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2019-2020年高中数学
1.
2.3第4课时直线与平面垂直的性质课时作业苏教版必修2【课时目标】 1.掌握直线与平面垂直的性质定理.2.会求直线与平面所成的角.1.直线与平面垂直的性质定理如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线________.该定理用图形表示为用符号表示为________________________.2.直线和平面的距离一条直线和一个平面________,这条直线上______________到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离.3.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面______________.规定若直线与平面垂直,则直线与平面所成的角是________.若直线与平面平行或直线在平面内,则直线与平面所成的角是________的角.
一、填空题1.与两条异面直线同时垂直的平面有________个.2.若m、n表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为________.
①⇒n⊥α;
②⇒m∥n;
③⇒m⊥n;
④⇒n⊥α.3.已知直线PG⊥平面α于G,直线EF⊂α,且PF⊥EF于F,那么线段PE,PF,PG的大小关系是______________.4.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系正确的是________填序号.
①PA⊥BC;
②BC⊥平面PAC;
③AC⊥PB;
④PC⊥BC.5.P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影.1若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的________心;2若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的______心;3若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是△ABC的________心.6.线段AB在平面α的同侧,A、B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为________.7.直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内,使a∥b成立的条件是________.只填序号
①a和b垂直于正方体的同一个面;
②a和b在正方体两个相对的面内,且共面;
③a和b平行于同一条棱;
④a和b在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,1直线A1B与平面ABCD所成的角是________;2直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________;3直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________.9.如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________.正三棱柱侧棱与底面垂直,底面为正三角形的棱柱
二、解答题10.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证1MN∥AD1;2M是AB的中点.11.如图所示,设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧,AA′⊥α于A′,BB′⊥α于B′,CC′⊥α于C′,G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心,求证GG′⊥α.能力提升12.如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点,求证平面DMN∥平面ABC.13.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别是A1B,B1C1的中点.1求证MN⊥平面A1BC;2求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小.1.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理,可以并入平行推导链中,实现平行与垂直的相互转化,即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行.2.求线面角,确定直线在平面内的射影的位置,是解题的关键.因为只有确定了射影的位置,才能找到直线与平面所成的角,才能将空间的问题转化为平面的问题来解.第4课时 直线与平面垂直的性质答案知识梳理1.平行 a⊥α,b⊥α⇒a∥b2.平行 任意一点3.所成的角 直角 0°作业设计1.02.3解析
①②③正确,
④中n与面α可能有n⊂α或n∥α或相交包括n⊥α.3.PEPFPG解析 由于PG⊥平面α于G,PF⊥EF,∴PG最短,PFPE,∴PEPFPG.4.
①②④解析 PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,
①正确;又BC⊥AC,∴BC⊥面PAC,∴BC⊥PC,
②、
④均正确.5.1内 2垂 3外6.4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长.7.
①②③解析
①为直线与平面垂直的性质定理的应用,
②为面面平行的性质,
③为公理4的应用.8.145° 230° 390°解析 1由线面角定义知∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角,∠A1BA=45°.2连结A1D、AD1,交点为O,则易证A1D⊥面ABC1D1,所以A1B在面ABC1D1内的射影为OB,∴A1B与面ABC1D1所成的角为∠A1BO,∵A1O=A1B,∴∠A1BO=30°.3∵A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1,∴A1B⊥面AB1C1D,即A1B与面AB1C1D所成的角为90°.9.30°解析 取AC的中点E,连结C1E,BE,则∠BC1E即为所求的角.又由BC1=,BE=,所以sin∠BC1E=,∠BC1E=30°.10.证明 1∵ADD1A1为正方形,∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1,∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.2连结ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC.∴ON綊CD綊AB,∴ON∥AM.又∵MN∥OA,∴四边形AMNO为平行四边形,∴ON=AM.∵ON=AB,∴AM=AB,∴M是AB的中点.11.证明 连结AG并延长交BC于D,连结A′G′并延长交B′C′于D′,连结DD′,由AA′⊥α,BB′⊥α,CC′⊥α,得AA′∥BB′∥CC′.∵D、D′分别为BC和B′C′的中点,∴DD′∥CC′∥BB′,∴DD′∥AA′,∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心,∴=,∴GG′∥AA′,又∵AA′⊥α,∴GG′⊥α.12.证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点,∴MN∥AC,又∵AC⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,∴MN∥平面ABC,∵DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC,∴BD∥EC,四边形BDEC为直角梯形,∵N为EC中点,EC=2BD,∴NC綊BD,∴四边形BCND为矩形,∴DN∥BC,又∵DN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DN∥平面ABC,又∵MN∩DN=N,∴平面DMN∥平面ABC.13.1证明 如图所示,由已知BC⊥AC,BC⊥CC1,得BC⊥平面ACC1A1.连结AC1,则BC⊥AC1.由已知,可知侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形,M是A1B的中点,连结AB1,则点M是AB1的中点.又点N是B1C1的中点,则MN是△AB1C1的中位线,所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.2解 如图所示,因为AC1⊥平面A1BC,设AC1与A1C相交于点D,连结BD,则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角.设AC=BC=CC1=a,则C1D=a,BC1=a.在Rt△BDC1中,sin∠C1BD==,所以∠C1BD=30°,故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.。