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2019-2020年高中数学平面解析几何初步复习小结苏教版必修2
一、填空题
1、xx·南通质检若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为1,-1,则直线l的斜率为________.
2、xx·烟台模拟直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,则实数k=________.
3、xx·金华调研当0k时,直线l1kx-y=k-1与直线l2ky-x=2k的交点在第________象限.
4、xx·扬州检测已知直线l过点P34且与点A-2,2,B4,-2等距离,则直线l的方程为________.
5、xx·苏州质检设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+a-12=0,若0a1,则原点与圆的位置关系是________.
6、xx·东营模拟点P4,-2与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是________.
7、xx·南京调研已知直线l x-y+4=0与圆C x-12+y-12=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为______.
8、xx·南京模拟在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x-12+y2=4,P为圆C上一点.若存在一个定圆M,过P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当P在圆C上运动时,使得∠APB恒为60°,则圆M的方程为________.
9、xx·苏、锡、常、镇四市调研在平面直角坐标系xOy中,已知点P30在圆C x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围为________.
10、(xx江苏百校联考一)已知圆,点在直线上,若过点存在直线与圆交于、两点,且点为的中点,则点横坐标的取值范围是.
11、xx·苏、锡、常、镇四市调研已知△ABC为等腰直角三角形,斜边BC上的中线AD=2,将△ABC沿AD折成60°的二面角,连接BC,则三棱锥C-ABD的体积为________.
12、xx·南通、扬州、泰州、宿迁调研设l,m表示直线,m是平面α内的任意一条直线,则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填一个.
13、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1请填上你认为正确的一个条件.
二、解答题
1、已知三条直线l12x-y+a=0a>0;l2-4x+2y+1=0;l3x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.1求a的值;2能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件
①点P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.
2、在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为
2.1求圆心P的轨迹方程;2若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
3、(扬州市xx届高三上学期期中)在平面直角坐标系中,已知圆:,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点,线段的中点为1求的取值范围;2若,求的值
4、已知平面直角坐标系xOy中O是坐标原点,A62,B80,圆C是△OAB的外接圆,过点26的直线l被圆C所截得的弦长为
4.1求圆C的方程及直线l的方程;2设圆N的方程为x-4-7cosθ2+y-7sinθ2=1θ∈R,过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F,求·的最大值.
5、xx·常州监测如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥BC,E,F分别是A1B,AC1的中点.1求证EF∥平面ABC;2求证平面AEF⊥平面AA1B1B;3若A1A=2AB=2BC=2a,求三棱锥F-ABC的体积.
6、xx·南京、盐城一模如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为BB1,AC的中点.1求证BF∥平面A1EC;2求证平面A1EC⊥平面ACC1A
1.
7、如图,已知四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点.1求证FG∥平面PDE;2求证平面FGH⊥平面ABE;3在线段PC上是否存在一点M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.答案
一、填空题
1、解析 依题意,设点Pa1,Q7,b,则有解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为=-.答案 -
2、解析 令x=0,得y=;令y=0,得x=-,则有-=2,所以k=-
24.答案 -
243、解析 解方程组得两直线的交点坐标为,因为0k,所以0,0,故交点在第二象限.答案 二
4、解析 设所求直线方程为y-4=kx-3,即kx-y+4-3k=0,由已知,得=,∴k=2或k=-.∴所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=
0.答案 2x+3y-18=0或2x-y-2=
05、解析 将圆的一般方程化成标准方程为x+a2+y+12=2a,因为0a1,所以0+a2+0+12-2a=a-120,即,所以原点在圆外.答案 在圆外
6、解析 设圆上任一点为Qx0,y0,PQ的中点为Mx,y,则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x+y=4,即2x-42+2y+22=4,化简得x-22+y+12=
1.答案 x-22+y+12=
17、解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心11到直线l的距离减去半径,即-=.答案
8、解析 设圆M的半径为r,则由圆的几何性质可得PM=2r.又r是定值,所以PM是定值.又点P在圆C上,只有到圆心C的距离是定值,所以点M与C重合,即PM=PC=2,所以r=1,故圆M的方程是x-12+y2=
1.答案 x-12+y2=
19、解析 因为点P30在圆C x-m2+y-22=32内,所以3-m2+0-22<32,解得3-2<m<3+2
①.设圆心C到直线AB的距离为d,则d∈[0,PC],△ABC的面积为AB·d=×2·d=≤=16,当且仅当d=4时取等号,所以4≤PC=,解得m≥3+2或m≤3-2,与
①取交集可得实数m的取值范围是[3+2,3+2∪3-2,3-2].答案 [3+2,3+2∪3-2,3-2]
10、解析法一数形结合法设 ,由题意可得 ,即 ,解之得 .法二设点 , ,则由条件得A点坐标为 , ,从而 ,整理得 ,化归为 ,从而 ,于是由 得 答案[-12]
11、解析 由题意可得∠CDB=60°,DC=DB,所以△DCB是边长为2的等边三角形,且AD⊥平面DCB,所以三棱锥C-ABD的体积为S△BCD·AD=××2×2sin60°×2=.答案
12、解析 因为m是平面α内的任意一条直线,若l⊥m,则l⊥α,所以充分性成立;反过来,若l⊥α,则l⊥m,所以必要性成立,故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件.答案 充要
13、解析 如图,连接FH,HN,FN,由题意知HN∥面B1BDD1,FH∥面B1BDD
1.且HN∩FH=H,∴面NHF∥面B1BDD
1.∴当M在线段HF上运动时,有MN∥面B1BDD
1.答案 M∈线段HF
2、解答题
1、解 1直线l22x-y-=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d==,所以=,即=,又a>0,解得a=
3.2假设存在点P,设点Px0,y0.若P点满足条件
②,则P点在与l1,l2平行的直线l′2x-y+c=0上,且=,即c=或,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0;若P点满足条件
③,由点到直线的距离公式,有=,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0;由于点P在第一象限,所以3x0+2=0不可能.联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得舍去联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得所以存在点P同时满足三个条件.
