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2019-2020年高三(下)第八次月考数学试卷(理科)含解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置.1.设集合A={x|x>1},集合,则A∩B=( ) A.[0,+∞)B.(﹣∞,1)C.[1,+∞)D.(1,3] 2.已知t∈R,i为虚数单位,复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1•z2是实数,则t等于( ) A.B.C.﹣D.﹣ 3.如果执行如图所示的框图,则输出n的值为( ) A.9B.8C.7D.6 4.某厂生产A、B、C三种型号的产品,产品数量之比为324,现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为180的样本,则样本中B型号的产品的数量为( ) A.20B.40C.60D.80 5.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f
(2)=1,则f(﹣2)=( ) A.﹣1B.1C.﹣5D.5 6.设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=成立的是( ) A.=﹣B.∥C.=2D.⊥ 7.已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( ) A.3B.2C.6D.8 8.现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) A.420B.560C.840D.xx0 9.已知椭圆方程为,A、B分别是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若,则椭圆的离心率为( ) A.B.C.D. 10.不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.a≤B.a≥C.a≥D.a≥
二、填空【几何证明选讲】11.如图,已知AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4,PB=2,则PC的长是 . 【极坐标系与参数方程选讲】12.参数方程中当t为参数时,化为普通方程为 . 【不等式选讲】1013•怀化三模)若正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最小值为 . 14.已知cos(θ+)=﹣,θ∈(0,),则sin(2θ﹣)= . 15.定义某种运算⊗,S=a⊗b的运算原理如图所示.设f(x)=(0⊗x)x﹣(3⊗x).则f
(3)= ;f(x)在区间[﹣3,3]上的最小值为 . 16.已知数列{an}满足an+1=an2﹣2(n∈N+),且a1=a,axx=b(a,b>2)则a1a2…a2011= (用a,b表示)
五、解答题(共6小题,满分75分)17.在△ABC中,三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2bcosC=2a﹣c.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若sinAsinC的取值范围. 18.某班甲、乙两名学同参加100米达标训练,在相同条件下两人10次训练的成绩(单位秒)如下12345678910甲
11.
612.
213.
213.
914.
011.
513.
114.
511.
714.3乙
12.
313.
314.
311.
712.
012.
813.
213.
814.
112.5
(1)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个比
12.8秒差的概率.
(2)后来经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[
11.5,
14.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于
0.8秒的概率. 19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上.(Ⅰ)若P是DF的中点,(ⅰ)求证BF∥平面ACP;(ⅱ)求异面直线BE与CP所成角的余弦值;(Ⅱ)若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为,求PF的长度. 20.某地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64am2,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积am2,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加am2.设第n(n≥1,且n∈N)年新城区的住房总面积为,该地的住房总面积为.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若每年拆除4am2,比较an+1与bn的大小. 21.已知椭圆C+=1(a>b>0)的离心率为,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|AB|<时,求实数t的取值范围. 22.已知函数f(x)=x2﹣ax(a≠0),g(x)=lnx,f(x)的图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1,g(x﹣1)与x轴的交点N处的切线为l2.并且l1与l2平行.
