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2019-2020年高中数学月综合素质检测新人教A版必修2
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1.说出下列三视图表示的几何体是 A.正六棱柱B.正六棱锥C.正六棱台D.正六边形[答案] A2.若直线a,b与直线l所成的角相等,则a,b的位置关系是 A.异面B.平行C.相交D.相交、平行、异面均有可能[答案] D3.设P是△ABC所在平面α外一点,H是P在α内的射影,且PA,PB,PC与α所成的角相等,则H是△ABC的 A.内心B.外心C.垂心D.重心[答案] B[解析] 由题意知Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC,得HA=HB=HC,所以H是△ABC的外接圆圆心.4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于 A.30°B.45°C.60°D.90°[答案] C[解析] 延长CA至点M,使AM=CA,则A1M∥C1A,∠MA1B或其补角为异面直线BA1与AC1所成的角,连接BM,易知△BMA1为等边三角形,因此,异面直线BA1与AC1所成的角为60°,选C.5.xx·浙江卷如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′-CD-B的平面角为α,则 A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α[答案] B[解析] 根据折叠过程可知∠A′CB与α的大小关系是不确定的,而根据二面角的定义易得∠A′DB≥α,当且仅当AC=BC时,等号成立,故选B.6.xx·全国高考大纲卷正四棱锥的顶点都在同一个球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 A.πB.16πC.9πD.π[答案] A[解析] 设正四棱锥P-ABCD,外接球心O在PE上,半径为R,AE=AC=,OE=PE-PO=4-R,OA2=AE2+OE2,∴R2=2+4-R2,∴R=,S=4πR2=π,故选A.7.xx·珠海模拟已知a,b,l表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,有下列命题
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;
②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,则b⊥α;
④若a∩α,b∩α,l⊥a,l⊥b,则l⊥α.其中正确的有 A.0个B.1个C.2个D.3个[答案] C[解析] 可借助正方体模型解决.如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,可令平面A1B1CD为α,平面DCC1D1为β,平面A1B1C1D1为γ.又平面A1B1CD∩DCC1D1=CD,平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1=C1D1,则CD与C1D1所在的直线分别表示a,b,因为CD∥C1D1,但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行,即α与γ不平行,故
①错误.因为a,b相交,可设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得γ∥α.同理可得γ∥β,因此α∥β,
②正确.由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直,易知
③正确.a∥b时,由题知l垂直于平面α内两条不相交直线,得不出l⊥α,
④错误.8.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=,那么二面角A-BD-P的大小为 A.30°B.45°C.60°D.75°[答案] A[解析] 过A作AO⊥BD于O,连接PO,则∠AOP为二面角A-BD-P的平面角.易知AO==,所以tan∠AOP==,故∠AOP=30°.
9.如图,若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是 A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台[答案] D[解析] 因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1,又EH⊄平面BCC1B1,所以EH∥平面BCC1B1,又EH⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面BCC1B1=FG,所以EH∥FG,又EH∥B1C1,所以Ω是棱柱,所以A,C正确;因为A1D1⊥平面ABB1A1,EH∥A1D1,所以EH⊥平面ABB1A1,又EF⊂平面ABB1A1,故EH⊥EF,所以B正确,故选D.10.若某几何体的三视图单位cm如图所示,则此几何体的体积是 A.36cm3B.48cm3C.60cm3D.72cm3[答案] B[解析] 依题意得知,该几何体的上半部分是一个长为4cm,宽和高均为2cm的长方体,下半部分是一个侧着放的四棱柱,其高为4cm,其底面是一个上底为2cm,下底为6cm,高为2cm,的等腰梯形,故该几何体的体积V=4×2×2+×2+6×2×4=48cm3,故选B.11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离是 A.B.C.D.[答案] B[解析] 如图,取A1D1,B1C1的中点M,N,则M,O,N三点共线,MN∥平面ABC1D
1.连接B1C交BC1于F点,作NE⊥BC1于E点,则NE即为所求,且NE綊B1F=×=.12.xx·济宁高一检测如图所示,在正四棱锥S-ABCD顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的 [答案] A[解析] 如图所示,连接BD与AC相交于点O,连接SO,取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG,因为E,F分别是BC,SC的中点,所以EF∥SB,EF⊄平面SBD,SB⊂平面SBD,所以EF∥平面SBD,同理可证EG∥平面SBD,又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面SBD,由题意得SO⊥平面ABCD,AC⊥SO,因为AC⊥BD,又SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥平面EFG,所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上13.对于一个底边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的________倍.[答案] 14.xx·浙江卷如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.[答案] [解析] 如下图,连结DN,取DN中点P,连结PM,PC,则可知∠PMC即为异面直线AN,CM所成角或其补角易得PM=AN=,PC===,CM==2,∴cos∠PMC==,即异面直线AN,CM所成角的余弦值为.15.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当四边形A1B1C1D1满足条件________时,有A1C⊥B1D1注填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况.[答案] B1D1⊥A1C1[解析] 由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,要使得B1D1⊥A1C,只要B1D1⊥平面A1CC1,所以只要B1D1⊥A1C
1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件.16.xx·北京高考理科数学某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为________.[答案] 2[解析] 三棱锥的直观图如右图.AB⊥面BCD,△BCD为等腰直角三角形.AB=2,BD=2,BC=CD=,AC==,AD===
2.
