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2019-2020年高三(上)12月月考数学试卷含解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1.(5分)集合M={x|lgx>0},N={2},则M∩N= {2} .考点交集及其运算.专题不等式的解法及应用.分析根据对数函数的单调性求出集合M,再与集合N进行交集运算即可.解答解∵M={x|lgx>0}={x|x>1},N={2},则M∩N={2},故答案为{2}.点评本题考查对数函数的性质、集合的交集运算.属于基础题. 2.(5分)右图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为
6.8 .考点茎叶图;极差、方差与标准差.专题计算题;概率与统计.分析根据茎叶图所给的数据,做出这组数据的平均数,把所给的数据和平均数代入求方差的个数,求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差.解答解∵根据茎叶图可知这组数据是8,9,10,13,15这组数据的平均数是=11∴这组数据的方差是[(8﹣11)2+(9﹣11)2+(10﹣11)2+(13﹣11)2+(15﹣11)2]=[9+4+1+4+16]=
6.8故答案为
6.8.点评本题考查一组数据的方差,考查读茎叶图,这是经常出现的一种组合,对于一组数据通常要求这组数据的平均数,方差,标准差,本题是一个基础题. 3.(5分)若是纯虚数,则tanθ的值为 .考点复数的基本概念.专题计算题.分析根据复数是一个纯虚数,得到这个复数的实部为0,虚部不为0,解出关于θ的正弦的值和余弦不等于的值,从而得到这个角的余弦值,根据同角的三角函数关系,得到正切值.解答解∵是纯虚数,∴sinθ﹣=0,cosθ﹣≠0,∴sin,cos,∴cos,∴tan,故答案为﹣点评本题考查复数的概念,考查同角三角函数之间的关系,是一个基础题,解题的过程中注意纯虚数的等价条件. 4.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为 15 .考点程序框图.专题计算题.分析由已知中的程序框图及已知中输入n=6,可得进入循环的条件为i<6,模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.解答解如图所示的程序框图,若输入n的值为6,循环条件为i<6,i=1,s=1,1<6可以循环,s=1×1=1,i=1+2=3<6,s=1×3=3,i=3+2=5<6,s=3×5=15,i=5+2=7>6,循环结束,输出s=15,故答案为15;点评本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理. 5.(5分)(xx•北京)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= 2 .考点对数的运算性质.专题计算题.分析由函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,知f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lg(ab).由此能求出结果.解答解∵函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(ab)2=2lg(ab)=2.故答案为2.点评本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 6.(5分)袋子中装有分别标注数字为1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是 .考点古典概型及其概率计算公式.专题概率与统计.分析本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球,共有C52种结果,满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为5或7,可以列举出所有的事件共有4种结果,根据古典概型概率公式得到结果.解答解由题意知,本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球,共有C52=10种结果,满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为5或7,可以列举出所有的事件1,4;2,3;2,5;3,4共有4种结果,根据古典概型概率公式得到P==,故答案为点评本题考查古典概型,考查数字问题,是古典概型中比较典型的问题,可以列举出所有的事件,本题是一个送分题目. 7.(5分)设l是直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是
②
①若l∥α,l∥β,则α∥β;
②若l∥α,l⊥β,则α⊥β;
③若α⊥β,l⊥α,则l⊥β;
④若α⊥β,l∥α,则l⊥β.考点命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.专题空间位置关系与距离.分析
①若l∥α,l∥β,则α∥β,构造反例;
②若l∥α,l⊥β,则α⊥β;由线面平行的性质定理及面面垂直的判定定理可判断;
③若α⊥β,l⊥α,则l⊥β,构造反例;
④若α⊥β,l∥α,则l⊥β,构造反例;解答解
①由l∥α,l∥β,不一定推出α∥β.反例如图所以
①不正确;
②如图所示过l作平面γ交平面α于直线a,因为l∥α,所以l∥a,又l⊥β,所以a⊥β,a⊂α,故α⊥β,所以
②正确;
③由α⊥β,l⊥α,不能推出l⊥β;反例如图故
③不正确;
④若α⊥β,l∥α,未必有l⊥β.反例如图故
