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2019-2020年高中数学
3.
3.2均匀随机数的产生练习案新人教A版必修31.了解均匀随机数的概念.2.掌握利用计算器计算机Excel软件产生均匀随机数的方法.3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题.1.随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样,它可以帮我们模拟随机试验,特别是一些成本高、时间长的试验.用随机模拟方法可起到降低成本、缩短时间的作用.2.随机数的产生方法.1实例法.
①掷骰子;
②掷硬币;
③抽签;
④从一叠纸牌中抽牌;
⑤正多边形旋转器,或钟表式图形转盘等等.2计算器或计算机模拟法.
①现在的大部分科学计算器都能产生0~1之间的均匀随机数实数.例如ⅰ.利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]上的均匀随机数,试验结果是区间[0,1]内的任意一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的.ⅱ.有的函数型计算器用+键产生[0,1]上的均匀随机数.
②计算机软件法几乎所有的高级编程语言都有随机函数,借助随机函数可以产生一定范围的随机数.用Excel软件中产生[0,1]上的均匀随机数的函数RAND 来模拟.
③若要产生[a,b]上的均匀随机数,可使用变换RAND *b-a+a,试验的结果是产生a~b之间的任何一个实数,并且出现a~b之间任何一个实数都是等可能的.
④若要产生[a,b]上的整数随机数可使用取整函数,INTRAND *b-a+a得到a~b之间的随机整数,并且a~b之间的任何一个整数都是等可能出现的.1.如图,分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为 B A. B.C.D.2.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是 C A. B. C. D.3.在边长为2的正三角形ABC中,以A为圆心,为半径画一弧,分别交AB,AC于D,E.若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子,则豆子落在扇形ADE内的概率是________.答案:1.用Excel中的随机函数RAND 如何产生下面范围内的数?10~1内的随机数;22~10内的随机数;3-8~2内的随机数;4-6~6内的随机数;5a~b内的随机数;6a~b内的整数随机数.解析1RAND ;2RAND *8+2;3RAND *10-8;4RAND *12-6;5RAND *b-a+a;6INTRAND *b-a+a.2.下列命题不正确的是 D A.根据古典概型概率计算公式PA=求出的值是事件A发生的概率的精确值B.根据几何概型概率计算公式PA=求出的值是事件A发生的概率的精确值C.根据古典概型试验,用计算机或计算器产生的随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1,得到的值是PA的近似值D.根据几何概型试验,用计算机或计算器产生的均匀随机数统计试验次数N和事件A发生的次数N1,得到的值是PA的精确值3.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率.解析地铁列车每10min一班,在车站停1min可以看作在0~1min这个时间段内,车停在停车点,在1~11min这个时间段内行驶,乘客到达站台立即乘上车的条件是他在0~1min这个时间段内到达站台.设事件A={乘客到达站台立即乘上车}.用计算机随机模拟这个试验步骤如下S1 用计算机产生一组[0,1]区间的均匀随机数a1=RAND;S2 经过伸缩变换a=11*a1;S3 统计出试验总次数N和[0,1]内的随机数个数N1;S4 计算频率fnA=N1/N即为概率PA的近似值.用Excel工作表.S1 选定A1格,键入“=RAND *11”;再选定A1,按“Ctrl+C”;选定A2~A1000,按“Ctrl+V”.此时A1~A1000均为[0,11]区间上的均匀随机数.S2 选定C1,键入“=FREQUENCYA1∶A20,1”,表示A1~A20中小于或等于1的数的个数;选定C2,键入“=FREQUENCYA1∶A50,1”,表示A1~A50中小于或等于1的数的个数;依此方法可在C3,C4,C5,C6格,得到A1~A100,A1~A200,A1~A500,A1~A1000中小于或等于1的数的个数.S3 选定D1,键入“=C1/20”;选定D2,键入“=C2/50”;选定D3,键入“=C3/100”;选定D4,键入“=C4/200”;选定D5,键入“=C5/500”;选定D6,键入“=C6/1000”.可分别得到前20次、前50次、前100次、前200次、前500次、前1000次试验中事件A发生的频率D1,D2,D3,D4,D5,D6;S4 由频率可估计概率的近似值.4.