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文本内容:
2019-2020年高中数学
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3.1抛物线及其标准方程练习新人教A版选修1-1
一、选择题1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为 A.直线B.椭圆C.线段D.抛物线[答案] D[解析] 因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为 A.10B.20C.30D.-10[答案] B[解析] 因为准线方程为x=-2=-,所以焦点为,0,即20.3.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,过点-23的抛物线方程是 A.y2=xB.x2=yC.y2=-x或x2=-yD.y2=-x或x2=y[答案] D[解析] ∵点-23在第二象限,∴设抛物线方程为y2=-2pxp0或x2=2p′yp′0,又点-23在抛物线上,∴p=,p′=,∴抛物线方程为y2=-x或x2=y.4.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是 A.0B.C.D.[答案] A[解析] 设Mx0,y0,则x0+1=1,∴x0=0,∴y0=
0.5.过点F03且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为 A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=12yD.x2=-12y[答案] C[解析] 由题意,知动圆圆心到点F03的距离等于到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线.6.xx·云南景洪市一中期末从抛物线y2=4x图象上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线焦点为F,则△MPF的面积为 A.10B.8C.6D.4[答案] A[解析] 设Px0,y0,∵|PM|=5,∴x0=4,∴y0=±4,∴S△MPF=|PM|·|y0|=
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二、填空题7.若抛物线y2=2px的焦点坐标为10,则p=________,准线方程为________.[答案] 2 x=-1[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.由=1知p=2,则准线方程为x=-=-
1.8.以双曲线-=1的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线方程是__________.[答案] y2=-20x[解析] ∵双曲线的左焦点为-50,故设抛物线方程为y2=-2pxp0,又p=10,∴y2=-20x.
9.如图所示,设抛物线y2=2pxp0的焦点为F,点A02.若线段FA的中点B在抛物线上,则B点到该抛物线准线的距离为________.[答案] [解析] 由已知得B点的纵坐标为1,横坐标为,即B,1,将其代入y2=2px得1=2p×,解得p=,则B点到准线的距离为+=p=.
三、解答题
10.过抛物线y2=2pxp0的焦点F任作一条直线,交抛物线于P1,P2两点,求证以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.[证明] 设线段P1P2的中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q0,如图所示.根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|.∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,∴|P0Q0|=|P1Q1|+|P2Q2|=|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因此,圆P0与准线相切.
一、选择题1.xx·西安质检已知双曲线-=1a0,b0的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 A.B.C.2D.2[答案] B[解析] ∵抛物线y2=4x的焦点,0为双曲线的右焦点,∴c=,又=,结合a2+b2=c2,得a=1,∴e=,故选B.2.抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是 A.2B.2C.D.1[答案] D[解析] 本题考查了抛物线y2=2px的焦点坐标及点到直线的距离公式.由y2=8x可得其焦点坐标20,根据点到直线的距离公式可得d==
1.3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为 A.-2B.2C.-4D.4[答案] D[解析] 抛物线的焦点为F,0,椭圆中c2=6-2=4,∴c=2,其右焦点为20,∴=2,∴p=
4.4.O为坐标原点,F为抛物线C y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 A.2B.2C.2D.4[答案] C[解析] 设Px0,y0,则由抛物线的焦半径公式得|PF|=x0+=4,x0=3代入抛物线的方程,得|y0|=2,S△POF=|y0|·|OF|=2,选A,涉及到抛物线的焦点三角形问题,要考虑焦半径公式.
二、填空题5.点M53到抛物线x2=aya0的准线的距离为6,则抛物线的方程是________.[答案] x2=12y[解析] 抛物线x2=ay的准线方程为y=-,由题意得3--=6,∴a=12,∴x2=12y.6.若动点Mx,y到点F40的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是________.[答案] y2=16x[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x=-4的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,∴其方程为y2=16x.
三、解答题7.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M-3,m到焦点的距离是
5.求抛物线方程和m的值.[解析] 解法一∵抛物线焦点在x轴上,且过点M-3,m,∴设抛物线方程为y2=-2pxp0,则焦点坐标F-,0,由题意知,解得,或.∴所求抛物线方程为y2=-8x,m=±
2.解法二设抛物线方程为y2=-2pxp0,则焦点坐标F-,0,准线方程x=.由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于5,即点M到准线的距离等于5,则3+=5,∴p=4,∴抛物线方程为y2=-8x.又点M-3,m在抛物线上,∴m2=24,∴m=±2,∴所求抛物线方程为y2=-8x,m=±
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8.一辆卡车高3m,宽
1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.[解析] 以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,则B点的坐标为,-,如图所示,设隧道所在抛物线方程为x2=my,则2=m·-,∴m=-a,即抛物线方程为x2=-ay.将
0.8,y代入抛物线方程,得
0.82=-ay,即y=-.欲使卡车通过隧道,应有y--3,即-3,由于a0,得上述不等式的解为a
12.21,∴a应取
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