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2019-2020年高三(上)12月检测数学试卷含解析
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填在答题卡相应的位置上)1.(5分)复数(i为虚数单位)的实部是 ﹣1 .考点复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.专题计算题.分析把给出的复数分子分母同时乘以1+i,整理成a+bi(a,b∈R)的形式,则实部可求.解答解.所以复数(i为虚数单位)的实部是﹣1.故答案为﹣1.点评本题考查了复数的基本概念,考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法采用分组分母同时乘以分母的共轭复数,此题是基础题. 2.(5分)(xx•泉州模拟)集合A={3,2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B= {1,2,3} .考点并集及其运算;交集及其运算.分析根据题意,若A∩B={2},则2∈A,则可得2a=2,可得a的值,进而可得b的值,再由并集的意义,可得答案.解答解根据题意,若A∩B={2},则2∈A,2∈B,而已知A={3,2a},则必有2a=2,故a=1,又由2∈B,且a=1则b=2,故A∪B={1,2,3},故答案为{1,2,3}.点评本题综合考查并集、交集的意义与运算,要求学生有一定的逻辑分析能力. 3.(5分)已知等比数列{an}的各项都为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式an= 3n﹣1 .考点等比数列的性质.专题计算题.分析因为此等比数列的前三项依次为1,a+1,2a+5,根据等比数列的性质可得,第2项的平方等于第1第3项之积,列出关于a的方程,由各项都大于0,求出满足题意的方程的解即可得到a的值,然后把a的值代入得到前3项的值,根据前3项的值分别求出等比数列的首项和公比,根据首项和公比即可写出等比数列的通项公式.解答解由1,a+1,2a+5为等比数列的前3项,得到(a+1)2=2a+5,化简得a2=4,由a+1>0得到a>﹣1,所以解得a=2,所以等比数列的前3项依次为1,3,9,则a1=1,q=3,则数列{an}的通项公式an=3n﹣1.故答案为3n﹣1点评此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式化简求值,是一道综合题. 4.(5分)若θ∈(,),sin2θ=,则cosθ﹣sinθ的值是 ﹣ .考点三角函数的恒等变换及化简求值.专题计算题.分析求出表达式的平方的值,根据角的范围确定表达式的符号,求出值即可.解答解(cosθ﹣sinθ)2=1﹣sin2θ=,又,cosθ<sinθ所以cosθ﹣sinθ=,故答案为.点评本题是基础题,考查三角函数的化简求值,注意角的范围三角函数的符号的确定,是本题的关键. 5.(5分)(xx•哈尔滨一模)设,,是单位向量,且,则向量,的夹角等于 60° .考点数量积表示两个向量的夹角.专题计算题.分析根据,,是单位向量,且,可得,两边平方,即可求得向量,的夹角.解答解∵,,是单位向量,且,∴∴两边平方可得1+1﹣2cos=1∴cos=∵∴故答案为60°点评本题考查向量知识的运用,考查向量的数量积,解题的关键是等式两边平方. 6.(5分)若函数y=lnx+2x﹣6的零点为x0,则满足k≤x0的最大整数k= 2 .考点函数的零点.专题函数的性质及应用.分析利用函数零点的判定定理即可得出.解答解∵f
(2)=ln2﹣2<0,f
(3)=ln3>0,∴函数y=lnx+2x﹣6的零点x0∈(2,3).∴满足k≤x0的最大整数k=2.故答案为2.点评熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键. 7.(5分)定义在R上的可导函数y=f(x)满足f(x+5)=f(﹣x),(2x﹣5)f′(x)>0.已知x1<x2,则“f(x1)>f(x2)”是“x1+x2<5”的 充分必要 条件.考点必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题计算题;函数的性质及应用.分析求出函数y=f(x)图象的对称轴,然后根据(2x﹣5)f(x)>0,判定函数在对称轴两侧的单调性,最后根据函数的单调性对充分性和必要性分别加以验证,即可得到本题答案.解答解∵f(5+x)=f(﹣x),∴函数y=f(x)的图象关于x=对称∵(2x﹣5)f(x)>0,∴x>时,f(x)>0,可得函数f(x)单调递增;当x<时,f(x)<0,可得函数f(x)单调递减
①当f(x1)>f(x2)时,结合x1<x2,由函数单调性可得≤x2<5﹣x1或x1<x2<∴x1+x2<5成立,故充分性成立;
