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2019-2020年高中数学
3.
1.2第2课时指数函数的应用同步检测新人教B版必修1
一、选择题1.已知集合M={-11},N={x|2x+14,x∈Z},则M∩N= A.{-11} B.{-1} C.{0} D.{-10}[答案] B[解析] 解法一验证排除法由题意可知0∉M∩N,故排除C、D;又1∉N,∴1∉M∩N,故排除A,故选B.解法二M={-11},N={x|-1x+12,x∈Z}={x|-2x1,x∈Z}={-10},∴M∩N={-1}.2.函数fx=+的定义域为 A.-30]B.-31]C.-∞,-3∪-30]D.-∞,-3∪-31][答案] A[解析] 本题考查了定义域的求法.由题意知,即,即,∴fx定义域为-30].3.xx·江西文,4已知函数fx=a∈R,若f[f-1]=1,则a= A.B.C.1D.2[答案] A[解析] f-1=2,∴f[f-1]=f2=4a=1,∴a=.4.函数y=a|x|a1的图象是下图中的 [答案] B[解析] ∵y=a|x|=,又∵a1,∴当x≥0时,取函数y=axa1的图象的y轴右侧部分,再作关于y轴对称的图象,得y=a-xx0的图象,故选B.5.函数y=1-x的单调增区间是 A.-∞,+∞B.0,+∞C.1,+∞D.01[答案] A[解析] 令u=1-x,则y=u.∵u=1-x在-∞,+∞上是减函数,又∵y=u在-∞,+∞上是减函数,∴函数y=1-x在-∞,+∞上是增函数,故选A.6.xx~xx学年度山东烟台高一上学期期中测试已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足fx+gx=ax-a-x+2a0,且a≠1.若g2=a,则f2等于 A.2B.C.D.a2[答案] B[解析] ∵fx是奇函数,gx是偶函数,∴由fx+gx=ax-a-x+2,
①得-fx+gx=a-x-ax+2,
②①+
②,得gx=2,
①-
②,得fx=ax-a-x.又g2=a,∴a=2,∴fx=2x-2-x,∴f2=22-2-2=.
二、填空题7.函数y=定义域是__________,值域为__________.[答案] [-12] [,1][解析] 由-x2+x+2≥0得-1≤x≤2,此时-x2+x+2∈[0,],∴u=∈[0,],∴y=u∈[,1].8.xx~xx学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试设fx是定义在R上的奇函数,且当x0时,fx=2x-3,则当x0时,fx=________.[答案] 3-2-x[解析] 设x0,则-x0,∴f-x=2-x-3,又∵fx是奇函数,∴f-x=-fx,∴-fx=2-x-3,∴fx=3-2-x.∴当x0时,fx=3-2-x.
三、解答题9.xx~xx学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试设函数fx=kax-a-xa0且a≠1是奇函数.1求常数k的值;2若a1,试判断函数fx的单调性,并加以证明.[解析] 1函数fx的定义域为R.又∵fx为奇函数,∴f0=0,即k-1=0,∴k=
1.2当a1时,函数fx是R上的增函数.由1知fx=ax-a-x.设任意实数x1x2,fx2-fx1=ax2-a-x2-ax1+a-x1=ax2-ax1+-=ax2-ax1+=ax2-ax1∵x1x2,a1,∴ax1ax2,∴ax2-ax
10.又1+0,∴fx2-fx10,即fx2fx1.故当a1时,函数fx在R上是增函数.10.已知函数fx=1-.1求函数fx的定义域,判断并证明fx的奇偶性;2用单调性定义证明函数fx在其定义域上是增函数;3解不等式f3m+1+f2m-
30.[解析] 1∵3x0,∴3x+1≠0,函数fx的定义域为R.fx=1-==,∴f-x====-fx,∴fx是定义在R上的奇函数.2任取x1,x2∈R,且x1x2,则fx1-fx2=1--1-=-==,∵x1x2,∴3x13x2,∴3x1-3x20,又3x1+103x2+10,∴fx1-fx20,即fx1fx2,∴函数fx在其定义域内是增函数.3由f3m+1+f2m-30得f3m+1-f2m-3,∵函数fx为奇函数,∴-f2m-3=f3-2m,∴f3m+1f3-2m.由2已证得函数fx在R上是增函数,∴f3m+1f3-2m⇔3m+13-2m,∴m.不等式f3m+1+f2m-30的解集为{m|m}.
