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2019-2020年高三(上)第三次联考数学试卷Word版含解析
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.(5分)集合{0,1,2}的所有子集个数为 8 .考点子集与真子集.专题计算题.分析根据题意,易得集合M中有3个元素,由集合的元素数目与其子集数目的关系,可得答案.解答解集合{0,1,2}中有3个元素,则其子集有23=8个,故答案为8.点评本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系,牢记若一个集合有n个元素,则其有2n个子集. 2.(5分)设(2+i)z=5i(i为虚数单位),则|z|= .考点复数求模.专题计算题.分析把给出的等式两边同时乘以,然后运用复数的除法运算化简,最后利用求复数模的公式求模.解答解∵复数z满足(2+i)z=5i(i为虚数单位),∴z====1+2i.则|z|==.故答案为.点评本题考查复数的模的定义,考查了复数的乘除法运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,此题是基础题. 3.(5分)(2011•徐州模拟)在某个容量为300的样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的,则中间一组的频数为 50 .考点频率分布直方图.专题计算题.分析由已知中频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的,根据这9个小正方形的面积(频率)和为1,进而求出该组的频率,进而根据频数=频率×样本容量,即可得到中间一组的频数.解答解由于中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的,这9个长方形的面积和为1故中间一个小长方形的面积等于即中间一组的频率为双有样本容量为300故中间一组的频数为300×=50故答案为50点评本题考查的知识点是频率分布直方图,其中根据已知条件结合频率分布直方图中各矩形面积的和为1,求出中间一组的频率,是解答本题的关键. 4.(5分)(2011•南通一模)根据如图的算法,输出的结果是 55 .考点伪代码.专题阅读型.分析先读懂程序的算法,再据算法规则依次算出结果.可以看出这是一个for循环结构,循环执行10此,依其特点求解即可.解答解程序是一个循环结构,步长是1,每循环一次就加进i,初始i=1,可循环十次,故S=0+1+2+3+…+10=55故答案为55.点评本题主要考查算法语言的结构,此类题的做法通常是把值代入,根据其运算过程求出值,属于基础题. 5.(5分)(2011•西安模拟)设变量x,y满足约束条件,则z=x﹣3y的最小值 ﹣8 .考点简单线性规划.专题计算题.分析作出变量x,y满足约束条件所对应的平面区域,采用直线平移的方法,将直线l平移使它经过区域上顶点A(﹣2,2)时,目标函数达到最小值﹣8解答解变量x,y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图,化目标函数z=x﹣3y为将直线l平移,因为直线l在y轴上的截距为﹣,所以直线l越向上移,直线l在y轴上的截距越大,目标函数z的值就越小,故当直线经过区域上顶点A时,将x=﹣2代入,直线x+2y=2,得y=2,得A(﹣2,2)将A(﹣2,2)代入目标函数,得达到最小值zmin=﹣2﹣3×2=﹣8故答案为﹣8点评本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题,看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键. 6.(5分)(2011•江苏模拟)已知α、β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 必要不充分 条件.考点必要条件、充分条件与充要条件的判断;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.分析直线和平面垂直,平面和平面垂直的判定,二者的关系搞清楚,解答解由平面与平面垂直的判定定理知,m为平面α内的一条直线,如果m⊥β,则α⊥β;反过来m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”可能有m∥β,m∩β=p,可能有m⊥β三种情况.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.故答案为必要不充分点评考查定理的理解,分析问题时考虑要全面,有时可以借助实物,动手动脑,简化问题. 7.(5分)(2011•江苏二模)若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=16内的概率是 .考点古典概型及其概率计算公式.专题计算题.分析本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标,共有6×6种结果,而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内,列举出落在圆内的情况共有8种结果,求比值得到结果.