②当x1+x2<5时,因为x1<x2,必有x1<5﹣x2≤成立,所以结合函数的单调性,可得f(x1)>f(x2)成立,故必要性成立综上所述,“f(x1)>f(x2)”是“x1+x2<5”的充分必要条件.故答案为充分必要点评本题给出函数单调性的命题,要我们进行充分必要性的判断,主要考查函数的单调性、用导函数的正负判断函数单调和充分必要条件的判定等知识,属于属中档题. 8.(5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象过点A(2,1),且在点A处的切线方程2x﹣y+a=0,则a+b+c= 0 .考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;导数的概念及应用.分析由函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象过点A(2,1),推导出8+4a+2b+c=1,由f(x)在点A处的切线方程2x﹣y+a=0,推导出f′
(2)=3×4+2a×2+b=2,a=﹣3,由此能求出a+b+c的值.解答解∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象过点A(2,1),∴8+4a+2b+c=1,且f′(x)=3x2+2ax+b,∵f(x)在点A处的切线方程2x﹣y+a=0,∴f′
(2)=3×4+2a×2+b=12+4a+b=2,f(x)在点A处的切线方程为y﹣1=2(x﹣2),即2x﹣y﹣3=0,∴,解得a=﹣3,b=2,c=1,∴a+b+c=﹣3+2+1=0.故答案为0.点评本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法及其应用,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用. 9.(5分)在平面直角坐标系中,两条平行直线的横截距相差20,纵截距相差15,则这两条平行直线间的距离为 12 .考点两条平行直线间的距离.专题计算题;空间位置关系与距离.分析作出图形,利用等面积,即可得到结论.解答解由题意,如图所示,设两条平行直线间的距离为d,则AB=20,BC=15,AB⊥BC∴BC=25由等面积可得×15×20=×25×d,∴d=12故答案为12.点评本题考查两条平行直线间的距离,考查学生的计算能力,属于基础题. 10.(5分)(xx•桂林一模)半径为4的球面上有A,B,C,D四点,且满足AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,则S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为(S为三角形的面积) 32 .考点基本不等式;球内接多面体.专题计算题;压轴题.分析设AB=a,AC=b,AD=c,根据AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,可得a2+b2+c2=4R2=64,而S△ABC+S△ACD+S△ADB=(ab+ac+bc),利用基本不等式,即可求得最大值为.解答解设AB=a,AC=b,AD=c,∵AB⊥AC,AC⊥AD,AD⊥AB,∴a2+b2+c2=4R2=64∴S△ABC+S△ACD+S△ADB=(ab+ac+bc)≤(a2+b2+c2)=32∴S△ABC+S△ACD+S△ADB的最大值为32故答案为32.点评本题考查求内接几何体,考查基本不等式的运用,属于基础题. 11.(5分)已知A(3,),O是原点,点P的坐标为(x,y)满足条件,则z=的取值范围是 [﹣3,3] .考点向量的投影;简单线性规划.专题计算题.分析由已知,z即为在上的投影.先根据约束条件画出可行域,再利用z的几何意义求范围.只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围,从而得到z的取值范围.解答解==,∵,∴当时,=3,当时,=﹣3,∴z的取值范围是[﹣3,3].故答案为[﹣3,3].点评本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包括线性的与非线性,非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规划问题得以深化. 12.(5分)若对x,y∈[1,2],xy=2,总有不等式成立,则实数a的取值范围是 a≤0 .考点基本不等式在最值问题中的应用.专题计算题.分析先根据均值不等式求得(2﹣x)(4﹣y)的最大值,要使不等式成立,需(2﹣x)(4﹣y)≥a成立.求出(2﹣x)(4﹣y)的最小值即可.解答解,即a≤(2﹣x)(4﹣y)恒成立,只需a≤(2﹣x)(4﹣y)的最小值而(2﹣x)(4﹣y)=8﹣4x﹣2y+xy=8﹣(4x+2y)+2=10﹣(4x+2y)=10﹣(4x+)令f(x)=10﹣(4x+)x∈[1,2]则导数f(x)=﹣(4﹣)=≤0故f(x)在x∈[1,2]是减函数所以当x=2时取最小值0即(2﹣x)(4﹣y)的最小值为0所以a≤0点评本题主要考查了本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.属基础题. 13.(5分)给出下列四个命题