④不正确;点评本题考查命题真假的判断及空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系,考查了相关的判定定理及性质定理,本题还考查空间想像能力及运用题设条件组织证明的能力. 8.(5分)(xx•泗阳县模拟)两个正数a,b的等差中项是,等比中项是,且a>b,则双曲线的离心率为 .考点双曲线的简单性质.专题计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析由两个正数a,b的等差中项是,等比中项是,且a>b,解得a=5,b=4,故双曲线为,由此能求出双曲线的离心率.解答解∵两个正数a,b的等差中项是,等比中项是,且a>b,∴,解得a=5,b=4,∴双曲线为,∴c=,∴双曲线的离心率e==.故答案为.点评本题考查双曲线的离心率的求法,是基础题.解题时要注意等比中项和等差中项和合理运用. 9.(5分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,D为BC边上的点,且•=0,=2,则= 1 .考点向量加减混合运算及其几何意义.专题平面向量及应用.分析由题意可知⊥,且D为BC中点,∠B=∠C=30°,且易求得AD=1,,而==代入可得结果.解答解由题意可知⊥,且D为BC中点,∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1,,∴====1.故答案为1点评本题为向量的数量积的运算,把向量适当转化时解决问题的关键,属基础题. 10.(5分)已知函数f(x)=,若f(a)+f
(1)=0,则实数a= ﹣3 .考点函数的值.专题计算题.分析当a>0时,由f(a)+f
(1)=0,可得a无解,当a<0时,由f(a)+f
(1)=0,可得a=﹣3.解答解当a>0时,f(a)=2a,由f(a)+f
(1)=0,可得2a+2=0,解得a=﹣1(舍去).当a<0时,f(a)=a+1,由f(a)+f
(1)=0,可得a+1+2=0,解得a=﹣3,故答案为﹣3.点评本题主要考查求函数的值,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 11.(5分)已知向量,,且,则= .考点运用诱导公式化简求值;数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题计算题.分析先根据求得tanx,进而利用诱导公式对化简整理,分子分母同时除以cosx,最后把tanx代入即可.解答解∵∴=﹣sinx+2cosx=0,即tanx=2∴===故答案为点评本题主要考查了运用诱导公式化简求值和向量的运算.属基础题. 12.(5分)设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a= 1 .考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的综合应用.分析求出函数处的导数,即为曲线在此点的切线斜率,再利用两直线垂直的性质求出a.解答解y=的导数为y′=,当x=时,y′=1,故y=在点(,2)处的切线斜率为1,故与它垂直的直线x+ay+1=0的斜率为=﹣1,∴a=1,故答案为1.点评本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率,以及两直线垂直的性质. 13.(5分)设圆C的圆心在双曲线(a>0)的右焦点且与此双曲线的渐近线相切,若圆C被直线l截得的弦长等于2,则a= .考点圆与圆锥曲线的综合.专题计算题.分析先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径,再利用圆C被直线l截得的弦长等于2,求出a与圆心到直线l的距离d之间的等量关系即可求出a.解答解设圆心坐标为(,0),因为双曲线的渐近线y=x⇒x﹣ay=0.由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径,即得r==,又因为圆C被直线l截得的弦长等于2,故圆心到直线l的距离d=1=⇒a2=2又a>0,故a=.故答案为.点评本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质,直线的方程,直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想,考查解决问题的能力和运算能力. 14.(5分)给出下列命题
①f(x)是定义在[﹣1,1]上的偶函数,且在[﹣1,0]上是增函数,若,则f(sinθ)>f(cosθ);
②函数的单调递减区间是;
③若;
④要得到函数.其中是真命题的有
②③ (填写所有真命题的序号).考点命题的真假判断与应用.专题函数的性质及应用.分析根据偶函数在对称区间上单调性相反,结合三角函数的图象和性质,可判断f(sinθ)<f(cosθ),进而得到
①错误;根据余弦型函数的单调性,求出函数=的单调区间,比照后,可得到
②正确;利用降次升角公式化简函数的解析式,进而根据诱导公式,可判断
③正确;利用函数图象的平移变换法则,求出平移变换后函数的解析式,比照后,可得
④错误.解答解若,则1>sinθ>cosθ>0,又由f(x)是定义在[﹣1,1]上的偶函数,且在[﹣1,0]上是增函数,故f(x)在[0,1]上是减函数,故f(sinθ)<f(cosθ),故
①错误;函数=,由2kπ≤≤2kπ+π,得,故函数的单调递减区间是,故
②正确;=cosx,则f(x+π)=cos(x+π)=﹣cosx=﹣f(x)恒成立,故
③正确;将的图象向右平移个单位后,得到函数=的图象,故
④错误故答案为
②③点评本题以命题的真假判断为载体考查了命题的真假判断与应用,熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键.
