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2019-2020年高中数学
2.3直线、平面平行的性质与判定练习新人教A版必修21.下列命题中正确的个数是
①若直线a不在α内,则a∥α;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若直线l与平面α平行,则l与α内的任意一条直线都平行;
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;
⑤若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点;
⑥平行于同一平面的两直线可以相交.A.1 B.2C.3D.4答案 B解析 a∩α=A时,a不在α内,∴
①错;直线l与α相交时,l上有无数个点不在α内,故
②错;l∥α时,α内的直线与l平行或异面,故
③错;a∥b,b∥α时,a∥α或a⊂α,故
④错;l∥α,则l与α无公共点,∴l与α内任何一条直线都无公共点,
⑤正确;如图,长方体中,A1C1与B1D1都与平面ABCD平行,∴
⑥正确.2.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为 A.3B.2C.1D.0答案 C解析
①中当α与β不平行时,也能存在符合题意的l、m.
②中l与m也可能异面.
③中⇒l∥m,同理l∥n,则m∥n,正确.3.下列命题中,是假命题的是 A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面B.平面α∥平面β,a⊂α,过β内的一点B有唯一的一条直线b,使b∥aC.α∥β,γ∥δ,α、β分别与γ、δ的交线为a、b、c、d,则a∥b∥c∥dD.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件答案 D解析 D错误.当两个平面平行时,则该直线与两个平面成等角;反之,如果一条直线与两个平面成等角,这两个平面可能是相交平面.如下图,α⊥β,直线AB与α、β都成45°角,但α∩β=l.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 A.相交B.平行C.垂直D.不能确定答案 B解析 连接CD1,在CD1上取点P,使D1P=,∴MP∥BC,PN∥AD1∴MP∥面BB1C1C,PN∥面AA1D1D,∴面MNP∥面BB1C1C,∴MN∥面BB1C1C.5.设α、β、γ为两两不重合的平面,l、m、n为两两不重合的直线.给出下列四个命题
①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③若α∥β,l⊂α,则l∥β;
④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4答案 B解析
①∵垂直于同一个平面的两个平面也可以相交,如墙角,∴该命题不对;
②m、n相交时才有α∥β,此命题不对;
③由面面平行的性质定理可知该命题正确;
④∵l∥γ,β∩γ=m,l⊂β,∴l∥m,又α∩β=l,且m⊂β,∴m∥α,又m⊂γ且γ∩α=n,∴m∥n,故
④对,选B.6.如图所示,四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是________写出所有符合要求的图形序号.答案
①③7.考察下列三个命题,在“________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题其中l、m为直线,α、β为平面,则此条件为________.
①⇒l∥α;
②⇒l∥α;
③⇒l∥α.答案 l⊄α解析
①体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l为平面α外的直线”,即“l⊄α”,它也同样适合
②③,故填l⊄α.8.在四面体ABCD中,M、N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.答案 平面ABC和平面ABD解析 连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知,E、F重合为一点,且该点为CD的中点E.由==得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.9.设x,y,z为空间不同的直线或不同的平面,且直线不在平面内,下列说法中能保证“若x⊥z,y⊥z,则x∥y”为真命题的序号有________.把所有的真命题全填上
①x为直线,y,z为平面;
②x,y,z都为平面;
③x,y为直线,z为平面;
④x,y,z都为直线,
⑤x,y为平面,z为直线.答案
③⑤解析
①直线x可能在平面y内;
②平面x与y可能相交;
④直线x与y可能相交,也可能异面,故
③⑤正确.10.2011·天津文如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.证明PB∥平面ACM.解析 连接BD,MO,在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点.又M为PD的中点,所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.
11.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.1求证E、B、F、D1四点共面;2求证平面A1GH∥平面BED1F.解析 1连接FG.∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2,∴BG綊A1E,∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G,∴四边形C1FGB1是平行四边形,∴FG綊C1B1綊D1A1,∴四边形A1GFD1是平行四边形.∴A1G綊D1F,∴D1F綊EB,故E、B、F、D1四点共面.2∵H是B1C1的中点,∴B1H=.又B1G=1,∴=.又=,且∠FCB=∠GB1H=90°,∴△B1HG∽△CBF,∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG,∴HG∥FB.又由1知,A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE=B,∴平面A1GH∥平面BED1F.