解答解由题意知,本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标,共有6×6=36种结果,而满足条件的事件是点P落在圆x2+y2=16内,列举出落在圆内的情况(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2),共有8种结果,根据古典概型概率公式得到P==,故答案为点评本题是一个古典概型问题,这种问题在高考时可以一道解答题,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题可以列举出所有事件. 8.(5分)已知,则tanα= .考点两角和与差的正切函数.专题计算题.分析把已知,直接代入tanα=tan[(α+β)﹣β],利用两角差的正切公式运算求得结果.解答解已知,则tanα=tan[(α+β)﹣β]===.故答案为.点评本题主要考查两角差的正切公式的应用以及角的变换,属于基础题. 9.(5分)(2011•扬州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知A、B分别是双曲线的左、右焦点,△ABC的顶点C在双曲线的右支上,则的值是 .考点双曲线的简单性质.专题计算题.分析首先由正弦定理,可得=,进而根据双曲线的几何性质,可得|AB|=2c=4,|CB|﹣|CA|=﹣2a=﹣2;代入中,可得答案.解答解根据正弦定理在△ABC中,有=;又由题意A、B分别是双曲线的左、右焦点,则|AB|=2c=4,且△ABC的顶点C在双曲线的右支上,又可得|CB|﹣|CA|=﹣2a=﹣2;故则===﹣;故答案为﹣.点评本题考查双曲线的几何性质,注意点C在双曲线的右支上,则有|CA|>|CB|,即|CB|﹣|CA|=﹣2a,这是一个易错点. 10.(5分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,D为BC边上的点,且•=0,=2,则= 1 .考点向量加减混合运算及其几何意义.专题平面向量及应用.分析由题意可知⊥,且D为BC中点,∠B=∠C=30°,且易求得AD=1,,而==代入可得结果.解答解由题意可知⊥,且D为BC中点,∠B=∠C=30°故在直角三角形ABD中可求得AD=1,,∴====1.故答案为1点评本题为向量的数量积的运算,把向量适当转化时解决问题的关键,属基础题. 11.(5分)已知,若对任意两个不等的正实数m,n都有>3恒成立,则实数a的取值范围是 a≥ .考点函数的单调性与导数的关系.专题导数的概念及应用.分析由题意易得f′(x)>3恒成立,求导数,分离a,只需求x(3﹣x)的最小值即可.解答解因为对任意两个不等的正实数m,n都有>3恒成立,所以函数f(x)图象上每点切线的斜率>3恒成立,故f′(x)>3恒成立,又已知,定义域为(0,+∞)求导数可得,故>3恒成立,所以a>x(3﹣x)恒成立,只需求x(3﹣x)的最小值,而当x=时,[x(3﹣x)]min=,故答案为a≥点评本题考查函数的单调性和导数的关系,涉及恒成立问题,属中档题. 12.(5分)设,a>0,函数f(θ)=的最小值为25,则实数a= 16 .考点三角函数的最值.专题三角函数的求值.分析由题意可得cosθ>0,>0,函数f(θ)=[]•[cosθ+(1﹣cosθ)]=1+a++,利用基本不等式求得最小值为1+a+2=25,由此求得实数a的值.解答解∵,a>0,∴cosθ>0,>0,∴函数f(θ)==[]•[cosθ+(1﹣cosθ)]=1+a++≥1+a+2,当且仅当=时,取等号,故函数的最小值为1+a+2=25,解得a=16,故答案为16.点评本题主要考查基本不等式的应用,求函数的最值,属于中档题. 13.(5分)已知数列{an},{bn}满足a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i+j=k+l时,都有ai+bj=ak+bl,则的值是 xx .考点数列的求和.专题计算题;点列、递归数列与数学归纳法.分析先求出b2的值,然后分别判定数列{an},{bn}的特征,然后利用求和公式分别求出两数列的和,将xx代入求出所求即可.解答解∵对任意的正整数m,n,p,q,当m+n=p+q时,都有am+bn=ap+bq,∴a2+b1=a1+b2,将a1=1,a2=2,b1=2,代入可得b2=3∵1+(n+1)=2+n∴a1+bn+1=a2+bn,即bn+1﹣bn=1∴数列{bn}是等差数列首项为1,公差为1,则Tn=∵(n+1)+1=n+2∴an+1+b1=an+b2则an+1﹣an=1∴数列{an}是等差数列首项为2,公差为1,则Sn=∴=Sxx+Txx=(1006×xx+1006+xx)=xx故答案为xx点评本题主要考查了数列的求和,以及数列的判定,同时考查了计算能力,属于中档题 14.(5分)(2011•延安模拟)我们把形如的函数因其图象类似于汉字“囧”字,故生动地称为“囧函数”,并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆,皆称之为“囧圆”,则当a=1,b=1时,所有的“囧圆”中,面积的最小值为 3π .考点直线和圆的方程的应用.专题计算题;新定义.分析根据已知中关于“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义,根据a=1,b=1我们易求出“囧点”坐标,并设出“囧圆”的方程,根据求出圆心到“囧函数”图象上的最小距离后,即可得到结论.解答解当a=1,b=1时,则函数与Y轴交于(0,﹣1)点则“囧点”坐标为(0,1)令“囧圆”的标准方程为x2+(y﹣1)2=r2,令“囧圆”与函数图象的左右两支相切则切点坐标为(±,±)此时r=;令“囧圆”与函数图象的下支相切则切点坐标为(0,﹣1)此时r=2;故所有的“囧圆”中,面积的最小值为3π故答案为3π点评本题考查的知识点是抽象函数及其应用,其中根据“囧圆”的圆心坐标及“囧函数”的解析式,求出“囧圆”的圆心到函数图象距离的最小值是解答本题的关键,属中档题.
