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文本内容:
2019-2020年高中数学
2.
3.1双曲线及其标准方程练习北师大版选修1-1
一、选择题1.已知A0,-
5、B05,|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的轨迹为 A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线[答案] D[解析] 当a=3时,|PA|-|PB|=6|F1F2|,所以P的轨迹为双曲线一支;当a=5时,|PA|-|PB|=10=|F1F2|,所以P的轨迹为一条射线.2.若k1,则关于x、y的方程1-kx2+y2=k2-1所表示的曲线是 A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线[答案] C[解析] 将方程化为标准方程+=1,∵k1,∴1-k0,k2-10,∴该方程表示焦点在y轴的双曲线.3.过点11,且=的双曲线的标准方程为 A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.-y2=1或-x2=1[答案] D[解析] ∵=,∴b=a,b2=2a
2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1,将点11代入得,-=1,=1,a2=,b2=1,双曲线方程为-y2=
1.同理,当焦点在y轴上时,双曲线方程为-x2=
1.4.双曲线3x2-4y2=-12的焦点坐标为 A.±50B.0,±C.±,0D.0,±[答案] D[解析] 双曲线3x2-4y2=-12化为标准方程为-=1,∴a2=3,b2=4,c2=a2+b2=7,∴c=,又∵焦点在y轴上,故选D.5.若方程+=1表示双曲线,则实数k的取值范围是 A.2k5B.k5C.k2或k5D.以上答案都不对[答案] C[解析] 由题意得k-25-k0,∴k-2k-50,∴k5或k
2.6.已知点F1-40和F240,曲线C上的动点P到F
1、F2距离之差为6,则曲线C的方程为 A.-=1B.-=1y0C.-=1或-=1D.-=1x0[答案] D[解析] 由双曲线的定义知,点P的轨迹是以F
1、F2为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为-=1x0
二、填空题7.xx·北京文,12已知20是双曲线x2-=1b>0的一个焦点,则b=________.[答案] [解析] 由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3,所以b=.8.双曲线的焦点在x轴上,且经过点M
32、N-2,-1,则双曲线标准方程是________.[答案] -=1[解析] 设双曲线方程为-=1a0,b0,又点M
32、N-2,-1在双曲线上,∴,∴.
三、解答题9.过双曲线x2-y2=8的一个焦点F1作垂直于实轴的弦AB,若F2为另一个焦点,求△AF2B的周长.[解析] 设|AF1|=m,|AF2|=n,那么n-m=2a,又△AF1F2中,∠AF1F2=90°,所以n2-m2=4c2,则有
①÷
②得n+m=8,所以△AF2B的周长为2n+m=
16.10.已知双曲线x2-=1的焦点为F
1、F2,点M在双曲线上且·=0,求点M到x轴的距离.[答案] [解析] 由条件知c=,∴|F1F2|=2,∵·=0,∴|MO|=|F1F2|=,设Mx0,y0,则,∴y=,∴y0=±.故所求距离为.
一、选择题1.xx·揭阳一中高二期中已知椭圆+=1a0与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为 A.B.C.4D.10[答案] C[解析] 由条件知a2-9=4+3,∴a2=16,∵a0,∴a=
4.2.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则|PF1|·|PF2|的值等于 A.2B.2C.4D.8[答案] A[解析] ∵·=0,∴⊥.又||PF1|-|PF2||=4,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20,∴|PF1|-|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=20-2|PF1|·|PF2|=16,∴|PF1|·|PF2|=
2.3.已知双曲线中心在原点,一个焦点为F1-,0,点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为02,则双曲线的方程是 A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1[答案] B[解析] 由条件知P,4在双曲线-=1上,∴-=1,又a2+b2=5,∴,故选B.4.xx·重庆文,9设双曲线-=1a0,b0的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为 A.±B.±C.±1D.±[答案] C[解析] 由已知得右焦点Fc0其中c2=a2+b2,c0,A1-a0,A2a0;Bc,-,Cc,;从而A1B―→=c+a,-,=c-a,,又因为A1B⊥A2C,所以A1B―→·A2C―→=0,即c-a·c+a+-·=0;化简得到=1⇒=±1,即双曲线的渐进线的斜率为±1;故选C.
二、填空题5.设点P是双曲线-=1上任意一点,F
1、F2分别是左、右焦点,若|PF1|=8,则|PF2|=________.[答案] 20[解析] 由题意知,a=6,c===8,∵|PF1|=8a+c=14,∴点P在双曲线的左支上,∴|PF2|-|PF1|=2a=12,∴|PF2|=|PF1|+12=8+12=
20.6.一动圆过定点A-40,且与定圆B x-42+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为________.[答案] -=1x≤-2[解析] 设动圆圆心为Px,y,由题意得|PB|-|PA|=4|AB|=8,由双曲线定义知,点P的轨迹是以A、B为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.其方程为-=1x≤-2.
三、解答题7.设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.[答案] -=1[解析] 椭圆+=1的焦点为0,±3,由题意,设双曲线方程为-=1a0,b0,又点Ax04在椭圆+=1上,∴x=15,又点A在双曲线-=1上,∴-=1,又a2+b2=c2=9,∴a2=4,b2=5,所求的双曲线方程为-=
1.8.当0°≤α≤180°时,方程为x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?[答案] α=0°或90°表示直线 0°α45°或45°α90°表示椭圆 α=45°表示圆 90°α180°表示双曲线 α=180°不表示任何曲线[解析] 1当α=0°时,方程x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-
1.2当0°α90°时,方程为+=
1.
①当0°α45°时,0,它表示焦点在y轴上的椭圆.
②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.
③当45°α90°时,0,它表示焦点在x轴上的椭圆.3当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-
1.4当90°α180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.5当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.。