12.如图,三棱柱ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E、F分别是棱CC
1、BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB.当点M在何位置时,BM∥平面AEF解析 方法一 如图,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC,∴侧面A1ACC1⊥底面ABC,∴OM⊥底面ABC.又∵EC=2FB,∴OM∥FB綊EC,∴四边形OMBF为矩形,∴BM∥OF,又∵OF⊂面AEF,BM⊄面AEF.故BM∥平面AEF,此时点M为AC的中点.方法二 如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ、PB、BQ,∴PQ∥AE.∵EC=2FB,∴PE綊BF,PB∥EF,∴PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.又PQ∩PB=P,∴平面PBQ∥平面AEF,又∵BQ⊂面PQB,∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.13.2011·山东文如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.1证明AA1⊥BD;2证明CC1∥平面A1BD.解析 1证法一 因为D1D⊥平面ABCD,且BD⊂平面ABCD,所以D1D⊥BD.又因为AB=2AD,∠BAD=60°,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°=3AD2,所以AD2+BD2=AB2,因此AD⊥BD.又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A
1.又AA1⊂平面ADD1A1,故AA1⊥BD.证法二 因为D1D⊥平面ABCD,且BD⊂平面ABCD,所以BD⊥D1D.取AB的中心G,连接DG,在△ABD中,由AB=2AD得AG=AD,又∠BAD=60°,所以△ADG为等边三角形,因此GD=GB,故∠DBG=∠GDB,又∠AGD=60°,所以∠GDB=30°,故∠ADB=∠ADG+∠GDB=60°+30°=90°,所以BD⊥AD.又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A
1.又AA1⊂平面ADD1A1,故AA1⊥BD.2连接AC,A1C1,设AC∩BD=E,连接EA1,因为四边形ABCD为平行四边形,所以EC=AC.由棱台定义及AB=2AD=2A1B1,知A1C1∥EC且A1C1=EC,所以四边形A1ECC1为平行四边形,因此CC1∥EA
1.又因为EA1⊂平面A1BD,CC1⊄平面A1BD,所以CC1∥平面A1BD.1.如下图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,M、N分别是AB、PC的中点,求证MN∥平面PAD.证明 方法一 取CD中点E,连接NE、ME.∵M、N分别是AB、PC的中点,∴NE∥PD,ME∥AD.∴NE∥平面PAD,ME∥平面PAD.又NE∩ME=E,∴平面MNE∥平面PAD.又MN⊂平面MNE,∴MN∥平面PAD.方法二 取PD中点F,连接AF、NF.∵M、N分别为AB、PC的中点,∴NF綊CD,AM綊CD,∴AM綊NF.∴四边形AMNF为平行四边形,∴MN∥AF.又AF⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,∴MN∥平面PAD.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证平面MNP∥平面A1BD.证明 方法一 如图1所示,连接B1D
1.∵P,N分别是D1C1,B1C1的中点,∴PN∥B1D
1.又B1D1∥BD,∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD,∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N,∴平面PMN∥平面A1BD.方法二 如图2所示,连接AC1,AC,∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴AC⊥BD.又CC1⊥平面ABCD,∴AC为AC1在平面ABCD上的射影,∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B,∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN.∴平面PMN∥平面A1BD.
3.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D.1求证AD⊥平面BCC1B1;2设E是B1C1上的一点,当的值为多少时,A1E∥平面ADC1?请给出证明.解析 1在正三棱柱中,CC1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,∴AD⊥CC
1.又AD⊥C1D,CC1交C1D于C1,且CC1和C1D都在平面BCC1B1内,∴AD⊥平面BCC1B
1.2由1得AD⊥BC.在正三角形ABC中,D是BC的中点.当=1,即E为B1C1的中点时,A1E∥平面ADC
1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1是矩形,且D、E分别是BC、B1C1的中点,∴B1B∥DE,B1B=DE.又B1B∥AA1,且B1B=AA1,∴DE∥AA1,且DE=AA
1.∴四边形ADEA1为平行四边形,∴A1E∥AD.而A1E⊄平面ADC1,故A1E∥平面ADC
1.1.如图在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC
1、C1D
1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD
1.答案 M∈线段FH解析 ∵HN∥BD,HF∥DD1,∴平面NHF∥平面B1BDD
1.故线段FH上任一点M与N相连,都有MN∥平面B1BDD1,故填M∈线段FH.
2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.解析 在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,连接AG,在AB上取点F,使AF=EG,则F即为所求作的点.∵EG∥CD∥AF,EG=AF,∴四边形FEGA为平行四边形,∴FE∥AG.又AG⊂平面PAD,FE⊄平面PAD,∴EF∥平面PAD.又在△BCE中,CE===a.在Rt△PBC中,BC2=CE·CP,∴CP==a.又=,∴EG=AF=a.∴点F为AB的一个三等分点,且靠近B点.。