(1)求f
(2)的值;
(2)已知实数t∈R,求μ=xlnx,x∈[1,e]的取值范围及函数y=f[xg(x)+t],x∈[1,e]的最小值;
(3)令F(x)=g(x)+g′(x),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,对于两个大于1的正数α,β,存在实数m满足α=mx1+(1﹣m)x2,β=(1﹣m)x1+mx2,并且使得不等式|F(α)﹣F(β)|<|F(x1)﹣f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围. xx学年山东省临沂市蒙阴一中高三(下)第八次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置.1.设集合A={x|x>1},集合,则A∩B=( ) A.[0,+∞)B.(﹣∞,1)C.[1,+∞)D.(1,3]考点交集及其运算.专题集合.分析求出B中x的范围确定出B,找出A与B的交集即可.解答解由B中y=,得到3﹣x≥0,即x≤3,即B=(﹣∞,3],∵A=(1,+∞),B=(﹣∞,3],∴A∩B=(1,3],故选D.点评此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.已知t∈R,i为虚数单位,复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1•z2是实数,则t等于( ) A.B.C.﹣D.﹣考点复数代数形式的混合运算.专题数系的扩充和复数.分析直接利用复数的乘法运算法则,复数是实数,虚部为0求解即可.解答解t∈R,i为虚数单位,复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1•z2是实数,可得(3+4i)(t+i)=3t﹣4+(4t+3)i,4t+3=0则t=.故选D.点评本题考查复数的基本知识,复数的概念的应用,考查计算能力. 3.如果执行如图所示的框图,则输出n的值为( ) A.9B.8C.7D.6考点循环结构.专题算法和程序框图.分析执行程序框图,写出每次循环s,n的值,当s=63,n=7时,不满足条件s≤60,输出n的值为7.解答解执行程序框图,有n=1,s=0第一次执行循环体,s=1,n=2满足条件s≤60,第2次执行程序框图,s=3,n=3满足条件s≤60,第3次执行程序框图,s=7,n=4满足条件s≤60,第4次执行程序框图,s=15,n=5满足条件s≤60,第5次执行程序框图,s=31,n=6满足条件s≤60,第6次执行程序框图,s=63,n=7不满足条件s≤60,输出n的值为7.故选C.点评本题主要考察程序框图和算法,属于基础题. 4.某厂生产A、B、C三种型号的产品,产品数量之比为324,现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为180的样本,则样本中B型号的产品的数量为( ) A.20B.40C.60D.80考点分层抽样方法.专题概率与统计.分析根据总体中产品数量比与样本中抽取的产品数量比相等,计算样本中B型号的产品的数量.解答解根据总体中产品数量比与样本中抽取的产品数量比相等,∴样本中B型号的产品的数量为180×=40.故选B.点评本题考查了分层抽样的定义,熟练掌握分层抽样的特征是关键. 5.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f
(2)=1,则f(﹣2)=( ) A.﹣1B.1C.﹣5D.5考点函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用.专题函数的性质及应用.分析根据函数y=f(x)+x是偶函数,可知f(﹣2)+(﹣2)=f
(2)+2,而f
(2)=1,从而可求出f(﹣2)的值.解答解令y=g(x)=f(x)+x,∵f
(2)=1,∴g
(2)=f
(2)+2=1+2=3,∵函数g(x)=f(x)+x是偶函数,∴g(﹣2)=3=f(﹣2)+(﹣2),解得f(﹣2)=5.故选D.点评本题主要考查了函数的奇偶性,以及抽象函数及其应用,同时考查了转化的思想,属于基础题. 6.设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=成立的是( ) A.=﹣B.∥C.=2D.⊥考点平行向量与共线向量.专题平面向量及应用.分析根据向量共线定理,可得若+=成立,则向量、共线且方向相反,对照各个选项并结合数乘向量的含义,可得本题答案.解答解由+=得若=﹣=,即,则向量、共线且方向相反,因此当向量、共线且方向相反时,能使+=成立,对照各个选项,可得B项中向量、的方向相同或相反,C项中向量向量、的方向相同,D项中向量、的方向互相垂直.只有A项能确定向量、共线且方向相反.故选A点评本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识,属于基础题. 7.已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是( ) A.3B.2C.6D.8考点由三视图求面积、体积.专题空间位置关系与距离.分析三视图复原的几何体是四棱锥,利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积,得到最大值即可.