三、解答题本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.本小题满分10分在如图所示的几何体中,四边形ACC1A1是矩形,FC1∥BC,EF∥A1C1,∠BCC1=90°,点A,B,E,A1在一个平面内,AB=BC=CC1=2,AC=
2.证明1A1E∥AB.2平面CC1FB⊥平面AA1EB.[证明] 1∵四边形ACC1A1是矩形,∴A1C1∥AC.又AC⊂平面ABC,A1C1⊄平面ABC,∴A1C1∥平面ABC.∵FC1∥BC,BC⊂平面ABC,∴FC1∥平面ABC.又∵A1C1,FC1⊂平面A1EFC1,∴平面A1EFC1∥平面ABC.又∵平面ABEA1与平面A1EFC
1、平面ABC的交线分别是A1E,AB,∴A1E∥AB.2∵四边形ACC1A1是矩形,∴AA1∥CC
1.∵∠BCC1=90°,即CC1⊥BC,∴AA1⊥BC.又∵AB=BC=2,AC=2,∴AB2+BC2=AC
2.∴∠ABC=90°,即BC⊥AB.∵AB,AA1⊂平面AA1EB,且AB∩AA1=A,∴BC⊥平面AA1EB.而BC⊂平面CC1FB,∴平面CC1FB⊥平面AA1EB.18.xx·北京卷本小题满分14分如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.1求证VB∥平面MOC;2求证平面MOC⊥平面VAB;3求三棱锥V-ABC的体积.[答案] 1证明详见解析;2证明详见解析;
3.[分析] 本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问,在三角形ABV中,利用中位线的性质得OM∥VB,最后直接利用线面平行的判定得到结论;第二问,先在三角形ABC中得到OC⊥AB,再利用面面垂直的性质得OC⊥平面VAB,最后利用面面垂直的判定得出结论;第三问,将三棱锥进行等体积转化,利用VC-VAB=VV-ABC,先求出三角形VAB的面积,由于OC⊥平面VAB,所以OC为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可.[解析] 1因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC.2因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.3在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,所以AB=2,OC=
1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB=.又因为OC⊥平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于×OC×S△VAB=.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为.19.本小题满分12分如下图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图尺寸如图所示.1求四棱锥P-ABCD的体积;2若G为BC上的动点,求证AE⊥PG.[解析] 1由几何体的三视图可知,底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=4,BE=2,AB=AD=CD=CB=4,∴VP-ABCD=PA·S四边形ABCD=×4×4×4=.2连接BP,∵==,∠EBA=∠BAP=90°,∴∠PBA=∠BEA.∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°.∴PB⊥AE.又BC⊥平面APEB,∴BC⊥AE.∴AE⊥平面PBG.∴AE⊥PG.20.本小题满分12分如图,E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点,矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面,且AB=2AD=
2.1求证EA⊥EC;2设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.
①试证EF∥AB;
②若EF=1,求三棱锥E-ADF的体积.[解析] 1证明因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊥AB,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面ABE.又因为AE⊂平面ABE,所以BC⊥AE.因为E在以AB为直径的半圆上,所以AE⊥BE,又因为BE∩BC=B,BC、BE⊂平面BCE,所以AE⊥平面BCE.又因为CE⊂平面BCE,所以EA⊥EC.2
①证明因为AB∥CD,AB⊄平面CED,CD⊂平面CED,所以AB∥平面CED.又因为AB⊂平面ABE,平面ABE∩平面CED=EF,所以AB∥EF.
②解取AB中点O,EF的中点O′,在Rt△OO′F中,OF=1,O′F=,所以OO′=.由1已证得BC⊥面ABE,又已知AD∥BC,所以AD⊥平面ABE.故VE-ADF=VD-AEF=·S△AEF·AD=×·EF·OO′·AD=.21.本小题满分12分xx·福建改编如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.1当正视方向为从A到D的方向时,画出四棱锥P-ABCD的正视图要求标出尺寸,并写出演算过程;2若M为PA的中点,求证DM∥平面PBC;3求三棱锥D-PBC的体积.[解析] 1如图1,在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依据勾股定理得BE=3,从而AB=
6.又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=
4.正视图如图2所示2方法一如图3,取PB的中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA的中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.方法二如图4,取AB的中点E,连接ME,DE.在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD,∴四边形BCDE为平行四边形,∴DE∥BC.又DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.又在△PAB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴ME∥平面PBC.又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME,∴DM∥平面PBC.3VD-PBC=VP-DBC=S△DBC·PD,又S△DBC=6,PD=4,所以VD-PBC=
8.22.本小题满分12分如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,平面PBC⊥底面ABCD,且PB=PC=.1求证AB⊥CP;2求点B到平面PAD的距离;3设面PAD与面PBC的交线为l,求二面角A-l-B的大小.[解析] 1证明∵底面ABCD是正方形,∴AB⊥BC,又平面PBC⊥平面ABCD=BC,∴AB⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC,∴AB⊥CP.2解法一体积法.由题意,面PBC⊥面ABC,取BC中点O,则PO⊥BC⇒PO⊥面ABC.再取AD中点M,则PM⊥AD.设点B到平面PAD的距离h,则由VB-PAD=VP-ABD⇒S△PAD·h=S△ABD·PO⇒PM·AD·h=AD·BC·PO⇒h=.解法二BC∥AD⇒BC∥面PAD.取BC中点O,再取AD中点M,AD⊥MO,AD⊥MP,MO∩MP=P⇒AD⊥面MOP,AD⊂面ADP⇒面ADP⊥面MOP.过点O作OH⊥PM,则OH⊥面ADP.在Rt△MPO中,由OH·PM=PO·MO⇒OH=,∴点B到平面PAD的距离为.3面PBC∩面PAD=l,BC∥AD⇒BC∥面PAD⇒BC∥l,OP⊥l,MP⊥l⇒∠MPO就是二面角A-l-B的平面角.tan∠MPO==1⇒∠MPO=45°.∴二面角A-l-B的大小为45°.。