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2019-2020年高中数学
1.3函数的奇偶性与周期性检测题(含解析)新人教版必修1
一、填空题1.设fx是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,fx=2x1-x,则f=________.解析 f=-f=-f=-2××=-.答案 -
2.设函数为奇函数则a=.解析由函数为奇函数得到f0=0即
0.所以a=
0.答案03.设函数fx是奇函数且周期为3,f-1=-1,则f2011=________解析 因为f-x=-fx,fx+3=fx,f-1=-1,所以f1=1,f2011=f3×670+1=f1=
1.答案 14.已知奇函数fx的图象关于直线x=-2对称,当x∈
[02]时,fx=2x,则f-9=________.解析 由题意,得f-x=-fx,fx=f-4-x,所以f-9=f-4+9=f5=-f-5=-f1=-
2.答案 -
25.若y=fx是奇函数且在内是增函数又f3=0则xfx0的解集是_______.解析因为fx在内是增函数f3=0所以当0x3时fx0;当x3时fx
0.又因为fx是奇函数其图象关于原点对称所以当-3x0时fx0;当x-3时fx
0.可见xfx0的解集是{x|-3x0或0x3}.答案{x|-3x0或0x3}6.函数fx是奇函数,且在[-11]上是单调增函数,又f-1=-1,则满足fx≤t2+2at+1对所有的x∈[-11]及a∈[-11]都成立的t的取值范围是________.解析 由题意,fxmax=f1=-f-1=1,所以t2+2at+1≥1,即t2+2at≥0对a∈[-11]恒成立,t=0时,显然成立;t≥0时,由t≥-2a恒成立,得t≥2;t<0时,由t≤-2a恒成立,得t≤-
2.综上,得t≤-2或t=0或t≥
2.答案 -∞,-2]∪{0}∪[2,+∞7.设fx是定义在-∞,+∞上的奇函数,且fx+2=-fx,当0≤x≤1时,fx=x,则f
7.5=________.解析由题意得fx+4=f[x+2+2]=-fx+2=fx,所以fx是以4为周期的函数,所以f
7.5=f
7.5-8=f-
0.5=-f
0.5=-
0.
5.答案-
0.5 8.已知函数fx=log44x+1+kxk∈R是偶函数,则k的值为________.解析 由f-x=fx,得log44-x+1-kx=log44x+1+kx,即2kx=log4-log44x+1=log4=-x,所以k=-.答案 -9.若偶函数fx在-∞,0内单调递减,则不等式f-1<flgx的解集是________.解析 因为fx是偶函数,所以fx=f|x|,于是由f-1<flgx,得f1<f|lgx|,又由fx在-∞,0内单调递减得fx在0,+∞内单调递增,所以有|lgx|>1,即lgx<-1或lgx>1,解得x<或x>
10.答案 ∪10,+∞10.已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x>0时,fx=1-2-x,则不等式fx<-的解集是________.解析 若x>0,则由fx=1-2-x<-,得x>,这与x>0时,x<1矛盾.若x<0,则由fx为奇函数,得fx=-f-x=-1+2x<-,得2x<=2-1,解得x<-
1.答案 -∞,-111.定义在R上的偶函数fx满足fx+1=-fx,且在[-10]上是增函数,给出下列关于fx的判断
①fx是周期函数;
②fx关于直线x=1对称;
③fx在
[01]上是增函数;
④fx在
[12]上是减函数;
⑤f2=f0.其中正确的序号是________.解析 ∵fx+1=-fx,∴fx=-fx+1=fx+1+1=fx+2,∴fx是周期为2的函数,
①正确.又∵fx+2=fx=f-x,∴fx=f2-x,∴y=fx的图象关于x=1对称,
②正确.又∵fx为偶函数且在[-10]上是增函数,∴fx在
[01]上是减函数.又∵对称轴为x=1,∴fx在
[12]上为增函数,f2=f0,故
③④错误,
⑤正确.答案
①②⑤12.函数y=fx与y=gx有相同的定义域,且都不是常值函数,对于定义域内的任何x,有fx+f-x=0,gxg-x=1,且当x≠0时,gx≠1,则Fx=+fx的奇偶性为________.解析 因为f-x=-fx,g-x=,所以F-x=+f-x=-fx=-fx=-fx=2fx+-fx=+fx=Fx.所以Fx是偶函数.答案 偶函数13.已知定义在R上的函数y=fx满足条件f=-fx,且函数y=f为奇函数,给出以下四个命题
①函数fx是周期函数;
②函数fx的图象关于点对称;
③函数fx为R上的偶函数;
④函数fx为R上的单调函数,其中真命题的序号为________写出所有真命题的序号.解析
①由f=-fx,得fx+3=-f=fx,所以
①正确.
