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文本内容:
2019-2020年高中数学
3.
2.2空间向量与垂直关系检测题新人教版选修2-1
一、基础过关1.若平面α、β的法向量分别为u=2,-35,v=-3,1,-4,则 A.α∥βB.α⊥βC.α、β相交但不垂直D.以上均不正确2.若直线l的一个方向向量为a=257,平面α的一个法向量为u=11,-1,则 A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.A、C均有可能3.已知平面α内有一个点A2,-12,α的一个法向量为n=312,则下列点P中,在平面α内的是 A.1,-11B.C.D.
4.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于 A.AC B.BDC.A1D D.A1A5.已知A
100、B
010、C001,则平面ABC的一个单位法向量是 A.B.C.D.6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=112,b=x,-2,3,且α⊥β,则x=________.高中数学选修2-1空间向量与立体几何(共2页)第1页7.下列命题中
①若u,v分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔u·v=0;
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面,则u·a=0;
③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.正确的命题序号是________.8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=2,-1,-4,=420,=-12,-1.对于结论
①AP⊥AB;
②AP⊥AD;
③是平面ABCD的法向量;
④∥.其中正确的是________.填序号
二、能力提升
9.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=CC
1.求证AB1⊥MN.10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB
1.
11.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证平面DEA⊥平面ECA.
三、探究与拓展
12.如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,AD=AB,E是PC的中点.证明PD⊥平面ABE.高中数学选修2-1空间向量与立体几何(共2页)第2页答案1.C
2.D
3.B
4.B
5.D 6.-47.
①②③8.
①②③
9.证明 设AB中点为O,作OO1∥AA1,以O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A,B,C,N,B
1.∵M为BC中点,∴M.∴=,=101,∴·=-+0+=
0.∴⊥,∴AB1⊥MN.10.解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则E210,F120,D1002,B1222.设M22,m,则=-110,=0,-1,-2,=22,m-2.∵D1M⊥平面EFB1,∴D1M⊥EF,D1M⊥B1E,∴·=0且·=0,于是 ∴m=1,故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB
1.11.证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C000,A,10,B020,E002,D021.所以=,1,-2,=002,=02,-1.分别设面CEA与面DEA的法向量是n1=x1,y1,z1,n2=x2,y2,z2,则即解得 即解得不妨取n1=1,-,0,n2=,12,因为n1·n2=0,所以两个法向量相互垂直.所以平面DEA⊥平面ECA.12.证明 ∵PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∴AB、AD、AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=AB=BC=1,则P
001、A
000、B
100、D.∵∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形.∴C,E.∴=100,=,∴设平面ABE的一个法向量为n=x,y,z,则令y=2,则z=-,∴n=02,-.∵=,显然=n,∴∥n,∴⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.。