二、解答题本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)已知函数,(其中ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值,并求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,△ABC的面积为,求△ABC的外接圆面积.考点由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;复合三角函数的单调性.专题三角函数的图像与性质.分析(Ⅰ)利用二倍角公式以及两角和的正弦函数,化简函数的表达式,通过函数的周期,求出ω,然后求出函数的单调减区间.(Ⅱ)利用第一问的结果,求出锐角三角形的角A,通过正弦定理求出三角形的外接圆的半径,然后求解外接圆的面积.解答解(Ⅰ)由已知得f(x)=1+cosωx+cosωx﹣sinωx=1+cosωx﹣sinωx=1﹣sin(ωx﹣),于是有=2.∴函数f(x)的单调递减区间[k],k∈Z.(Ⅱ)由(Ⅰ)以及已知可得,即sin(2A﹣)=,又三角形是锐角三角形,所以A=,△ABC的外接圆的半径为,△ABC的外接圆的面积为.点评本题考查两角和的正弦函数的应用,正弦定理,三角函数的单调减区间的求法,外接圆的面积的求法,考查计算能力. 16.(14分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为棱形,∠DAB=60°,平面PCD⊥底面ABCD,E、F分别是CD、AB的中点.
(1)求证BE⊥平面PCD.
(2)设G为棱PA上一点,且PG=2GA,求证PC∥平面DGF.考点直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.专题计算题;证明题.分析
(1)欲证BE⊥平面PCD,可先证平面PCD⊥底面ABCD,根据平面与平面垂直的性质定理可证得;
(2)欲证PC∥平面DGF,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面DGF内一直线平行,而PC∥MG,PC⊄平面DGF,GM⊂平面DGF,满足定理条件.解答证明
(1)连接BD因为底面ABCD为菱形,∠DAB=60°所以DB=CB因为E为CD的中点,所以BE⊥CD因为平面PCD⊥底面ABCD且平面PCD∩底面ABCD=CDBE⊂平面ABCD所以BE⊥平面PCD
(2)连接AC交FD与点M,交BE于点N,连接MG因为底面ABCD为菱形,且E、F分别为CD,AB的中点,所以DE∥BF,且DE=BF因此四边形DEBF为平行四边形,所以BE∥DF.因为E为CD的中点,所以CN=MN同理AM=MN,因此CM=2AM又在△ACP中,PG=2GA所以PC∥MG又因为PC⊄平面DGF,GM⊂平面DGF,所以PC∥平面DGF点评本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面平行的判定,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题. 17.(14分)(2011•福建)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位千克)与销售价格x(单位元/千克)满足关系式,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(I)求a的值(II)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.考点函数模型的选择与应用;利用导数研究函数的单调性.专题应用题.分析(I)由f
(5)=11代入函数的解析式,解关于a的方程,可得a值;(II)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值.解答解(I)因为x=5时,y=11,所以+10=11,故a=2(II)由(I)可知,该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而,f′(x)=10[(x﹣6)2+2(x﹣3)(x﹣6)]=30(x﹣6)(x﹣4)于是,当x变化时,f(x)、f′(x)的变化情况如下表由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42答当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.点评本题函数解析式的建立比较容易,考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题,属于中档题. 18.(16分)(xx•宿州三模)设函数f(x)=p(x﹣)﹣2lnx,g(x)=.(p是实数,e是自然对数的底数)
