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文本内容:
2019-2020年高中数学
3.
1.3空间向量的数量积运算课时作业新人教A版选修2-1课时目标
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.
2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的夹角及距离问题.1.空间向量的夹角定义已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角记法范围想一想〈a,b〉与〈b,a〉相等吗?〈a,b〉与〈a,-b〉呢?2.空间向量的数量积1定义已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.2数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律λa·b=________交换律a·b=______分配律a·b+c=____________3数量积的性质两个向量数量积的性质
①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔__________.
②若a与b同向,则a·b=________;若反向,则a·b=________.特别地a·a=|a|2或|a|=.
③若θ为a,b的夹角,则cosθ=______
④|a·b|≤|a|·|b|.
一、选择题1.设a、b、c是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题
①a·b·c-c·a·b=0;
②|a|-|b||a-b|;
③b·a·c-c·a·b不与c垂直;
④3a+2b·3a-2b=9|a|2-4|b|
2.其中正确的有 A.
①②B.
②③C.
③④D.
②④2.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于 A.B.C.D.
44.在棱长为1的正四面体ABCD中,EF分别是BCAD的中点,则·等于 A.0B.C.-D.-
5.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于 A.6B.6C.12D.1446.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μbλ,μ∈R且λ、μ≠0,则 A.m∥nB.m⊥nC.m不平行于n,m也不垂直于nD.以上三种情况都有可能
二、填空题7.已知a,b是空间两向量,若|a|=3,|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为________.8.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=________.9.在△ABC中,有下列命题
①-=;
②++=0;
③+·-=0,则△ABC为等腰三角形;
④若·0,则△ABC为锐角三角形.其中正确的是________.填写正确的序号
三、解答题
10.如图,已知在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC.求证OA⊥BC.11.在正四面体ABCD中,棱长为a,M、N分别是棱AB、CD上的点,且|MB|=2|AM|,|CN|=|ND|,求|MN|.能力提升
12.平面式OA.B三点不共线,设=a,=b,则△OAB的面积等于 A.B.C.D.
13.如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,线段BD与α所成的角为30°,求CD的长.1.空间向量数量积直接根据定义计算.2.利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题1利用a⊥b⇔a·b=0证线线垂直a,b为非零向量.2利用a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉,cosθ=,求两直线的夹角.3利用|a|2=a·a,求解有关线段的长度问题.3.
1.3 空间向量的数量积运算知识梳理1.〈a,b〉 [0,π]2.2λa·b b·a a·b+a·c3
①a·b=0
②|a|·|b| -|a|·|b|
③作业设计1.D [
①错;
②正确,可以利用三角形法则作出a-b,三角形的两边之差小于第三边;
③错,当b·a=c·b=0时,b·a·c-c·a·b与c垂直;
④正确,直接利用数量积的运算律.]2.A [a·b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b|⇔cos〈a,b〉=1⇔〈a,b〉=0,当a与b反向时,不能成立.]3.C [|a+3b|2=a+3b2=a2+6a·b+9b2=1+6·cos60°+9=
13.∴|a+3b|=.]4.D [·=+·=·+·-·-||2=cos60°+cos60°-cos60°-=-.]5.C [∵=++,∴||2=++2=2+2+2+2·+2·+2·=108+2×6×6×=144,∴||=
12.]6.B [由题意m⊥a,m⊥b,则有m·a=0,m·b=0,m·n=mλa+μb=λm·a+μm·b=0,∴m⊥n.]7.60°解析 由|a-b|=,得a-b2=7,即|a|2-2a·b+|b|2=7,∴2a·b=6,∴|a||b|cos〈a,b〉=3,∴cos〈a,b〉=,〈a,b〉=60°.即a与b的夹角为60°.
8.解析 |a+b|===.9.
②③解析
①错,-=;
②正确;
③正确,||=||;
④错,△ABC不一定是锐角三角形.10.证明 ∵OB=OC,AB=AC,OA=OA,∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC=∠AOB.∵·=·-=·-·=||||cos∠AOC-||||·cos∠AOB=0,∴OA⊥BC.11.解 如图所示,||=||=||=a,把题中所用到的量都用向量、、表示,于是=++=+-+-=-++.又·=·=·=||2cos60°=||2=a2,∴·=·=2-·-·+·+2+2=a2-a2+a2+a2=a
2.故||==a,即|MN|=a.
12.C [如图所示,S△OAB=|a||b|·sin〈a,b〉=|a||b|=|a||b|=|a||b|=.]
13.解 由AC⊥α,可知AC⊥AB,过点D作DD1⊥α,D1为垂足,连结BD1,则∠DBD1为BD与α所成的角,即∠DBD1=30°,∴∠BDD1=60°,∵AC⊥α,DD1⊥α,∴AC∥DD1,∴〈,〉=60°,∴〈,〉=120°.又=++,∴||2=++2=||2+||2+||2+2·+2·+2·∵BD⊥AB,AC⊥AB,∴·=0,·=
0.故||2=||2+||2+||2+2·=242+72+242+2×24×24×cos120°=625,∴||=
25.。