二、解答题本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)(xx•台州二模)已知函数.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)已知f(α)=3,且α∈(0,π),求α的值.考点正弦函数的单调性;三角函数的化简求值.专题计算题.分析先把函数进行化简,f(x)=2sin()+2
(1),解不等式可求
(2)把已知代入可得,求解即可.解答解
(1)=.由;得;.∴函数f(x)的单调增区间为.
(2)由f(α)=3,得.∴.∴,或(k1,k2∈Z),即α=k1π或(k1,k2∈Z).∵α∈(0,π),∴.点评本题考查了三角函数的性质单调性,还考查了三角公式中的二倍角及和差角公式的综合运用,在处理三角函数的单调区间的问题时,常用整体思想,类比正(余)弦函数的性质. 16.(14分)(xx•南京二模)如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.
(1)求证平面AEC⊥平面ABE;
(2)点F在BE上.若DE∥平面ACF,求的值.考点平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的性质.专题综合题;空间位置关系与距离.分析
(1)根据平面ABCD⊥平面BCE,利用面面垂直的性质可得AB⊥平面BCE,从而可得CE⊥AB,由CE⊥BE,根据线面垂直的判定可得CE⊥平面ABE,从而可得平面AEC⊥平面ABE;
(2)连接BD交AC于点O,连接OF.根据DE∥平面ACF,可得DE∥OF,根据O为BD中点,可得F为BE中点,从而可得结论.解答
(1)证明因为ABCD为矩形,所以AB⊥BC.因为平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面BCE=BC,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面BCE.…(3分)因为CE⊂平面BCE,所以CE⊥AB.因为CE⊥BE,AB⊂平面ABE,BE⊂平面ABE,AB∩BE=B,所以CE⊥平面ABE.…(6分)因为CE⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面ABE.…(8分)
(2)解连接BD交AC于点O,连接OF.因为DE∥平面ACF,DE⊂平面BDE,平面ACF∩平面BDE=OF,所以DE∥OF.…(12分)又因为矩形ABCD中,O为BD中点,所以F为BE中点,即=.…(14分)点评本题考查线面、面面垂直的判定与性质,考查线面平行,掌握线面、面面垂直的判定与性质是关键. 17.(14分)如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”.(Ⅰ)设∠DAB=θ,将y表示成θ的函数关系式;(Ⅱ)当BE为多长时,y有最小值,最小值是多少.考点函数模型的选择与应用;函数的最值及其几何意义.专题综合题;函数思想.分析
(1)由于题目中“设∠DAB=θ,”,故可利用解三角形的知识解决“草花比y”;
(2)由于式子“”括号中两式的积是定值,故利用二元不等式求其最小值.解答解(Ⅰ)因为BD=atanθ,所△ABD的面积为a2tanθ()(2分)设正方形BEFG的边长为t,则由,得,(4分)解得,则(5分)所以a2tanθ﹣S2,则(8分)(Ⅱ)因为tanθ∈(0,+∞),所以(10分)当且仅当tanθ=1,时取等号,此时BE=.所以当BE长为时,y有最小值1.(12分)点评本题主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形以及利用二元不等式求函数最值的方法,解决实际问题通常有几个步骤
(1)阅读理解,认真审题;
(2)引进数学符号,建立数学模型;
(3)利用数学的方法,得到数学结果,其中关键是建立数学模型. 18.(16分)(2011•重庆模拟)已知椭圆E+=1的左焦点为F,左准线l与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)若直线FG与直线l交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;(Ⅲ)在平面上是否存在一点P,使得=?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.考点圆与圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.专题计算题.分析
(1)由题易知圆C的圆心为()而a=,b=2可求出圆心为(﹣4,0)又圆C恰好经过坐标原点O故半径为4所以圆C的方程为(x+4)2+y2=16
(2)可利用直线FG与直线l联立求出t点坐标再利用中点坐标公式求出G(﹣3,yG)再代入圆C的方程求出yG进而求出FG的方程为y=(x+2),然后利用圆心到直线的距离公式求出C(﹣4,0)到FG的距离d=再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而求解.