(1)当p=2时,求与函数y=f(x)的图象在点A(1,0)处相切的切线方程;
(2)若f(x)在其定义域内为单调递增函数,求p的取值范围;
(3)若在[1,e]上至少存在一点xo,使得f(x0)>g(x0)成立,求p的取值范围.考点利用导数研究曲线上某点切线方程;函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性.专题综合题.分析
(1)求导要使“f(x)为单调增函数”,转化为“f’(x)≥0恒成立”,再转化为“p≥=恒成立”,由最值法求解.同理,要使“f(x)为单调减函数”,转化为“f’(x)≤0恒成立”,再转化为“p≤=恒成立”,由最值法求解,最后两个结果取并集.
(2)由“函数f(x)的图象相切于点(1,0”求得切线l的方程,再由“l与g(x)图象相切”得到(p﹣1)x2﹣(p﹣1)x﹣e=0由判别式求解即可.
(3)因为“在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立”,要转化为“f(x)max>g(x)min”解决,易知g(x)=在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e],
①当p≤0时,f(x)在[1,e]上递减;
②当p≥1时,f(x)在[1,e]上递增;
③当0<p<1时,两者作差比较.解答解
(1)∵,要使f(x)为单调增函数,须f’(x)≥0恒成立,即px2﹣2x+p≥0恒成立,即p≥=恒成立,又≤1,所以当p≥1时,f(x)在(0,+∞)为单调增函数.要使f(x)为单调减函数,须f’(x)≤0恒成立,即px2﹣2x+p≤0恒成立,即p≤=恒成立,又>0,所以当p≤0时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数.综上所述,f(x)在(0,+∞)为单调函数,p的取值范围为p≥1或p≤0
(2)∵,,∴f’
(1)=2(p﹣1),设直线l y=2(p﹣1)(x﹣1),∵l与g(x)图象相切,∴y=2(p﹣1)(x﹣1)得(p﹣1)(x﹣1)=,即(p﹣1)x2﹣(p﹣1)x﹣e=0y=当p=1时,方程无解;当p≠1时由△=(p﹣1)2﹣4(p﹣1)(﹣e)=0,得p=1﹣4e,综上,p=1﹣4e
(3)因g(x)=在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e]
①当p≤0时,由
(1)知f(x)在[1,e]上递减⇒f(x)max=f
(1)=0<2,不合题意
②当p≥1时,由
(1)知f(x)在[1,e]上递增,f
(1)<2,又g(x)在[1,e]上为减函数,故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],即f(e)=p(e﹣)﹣2lne>2⇒p>
③当0<p<1时,因x﹣≥0,x∈[1,e]所以f(x)=p(x﹣)﹣2lnx≤(x﹣)﹣2lnx≤e﹣﹣2lne<2不合题意综上,p的取值范围为(,+∞)点评本题主要考查用导数法研究函数的单调性,基本思路是当函数为增函数时,导数大于等于零;当函数为减函数时,导数小于等于零,已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题. 19.(16分)(xx•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的离心率,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l mx+ny=1与圆O x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.考点圆与圆锥曲线的综合;直线与圆相交的性质;椭圆的标准方程.专题综合题;压轴题.分析
(1)由得a2=3b2,椭圆方程为x2+3y2=3b2,求出椭圆上的点到点Q的距离,利用配方法,确定函数的最大值,即可求得椭圆方程;
(2)假设M(m,n)存在,则有m2+n2>1,求出|AB|,点O到直线l距离,表示出面积,利用基本不等式,即可确定三角形面积的最大值,从而可求点M的坐标.解答解
(1)由得a2=3b2,椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=
①当﹣b≤﹣1时,即b≥1,得b=1
②当﹣b>﹣1时,即b<1,得b=1(舍)∴b=1∴椭圆方程为