①“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;
②函数y=sin(2x﹣)的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=cos2x;
③函数y=lg(ax2﹣2ax+1)的定义域是R,则实数a的取值范围是(0,1);
④设O是△ABC内部一点,且,则△AOB与△AOC的面积之比为12;其中真命题的序号是
④ (写出所有真命题的序号).考点命题的真假判断与应用;充要条件;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.专题应用题.分析
①当k=﹣1时,函数y=cos2kx﹣sin2kx=cos2x的最小正周期也为π;
②函数y=sin(2x﹣)的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=sin[2(x)﹣]化简即可
③由函数y=lg(ax2﹣2ax+1)的定义域是R可得ax2﹣2ax+1>0恒成立,分类讨论
①若a=0,
②可判断;
④设AC边上的中线为BD,由O是△ABC内部一点,且,可得O为BD的中点,=可求解答解
①当k=﹣1时,函数y=cos2kx﹣sin2kx=cos2x的最小正周期也为π,故
①错误
②函数y=sin(2x﹣)的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=sin[2(x)﹣]==﹣cos2x,故
②错误
③由函数y=lg(ax2﹣2ax+1)的定义域是R可得ax2﹣2ax+1>0恒成立,
①若a=0,满足条件
②解可得0<a<1,从而有0≤a<1,故
③错误
④设AC边上的中线为BD,由O是△ABC内部一点,且,可得O为BD的中点,==,正确故答案为
④点评本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数图象的平移及对数函数的定义域,函数的恒成立问题的求解,是一道综合题. 14.(5分)(xx•崇文区一模)定义在R上的函数满足f
(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1,,且当0≤x1<x2≤1时,f(x1)≤f(x2),则= .考点函数的值.专题计算题;综合题.分析先由已知条件f
(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1,求出一些特值,f
(1)=1,,可得f()=,再由当0≤x1<x2≤1时,f(x1)≤f(x2),结合=f()可以看出x∈时,f(x)=,再利用条件将逐步转化到内,代入求解即可.解答解由f(x)+f(1﹣x)=1可知f(x)的图象关于对称,由f
(0)=0得f
(1)=1,,中令x=1可得f()=,又因为0≤x1<x2≤1时,f(x1)≤f(x2),所以x∈时,f(x)=,由可得=,因为,所以,所以故答案为点评本题考查抽象函数的性质的应用问题及转化思想,综合性较强,难度较大.
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(xx•陕西)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?考点解三角形的实际应用.专题应用题.分析先根据内角和求得∠DAB和,∠DBA及进而求得∠ADB,在△ADB中利用正弦定理求得DB的长,进而利用里程除以速度即可求得时间.解答解由题意知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°﹣60°=30°,∠DAB=90°﹣45°=45°,∴∠ADB=180°﹣(45°+30°)=105°,在△ADB中,有正弦定理得=∴DB===10又在△DBC中,∠DBC=60°DC2=DB2+BC2﹣2×DB×BC×cos60°=900∴DC=30∴救援船到达D点需要的时间为=1(小时)答该救援船到达D点需要1小时.点评本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力. 16.(14分)如图,M,N,K分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.