②由y=f为奇函数,得fx图象关于点对称,所以
②不正确.
③由f=-f,得fx=-f,又f=-fx,所以f=f,所以fx是偶函数,
③正确.由
③正确知
④不正确.答案
①③
二、解答题14.设fx=ex+ae-xa∈R,x∈R.1讨论函数gx=xfx的奇偶性;2若gx是个偶函数,解不等式fx2-2≤fx.解析 1a=1时,fx=ex+e-x是偶函数,所以gx=xfx是奇函数;a=-1时,fx=ex-e-x是奇函数,所以gx=xfx是偶函数.a≠±1,由fx既不是奇函数又不是偶函数,得gx=xfx是非奇非偶函数.2当gx是偶函数时,a=-1,fx=ex-e-x是R上的单调增函数,于是由fx2-2≤fx得x2-2≤x,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤
2.
15.已知函数fx=是奇函数.1求实数m的值;2若函数fx在区间上单调递增,求实数的取值范围.解析1设x0则-x0所以f-x=.又fx为奇函数所以f-x=-fx.于是x0时所以m=
2.2要使fx在上单调递增,结合的图象(略)知所以故实数a的取值范围是13].
16.已知函数fx,当x,y∈R时,恒有fx+y=fx+fy.1求证fx是奇函数;2如果x∈R+,fx0,并且f1=-,试求fx在区间[-26]上的最值.解析1证明∵函数fx的定义域为R,∴其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0,∴f0=f0+f0,得f0=
0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx,∴fx为奇函数.2法一设x,y∈R+,∵fx+y=fx+fy,∴fx+y-fx=fy.∵x∈R+,fx0,∴fx+y-fx0,∴fx+yfx.∵x+yx,∴fx在0,+∞上是减函数.又∵fx为奇函数,f0=0,∴fx在-∞,+∞上是减函数.∴f-2为最大值,f6为最小值.∵f1=-,∴f-2=-f2=-2f1=1,f6=2f3=2[f1+f2]=-
3.∴所求fx在区间[-26]上的最大值为1,最小值为-
3.法二设x1x2,且x1,x2∈R.则fx2-x1=f[x2+-x1]=fx2+f-x1=fx2-fx1.∵x2-x10,∴fx2-x
10.∴fx2-fx
10.即fx在R上单调递减.∴f-2为最大值,f6为最小值.∵f1=-,∴f-2=-f2=-2f1=1,f6=2f3=2[f1+f2]=-
3.∴所求fx在区间[-26]上的最大值为1,最小值为-
3.17.已知函数fx=a≠0是奇函数,并且函数fx的图象经过点13.1求实数a,b的值;2求函数fx的值域.解析 1因为函数fx=是奇函数,所以f-x=-fx.所以=-.因为a≠0,所以-x+b=-x-b.所以b=
0.又函数fx的图象经过点13,所以f1=
3.所以=
3.因为b=0,故a=
2.2由1知fx==2x+x≠0.当x>0时,2x+≥2=2,当且仅当2x=,即x=时取等号.当x<0时,-2x+≥2=
2.所以2x+≤-
2.当且仅当-2x=,即x=-时取等号.综上可知,函数fx的值域为-∞,-2]∪[2,+∞.18.设fx=loga为奇函数,gx=fx+loga[x-1ax+1]a>1,且m≠1.1求m的值;2求gx的定义域;3若gx在上恒正,求a的取值范围.解析 1fx是奇函数,fx=-f-x,loga=-loga=loga,∴=,x2-1=mx2-1,∴m2-1x2=0,又m≠1,∴m=-
1.2由1fx=loga,gx=loga+loga[x-1·ax+1],x必须满足又a>1,∴x<-1或x>1,∴gx的定义域为{x|x<-1或x>1}.3a>1,gx在上恒正,即x+1ax+1>1⇒ax+1<⇒ax<-⇒a>-,∵x∈,∴-≤-=2,∴a>2,∴a的取值范围是2,+∞.。