(3)假设存在P(s,t),G(x0,y0)使得=成立利用两点间的距离公式化简可得方程3(x02+y02)+(16+2s)x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0再结G(x0,y0)在圆C即x02+y02+8x0=o可得(2s﹣8)x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0对所有的x0,y0.成立故2s﹣8=0,2t=0,16﹣s2﹣t2=0所以s=4,t=0即存在p(4,0)满足题意.解答解
(1)∵a=,b=2∴c=2∴左准线方程为x==﹣4∴圆心为(﹣4,0)∵圆C恰好经过坐标原点O故半径为4∴圆C的方程为(x+4)2+y2=16
(2)由题意知,得G(﹣3,yG),代入(x+4)2+y2=16,得y=所以FG的斜率为K=y=,FG的方程为y=(x+2)所以C(﹣4,0)到FG的距离d=,直线FG被圆C截得弦长为2=7故直线FG被圆C截得弦长为7.
(3)设P(s,t),G(x0,y0),则由,得,整理得3(x02+y02)+(16+2s)x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0
①又G(x0,y0)在圆C(x+4)2+y2=16上,所以x02+y02+8x0=o
②②代入
①得(2s﹣8)x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0又G(x0,y0)为圆C上任意一点可知,2s﹣8=0,2t=0,16﹣s2﹣t2=0解得s=4,t=0.所以在平面上存在一点p,其坐标为(4,0).点评此题第一问主要考查了利用椭圆的有关知识求圆的方程关键是要知道椭圆的左准线方程是x=.第二问考查了利用圆心到直线的距离公式求出d再利用半径,d,弦长的一半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解.对于第三问较难但思路较简单即假设存在P(s,t),G(x0,y0)使得=成立,关键是得出(2s﹣8)x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0后怎么办是难点!实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项为0即可求出s,t. 19.(16分)(xx•江苏模拟)已知函数f(x)=alnx﹣bx2图象上一点P(2,f
(2))处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)+m=0在内有两个不等实根,求实数m的取值范围(其中e为自然对数的底,e≈
2.7);
(3)令g(x)=f(x)﹣nx,如果g(x)图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,AB中点为C(x0,0),求证g′(x0)≠0.考点函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题计算题;证明题;压轴题.分析
(1)由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为﹣3,即f′
(2)=﹣3,由函数f(x)=alnx﹣bx2得其导函数,进而得f′
(2),由f′
(2)=﹣3得关于a、b的方程,又切点在函数图象上,也在切线上,当x=2时分别代入两个函数方程,函数值相等,得第二个关于a、b的方程,求解方程组,得a,b的值;
(2)设h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m,求h′(x),令h′(x)>0,h′(x)<0,得函数h(x)的单调区间,得出h(x)的图象的大致走向,得出满足题意的不等式组,解得实数m的取值范围;
(3)由点A(x1,0),B(x2,0)在g(x)图象上,把点的坐标代入g(x)的解析式得方程组,两式相减得关于x
1、x
2、n的方程,假设g′(x)=0成立,求导,得关于x
0、n的方程,由中点坐标公式转化关于x
1、x
2、n的方程,两方程消去n,得关于x
1、x2的方程,整理此方程,分子分母同除以x2,整理方程,右边为0,设t=,左边得关于t的函数,求此函数的导数,得函数的单调性,得函数值恒小于0,所以方程不成立,所以假设不成立,所以g′(x0)≠0.解答解
(1),所以,且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2,解得a=2,b=1.
(2)f(x)=2lnx﹣x2,令h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m,则=,令h(x)=0,得x=1(x=﹣1舍去).在内,当时,h(x)>0,所以h(x)是增函数;当x∈(1,e]时,h(x)<0,所以h(x)是减函数则方程h(x)=0在内有两个不等实根的充要条件是即1<m≤e2﹣2.