(2)假设M(m,n)存在,则有m2+n2>1∵|AB|=,点O到直线l距离∴=∵m2+n2>1∴0<<1,∴当且仅当,即m2+n2=2>1时,S△AOB取最大值,又∵解得所以点M的坐标为或或或,△AOB的面积为.点评本题考查椭圆的标准方程,考查三角形面积的求解,考查基本不等式的运用,正确表示三角形的面积是关键. 20.(16分)各项均为正数的等比数列{an},a1=1,a2a4=16,单调增数列{bn}的前n项和为Sn,a4=b3,且6Sn=bn2+3bn+2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;(Ⅱ)令(n∈N*),求使得cn>1的所有n的值,并说明理由.(Ⅲ)证明{an}中任意三项不可能构成等差数列.考点数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等差关系的确定.专题综合题.分析(Ⅰ)由a2a4=a12q4=q4=16,q2=4,知an=2n﹣1,b3=a4=8.由6Sn=bn2+3bn+2,知(bn+bn﹣1)(bn﹣bn﹣1)=3(bn+bn﹣1),由此能够求出bn=3n﹣1.(Ⅱ)由bn=3n﹣1,知=,由此能求出满足条件Cn>1的所有n的值为1,2,3,4.(Ⅲ)假设{an}中存在三项p,q,r(p<q<r,p,q,R∈N*)使ap,aq,ar构成等差数列,所以2•2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1.2q﹣p+1=1+2r﹣p.因左边为偶数,右边为奇数,故假设不成立,即不存在任意三项能构成等差数列.解答解(Ⅰ)∵a2a4=a12q4=q4=16,q2=4,∵an>0,∴q=2,∴an=2n﹣1∴b3=a4=8.∵6Sn=bn2+3bn+2
①当n≥2时,6Sn﹣1=bn﹣12+3bn﹣1+2
②①﹣
②得6bn=bn2﹣bn﹣12+3bn﹣3bn﹣1即(bn+bn﹣1)(bn﹣bn﹣1)=3(bn+bn﹣1)∵bn>0∴bn﹣bn﹣1=3,∴{bn}是公差为3的等差数列.当n=1时,6b1=b12+3b1+2,解得b1=1或b1=2,当b1=1时,bn=3n﹣2,此时b3=7,与b3=8矛盾;当b1=3时bn=3n﹣1,此时此时b3=8=a4,∴bn=3n﹣1.(Ⅱ)∵bn=3n﹣1,∴=,∴c1=2>1,c2=>1,c3=2>1,>1,<1,下面证明当n≥5时,cn<1事实上,当n≥5时,=<0即cn+1<cn,∵<1∴当n≥5时,Cn<1,故满足条件Cn>1的所有n的值为1,2,3,4.(Ⅲ)假设{an}中存在三项p,q,r(p<q<r,p,q,R∈N*)使ap,aq,ar构成等差数列,∴2aq=ap+ar,即2•2q﹣1=2p﹣1+2r﹣1.∴2q﹣p+1=1+2r﹣p.因左边为偶数,右边为奇数,矛盾.∴假设不成立,故不存在任意三项能构成等差数列.点评本题考查数列与不等式的综合,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
三、数学Ⅱ附加题21.(20分)(选做题)在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(B)(选修4﹣2矩阵与变换)二阶矩阵M有特征值λ=8,其对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点(﹣1,2)变换成点(﹣2,4),求矩阵M2.(C)(选修4﹣4坐标系与参数方程)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直线l的参数方程为(t为参数,t∈R).试在曲线C上一点M,使它到直线l的距离最大.考点参数方程化成普通方程;点到直线的距离公式;特征值与特征向量的计算.专题选作题.分析(B)利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出;(C)先把极坐标方程和参数方程化为普通方程,再利用点到直线的距离公式即可求出.解答(B)解设,则由,得,即a+b=8,c+d=8.由,得,从而﹣a+2b=﹣2,﹣c+2d=4.由a+b=8,﹣a+2b=﹣2,c+d=8,﹣c+2d=4解得a=6,b=2,c=4,d=4∴,.(C)解由曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,可得C的普通方程是x2+3y2=3,即=1.由直线l的参数方程为(t为参数,t∈R)消去参数td得直线l的普通方程是x+=0.设点M的坐标是,则点M到直线l的距离是d=.当时,即θ+,k∈Z,解得θ=2kπ+,k∈Zd取得最大值,此时,综上,点M的坐标是时,M到直线l的距离最大.点评熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算、直线与圆锥曲线的位置关系及利用点到直线的距离公式求最值问题是解题的关键. 22.(10分)设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且.