解答解因为三视图复原的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为4,2,后面是等腰三角形,腰为3,所以后面的三角形的高为=,所以后面三角形的面积为×4×=2.两个侧面面积为×2×3=3,前面三角形的面积为×4×=6,四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积6.故选C.点评本题考查三视图与几何体的关系,几何体的侧面积的求法,考查计算能力. 8.现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) A.420B.560C.840D.xx0考点排列、组合及简单计数问题.专题计算题.分析首先从下层中抽取两个,共有C82=28种结果,把抽出点两件商品放到上层有两种情况,一是两件商品相邻,放在四件商品形成的5个空中,有5A22,把抽出点两种插入四件商品形成的5个空中,有A52种结果,根据计数原理得到结果.解答解本题是一个排列组合及简单的计数问题,首先从下层中抽取两个,共有C82=28种结果,把抽出点两件商品放到上层有两种情况,一是两件商品相邻,放在四件商品形成的5个空中,有5A22=10,把抽出点两种插入四件商品形成的5个空中,有A52=20种结果,∴根据计数原理知共有28(20+10)=840种结果,故选C.点评本题考查排列组合及简单的计数问题,本题解题的关键是看清题目是既有分类又有分步,在比较复杂的题目中,这两种原理可以同时出现,注意要做到不重不漏. 9.已知椭圆方程为,A、B分别是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若,则椭圆的离心率为( ) A.B.C.D.考点椭圆的简单性质.专题圆锥曲线的定义、性质与方程.分析利用椭圆的标准方程和性质、离心率计算公式、直线的斜率计算公式即可得出.解答解设A(a,0),B(a,0),M(x0,y0),∵M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,∴N(x0,﹣y0).∴k1=,,.∵,∴=.∴椭圆的离心率e====.故选C.点评熟练掌握椭圆的标准方程和性质、离心率计算公式、直线的斜率计算公式是解题的关键. 10.不等式2x2﹣axy+y2≤0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.a≤B.a≥C.a≥D.a≥考点基本不等式在最值问题中的应用.专题不等式的解法及应用.分析将不等式等价变化为,则求出函数的最大值即可.解答解不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为,设t=,∵x∈[1,2]及y∈[1,3],∴,即,∴,则,∵,当且仅当t=,即t=时取等号.但此时基本不等式不成立.又y=t在[]上单调递减,在[,3]上单调递增,∵当t=时,,当t=3时,t.∴的最大值为.∴a.故选D.点评本题主要考查不等式的应用,将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键,要求熟练掌握函数f(x)=x+图象的单调性以及应用.
二、填空【几何证明选讲】11.如图,已知AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4,PB=2,则PC的长是 2 .考点与圆有关的比例线段.专题计算题;直线与圆.分析根据题设中的已知条件,利用相交弦定理,直接求解.解答解∵AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于C,∴AP×PB=PC2,∵AP=4,PB=2,∴PC2=8,解得PC=2.故答案为2.点评本题考查与圆有关的比例线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意相交弦定理的合理运用. 【极坐标系与参数方程选讲】12.参数方程中当t为参数时,化为普通方程为 x2﹣y2=1(x≥1) .考点参数方程化成普通方程.专题坐标系和参数方程.分析根据题意,把参数方程化为普通方程,消去参数t,得到普通方程.解答解∵参数方程中,t为参数,∴x2﹣y2=(e2t+2+e﹣2t)﹣(e2t﹣2+e﹣2t)=1,∴x2﹣y2=1;又∵(et+e﹣t)≥×2=1,当且仅当t=0时“=”成立,∴x≥1;∴参数方程化为普通方程是x2﹣y2=1(x≥1).故答案为x2﹣y2=1(x≥1).点评本题考查了把参数方程化为普通方程的问题,消去参数即可,解题时应注意自变量的取值范围,是基础题. 【不等式选讲】1013•怀化三模)若正数a,b,c满足a+b+c=1,则++的最小值为 1 .考点平均值不等式.专题计算题;不等式的解法及应用.分析根据a+b+c=1,得到(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)=9,结合柯西不等式证出9(++)≥9,从而++≥1,当且仅当a=b=c=时等号成立,由此可得++的最小值.解答解∵a+b+c=1,∴(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)=3(a+b+c)+6=9∵[(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)](++)≥(++)2=(1+1+1)2=9∴9(++)≥9,得++≥1当且仅当3a+2=3b+2=3C+2,即a=b=c=时,++的最小值为1故答案为1点评本题给出三个正数a、b、c的和等于1,求关于a、b、c一个分式的最小值,着重考查了利用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.