(3).假设结论成立,则有,
(1)﹣
(2),得.所以.由
(4)得,所以,即,即=,令.则,所以u(t)在0<t<1上是增函数,u(t)<u
(1)=0,所以
(5)式不成立,与假设矛盾,所以g(x0)≠0.点评此题考查函数与方程的综合运用,求未知数的值,几个未知数需几个方程构成方程组求解;注意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题,可使问题直观易懂;也可把函数图象的交点个数问题转化为方程组得各量之间的关系,把未知量转化为一种形式,令一边为0,另一边再转化为函数,利用函数单调性解题;用反证法证明问题时,先假设结论不正确,得出与假设相反的结论,从而结论是正确的. 20.(16分)已知数列.(I)试证数列是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;(II)在数列{bn}是,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,说明理由.(III)试证在数列{bn}中,一定存在满足条件1<r<s的正整数r,s,使得b1,br,bs成等差数列;并求出正整数r,s之间的关系.考点函数与方程的综合运用;数列的应用;等比关系的确定.专题综合题;等差数列与等比数列.分析(I)由an+an+1=2n,得an+1=2n﹣an,从而可证=﹣1,即可证得数列是等比数列,并可求数列{bn}的通项公式;(II)解假设在数列{bn}中,存在连续三项bk﹣1,bk,bk+1(k∈N*,k≥2)成等差数列,则bk﹣1+bk+1=2bk,即2k﹣1=4(﹣1)k﹣1.分类讨论,可得在数列{bn}中,有且仅有连续三项b2,b3,b4成等差数列;(III)证明要使b1,br,bs成等差数列,只需b1+bs=2br,即2s﹣2r+1=(﹣1)s﹣2(﹣1)r﹣3,(﹡),分类讨论,可知存在不小于4的正偶数s,且s=r+1,使得b1,br,bs成等差数列.解答(I)证明由an+an+1=2n,得an+1=2n﹣an,所以==﹣1又因为a1﹣=,所以数列{an﹣×2n}是首项为,公比为﹣1的等比数列.所以an﹣×2n=×(﹣1)n﹣1,即an=[2n﹣(﹣1)n],所以bn=2n﹣(﹣1)n.(5分)(II)解假设在数列{bn}中,存在连续三项bk﹣1,bk,bk+1(k∈N*,k≥2)成等差数列,则bk﹣1+bk+1=2bk,即[2k﹣1﹣(﹣1)k﹣1]+[2k+1﹣(﹣1)k+1]=2[2k﹣(﹣1)k],即2k﹣1=4(﹣1)k﹣1.
①若k为偶数,则2k﹣1>0,4(﹣1)k﹣1=﹣4<0,所以,不存在偶数k,使得bk﹣1,bk,bk+1成等差数列.(7分)
②若k为奇数,则当k≥3时,2k﹣1≥4,而4(﹣1)k﹣1=4,所以,当且仅当k=3时,bk﹣1,bk,bk+1成等差数列.综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项b2,b3,b4成等差数列.(9分)(III)证明要使b1,br,bs成等差数列,只需b1+bs=2br,即3+2s﹣(﹣1)s=2[2r﹣(﹣1)r],即2s﹣2r+1=(﹣1)s﹣2(﹣1)r﹣3,(﹡)(10分)
①若s=r+1,在(﹡)式中,左端2s﹣2r+1=0,右端(﹣1)s﹣2(﹣1)r﹣3=(﹣1)s+2(﹣1)s﹣3=3(﹣1)s﹣3,要使(﹡)式成立,当且仅当s为偶数时.又s>r>1,且s,r为正整数,所以当s为不小于4的正偶数,且s=r+1时,b1,br,bs成等差数列.(12分)
②若s≥r+2时,在(﹡)式中,左端2s﹣2r+1≥2r+2﹣2r+1=2r+1,由(II)可知,r≥3,所以r+1≥4,所以左端2s﹣2r+1≥16(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”);右端(﹣1)s﹣2(﹣1)s﹣3≤0.所以当s≥r+2时,b1,br,bs不成等差数列.综上所述,存在不小于4的正偶数s,且s=r+1,使得b1,br,bs成等差数列.(14分)点评本题主要考查等比数列的判定和等差数列的应用,考查函数与方程,分类讨论思想,考查推理论证能力. 。