(1)求证AN∥平面A1MK;
(2)求证平面A1B1C⊥平面A1MK.考点平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.专题证明题.分析对于
(1),要证明AN∥平面A1MK,只需证明AN平行于平面A1MK内的一条直线,容易证明AN∥A1K,从而得到证明;对于
(2),要证明平面A1B1C⊥平面A1MK,只需证明平面A1MK内的直线MK垂直于平面A1B1C即可,而BC1∥MK容易证明,从而问题得以解决.解答证明
(1)连接KN,由于K、N为CD,C1D
1、CD的中点,所以KN平行且等于AA1,AA1KN为平行四边形⇒AN∥A1K,而A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,从而AN∥平面A1MK.
(2)连接BC1,由于K、M为AB、C1D1的中点,所以KC1与MB平行且相等,从而KC1MB为平行四边形,所以MK∥BC1,而BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1,从而BC1⊥平面A1B1C,所以⇒MK⊥面A1B1C⇒面A1B1C⊥面A1MK.点评本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的使用,要注意其中的转化思想的应用,即将线面平行转化为线线平行,将面面垂直转化为线面垂直. 17.(14分)如图在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A、B两点.
(1)若A、B两点的纵坐标分别为、,求cos(β﹣α)的值;
(2)已知点,求函数的值域.考点平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.专题平面向量及应用.分析
(1)由三角函数的定义可得sinα,sinβ,再由同角三角函数的基本关系可得cosαcosβ,代入两角差的余弦公式可得;
(2)由数量积的运算可得f(α)=,由α得范围,逐步求范围可得答案.解答解
(1)根据三角函数的定义,得,.又α是锐角,所以,因为β是钝角,所以.所以.
(2)由题意可知,,.所以,因为,所以,从而,因此函数的值域为.点评本题考查平面向量的数量积的运算,以及三角函数的运算公式和值域,属中档题. 18.(16分)已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(﹣2,0)的直线l与圆x2+y2=1交于P,Q两点.(I)若,求直线l的方程;(Ⅱ)若△OMP与△OPQ的面积相等,求直线l的斜率.考点直线与圆的位置关系;直线与圆相交的性质.专题计算题.分析(Ⅰ)利用两个向量的数量积的定义求出,∠POQ=120°,得到O到直线l的距离等于,根据点到直线的距离公式求出直线l的斜率,从而得到直线l的方程.(Ⅱ)因为△OMP与△OPQ的面积相等,可得,再由P,Q两点在圆上,可解得点P的坐标,由两点式求得直线l的斜率.解答解(Ⅰ)依题意,直线l的斜率存在,因为直线l过点M(﹣2,0),可设直线l y=k(x+2).因为P、Q两点在圆x2+y2=1上,所以,,因为,所以,所以,∠POQ=120°,所以,O到直线l的距离等于.所以,,得,所以直线l的方程为,或.(Ⅱ)因为△OMP与△OPQ的面积相等,所以,,设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以,,.所以,,即(*);因为,P,Q两点在圆上,所以,把(*)代入,得,所以,,所以,直线l的斜率,即.点评本题考查两个向量的数量积的定义,直线和圆相交的性质,求出点P的坐标是解题的难点. 19.(16分)(xx•浙江)已知函数f(x)=x3﹣(k2﹣k+1)x2+5x﹣2,g(x)=k2x2+kx+1,其中k∈R.(I)设函数p(x)=f(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围;(II)设函数是否存在k,对任意给定的非零实数x1,存在惟一的非零实数x2(x2≠x1),使得q′(x2)=q′(x1)?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.考点利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系.专题计算题;压轴题;分类讨论.