根据柯西不等式的形式结合已知条件进行配凑,是解决本题的关键所在. 14.已知cos(θ+)=﹣,θ∈(0,),则sin(2θ﹣)= .考点两角和与差的正弦函数.专题三角函数的求值.分析由题意可得θ+∈(,),sin(θ+)=,再利用诱导公式、二倍角公式求得sin2θ=﹣cos(2θ+)的值、cos2θ=sin2(θ+)的值,从而求得sin(2θ﹣)=sin2θcos﹣cos2θsin的值.解答解∵cos(θ+)=﹣,θ∈(0,),∴θ+∈(,),sin(θ+)=,∴sin2θ=﹣cos(2θ+)=1﹣2=,cos2θ=sin2(θ+)=2sin(θ+)cos(θ+)=﹣,sin(2θ﹣)=sin2θcos﹣cos2θsin=+=,故答案为.点评本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用,属于中档题. 15.定义某种运算⊗,S=a⊗b的运算原理如图所示.设f(x)=(0⊗x)x﹣(3⊗x).则f
(3)= ﹣3 ;f(x)在区间[﹣3,3]上的最小值为 ﹣12 .考点选择结构.专题算法和程序框图.分析算法的功能是求S═a⊗b=的值,分别计算0⊗3=0,3⊗3=3,由解析式可得f
(3)的值;再利用分类讨论求函数在区间[﹣3,3]上的最小值.解答解由程序框图知算法的功能是求S═a⊗b=的值,∴0⊗3=0,3⊗3=3,∴f
(3)=0×3﹣3=﹣3,当0≤x≤3时,f(x)=﹣3,当﹣3≤x<0时,0⊗x=﹣x,3⊗x=﹣x,∴f(x)=﹣x2+x=﹣+,函数在[﹣3,0)上单调递增,∴f(x)在区间[﹣3,3]上的最小值为f(﹣3)=﹣12.故答案为﹣3,﹣12.点评本题借助考查选择结构的程序框图,考查新定义函数最值的求法,考查了学生的逻辑推理能力与分析能力,解题的关键是判断算法的功能. 16.已知数列{an}满足an+1=an2﹣2(n∈N+),且a1=a,axx=b(a,b>2)则a1a2…a2011= (用a,b表示)考点数列递推式.专题等差数列与等比数列.分析由题意知,从而得到(a1a2…a2011)2==,由此能求出结果.解答解∵a1=a>2,axx=b>2an+1=an2﹣2(n∈N+),∴,,∴,=,∴(a1a2…a2011)2==,∴a1a2…a2011=.故答案为.点评本题考查数列的前n项积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推思想的合理运用.
五、解答题(共6小题,满分75分)17.在△ABC中,三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2bcosC=2a﹣c.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若sinAsinC的取值范围.考点余弦定理;三角函数中的恒等变换应用.专题三角函数的求值.分析(Ⅰ)利用余弦定理表示出cosC,代入已知等式中整理后得到关系式,再利用余弦定理表示出cosB,将得出的关系式代入求出cosB的值,即可确定出角B的大小;(Ⅱ)由B度数得到A+C的度数,用A表示出C,代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式化简,再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形,整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据A的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值域即可确定出范围.解答解(Ⅰ)∵cosC=,∴代入已知等式得2b•=2a﹣c,整理得a2+c2﹣b2=ac,∴cosB==,∵B∈(0,π),∴B=;(Ⅱ)由B=得,C=﹣A,∴sinAsinC=sinAsin(﹣A)=sinAcosA+sin2A=sin2A﹣cos2A+=sin(2A﹣)+,∵A∈(0,),∴2A﹣∈(﹣,),∴﹣<sin(2A﹣)≤1,∴sinAsinC的取值范围为(0,].点评此题考查了余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 18.某班甲、乙两名学同参加100米达标训练,在相同条件下两人10次训练的成绩(单位秒)如下12345678910甲
11.
612.
213.
213.
914.
011.
513.
114.
511.
714.3乙
12.
313.
314.
311.
712.
012.
813.
213.
814.
112.5
(1)从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个比
12.8秒差的概率.
(2)后来经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[
11.5,
14.5]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于
0.8秒的概率.考点几何概型.专题计算题;概率与统计.分析
(1)设事件A为甲的成绩低于
12.8,事件B为乙的成绩低于
12.8,我们先计算出从甲、乙成绩都低于
12.8的概率,再利用对立事件概率公式即可求出答案.