一、选择题1.下列函数中,既是偶函数又在0,+∞单调递增的函数是 A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|[答案] B[解析] ∵y=x3在定义域R上是奇函数,∴A不对.y=-x2+1在定义域R上是偶函数,但在0,+∞上是减函数,故C不对.D中y=2-|x|=|x|虽是偶函数,但在0,+∞上是减函数,只有B对.2.已知函数fx=x-ax-b其中ab的图象如右图所示,则函数gx=ax+b的图象是 [答案] A[解析] 由fx的图象,知0a1,b-1,所以gx的图象可以看作是由函数y=ax0a1的图象向下平移|b|个单位得到的,所以选A.3.定义运算a*b=,则函数fx=1]12x的图象为 [答案] D[解析] 由题意,得fx=.∵x≤0时,fx=1,排除A、C,又∵x0时,fx=x,∴f1=1,排除B,故选D.4.xx·陕西文,7下列函数中,满足“fx+y=fx·fy”的单调递增函数是 A.fx=x3B.fx=3xC.fx=xD.fx=x[答案] B[解析] 当fx=3x时,fx+y=3x+y,fxfy=3x·3y=3x+y,∴fx+y=fx+fy;当fx=x时,fx+y=x+y,fxfy=x·y=x+y,∴fx+y=fxfy,又fx=x为单调递减函数,fx=3x为单调递增函数,故选B.
二、填空题5.春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了________天.[答案] 19[解析] 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1,则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2x-1,当x=20时,长满水面,所以生长19天时,荷叶布满水面一半.6.已知函数fx是定义在R上的奇函数,当x0时,fx=1-2-x,则不等式fx-的解集是__________.[答案] -∞,-1[解析] ∵fx是定义在R上的奇函数,∴f0=
0.当x0时,fx=-f-x=-1-2x=2x-
1.当x0时,由1-2-x-,x,得此不等式解集为∅;当x=0时,fx=0-不成立;当x0时,由2x-1-,2x2-1,得x-
1.综上可知不等式的解集为-∞,-1.
三、解答题7.已知函数fx=a0且a≠1.1求fx的定义域和值域;2讨论fx的奇偶性;3讨论fx的单调性.[解析] 1易得fx的定义域为{x|x∈R}.解法一设y=,解得ax=-
①∵ax0,当且仅当-0,即-1y1时,∴fx的值域为{y|-1y1}.解法二fx==1-,∵ax+11,∴02,∴-11-1,∴fx的值域为{y|-1y1}.2∵f-x===-fx且定义域为R,∴fx是奇函数.3解法一fx==1-.注此处用到分离常数法
①当a1时,∵y=ax+1为增函数,且ax+10,∴y=为减函数,从而fx=1-=为增函数.
②当0a1时,∵y=ax+1为减函数,且ax+10,∴y=为增函数,从而fx=1-=为减函数.解法二设x
1、x2∈R且x1x2,Δx=x2-x10,Δy=fx2-fx1=-=.=当a1时,y=ax为增函数,又x2x1,∴ax2ax1,∴2ax2-2ax10,又ax2+10,ax1+10,∴Δy0,∴当a1时,fx=是增函数.同理,当0a1时,fx=为减函数.8.已知定义域为R的函数fx=是奇函数.1求a、b的值;2用定义证明fx在-∞,+∞上为减函数;3若对于任意t∈R,不等式ft2-2t+f2t2-k0恒成立,求k的范围.[解析] 1∵fx为R上的奇函数,∴f0=0,b=
1.又f-1=-f1,得a=
1.2任取x1,x2∈R,且x1x2,则fx1-fx2=-==,∵x1x2,∴2x2-2x10,又2x1+12x2+10,fx1-fx
20.∴fx为R上的减函数.3∵t∈R,不等式ft2-2t+f2t2-k0恒成立,∴ft2-2t-f2t2-k.∵fx是奇函数,∴ft2-2tfk-2t2,由于fx为减函数,∴t2-2tk-2t
2.即k3t2-2t恒成立,而3t2-2t=3t-2-≥-,∴k-.。