如图,向边长为4的正方形内投飞镖,求飞镖落在中央边长为2的正方形内概率,并写出用计算机模拟该试验的算法.解析用几何概型概率计算方法可求得概率P==.用计算机随机模拟这个试验步骤如下S1 用计数器n记录做了多少次飞镖试验,用计数器m记录其中有多少次投在中央的小正方形内,置初始值n=0,m=0;S2 有函数RAND *4-2产生两组-2~2的随机数x,y,x表示所投飞镖的横坐标,y表示所投飞镖的纵坐标;S3 判断x,y是否落在中央的小正方形内,也就是看是否满足|x|<1,|y|<1,如果是则m的值加1,即m=m+1,否则m值保持不变;S4 表示随机试验次数的记录器n加1,即n=n+1,如果还需要继续试验,则返回步骤S2,否则,程序结束.程序结束后,飞镖投在小正方形内发生的频率表示概率的近似值,全班同学一块试验,看频率是否在附近波动,次数越多,越有可能稳定在附近.5.箱子里有3个黄球和6个红球,现在有放回地取球,求取出的球是黄球的概率,并写出用计算机模拟该试验的算法.解析用比例算法不难求得取出的球是黄球的概率P=,用1~9这9个数字中的1,2,3表示黄球,4至9这6个数字表示红球.用取整数随机函数INTRAND *8+1来产生1~9中的整数随机数表示取到的球,有算法如下S1 置记录取球次数的记数器n=0,取到黄球次数的计数器m=0;S2 用INTRAND *8+1产生一个1~9之间的整数随机数x表示取到球的号数;S3 如果x≤3,则m=m+1,否则m的值不变;S4 n=n+1;S5 如果还需要继续试验,则返回S2,否则结束程序.程序结束后算出作为出现黄球概率的近似值.6.在长为18cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形.用随机模拟法估计该正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率.解析正方形的面积只与边长有关,本题可以转化为在线段AB上任取一点M,使AM的长度介于6cm与9cm之间.设事件A={正方形的面积介于36cm2与81cm2之间}.1利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND;2经过伸缩变换,a=a1*18;3统计出试验总次数N和[6,9]内的随机数个数N1;4计算频率,即为概率PA的近似值.算法为INPUT“n=”;nm=0DOi=1a=18*RAND IF a>=6 AND a<=9THEN m=m+1ENDIFi=i+1LOOPUNTIL i>nf=m/nPRINT“概率的估计值为”;fEND7.利用随机模拟法近似计算下图中阴影部分曲线y=9-x2与x轴和y=x围成的图形的面积.解析设事件A“随机向矩形内投点,所投的点落在阴影部分”如下图.1利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND;2经过伸缩平移变换,x=x1-
0.5*6,y=y1*9;3统计出试验总次数N和满足条件y<9-x2及y>x的点x,y的个数N1;4计算频率fnA=,即为概率PA的近似值.设阴影部分的面积为S,矩形的面积为9×6=
54.由几何概率公式得PA=.所以,阴影部分面积的近似值为S≈.8.甲乙二人用4张扑克牌玩游戏,分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4方片4用4′表示,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.1设i,j分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况.2若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的情况有哪几种?解析1甲乙二人抽到的牌的所有情况列表如下 甲乙 2344′2空格2,32,42,4′33,2空格3,43,4′44,24,3空格4,4′4′4′,24′,34′,4空格2若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的情况有两种3,4,3,4′.1.本课时是在前几节学习过整数随机数和几何概型基础上,进一步学习均匀随机数的产生方法及如何应用均匀随机数进行随机模拟试验来求几何概型的概率近似值和不规则圆形的面积近似值等实际应用问题.2.随机模拟试验是研究事件概率的重要方法,用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们主要从以下几个方面来考虑1由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型一维只用一组,面积型二维需要用两组,体积型三维需要用三组.2由所有基本事件总体基本事件空间对应区域确定产生随机数的范围.3由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.4如果随机事件结果需要用整数来表示,可以用取整函数INT产生整数随机数.5研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个试验结果的数的范围.。