(2)设甲、乙的成绩分别为x,y,则|x﹣y|<
0.8,如图阴影部分面积我们可以求出它所表示的平面区域的面积,再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于
0.8分对应的平面区域的面积,代入几何概型公式,即可得到答案.解答解
(1)甲的10次训练成绩中不比
12.8秒差的有4次;乙的10次训练成绩中不比
12.8秒差的有5次,∴抽取的两次成绩中都不比
12.8秒差的概率为×=,∴其对立事件抽取的成绩中至少有一个比
12.8秒差的概率为1﹣=;
(2)甲、乙的成绩分别为x,y,则满足条件甲、乙成绩之差的绝对值小于
0.8秒,即|x﹣y|<
0.8的平面区域为图中阴影部分,∴甲、乙成绩之差的绝对值小于
0.8秒的概率P==.点评本题考查了古典概型的概率计算及对立事件概率公式,考查了几何概型的概率计算,熟练掌握几何概型的概率求法及对立事件概率公式是解题的关键. 19.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上.(Ⅰ)若P是DF的中点,(ⅰ)求证BF∥平面ACP;(ⅱ)求异面直线BE与CP所成角的余弦值;(Ⅱ)若二面角D﹣AP﹣C的余弦值为,求PF的长度.考点用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;用空间向量求直线间的夹角、距离.专题综合题;空间向量及应用.分析(Ⅰ)(ⅰ)连接BD,交AC于点O,连接OP.利用OP为三角形BDF中位线,可得BF∥OP,利用线面平行的判定,可得BF∥平面ACP;(ⅱ)利用平面ABEF⊥平面ABCD,可得⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系,求得,,利用向量的夹角公式,即可求异面直线BE与CP所成角的余弦值;(Ⅱ)设P点坐标为(0,2﹣2t,t),求得平面APF的法向量为,平面APC的法向量为,利用向量的夹角公式,即可求得结论.解答(Ⅰ)(ⅰ)证明连接BD,交AC于点O,连接OP.因为P是DF中点,O为矩形ABCD对角线的交点,所以OP为三角形BDF中位线,所以BF∥OP,因为BF⊄平面ACP,OP⊂平面ACP,所以BF∥平面ACP.…(4分)(ⅱ)因为∠BAF=90°,所以AF⊥AB,因为平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AF⊥平面ABCD,因为四边形ABCD为矩形,所以以A为坐标原点,AB,AD,AF分别为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz.所以B(1,0,0),,,C(1,2,0).所以,,所以,即异面直线BE与CP所成角的余弦值为.…(9分)(Ⅱ)解因为AB⊥平面ADF,所以平面APF的法向量为.设P点坐标为(0,2﹣2t,t),在平面APC中,,,所以平面APC的法向量为,所以,解得,或t=2(舍).此时.…(14分)点评本题考查线面平行,考查线线角、面面角,考查利用空间向量解决空间角问题,正确求向量是关键. 20.某地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为64am2,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积am2,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加am2.设第n(n≥1,且n∈N)年新城区的住房总面积为,该地的住房总面积为.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若每年拆除4am2,比较an+1与bn的大小.考点函数模型的选择与应用.专题计算题;点列、递归数列与数学归纳法.分析
(1)分1≤n≤4时和n≥5时两种情况加以讨论并结合等差、等比数列的通项公式,分别求出第n年新城区的住房建设面积为λn关于n、a的表达式,再利用等差、等比数列的求和公式即可求出{an}的通项公式关于n的分段形式的表达式;
(2)根据1≤n≤
3、n=4和5≤n≤11时an+1和bn的表达式,结合作差法比较不等式大小,可得an+1<bn;而当n≥12时可得an+1﹣bn=(5n﹣59)a>0,从而得到an+1>bn,最后加以综合即可得到an+1与bn的大小的两种情况.解答解
(1)设第n年新城区的住房建设面积为,则当1≤n≤4时,λn=2n﹣1a,当n≥5时,λn=(n+4)a,所以,当1≤n≤4时,,当n≥5时,an=a+2a+4a+8a+9a+…+n(n+4)a=,∴an=…6分
(2)当1≤n≤3时,an+1=(2n+1﹣1)a,bn=(2n﹣1)a+64a﹣4na,显然有an+1<bn…(7分)当n=4时,an+1=a5=24a,bn=b4=63a,此时an+1<bn…(8分)当5≤n≤16时,an+1=,bn=,∵an+1﹣bn=(5n﹣59)a.∴当5≤n≤11时,an+1<bn;当12≤n≤16时,an+1>bn.当n≥17时,显然an+1>bn故当1≤n≤11时,an+1<bn;当n≥12时,an+1>bn…(13分)点评本题给出数列的实际应用题,求{an}的通项公式并比较an+1和bn的大小.着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式,以及不等式比较大小等知识,属于中档题. 21.已知椭圆C+=1(a>b>0)的离心率为,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|AB|<时,求实数t的取值范围.考点直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题圆锥曲线中的最值与范围问题.分析
(1)由已知得e=,,又a2=b2+c2,由此能求出椭圆方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),设AB y=k(x﹣3),联立,得(1+4k2)x2﹣24k2x+36k2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,结合已知条件能求出实数t的取值范围.解答解
(1)∵椭圆C+=1(a>b>0)的离心率为,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,∴e=,,又a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=,∴椭圆方程为.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),设AB y=k(x﹣3),联立,得(1+4k2)x2﹣24k2x+36k2﹣4=0,△=242k4﹣16(9k2﹣1)(1+4k2)>0,解得,,x1•x2=,=(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x=,=,由点P在椭圆上得,36k2=t2(1+4k2),又曲|AB|=,∴(1+k2)(x1﹣x2)2<3,(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1x2]<3,(1+k2)[]<3,∴(8k2﹣1)(16k2+13)>0,∴8k2﹣1>0,,∴,由36k2=t2(1+4k2),得,∴3<t2<4,∴﹣2<t<﹣或.点评本题考查椭圆方程的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用. 22.已知函数f(x)=x2﹣ax(a≠0),g(x)=lnx,f(x)的图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1,g(x﹣1)与x轴的交点N处的切线为l2.并且l1与l2平行.
