矩阵;
(2)若矩阵X满足,试求矩阵X.C.选修4-4 坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,曲线C1与曲线C2(t∈R)交于A、B两点.求证OA⊥OB.D.选修4-5 不等式选讲已知x,y,z均为正数.求证.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知(其中)
(1)求及;2试比较与的大小,并说明理由.23.设顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4),过P作抛物线的动弦PA,PB,并设它们的斜率分别为kPA,kPB.
(1)求抛物线的方程;
(2)若kPA+kPB=0,求证直线AB的斜率为定值,并求出其值;
(3)若kPA·kPB=1,求证直线AB恒过定点,并求出其坐标.参考答案
一、填空题1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
638.
9.
10.
111.
1112.
13.
14.
二、解答题
16.Ⅰ)据题设,并注意到的范围,-----------------------2分,--------------------4分由于为向量夹角,故,而故有,得.--7分(Ⅱ)
(2)由正弦定理,-------10分得--------12分注意到,从而得------------------------14分
17.解1设,,,所以,△面积的最大值为,当且仅当时取到.2设为定值.定值,由,a=l,知点在以、为焦点的椭圆上,为定值.只需面积最大需此时点到的距离最大即必为椭圆短轴顶点.面积的最大值为,因此四边形ACDB面积的最大值为.3先确定点B、C,使.由2知为等腰三角形时,四边形ACDB面积最大.确定△BCD的形状,使B、C分别在AM、AN上滑动,且BC保持定值,由1知AB=AC时,四边形ACDB面积最大.此时,△ACD≌△ABD,∠CAD=∠BAD=θ,且CD=BD=.S=.由1的同样方法知,AD=AC时,三角形ACD面积最大,最大值为.所以,四边形ACDB面积最大值为.
18.解(Ⅰ)由题意得,半焦距则椭圆C方程为“伴随圆”方程为……………4分(Ⅱ)则设过点且与椭圆有一个交点的直线为,则整理得所以,解
①……………6分又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为,则有化简得
②……8分联立
①②解得,,所以,,则…………10分(Ⅲ)当都有斜率时,设点其中,设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,由,消去得到…………12分即,,经过化简得到,……14分因为,所以有,设的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点,所以满足方程,因而,即直线的斜率之积是为定值……16分
19.Ⅰ证:因为对任意正整数,总成立令,得则…………………………………………1分令,得1从而22-1得……3分综上得所以数列是等比数列…………………………4分(Ⅱ)正整数成等差数列,则所以则…………………………………………7分
①当时,………………………………………………8分
②当时,……9分
③当时,………10分(Ⅲ)正整数成等比数列,则则所以分1当即时,………………………………………14分
②当即时,…………………15分
③当即时,…………………16分
20.本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识1解∵,∴.…1分∵对于任意R都有∴函数的对称轴为,即,得.…2分又,即对于任意R都成立,∴且. ∵,∴. ∴.…4分2解…5分
①当时,函数的对称轴为,若,即,函数在上单调递增;…6分若,即,函数在上单调递增,在上单调递减.…7分
②当时,函数的对称轴为, 则函数在上单调递增,在上单调递减.…8分综上所述,当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为;…9分当时,函数单调递增区间为和,单调递减区间为和.…10分3解
①当时,由2知函数在区间上单调递增, 又, 故函数在区间上只有一个零点.…12分
②当时,则,而, ,(ⅰ)若,由于,且,此时,函数在区间上只有一个零点;…14分 (ⅱ)若,由于且,此时,函数在区间上有两个不同的零点.15分 综上所述,当时,函数在区间上只有一个零点; 当时,函数在区间上有两个不同的零点.……16分附加题B.
(1)设=,则==.∴解得∴=.--------6分
(2).---------------10分C.解曲线的直角坐标方程,曲线的直角坐标方程是抛物线4分设,,将这两个方程联立,消去,得,.--------------6分-------8分∴,.-----------------------10分D.选修4-5 不等式选讲证明因为x,y,z都是为正数,所以.-------------4分同理可得,当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.-------------------7分将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得.----------10分22.
(1)令,则,令,则,∴;----------------------3分
(2)要比较与的大小,即比较与的大小,当时,;当时,;当时,;-----------------------------------5分猜想当时时,,下面用数学归纳法证明由上述过程可知,时结论成立,假设当时结论成立,即,两边同乘以3得而∴即时结论也成立,∴当时,成立.综上得,当时,;当时,;当时,--10分
(23)依题意,可设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),因抛物线过点(2,4),故42=4p,p=4,抛物线方程为y2=8x.
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,则,同理,.∵kPA+kPB=0,∴+=0,∴=,y1+4=-y2-4,y1+y2=-8∴.即直线AB的斜率恒为定值,且值为-1.
(3)∵kPAkPB=1,∴·=1,∴y1y2+4y1+y2-48=0.直线AB的方程为,即y1+y2y-y1y2=8x.将-y1y2=4y1+y2-48代入上式得y1+y2y+4=8x+6,该直线恒过定点(-6,-4),命题得证.。