2、解 1设Px,y,圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+
3.故P点的轨迹方程为y2-x2=
1.2设Px0,y0,由已知得=.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+y-12=3或x2+y+12=
3.
3、解
(1)方法一圆的方程可化为,直线可设为,即,圆心到直线的距离为,依题意,即,解之得;方法二由可得,依题意,解之得.
(2)方法一因为,且斜率为,故直线,由可得,又是中点,所以,即,解之得.方法二设,,则由可得,所以,又,且斜率为,所以,即,也就是,所以,解之得.方法三点的坐标同时满足,解此方程组,消去可得.
4、解1因为A62,B80,所以△OAB为以OB为斜边的直角三角形,所以圆C的方程为x-42+y2=
16.当直线l的斜率不存在时,l x=2,被圆C截得的弦长为4,所以l x=2符合题意.当直线l的斜率存在时,设l y-6=kx-2,即kx-y+6-2k=
0.因为被圆C截得弦长为4,所以圆心C到直线的距离为
2.所以=2,解得k=-,所以l y-6=-x-2,即4x+3y-26=
0.综上,直线l的方程为x=2或4x+3y-26=
0.2因为圆心N4+7cosθ,7sinθ,若设Nx,y,则所以x-42+y2=
49.即圆心N在以40为圆心,7为半径的圆周上运动.如图,设∠ECF=2α,则·=||·||·cos2α=16cos2α=32cos2α-
16.在Rt△PCF中,cosα==.由圆的几何性质得NC+1≥PC≥NC-1=7-1=6,所以≤cosα≤.由此可得·≤-,则·的最大值为-.
5、1证明 连接A1C.∵直三棱柱A1B1C1-ABC中,AA1C1C是矩形,∴点F在A1C上,且为A1C的中点.在△A1BC中,∵E,F分别是A1B,A1C的中点,∴EF∥BC.又∵BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,所以EF∥平面ABC.2证明 ∵直三棱柱A1B1C1-ABC中,B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥BC.∵EF∥BC,AB⊥BC,∴AB⊥EF,B1B⊥EF.∵B1B∩AB=B,∴EF⊥平面ABB1A
1.∵EF⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面ABB1A
1.3解 VF-ABC=VA1-ABC=××S△ABC×AA1=××a2×2a=.
6、证明 1连接AC1并交A1C于点O,连接OE,OF,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC
1.又因为F为AC的中点,所以OF∥CC1且OF=CC
1.因为E为BB1的中点,所以BE∥CC1且BE=CC
1.所以BE∥OF且BE=OF,所以四边形BEOF是平行四边形,所以BF∥OE.又BF⊄平面A1EC,OE⊂平面A1EC,所以BF∥平面A1EC.2由1知BF∥OE,因为AB=CB,F为AC的中点,所以BF⊥AC,所以OE⊥AC.又因为AA1⊥底面ABC,而BF⊂底面ABC,所以AA1⊥BF.由BF∥OE得OE⊥AA1,而AA1,AC⊂平面ACC1A1,且AA1∩AC=A,所以OE⊥平面ACC1A
1.因为OE⊂平面A1EC,所以平面A1EC⊥平面ACC1A
1.
7、1证明 因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG∥PE,又FG⊄平面PDE,PE⊂平面PDE,所以FG∥平面PDE.2证明 因为EA⊥平面ABCD,所以EA⊥CB.又CB⊥AB,AB∩AE=A,所以CB⊥平面ABE.由已知F,H分别为线段PB,PC的中点,所以FH∥BC.则FH⊥平面ABE.而FH⊂平面FGH,所以平面FGH⊥平面ABE.3解 在线段PC上存在一点M,使PB⊥平面EFM.证明如下如图,在PC上取一点M,连接EF,EM,FM.在直角三角形AEB中,因为AE=1,AB=2,所以BE=.在直角梯形EADP中,因为AE=1,AD=PD=2,所以PE=,所以PE=BE.又F为PB的中点,所以EF⊥PB.要使PB⊥平面EFM,只需使PB⊥FM.因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥CB,又CB⊥CD,PD∩CD=D,所以CB⊥平面PCD,而PC⊂平面PCD,所以CB⊥PC.若PB⊥FM,则△PFM∽△PCB,可得=.由已知可求得PB=2,PF=,PC=2,所以PM=.。