(1)求f
(2)的值;
(2)已知实数t∈R,求μ=xlnx,x∈[1,e]的取值范围及函数y=f[xg(x)+t],x∈[1,e]的最小值;
(3)令F(x)=g(x)+g′(x),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,对于两个大于1的正数α,β,存在实数m满足α=mx1+(1﹣m)x2,β=(1﹣m)x1+mx2,并且使得不等式|F(α)﹣F(β)|<|F(x1)﹣f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围.考点利用导数研究曲线上某点切线方程.专题导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.分析
(1)利用导数的几何意义,分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率,令其相等解方程即可得a值,从而得到f
(2)的值;
(2)令u=xlnx,由导数,求得单调区间和范围;再研究二次函数u2+(2t﹣1)u+t2﹣t图象是对称轴u=,开口向上的抛物线,结合其性质求出最值;
(3)先由题意得到F(x)=g(x)+g′(x)=lnx+,再利用导数工具研究所以F(x)在区间(1,+∞)上单调递增,得到当x≥1时,F(x)≥F
(1)>0,下面对m进行分类讨论
①当m∈(0,1)时,
②当m≤0时,
③当m≥1时,结合不等式的性质即可求出a的取值范围.解答解
(1)y=f(x)图象与x轴异于原点的交点M(a,0),f′(x)=2x﹣ay=g(x﹣1)=ln(x﹣1)图象与x轴的交点N(2,0),g′(x﹣1)=由题意可得l1的斜率和kl2的斜率相等,即a=1,∴f(x)=x2﹣x,f
(2)=22﹣2=2;
(2)y=f[xg(x)+t]=[xlnx+t]2﹣(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t﹣1)(xlnx)+t2﹣t,令u=xlnx,在x∈[1,e]时,u′=lnx+1>0,∴u=xlnx在[1,e]单调递增,即有0≤u≤e;u2+(2t﹣1)u+t2﹣t图象的对称轴u=,抛物线开口向上,
①当u=≤0即t≥时,y最小=t2﹣t;
②当u=≥e即t≤时,y最小=e2+(2t﹣1)e+t2﹣t;
③当0<<e即<t时,y最小=y|=﹣;
(3)F(x)=g(x)+g′(x)=lnx+,F′(x)=,所以F(x)在区间(1,+∞)上单调递增,∴当x≥1时,F(x)≥F
(1)>0,
①当m∈(0,1)时,有α=mx1+(1﹣m)x2>mx1+(1﹣m)x1=x1,α=mx1+(1﹣m)x2<mx2+(1﹣m)x2=x2,得α∈(x1,x2),同理β∈(x1,x2),∴由f(x)的单调性知0<F(x1)<F(α)、f(β)<f(x2)从而有|F(α)﹣F(β)|<|F(x1)﹣f(x2)|,符合题设.
②当m≤0时,α=mx1+(1﹣m)x2≥mx2+(1﹣m)x2=x2,β=mx2+(1﹣m)x1≤mx1+(1﹣m)x1=x1,由f(x)的单调性知,F(β)≤F(x1)<f(x2)≤F(α)∴|F(α)﹣F(β)|≥|F(x1)﹣f(x2)|,与题设不符,
③当m≥1时,同理可得α≤x1,β≥x2,得|F(α)﹣F(β)|≥|F(x1)﹣f(x2)|,与题设不符.∴综合
①、
②、
③得m∈(0,1).点评本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题. 。