分析(I)因P(x)=f(x)+g(x)=x3+(k﹣1)x2+(k+5)x﹣1,先求导数p′(x),因p(x)在区间(0,3)上不单调,得到p′(x)=0在(0,3)上有实数解,且无重根,再利用分离参数的方法得出,最后再利用导数求出此函数的值域即可;(II)先根据题意得出当k=0时不合题意,因此k≠0,下面讨论k≠0的情形,分类讨论(ⅰ)当x1>0时,(ⅱ)当x1<0时,最后综合(ⅰ)(ⅱ)即可得出k值.解答解析(I)因P(x)=f(x)+g(x)=x3+(k﹣1)x2+(k+5)x﹣1,p′(x)=3x2+2(k﹣1)x+(k+5),因p(x)在区间(0,3)上不单调,所以p′(x)=0在(0,3)上有实数解,且无重根,由p′(x)=0得k(2x+1)=﹣(3x2﹣2x+5),∴,令t=2x+1,有t∈(1,7),记,则h(t)在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,所以有h(t)∈[6,10),于是,得k∈(﹣5,﹣2],而当k=﹣2时有p′(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x=1,故舍去,所以k∈(﹣5,﹣2);(II)当x<0时有q′(x)=f′(x)=3x2﹣2(k2﹣k+1)x+5;当x>0时有q′(x)=g′(x)=2k2x+k,因为当k=0时不合题意,因此k≠0,下面讨论k≠0的情形,记A=(k,+∞),B=(5,+∞)(ⅰ)当x1>0时,q′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以要使q′(x2)=q′(x1)成立,只能x2<0且A⊆B,因此有k≥5,(ⅱ)当x1<0时,q′(x)在(﹣∞,0)上单调递减,所以要使q′(x2)=q′(x1)成立,只能x2>0且A⊆B,因此k≤5,综合(ⅰ)(ⅱ)k=5;当k=5时A=B,则∀x1<0,q′(x1)∈B=A,即∃x2>0,使得q′(x2)=q′(x1)成立,因为q′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x2的值是唯一的;同理,∀x1<0,即存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),要使q′(x2)=q′(x1)成立,所以k=5满足题意.点评本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,同时考查了分析与解决问题的综合能力,属于中档题. 20.(16分)(xx•丰台区一模)设集合W由满足下列两个条件的数列{an}构成
①;
②存在实数M,使an≤M.(n为正整数)(Ⅰ)在只有5项的有限数列{an}、{bn}中,其中a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5;b1=1,b2=4,b3=5,b4=4,b5=1;试判断数列{an}、{bn}是否为集合W中的元素;(Ⅱ)设{cn}是各项为正数的等比数列,Sn是其前n项和,,,试证明{Sn}∈W,并写出M的取值范围;(Ⅲ)设数列{dn}∈W,对于满足条件的M的最小值M0,都有dn≠M0(n∈N*).求证数列{dn}单调递增.考点元素与集合关系的判断;数列的函数特性;等比数列的前n项和;等比数列的性质.分析(Ⅰ)检验这2个数列中的各项是否满足
①②2个条件.(Ⅱ){cn}是各项为正数的等比数列,求出公比和首项,得到通项公式,再计算其前n项和Sn,判断Sn是否满足
①②2个条件.(Ⅲ)用反证法证明,若数列{dn}非单调递增,推出与题设矛盾,所以假设不对,命题得到证明.解答解(Ⅰ)对于数列{an},取=a2,显然不满足集合W的条件
①,故{an}不是集合W中的元素.(2分)对于数列{bn},当nÎ{1,2,3,4,5}时,不仅有,,,而且有bn≤5,显然满足集合W的条件
①②,故{bn}是集合W中的元素.(4分)(Ⅱ)∵{cn}是各项为正数的等比数列,Sn是其前n项和,,,设其公比为q>0,∴,整理得,6q2﹣q﹣1=0∴q=,∴(7分)对于“n∈N*,有,且Sn<2,故{Sn}∈W,且M∈[2,+∞).(9分)(Ⅲ)证明(反证)若数列{dn}非单调递增,则一定存在正整数k,使dk≥dk+1成立,当n=m+1时,由得dm+2<2dm+1﹣dm,而dm+1﹣dm+2>dm+1﹣(2dm+1﹣dm)=dm﹣dm+1≥0,所以dm+1>dm+2.显然在d1,d2,…,dk这k项中一定存在一个最大值,不妨记为,所以,从而.这与题设dn≠M0(n∈N*)相矛盾.所以假设不成立,故命题得证.(14分)点评本题考查数列的函数特性,等比数列的性质,等比数列的前n项和公式,用反证法证明数学命题,属于中档题. 。