(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C上的点,且成等差数列,当AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时,求点B的坐标.考点圆锥曲线的综合;数列与向量的综合.专题综合题.分析
(1)根据,可得P为MN的中点,利用,可得,从而可得点N的轨迹C的方程;
(2)先根据抛物线的定义可知,利用成等差数列,可得x1+x3=2x2,确定AD的中垂线方程,利用AD的中点在直线上,即可求得点B的坐标.解答解
(1)设N(x,y),则由得P为MN的中点,所以…(1分)又,∴∵,…(3分)∴y2=4x(x≠0)…(5分)
(2)由
(1)知F(1,0)为曲线C的焦点,由抛物线定义知抛物线上任一点P0(x0,y0)到F的距离等于其到准线的距离,即…(6分)故,又成等差数列∴x1+x3=2x2…(7分)∵直线AD的斜率…(9分)∴AD的中垂线方程为…(10分)又AD的中点在直线上,代入上式,得…(11分)故所求点B的坐标为(1,±2)…(12分)点评本题考查求轨迹方程,考查向量知识的运用,考查数列知识,解题的关键是用好向量,挖掘隐含,属于中档题. 23.(10分)设数列{an}是等比数列,a1=C2m+33m•Am﹣21,公比q是的展开式中的第二项(按x的降幂排列).
(1)用n,x表示通项an与前n项和Sn;
(2)若An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn,用n,x表示An.考点数列的求和;数列递推式;二项式定理.专题综合题;压轴题.分析第
(1)问的提出是很自然的,在确定参数m和公比q时,自然需要讨论排列数、组合数的性质,此处为,另外二项展开式中的第二项的求解需要注意题意,即按x的降幂排列.以上两点注意到了很自然的能求出参数m和公比q的值来.
(2)在
(1)中求得前n项和Sn的基础上要分两类x=1和x≠1来解答,当x=1时的形式能使我们很容易得到表达式An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn0+1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn,联想组合数的性质Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n,很容易构造出解答An的式子及方法.当x≠1时要分两组式子分别计算得到An的值.解答解
(1)∵a1=C2m+33m•Am﹣21∴∴m=3,…(2分)由的展开式中的同项公式知,∴an=xn﹣1∴由等比数列的求和公式得…(4分)
(2)当x=1时,Sn=n,所以An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn0+1Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn,又∵An=nCnn+(n﹣1)Cnn﹣1+(n﹣2)Cnn﹣2+…+Cn1+0Cn0,∴上两式相加得2An=n(Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn)=n•2n,∴An=n•2n﹣1,当x≠1时,,所以有∴…(10分)点评本题综合考查了数列及数列的前n项和的求法,二项式定理的内容.公比为参数x的等比数列前n项和的讨论.对于二项式定理的展开应用,本题需要注意是按照参数字母x的降幂排列,忽略这一点将导致错误. 。